思维特训(十一) 密度
2024八年级物理上册拔尖专训10密度综合习题课件新版新人教版
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由ρ＝ 得，浓度为75％的酒精溶液的体积为
＝1
./
000
cm3，其中水的体积V水'＝0.25V'＝0.25×1 000 cm3＝250
cm3，乙醇的体积V乙醇'＝0.75V'＝0.75×1 000 cm3＝750 cm3，
则实验前纯水的总体积与乙醇的总体积之比V水总∶V乙醇总＝(V1
＝20
铜
./
cm3，空心部分的体积V空＝V铜块－V铜＝46 cm3－20 cm3＝26
液中含有95 mL乙醇)，70％～75％的酒精常用以消毒杀
菌，40％～50％的酒精用以防止褥疮，25％～30％的酒精
用以物理降温。医务人员利用纯水和乙醇配制了1 000 mL
密度为0.9 g/cm3的酒精溶液后，发现剩余的纯水和乙醇
刚好可以配制浓度为75％的酒精溶液850 g。假设配制过
程中乙醇和水混合后总体积不变，ρ乙醇＝0.8 g/cm3。下列
闭玻璃罩内较长的蜡烛先熄灭，因此在发生火灾逃生时人们
应该让口鼻尽量位于低处。
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7. 用托盘天平称得一个空心铜块的质量是178 g，在一个量
筒中注入50 mL的水，用一细线将铜块系住并且浸没在量
筒中，观察水位上涨到96 mL处(铜的密度为8.9×103
kg/m3)，则此空心铜块的密度为 3.87 g/cm3，如果将
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人教版七年级上册思维特训(十一) 古代问题
人教版七年级上册思维特训（十一）古代问题1.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．其内容为：“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”2.甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半群，得你一只来方凑，玄机奥妙谁参透？(注：小半为四分之一的意思)诗的意思是：甲赶着一群羊在前面走，乙牵着一只羊跟在后面．乙问甲说：“你这群羊有一百只吗？”甲回答：“我如果再得这么一群羊，再得这么一群羊的一半，又得这群羊的四分之一，把你牵的羊也给我，我恰好有一百只．”请问这群羊有多少只？3.我问开店李三公，多少客人在店中，一房七客多七客，一房九客一房空．请你仔细算一算，多少房间多少客？诗的意思是：我问开店的李三公：“有多少客人来住店？”李三公回答说：“一个房间内若住7个客人，则余下7人没处住；一个房间内若住满9人，则又空出一个房间．”求共有多少客房，多少客人？4.有一次，古希腊数学家毕达哥拉斯正在课堂上讲课，突然有旁人问：“先生，您能告诉我有多少人在听课吗？”毕达哥拉斯没有直接说出人数，而是是从十分风趣地答道：“在下面听课的学生当中，有一半是搞数学研究的，14是具体职业不清楚的，另外还有3名女性．”从毕达哥拉斯的事音乐工作的，17回答中，你能算出一共有多少学生正在听课吗？5.牛顿是举世闻名的伟大数学家、物理学家，他创立了微积分(另一个创立者是莱布尼茨)、经典力学，在代数学、光学、天文学等方面也作出了重要贡献，牛顿用数学的语言、方法描述和研究自然规律，他呕心沥血，写成的光辉著作《自然哲学的数学原理》，照亮了人类科学文明的大道，牛顿在他的《普遍的算术》一书中写道：“要解答一个含有数量间的抽象关系的问题，只要把题目由日常语言转化为代数语言就行了．”(1)下表是由牛顿给出的1个例子改写、简化而成的，请填写下表(不必化简)：(2)你能求出商人原来有多少钱吗？6.《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：“假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？”设有x个人共同买鸡，根据题意列一元一次方程正确的是（）A.9x+11=6x−16B.9x−11=6x+16C.x−119=x+166D.x+119=x−1667.在明朝程大位《算法统宗》中，有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔，其古称浮屠，本题说它一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，则该塔塔顶灯的个数是（）A.1B.2C.3D.78.唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说．《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士，如何知原有．注：古代一斗是10升．大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．(1)列方程求壶中原有多少升酒．(2)设壶中原有a0升酒，在第n个店饮酒后壶中余a n升酒，如第一次饮酒后所余酒为a1=(2a0−5)升，第二次饮酒后所余酒为a2=2a1−5=[22a0−(22−1)×5]升，…①用含a n−1的式子表示a n=，再用含a0和n的式子表示a n=；②按照这个约定，如果在第4个店喝光了壶中酒，请借助①中的结论求壶中原有多少升酒．9.我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》(1299年)一书中，有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”译文是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？参考答案1.【答案】:解：设共有客人x人．根据题意，得1 2x+13x+14x=65，解得x=60.答：共有客人60人【解析】:解：设共有客人x人．根据题意，得1 2x+13x+14x=65，解得x=60.答：共有客人60人2.【答案】:解：设这群羊有x只．根据题意，得x+x+12x+14x+1=100，解得x=36.答：这群羊有36只.【解析】:解：设这群羊有x只．根据题意，得x+x+12x+14x+1=100，解得x=36.答：这群羊有36只3.【答案】:解：设有x间客房．由题意，得7x+7=9(x−1),解得x=8.则客人为7×8+7=63(人)．即有8间客房、63名客人.【解析】:解：设有x间客房．由题意，得7x+7=9(x−1),解得x=8.则客人为7×8+7=63(人)．即有8间客房、63名客人.4.【答案】:解：设有x名学生正在听课．由题意，得12x+14x+17x+3=x，解得x=28.答：一共有28名学生正在听课【解析】:解：设有x名学生正在听课．由题意，得12x+14x+17x+3=x，解得x=28.答：一共有28名学生正在听课5(1)【答案】解：表中从上到下依次填：(x−100)+13(x−100)−100，(x−100)+13(x−100)−100)+13[(x−100)+13(x−100)−100]，(x−100)+13(x−100)−100+13[(x−100)+13(x−100)−100]=x【解析】:解：表中从上到下依次填：(x−100)+13(x−100)−100，(x−100)+13(x−100)−100\)+13[(x−100)+13(x−100)−100]，(x−100)+13(x−100)−100+13[(x−100)+13(x−100)−100]=x(2)【答案】解：由(1)得(x−100)+13(x−100)−100+13[(x−100)+13(x−100)−100]=x，解得x=400.答：商人原来有400镑钱.【解析】:解：由(1)得(x−100)+13(x−100)−100+13[(x−100)+13(x−100)−100]=x，解得x=400.答：商人原来有400镑钱.6.【答案】:B【解析】:利用鸡的价钱相等建立一元一次方程，如果每人出九钱，那么多了十一钱，所以鸡的价钱可以表示为9x−11;如果每人出六钱，那么少了十六钱，所以鸡的价钱还可以表示为6x+16，所以有9x−11=6x+167.【答案】:C【解析】:设塔顶有x盏灯．依题意，得x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381，解得x=38(1)【答案】解：设壶中原有x升酒．．根据题意，得2[2(2x−5)−5]=5，解得x=358升酒.答：壶中原有358【解析】:考点分析：本题考查了一元一次方程的应用；思路分析：设壶中原有x升酒，由在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒列出关于x的一元一次方程解决问题；(2)【答案】①2a n−1−5，2n a0−(2n−1)×5②由题意，得a4=24a0−(24−1)×5=16a0−75=0，．解得a0=7516答：如果在第4个店喝光了壶中酒，那么壶中原有75升酒.16【解析】:考点分析：本题主要考查了竖式规律型，一元一次方程的应用；思路分析：①根据a1、a2、a3的变化，找出变化规律a n=2a n−1−5=2n a0−(2n−1)×5；②令a n=2a n−1−5=2n a0−(2n−1)×5中n=4,a n=0得出关于a0的一元一次方程，解方程可解决问题.解题过程：①a1=2a0−5，a2=2a1−5=22a0−(22−1)×5，a3=2a2−5=23a0−(23−1)×5，…，∴a n=2a n−1−5=2n a0−(2n−1)×5.②由题意，得a4=24a0−(24−1)×5=16a0−75=0，．解得a0=7516升酒.答：如果在第4个店喝光了壶中酒，那么壶中原有75169.【答案】:解：设快马x天可以追上慢马．由题意，得240x−150x=150×12，解得x=20.答：快马20天可以追上慢马【解析】:解：设快马x天可以追上慢马．由题意，得240x−150x=150×12，解得x=20.答：快马20天可以追上慢马。
综合思维训练三(第七章～第十章)
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35．容器内盛有重力为10牛的水，放入一个 物体，则物体所受的浮力为 (A ) A．可能大于10牛 B．不可能大于10牛 C．一定小于10牛 D．不可能等于10牛
F浮 =G排，但G排不一定就是容器内已经有的水
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36．如图所示，实心金属小球，用细线拴 住后放入浓盐水中，细线的另一端跨过定 滑轮后吊住一个所受重力为0.98牛的钩码后恰能 平衡。如果此时向容器内渐渐倒人清水，则( A ) A．钩码将向上运动 B．钩码将向下运动 C．钩码仍保持静止状态 D．以上情况都可能发生
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13．如图所示，两个形状、大小、材料、 质量均相同的物体甲、乙放在水平地面上， 这时它们对地面的压力和压强关系为 ( B ) A．F甲=F乙，p甲>p乙 B．F甲=F乙，p甲<p乙 C．F甲>F乙，p甲=p乙 D．F甲<F乙，p甲=p乙
F G mg, m甲 m乙 F 甲 F 乙 F p , S甲 S乙 p甲 p乙 S
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20．如图所示，在水平桌面上放着三个底面积 相等的容器，它们的高度相同，都装满了水， 则水对容器底面的压强是 ( D ) A．甲最大 B．乙最大 C．丙最大 D．一样大
到容器底面的深度相同
p=液 gh ，液体密度相同，高度即液面
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21．20题中，水对容器底面的压力是 A．甲最大 B．乙最大 C．丙最大 D．一样大
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15．一质量分布均匀的木块平放在水平地 面上，对地面的压强为p ，若任意将其截 去1/2后仍平放在地面上，关于剩下木块对水平 地面压强有三位学生作如下判断：甲认为可能为 p /2，乙认为可能仍为p，丙认为有可能为2p。以 上判断中 ( D ) p A．只有甲正确 横切，p ' = 2 B．只有乙正确 C．只有甲、乙正确 竖切，p ' =p D．甲、乙和丙都正确 斜切，p '<p
《密度》建议注重拔高的孩子参考 (1)
《密度 提高培优讲义》密度类计算题的解答，具有一定的探究性和灵活性，只有弄清原理，掌握方法，才能思路清晰，从容解答，触类旁通，举一反三。
因此，加强密度问题计算的训练和解法的研究，对于培养大家的开拓精神和创新意识，提高综合素质，具有十分重要的作用。
初中物理最常见的密度计算题的类型有以下几种：（以下几类题型一定要掌握，注意答题的规范性） 类型一：鉴别问题例1 有一只金戒指，用量筒测得其体积为0.24cm 3，用天平称出其质量为4.2g ，试问这只戒指是否是纯金制成的？（ρ金=⨯1931033./kg m ）解析：ρρ====⨯<m V g cm g cm kg m /./.././42024175175103333金，故这只戒指不是纯金制成的。
类型二：空心问题例2 一个铜球的质量是178g ，体积是403cm ，试判断这个铜球是空心的还是实心的？（ρ铜=⨯891033./kg m ） 解析：方法一：比较体积法V m g g cm cm V ===<球铜球//(./)ρ178892033，所以为空心球。
方法二：比较密度法ρρ===<m V g cm g cm 球球铜//./1784044533，所以为空心球。
方法三：比较质量法m V g cm cm g m ==⨯=>ρ铜球球894035633./，所以为空心球。
说明：本题最好采用方法一，因为这样既可判断该球是空心的，还可进一步求出空心部分的体积V V V 空球=-。
类型三：装瓶问题思路与方法：由于瓶子的容积一定，所以这类问题的解题关键在于求出V 瓶。
例3 一只玻璃瓶装满水时总质量为200g ，装满酒精时总质量为180g ，求这只瓶子的质量和容积分别为多少？（ρ酒精=⨯081033./kg m ）解析：由题意得m m m V g 瓶水瓶水瓶+=+=ρ200①m m m V g 瓶酒精瓶酒精瓶+=+=ρ180②联立①、②，将ρρ水酒精、代入，求得：V cm m g 瓶瓶，==1001003类型四：溢出问题思路与方法：首先求出溢出液体的体积，再根据V V 物溢=进行解答。
【思维特训案例-讲练合卷】四年级数学上册思维特训案例第10集《应用题综合(二))》(附试题)
四年级数学上册《应用题综合（二）》思维特训案例班级：姓名：效果：例1.有60名学生，男生、女生各30名，他们手拉手围成一个圆圈．如果让原本牵着手的男生和女生放开手，可以分成18个小组，那么，如果原本牵着手的男生和男生放开手时，分成了几个小组？例2.四(2)班举行“六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱去买糖果，如果买芒果13千克，还差4元；如果买奶糖15千克，则还剩2元，已知每千克芒果比奶糖贵2元，那么，辅员老师带了（）元．例3.下面是小波和售货员阿姨的一段对话：小波：“阿姨，您好！”售货员：“同学，你好，想买点什么？”小波：“我只有100元，请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本，”售货员：“好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请拿好．再见，”根据这段对话元，则钢笔每支（）元，笔记本每本（）元。
例4.老师买了同样数目的田格本、横线本和练习本．他发给每个同学1个田格本、3个横线本和5个练习本，这时横线本还剩24个，那么田格本和练习本共剩了（）个．例5.一个书架上有数学、语文、英语、历史4种书共35本，且每种书的数量互不相同，其中数学书和英语书共有16本，语文书和英语书共有17本．有一种书恰好有9本，这种书是（）书．例6.有9张纸牌，分别写着1～9.A、B、c、D四人取牌，每人取2张．已知A 取的两张牌之和是10;B取的两张牌之差是1;C取的两张牌之积是24;D取的两张牌之商是3．剩下的一张牌是（）。
例7.丁丁和爸爸、妈妈在公园里玩跷跷板，爸爸体重为72千克，坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的丁丁和妈妈同坐在跷跷板的另一端，这时，爸爸坐的一端仍然着地；丁丁借来一个重量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果丁丁这一端着地．如果丁丁的体重是整数千克，那么丁丁的体重是（）千克．例8.猴王带领一群猴子去摘桃，下午收工后，猴王开始分配，若每只大猴分5个，每只小猴分3个，猴王可以留10个，若每只大、小猴都分4个，猴王能留下20个．在这群猴子中（不笔括猴王），大猴比小猴多（）只．例9.小甜甜的妈妈给小甜甜买了一包糖，小甜甜每天都要吃掉一部分糖，每天都会吃掉比前一天多的糖，5天一共吃了31颗糖，若是第五天吃的糖是第一天吃的3倍，那么她第四千能吃（）颗糖。
八年级物理下学期个性化辅导讲义17密度一无答案
17 密度（一）4 课堂总结10分钟5 课后作业35分钟6 能力提升30分钟密度（一）知识梳理一、质量1、定义：物体所含_________________，用字母_______表示。
2、质量的国际单位：__________，质量的常用单位有_______、________和___________。
3、单位换算：1t=_________kg=_________g=_________mg。
4、质量是物体的一种______：对于一个给定的物体，它的质量是确定的，它不随物体的__________、__________、__________、__________的改变而改变。
例如：（1）1千克的冰熔化成水后，虽然从固态变成液态但是它质量仍是_______千克；（2）宇航员从月球取下的石块拿到地球上石块质量不变；2kg铁块烧热后压成球，它的质量仍然是_______kg。
5、托盘天平的使用方法（电子天平使用方法见2017考纲）（1）把托盘天平放在水平台上，将游码放在标尺零刻线处。
（2）调节______________，使指针指在分度盘的________，这时横粱平衡。
（3）把被测物体放在_________，用_______向_______盘加减砝码，并调节_______的位置，直到横梁重新恢复平衡。
（4）读数：这时物体的质量等于右盘中砝码总质量加上游码所对应的质量；（5）测量完毕，把被测物体取下，砝码放回盒中，游码移到标尺左端的零刻线处。
二、密度1、定义：_________________________________。
2、公式：_____________，可变形为：________、_________。
3、单位：国际单位是___________，读作____________________；常用单位是___________，读作____________________；这两个单位比较：___________单位大。
【高频特训营】专题训练(十一)：浮力-浙教版科学中考复习高频考点练习
2023浙教版科学中考“高频考点”专题训练（十一）浮力1.放有适量水的烧杯置于水平桌面上。
将一木块浸没到水中一定深度后撤去外力，木块开始上浮，如图所示，最后漂浮，且有五分之二体积浸入水面。
下列叙述中，正确的是（）A. 在露出水面之前，木块所受浮力不变B. 在露出水面之前，木块所受浮力等于木块的重力C. 木块在浸没和漂浮两种情况下，水对烧杯底的压强相同D. 木块的密度为0.6克/厘米32.将质量相同的三个实心物体浸没在水中时，它们的状态如图所示，则下列说法中正确的是（）A. 上浮的物体最终漂浮，漂浮时受到的浮力比上浮时的小B. 下沉的物体所受到的重力最大C. 下沉的物体最终会沉底，沉底后的物体不受浮力D. 将悬浮的物体往下移一些，它将会下沉3.将体积不同、材料不同的甲乙两实心小球，分别轻轻放在水中，两球静止时如图所示，甲浮在水面，乙沉底，已知甲的体积比乙小，则下列说法正确的是（）A. 甲的质量比乙大B. 甲受到的浮力等于重力C. 甲的密度比乙大D. 乙受到的浮力等于重力4.小滨同学自制简易密度计并标记刻度。
他在粗细均匀的木棒底部缩绕一些细铜丝后（忽略铜丝的体积），把该密度计放入洒精中竖直漂浮，静止后露出液面的长度L1为6cm，于是他在木棒与酒精液面交界的刻度线上标记0.8g/cm3；小滨同学又把该密度计放入水中竖直漂浮，静止后露出液面的长度L2为8cm，则与水面相对应的刻度线上应标记 g/cm3。
密度计上标记1.25g/cm3的刻度线到密度计顶端的距离L3为 cm.该密度计的刻度线是否均匀？并说明理由 .5.在不打破鸡蛋的前提下，如何有效判断自然状态下保存的未知产出日期的鸡蛋新鲜度？小科进行了探究。
【查阅资料】刚产出的鸡蛋密度相近，冷却后里面内容物收缩，会在蛋的一端形成气室。
一般的鸡蛋一端大(称为钝端)、一端小(称为尖端)。
蛋壳主要成分是碳酸钙，其表面有很多微小气孔，以便于蛋内外的气体交换，同时蛋内水分可通过气孔排出。
人教版七年级数学上思维特训(十一)含答案：含有绝对值的一元一次方程的解法
思维特训(十一) 含有绝对值的一元一次方程的解法方法点津 ·定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做含有绝对值的方程．解含有绝对值的方程的基本思路：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．一般有以下两种解法：1．几何解法：在数轴上到一个点的距离等于一个常数的点有两个，分别在这个点的左右两侧，可利用数轴直接观察得到方程的解．2．代数解法：利用绝对值的性质去掉绝对值符号，把含有绝对值的一元一次方程转化成两个不含有绝对值的一元一次方程求解．||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a>0），0（a ＝0），－a （a<0）.典题精练 ·类型一 几何解法1．阅读材料：我们知道|x|的几何意义表示在数轴上的数x 对应的点与原点的距离，即|x|＝|x －0|，也就是说|x|表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为|x 1－x 2|表示在数轴上数x1与数x2对应的点之间的距离．例1：已知|x|＝2，求x的值．解：在数轴上与原点的距离为2的点对应的数为－2或2，即x ＝－2或x＝2.例2：已知|x－1|＝2，求x的值．解：在数轴上与数1对应的点之间的距离为2的点对应的数为3和－1，即x＝3或x＝－1.例3：解方程|x－1|＋|x＋2|＝5.图11－S－1解：由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与数1和数－2对应的点之间的距离之和为5的点对应的数，即为x的值．在数轴上，数1和－2对应的点的距离为3，满足方程的x在数轴上的对应点在1的右边或－2的左边．若x对应的点在1的右边，如图11－S－1，可以看出x＝2；同理，若x对应的点在－2的左边，可得x ＝－3.故原方程的解是x＝2或x＝－3.仿照阅读材料的解法，求下列各式中x的值：(1)|x－3|＝3；(2)|4x＋2|＝8；(3)|x－3|＋|x＋4|＝9.类型二代数解法2．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值符号，转化成一元一次方程求解．例1：解方程|2x－1|＝3.我们只要把2x－1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得2x－1＝3或2x－1＝－3.解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝－1.检验：(1)当x＝2时，原方程的左边＝|2x－1|＝|2×2－1|＝3，原方程的右边＝3.因为左边＝右边，所以x ＝2是原方程的解．(2)当x ＝－1时，原方程的左边＝|2x －1|＝|2×(－1)－1|＝3，原方程的右边＝3.因为左边＝右边，所以x ＝－1是原方程的解．综上可知，原方程的解是x ＝2或x ＝－1.例2：解方程x ＋2|x|＝3.解：当x ≥0时，方程可化为x ＋2x ＝3，解得x ＝1，符合题意；当x ＜0时，方程可化为x －2x ＝3，解得x ＝－3，符合题意．所以原方程的解为x ＝1或x ＝－3.仿照上面的解法，解下列方程：(1)x ＋3|x －1|＝7；(2)|x －12|－x ＝1.详解详析1．解：(1)由题意，得在数轴上与数3对应的点之间的距离为3的点对应的数为0和6，即x ＝0或x ＝6.(2)由题意，得在数轴上与数－2对应的点之间的距离为8的点对应的数为6或－10，即4x ＝6或4x ＝－10，所以x ＝32或x ＝－52.(3)由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与数3和数－4对应的点之间的距离之和为9的点对应的数，即为x 的值．在数轴上，数3和－4对应的点的距离为7，满足方程的x 在数轴上的对应点在3的右边或－4的左边．若x 对应的点在3的右边，可得x ＝4；同理，若x 对应的点在－4的左边，可得x ＝－5.故原方程的解是x ＝4或x ＝－5.2．解：(1)当x ＜1时，方程可化为x ＋3(1－x)＝7，即3－2x ＝7，解得x ＝－2，符合题意；当x ≥1时，方程可化为x ＋3(x －1)＝7，即4x －3＝7，解得x ＝52，符合题意．所以原方程的解为x ＝－2或x ＝52.(2)原方程可变形为|x －12|＝x ＋1，根据绝对值的意义，得x －12＝1＋x 或x －12＝－(1＋x)，解得x ＝－3或x ＝－13，经检验：x ＝－3不是原方程的解，x ＝－13是原方程的解．所以原方程的解是x ＝－13.。
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思维特训(十一) 密度|典|例|分|析|混合密度的计算例题 2019·呼和浩特王慧同学利用所学知识，测量一件用合金制成的实心构件中铝所占比例。
她首先用天平测出构件质量为374 g ，用量杯测出构件的体积是100 cm 3。
已知合金由铝与钢两种材料合成，且铝的密度为2.7×103 kg /m 3，钢的密度为7.9×103 kg /m 3。
如果构件的体积等于原来两种金属体积之和，求：(1)这种合金的平均密度。
(2)这种合金中铝的质量占总质量的百分比。
[答案] (1)这种合金的平均密度：ρ＝m V ＝374 g 100 cm 3＝3.74 g /cm 3＝3.74×103 kg /m 3。
(2)设铝的质量为m 铝，钢的质量为m 钢，则m 铝＋m 钢＝374 g ①；构件的体积等于原来两种金属体积之和，则m 铝ρ铝＋m 钢ρ钢＝100 cm 3，即m 铝2.7 g /cm 3＋m 钢7.9 g /cm 3＝100 cm 3①。
联立①①式，解得m 铝＝216 g 。
则这种合金中铝的质量占总质量的百分比为216 g 374 g×100%≈57.8%。
|思|维|集|训|1．有两个质量相等的球，其体积之比V 1①V 2＝1①5，密度之比ρ1①ρ2＝4①1，其中一个球是空心的，已知实心球的体积为 V ，则空心球的空心部分的体积为( )A ．2VB ．VC ．0.2VD ．0.25V2．阿基米德采用排水法解决了王冠掺假问题，现有一个金和银做成的王冠，用排水法测量出其体积为56.9 cm 3，若与王冠质量相同的纯金块和纯银块的体积分别为52.5 cm 3和96.5 cm 3，则王冠中银的质量和金的质量之比为( )A ．1①8B ．1①9C ．1①10D .1①113．(多选)现有密度分别为ρ1、ρ2(ρ1＜ρ2)的两种液体，质量均为m 0，某工厂要用它们按体积比1①1的比例配制一种混合液(设混合前后总体积不变)，且使所得混合液的质量最大，则( )A ．这种混合液的密度为2ρ1ρ2ρ1＋ρ2B ．这种混合液的密度为ρ1＋ρ22C ．按要求配制后，剩下的那部分液体的质量为⎝⎛⎭⎫1－ρ1ρ2m 0 D ．按要求配制后，剩下的那部分液体的质量为⎝⎛⎭⎫1－ρ2ρ1m 0 4．如图11－TX －1所示，A 、B 两个高度相等、底面积不同的薄壁圆柱形容器中，分别盛有质量相等的甲、乙两种液体。
若在两容器中分别再倒入原液体至倒满，则( )图11－TX －1A ．倒入的质量m 甲一定小于m 乙B ．倒入的质量m 甲可能等于m 乙C ．倒入的质量m 甲可能大于m 乙D ．倒入的体积V 甲一定等于V 乙5．如图11－TX －2所示，甲、乙为两个实心均匀正方体，它们的质量相等。
若在两个正方体的上部，沿水平方向分别截去相同高度的部分，并将截去部分叠放在对方剩余部分上，此时它们的质量分别为m 甲′和m 乙′，下列判断正确的是( )图11－TX －2A ．m 甲′可能小于m 乙′B ．m 甲′一定小于m 乙′C ．m 甲′可能大于m 乙′D ．m 甲′一定大于m 乙′6．如图11－TX －3所示，一个实心圆球分为内外两层。
内层由甲物质组成，外层由乙物质组成，且内层半径是外层半径的13，内层质量是外层质量的12。
那么，甲、乙两种物质的密度之比是________。
(球的体积V ＝4πR 33) 图11－TX －37．2019·乌鲁木齐2019年5月5日，凝聚着国人梦想的国产大飞机C 919首飞成功。
C 919为了减重，使用了大量新型合金材料。
飞机某合金部件由甲、乙两种金属构成，已知甲、乙按质量比2①1混合后的密度与甲、乙按体积比3①4混合后的密度相等，则甲、乙的密度之比为________。
若该合金部件比传统上全部使用金属甲时质量减少了50%，则该合金部件中甲、乙的质量之比为________。
8．为了保护环境，治理水土流失，学校的环保小组测定了山洪冲刷地面时洪水中的平均含沙量(即每立方米的洪水中所含泥沙的质量)。
治理环境之前，他们共采集了40 dm 3的水样，称得其总质量为40.56 kg ，已知干燥的泥沙的密度为2.4×103 kg /m 3，试求洪水中的平均含沙量。
9．某校“STS ”活动小组前往酒厂考察，同学们了解到白酒是发酵后的粮食里的酒精，从酒糟中蒸煮汽化出来注入储酒罐中的，罐里的白酒度数很高，一般不宜饮用，需要与适量水勾兑(混合)后才能出售。
有关行业规定：白酒的“度数”是指气温在20 ①时，100 mL 酒中所含酒精的毫升数。
试回答：该厂生产的每瓶装“500 mL 45度”的白酒，质量是多少？是否恰好为一斤酒(一斤等于500 g )？这种酒的密度是多少？(ρ酒精＝0.8×103 kg /m 3)详解详析1．B [解析] 球的实心部分的体积之比V 1实V 2实＝m ρ1m ρ2＝ρ2ρ1＝14，而球的体积之比为1①5，且只有一个球是空心的，所以球2是空心的，球1是实心的，即V V 2实＝14，且V V 2实＋V 空＝15，解得空心部分的体积为V 空＝V 。
2．B [解析] 王冠的质量：m ＝m 金＋m 银；设王冠中含金和银的体积分别为V 金、V 银，则V 金＋V 银＝56.9 cm 3，即m 金ρ金＋m 银ρ银＝56.9 cm 3。
根据题意得：ρ金＝m 金＋m 银52.5 cm 3，ρ银＝m 金＋m 银96.5 cm 3，故可以得出：m 金 m 金＋m 银52.5 cm 3＋m 银m 金＋m 银96.5 cm 3＝56.9 cm 3，解得：m 银：m 金＝1①9。
3．BC [解析] 我们设混合液中两种液体的体积均为V ，则混合液体的体积为2V ，两种液体的质量分别为m 1＝ρ1V ，m 2＝ρ2V ，则混合液体的质量为m ＝m 1＋m 2＝ρ1V ＋ρ2V ，所以混合液体的密度为ρ＝ρ1V ＋ρ2V 2V ＝ρ1＋ρ22，故A 错误、B 正确。
因为ρ1＜ρ2，按体积比1①1的比例配制的溶液中混合液的最大质量：m ＝m 1＋m 0＝ρ1V ＋m 0＝ρ1m 0ρ2＋m 0＝(1＋ρ1ρ2)m 0，则剩下的那部分液体的质量为2m 0－(1＋ρ1ρ2)m 0＝(1－ρ1ρ2)m 0，故C 正确、D 错误。
4．A [解析] 图中甲液面高于乙液面，而甲、乙两种液体的质量相等，可以理解为倒入相同质量的甲、乙两种液体，A 容器中的液面升高得快一些，故假设再倒入质量相等的甲、乙两种液体，A 容器恰好装满，而B 容器则还未装满，仍需再加一部分液体，故装满时倒入的甲液体的质量一定小于乙液体的质量，A 项正确，B 、C 项错误；由图可知，甲液体的体积较大，密度应较小，又倒入的甲液体的质量小于乙液体的质量，由公式V ＝m ρ可知，在m 、ρ大小均不相等，且又“同小”的条件下，不能确定体积的大小关系，故D 项是错误的。
5．D [解析] 根据题设条件可知，甲、乙两个正方体的质量是相等的，若截去相同的高度，则甲截去的质量比例较小，乙截去的质量比例较大，故甲截去的质量小于乙截去的质量，将截去部分叠放在对方剩余部分上后，则甲的质量一定大于乙的质量。
6．13①1 [解析] 假设实心圆球的半径为R ，则内层半径为R 3，内层的体积为481πR 3，外层的体积为V 外＝43πR 3－481πR 3＝10481πR 3；设内层的质量为m ，故ρ内＝81m 4πR 3，ρ外＝81m 52πR 3，所以ρ内：ρ外＝13①1。
7．8①3 2①3 [解析] 甲、乙按质量比2①1混合时，m 甲＝2m 乙，由密度公式可得混合后密度ρ＝m 甲＋m 乙V 甲＋V 乙＝2m 乙＋m 乙2m 乙ρ甲＋m 乙ρ乙＝3ρ甲ρ乙ρ甲＋2ρ乙。
甲、乙按体积比3①4混合时，V 甲＝34V 乙，由密度公式可得混合后密度ρ′＝m 甲′＋m 乙′V 甲′＋V 乙′＝ρ甲·34V 乙＋ρ乙V 乙34V 乙＋V 乙＝37ρ甲＋47ρ乙。
混合后的密度相等，所以3ρ甲ρ乙ρ甲＋2ρ乙＝37ρ甲＋47ρ乙，解得：ρ甲ρ乙＝83或ρ甲ρ乙＝11(不合题意，舍去)。
该合金部件比传统上全部使用金属甲时质量减少了50%，即m 合＝12M 甲，使用合金和传统上使用甲制作该部件的体积应相等，所以ρ合＝12ρ甲，由密度公式有：m 甲″＋m 乙″m 甲″ρ甲＋m 乙″38ρ甲＝12ρ甲，解得：m 甲″m 乙″＝23。
8．设所取水样总体积为V ，依题意可知，V 是水的体积V 水与水中泥沙体积V 泥之和；水样总质量m 同样是水的质量与水中泥沙质量之和，即：⎩⎨⎧V 水＋V 泥＝V ρ水V 水＋ρ泥V 泥＝m水样中泥沙体积：V 泥＝m －ρ水V ρ泥－ρ水＝40.56 kg －1.0×103 kg/m 3×40×10－3 m 32.4×103 kg/m 3－1.0×103 kg/m 3＝4×10－4 m 3。
水样中泥沙的总质量：m ′＝ρ泥V 泥＝2.4×103 kg/m 3×4×10－4 m 3＝0.96 kg ，水样共40 dm 3，即40×10－3 m 3，因此洪水中的平均含沙量为m ′V ＝0.96 kg 40×10－3 m 3＝24 kg/m 3。
9．由题知，“45度”指气温在20 ①时，100 mL 酒中所含酒精的体积为45 mL ，则所含水的体积为55 mL 。
故500 mL 酒中所含酒精的体积：V 酒精＝5×45 mL ＝225 mL ＝225 cm 3，酒精的质量：m 酒精＝ρ酒精V 酒精＝0.8 g/cm 3×225 cm 3＝180 g ；所含水的体积：V 水＝500 mL －225 mL ＝275 mL ＝275 cm 3，水的质量：m 水＝ρ水V 水＝1 g/cm 3×275 cm 3＝275 g ；白酒的质量：m ＝m 酒精＋m 水＝180 g ＋275 g ＝455 g 。
因为455 g ＜500 g ，故每瓶酒质量小于一斤。
白酒的体积：V ＝500 mL ＝500 cm 3，这种白酒的密度：ρ＝m V ＝455 g 500 cm 3＝0.91 g/cm 3。