试谈几何直观与直观想象
刘蒋巍：3道考察“几何直观与直观想象”素养的中考数学原创小题的命制
3道考察“几何直观与直观想象”素养中考数学原创小题的命制文/刘蒋巍近期，应老师们的要求，出了一些原创题，以引领“核心素养”大背景下的教学，让复习课教学更有针对性。
【试题呈现】【试题1——几何直观】如图所示的是一个直径为1的圆，以及圆上的两个锐角θ和ϕ，记ϕsin =a ，θsin =b 这幅图说明了：若θϕ>，则a 与b 的大小关系为_____________【试题2——几何直观】如图1所示，四个b a ⨯的矩形可以放进一个边长为b a +的正方形之中（如果b a ≠，正方形的中间将会多出一部分空间）。
由图1，我们可以“直观”地解释不等式“2)(4b a ab +≤”。
如图2所示，考虑两个直角边长分别是a 和b 的等腰三角形，它们的面积分别是22a 和22b 。
将这两个直角三角形拼在一起，形成了一个边长是a 和b 的矩形（如果b a ≠，矩形的外部将会多出一部分），由图2，我们可以“直观”解释的不等式为__________________图1 图2【试题3——直观想象能力】在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中（即：1111111111111============DD CC BB AA A D D C C B B A DA CD BC AB ），Q 为正方形1111D C B A 内一动点（含边界），Q B BB 11⊥；若26=BQ ，则Q 点的轨迹长度为________；若点P 为侧面正方形C C BB 11上的一个动点（包含边界），则满足BP P B 21=的点P 的轨迹长度为___________【命制背景】【试题1、2——几何直观】用几何图形去解释常见的不等式。
【试题3——直观想象能力】立体几何出题背景，考察核心素养——直观想象。
【参考答案】【试题1——几何直观】b a >【试题2——几何直观】)0,0(222>>+≤b a b a ab 【试题3——直观想象能力】π42;92π 解题思路：Q 点的运动轨迹为以1B 为圆心，22为半径的41圆，则Q 点的轨迹长度为π2221⋅，即：π42 由BP P B 21=且点P 为侧面正方形C C BB 11上的一个动点（包含边界），可知:P 点的轨迹为一段60°的圆弧（阿波罗尼斯圆☉O 的一部分）。
“直观想象”在解析几何中的几点体现
“直观想象”在解析几何中的几点体现作者：焦梓荣来源：《广东教学报·教育综合》2019年第59期【摘要】“直观想象”是数学核心素养之一，它的培养主要体现在几何教学中。
解析几何作为高中数学的重要内容，是体现数形结合思想方法的经典内容，是学生“直观想象”培养的重要内容，在教学中要注意四个方面的表现。
【关键词】直观想象；解析几何；数形结合直观想象是数学核心素养之一，是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。
主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题，建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路，现阶段高中教材里与之相关的主要内容是立体几何与解析几何。
解析几何是高中数学中用代数的方法解决几何问题的经典内容，是数形结合的数学思想方法体现的重要内容，它包括：画图，对图形的观察，利用图形特征表述问题，利用图形特征理解问题，利用图形特征探究问题，建立直观的数学模型解决问题等；借助圆锥曲线图像掌握它们的基本性质，及其各个基本量、公式的几何意义；培养画图、用图思考和探寻简化运算的好习惯，是培养学生“直观想象”的核心内容之一。
以下就四个方面来谈谈“直观想象”在解析几何中的体现：一、利用图形特征表述问题圆锥曲线的定义是对其图形特征的核心表述，常用于解决与长度有关的求值和最值问题。
已知F1，F2是橢圆的左、右焦点，直线l过点F2与椭圆交于A、B两点，则△ABF1的周长为（）A.10B.12C.16D.3解：由题意可得a=4，由椭圆的定义可得：，∴由图可知△ABF1的周长为：.故选：C.点评：此题的关键是利用椭圆的定义，图像的特征可以表述为，是个数形结合的典型题目。
二、利用图形特征理解问题圆锥曲线的图像是其性质的集中表现，利用好图形特征来理解相关最值问题，往往比较容易找到取得最值得临界点，从而快速的解决问题。
已知椭圆C：的右焦点为F，点P（1，3），若点Q是椭圆C上的动点，则周长的最大值为（）A. B.17C.30D.解：如图，设椭圆C的左焦点为F'，则的周长由三角形的三边关系可得当在PF'的延长线与椭圆C的交点时取等号∴，故选D.点评：本题主要利用椭圆的定义求解最值问题，涉及到了“化曲为直”的数学思想，需要用三角形的三边关系找到取得最值的临界点，从而解决问题。
数学教案培养学生的几何直观和空间想象力
数学教案培养学生的几何直观和空间想象力1. 引言数学是一门理性而抽象的学科，而几何直观和空间想象力在数学学习中起着重要的作用。
本文将探讨如何通过数学教案来培养学生的几何直观和空间想象力。
2. 概念解释在开始讨论之前，我们先对几何直观和空间想象力进行一些概念的解释。
几何直观是指对几何对象形状、大小、位置等属性的直观感受和理解能力。
空间想象力是指对空间关系的感知和理解能力，包括对平面和立体的构造、位置和变化的想象和理解。
3. 培养几何直观的教案设计3.1 视觉辅助工具的运用在教学过程中，可以运用视觉辅助工具来帮助学生更好地理解几何概念。
比如，使用几何模型、实物模型、二维码等工具，让学生通过观察、摸索来感受几何对象的性质和变化。
3.2 错误分析与讨论通过分析学生在解题过程中常犯的错误，可以引导学生重新审视问题，并通过讨论和交流来培养他们的几何直观能力。
例如，当学生在判断两个几何图形是否相似时经常出错，教师可以提供一些具体案例，引导学生从不同的角度来观察和比较。
3.3 立体模型的构造立体模型的构造能够帮助学生更好地理解空间关系，并培养他们的空间想象力。
在教案中，可以设计一些活动，让学生亲自动手制作立体模型，如折纸、拼装等。
通过实际操作，学生可以更好地理解立体几何的性质和关系。
4. 培养空间想象力的教案设计4.1 透视画法的学习透视画法是培养学生空间想象力的重要方法之一。
在教学中，可以通过教授一些基本的透视画法技巧，引导学生观察物体的远近、大小和投影等特征，从而提升他们的空间想象能力。
4.2 空间图形的投影与展开在几何学习中，学生需要理解物体在不同视角下的投影和展开。
通过设计一些教学活动，让学生观察物体在不同位置和角度下的投影和展开形式，可以培养他们的空间想象力。
4.3 空间变换的理解空间变换是指物体在平移、旋转、对称等操作下的变化。
通过引导学生观察和实际操作，教师可以帮助学生理解空间变换的性质和规律，从而培养他们的空间想象力。
小学数学核心素养几何直观想象和空间想象能力的培养
小学数学核心素养几何直观想象和空间想象能力的培养小学数学核心素养几何直观想象和空间想象能力的培养几何直观和空间想象能力（空间观念）是数学新课程标准提出的十个核心概念中的两个，对于学生来说，几何直观和空间观念是一种必须掌握的能力，是学生打开思维大门，开启智慧的钥匙，能够帮助学生克服数学学习的障碍，突破数学理解上的难点，对学生的数学学习具有非常重要的作用。
一、几何直观国家基础教育实验中心副主任曾结合《义务教育数学课程标准（2011 年版）》中几何直观的解释，给出了一个更深刻的定义：几何直观指是指借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数学关系）进行直接感知、整体把握的能力。
1. 空间观念（空间想象能力）《标准》中对于“空间观念”的定义是：指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。
2. 几何直观与空间想象能力几何直观与空间想象能力各有侧重，又密不可分。
简单来说，几何直观必须借助一定的直观背景条件，可以理解为以图形为核心，以问题为支撑，以思考为导向形成的一种认知事物能力。
空间想象能力倾向于即使脱离了背景也能想象出图形的形状、关系。
但是无论是几何直观还是空间观念，都深深融入学生的几何学习活动中，相互促进，密不可分，空间观念的发展是几何直观形成的重要基础，几何直观的发展对于空间观念具有重要的强化作用。
二、培养学生几何直观与空间想象能力的策略1. 借助数形结合，发展空间想象能力，体会几何直观价值在小学数学中，数形结合是一种十分重要的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够将抽象思维转化为形象思维，有助于把握数学问题的本质。
而数形结合方法的本质就要求将表达空间形状、位置关系、大小的文字语言或者式子与其具体形状、位置关系结合起来，建立起数与形之间的对应关系，这种对应关系的建立就包含了抽象的思维活动，是需要依赖一定的空间想象能力才能完成的。
我对几何直观的理解和运用
几何直观是指利用图形描述几何或者其他数学问题、探索解决问题的思路、预测结果。
几何直观能力主要包括空间想像力、直观洞察能力、用图形语言来思考问题能力。
几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。
小学生的思维水平只处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡，离不开具体事物的支持。
几何直观是揭示现代数学本质的有力工具，利用图形描述几何或者其他数学问题、探索解决问题的思路、预测结果。
几何直观能力可以较好地理解数学本质，使学生体验数学创造性工作历程，能够开发学生的创造激情，形成良好的思维品质。
借助几何直观进行教学，可以形象生动地展现问题的本质，有助于促进学生的数学理解，有机渗透数学思想方法的同时，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
几何直观凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，充分展现问题的本质，能够帮助学生打开思维的大门，突破数学理解上的难点。
其实，几何直观是数形结合思想地更好体现。
通过图形的直观性质来阐明数与数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题简捷明快，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了条重要的途径。
几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用，而且贯穿在整个数学学习过程中。
教师应重视直观图形与数学符号的合情转换，重视数形结合等方法，培养学生几何直观的能力。
教学用我常用画直观示意图的方法解决有关的实际问题。
如在教学面积计算的问题时，可以先向学生呈现纯文字的例题，接着鼓励学生尝试画草图，让学生的思维集中于用画图来表达题意，并通过师生交流，进一步完善画出的示意图，使学生感受到画图能清楚地理解题意。
然后借助示意图分析数量关系，明确先求什么，再求什么，列式解答后，要再结合算式和图说说解题思路。
最后反思整个解题的过程，突出示意图对解决这个数学问题的重要作用，感受画图策略的价值。
试谈 “几何直观”与“直观想象”
教师关注理解的表现：
知其然→知其所以然 解释说明 寻找例证 概括归纳 解决问题 ……
五、直观能力的培养策略
以几何直观为主，其他直观为辅
1.加强空间观念的建立 2.加强数形结合的运用
3.加强构造直观的训练
4.重视数学的直观理解 案例14：分数乘除法 语言直观与经验直观的整合 6 数学教育的中华民族特色 18 18 18 2 18 18 1 9 的三分之二 18 1 9 ÷3 ×2 19 3
对应型直观：函数与图像、分数应用题与线段图…… 模式识别、匹配
构造型直观：没有已知、明显、约定的对应关系 类比迁移、顿悟；合理的对应关系 案例12：奇偶数的示意图（几何模型）
五、直观能力的培养策略
以几何直观为主，其他直观为辅
3.加强构造直观的训练
后测题之一： 如果一个很大的奇数和一个很大的偶数相加， 和一定是奇数么？为什么？ 少数用个位相加说明 多数用几何模型说明（具有一般性）
1 16
8 4 2 1 15 1 2 4 8 16 1 16 16 1 1 1 1 1 1 1 1 127 1－ 2 4 8 16 32 64 128 128 128
一、几何直观：理解←描述→探索 、预测
义务教育数学课程标准： 几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。 的能力。 借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形 象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。 几何直观可以帮助直观地理解数学，在整个数学学 习过程中都发挥着重要作用。 孔凡哲、史宁中： 几何直观是指，借助于见到的(或想象出来的)几何 图形的形象关系，对数学的研究对象(空间形式和数量 关系)进行直接感知、整体把握的能力。
几何直观与直观几何？ 基于直观的数学思维 侧重直观的几何课程 几何直观与几何直觉？ 倾向于整体把握、洞察 案例4：如图，“ ”与“ ”， 哪个面积大? 倾向于本能意识、猜想 R 2r 几何直观与空间观念？ 2 2 2 S R 2 r 4 r 空间观念是几何直观的基础 几何直观是空间观念的运用与升华 “课标(实验稿)”中的“ 空间观念”已涵盖几何直观
浅谈“几何直观”
一、几何直观
• 借助几何直观可以把复杂的数学问题变得 简明、形象，有助于探索解决问题的思路， 预测结果。
• 几何直观可以帮助学生直观地理解数学， 在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
一、几何直观
几何直观就是利用图形进行思 维及展开想象的能力。
二、几何直观的表现形式
三、如何培养学生的几何直观能力
2.从“数”“形”两方面诠释数学问题
三、如何培养学生的几何直观能力
3.利用图形的变换，培养学生的想象能力
三、如何培养学生的几何直观能力
4.掌握一些利用图形解决生活中问题的方式方法
3.图形直观
数形结合与几何直观
数形结合，是一种 重要的数学思想方 法，也是解决数学 问题的有效策略。
数形结合是指解决数学问题时 ，可借助于“形”的直观来理 解抽象的“数”，或反过来运 用“数”与“式”的描述来刻 画“形”的特征。 数形结合
最基本的形式为“以形助数” 和“以数解形”。
以 形 助 数
1.实物直观 2.替代物直观（已经具备一定的抽象性） 3.图形直观
1.实物直观
2.替代物直观
圆圈、三角形 点子图 小棒（一根、一捆） 小方块（个、条、面、体）
3.图形直观
线段图 面积模型图（乘法分配律、小数的意义） 统计图 图形的变换（对称、平移、旋转） 函数图（正、反比例）Fra bibliotek 3.图形直观
以 数 解 形
从几何直观的概念可知，它是指“利用图 形描述和分析数学问题”。
几何直观就是用“形”来解决数学问题。 这个“数学问题”可能并不仅仅是“数” ，可以是“形”或者其他数学问题。
这个“形”，可以是眼睛看到的，可以是 画出的，也可以是大脑想到的。
谈初中生数学直观想象能力的培养
2019谈初中生数学直观想象能力的培养福建省晋江市紫峰中学张雅玲摘要：初中阶段是学生直观想象发展的关键阶段。
从几何直观能力和空间想象能力两个方面来论述初中生数学直观想象能力培养的教学策略：几何直观能力的培养，要鼓励学生动手操作，充分运用多媒体技术，还要有细心严谨的态度；空间想象能力的培养要让学生熟悉基本的图形，学会画图，利用数形结合，还要借助多媒体展示。
关键词：直观想象能力几何直观空间想象数形结合新一轮的课程改革实现了由三维目标向学科核心素养目标的转变。
随着义务教育课程改革的不断深入，培养学生的核心素质受到越来越多的关注。
其中，直观想象的素养培养是学生数学核心素养培养的重要内容之一。
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。
直观想象是提出问题、分析问题、解决问题的重要手段，也是进行逻辑推理、构建数学模型的重要基础。
初中阶段是学生直观想象发展的关键阶段。
这关系到学生数学核心素养的进一步发展。
在初中数学教学过程中，如何更好地培养学生的直观想象能力，是值得探讨的问题。
笔者结合自身的教学经验，从初中学生的几何直观能力培养和空间想象能力培养两个方面分析适应直观想象能力培养的教学策略。
一、几何直观能力几何直观能力在数学学习中具有重要的作用，它可以非常直观地展现所学的内容，让学生轻松掌握，直观又抽象的几何图形总能激发学生的兴趣以及主动探索图形的欲望，从中挖掘隐含的信息，并且在不断探究中找到解决问题的方法。
在课堂教学过程中，笔者主要从以下三个方面来培养学生的几何直观能力：1.鼓励学生动手操作。
我们在学习立体图形的时候，笔者通过让学生自己动手制作几何模型，直观地发现立体图形的特征，借助实物感知的能力正确地区分各种立体图形，同时，还让学生在动手实践的过程中，学会独立发现立体图形所具有的特殊性质。
在这一过程中，学生很难一步到位，可能会出现很多的错误，但其实在错误中不断找到正确的操作方法，这本身就是一个学习和探究的过程。
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义务教育数学课程标准： 几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。手段 借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形
象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。 几何直观可以帮助直观地理解数学，在整个数学学
习过程中都发挥着重要作用。
案例1：学困生研究“你喜欢什么样的数学题”？ “我最喜欢看图写数，一看就会”
义务教育数学课程标准： 几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。的能力。 借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形
象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。 几何直观可以帮助直观地理解数学，在整个数学学
习过程中都发挥着重要作用。 孔凡哲、史宁中：
几何直观是指，借助于见到的(或想象出来的)几何 图形的形象关系，对数学的研究对象(空间形式和数量 关系)进行直接感知、整体把握的能力。
Байду номын сангаас
1个
2个
4个
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二、相关概念的辨析
几何直观与数形结合？ 共同部分：“形使数更直观” 区别部分：“数使形更入微”
几何本身也要依靠直观 几乎所有的举例都是“数形结合”。 有没有不是数形结合的几何直观呢？ 欧氏几何公理是相当纯粹的几何直观，基本不靠 数形结合。 案例6：两点之间的连线线段最短。 案例7：一般的平行四边形不是轴对称图形。 依靠直观确认，难以证明。
讨论这种抽象至少可以给数学教育提供两个重要启迪：一个 是受教育者应当在适当的时机给予适当的教育；另一个是在传授 知识的同时也应当注重培养受教育者的直观能力。
直观能力：并不局限于几何； 是一种整体把握、深刻洞察 第10页/共34页
四、直观能力的实践解读
1.直观对于数学教学具有双重意义
一方面，它是数学抽象的基础与数学认知的支撑；
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三、直观想象
高中数学课程标准：
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变 化，利用图形理解和解决数学问题的过程。主要包括：借助空间 认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分 析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探 索解决问题的思路。
直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要 手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的 思维基础。
1231
直观教学： 感知→概念(思维)
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一、几何直观：理解←描述→探索
义务教育数学课程标准：
几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。手段
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形 象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
几何直观可以帮助直观地理解数学，在整个数学学 习过程中都发挥着重要作用。
1
1 1 4
21
1 16
8
本质上都是 看出来的
8 4 2 1 15
16
16
1 2 4 8 16 1
1 1 1 1 1 1 1 1－ 1 127 2 4 8 16 32 64 128 128 128
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一、几何直观：理解←描述→探索 、预测
希尔伯特：在数学中，象在任何科学研究中那样，有两种倾 向。一种是抽象的倾向……另一种是直观的倾向，即更直接地掌 握所研究的对象，侧重它们之间关系的的意义，也可以说领会它 们的生动的形象”。
史宁中： 数学在本质上研究的是抽象的东西，数学的发展 所依赖的最重要的基本思想也就是抽象。
人获得知识所凭借的，是先天的同时又依赖于经验的“直观 能力”,数学抽象能力与这种直观能力是同构的，也是一种依赖 于经验的先天抽象能力。
在直观想象核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展几何 直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识， 提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维。
是几何直观与空间想象能力的整合
把“想象”去掉，实际上就是“数形结合”——何小亚
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三、直观想象
克莱因：数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上， 数学的直观就是对概念、证明的直接把握。
另一方面，它又是数学理解、抽象的重要内涵与数学
认知的深化。
a ……
2.有必要区分直观的层次
……
……
b
……
……
直观感知：感性认识；具体的
……
直观理解：理性认识；一般的
直观洞察：理性认识的升华；深刻的
案例8：运算律 其他数呢？
案例2：原来每天写10个字,每周写5天。现在每天多写2个字,
每周写7天。现在每周比原来多写多少字？
2×7？
多种算法
10字
2×7＋10×2 7天多写的＋原2天写的 5天 2×5＋12×2 5天多写的＋双休日写的
12×7－10×5
数学认知风格：代数型；几何型 第2页/共34页
一、几何直观：理解←描述→探索 、预测
几何直观是空间观念的运用与升华
“课标(实验稿)”中的“ 空间观念”已涵盖几何直观
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二、相关概念的辨析
几何直观与几何推理？ 几何推理始于几何直观（两层意思）
几何公理依赖直观 直观帮助发现几何规律
几何推理确认几何直观
有时，几何直观具有几何推理难以企及的优势 案例5：正方形盒内放相同月饼，使月饼直径最大。
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二、相关概念的辨析
几何直观与直观几何？
基于直观的数学思维 侧重直观的几何课程
几何直观与几何直觉？
倾向于整体把握、洞察 案例4：如图，“ ”与“ ”，
倾向于本能意识、猜想
哪个面积大?
几何直观与空间观念？
R 2r
空间观念是几何直观的基础 S R2 2r2 4 r2
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一、几何直观
孔凡哲、史宁中： 几何直观是指，借助于见到的(或想象出来的)几何
图形的形象关系，对数学的研究对象(空间形式和数量 关系)进行直接感认知、整体把握的能力。
感知： 感觉、知觉的统称 客观事物通过感觉器官在人脑中的直接反映 整体把握： 高层次的思维 全面的、深层次的理解
义务教育数学课程标准：
几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。手段
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形 象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
几何直观可以帮助直观地理解数学，在整个数学学
习过程中都发挥着重要作用。
案例3：1 1 1 1 1－ 1 15
2 4 8 16
16 16