课时分层作业26 距离(选学)

课时分层作业(二十六) 距离(选学)(建议用时：45分钟)[基础达标练]1．在平面直角坐标系中，A (－2,3)，B (3，－2)，沿x 轴把平面直角坐标系折成120°的二面角，则AB 的长为( )A.2 B ．211 C ．32 D ．4 2B [过A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为A ′，B ′(图略)，则|AA ′→|＝3，|BB ′→|＝2，|A ′B ′→|＝5.又AB →＝AA ′→＋A ′B ′→＋B ′B →，所以|AB →|2＝32＋52＋22＋2×3×2×12＝44，即|AB →|＝211.]2．已知直线l 过定点A (2,3,1)，且n ＝(0,1,1)为其一个方向向量，则点P (4,3,2)到直线l 的距离为( )A.322 B ．22 C.102D ． 2A [P A →＝(－2,0，－1)，|P A →|＝5，|P A →·n ||n |＝22，则点P 到直线l 的距离d ＝|P A →|2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪P A →·n |n |2＝5－12＝322.]3．在△ABC 中，AB ＝15，∠BCA ＝120°，若△ABC 所在平面α外一点P 到A 、B 、C 的距离都是14，则P 到α的距离是( )A ．13B ．11C ．9D ．7B [作PO ⊥α于点O ，连接OA 、OB 、OC (图略)，∵P A ＝PB ＝PC ，∴OA ＝OB ＝OC ，∴O 是△ABC 的外心．∴OA ＝AB 2sin ∠BCA＝152sin 120°＝53，∴PO ＝P A 2－OA 2＝11为所求．]4．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则平面AB 1D 1与平面BDC 1的距离为( )【导学号：33242321】A.2a B ．3a C.23aD ．33aD [由正方体的性质，易得平面AB 1D 1∥平面BDC 1，则两平面间的距离可转化为点B 到平面AB 1D 1的距离．以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，C (0，a,0)，CA 1→＝(a ，－a ，a )，BA →＝(0，－a,0)，连接A 1C ，由A 1C ⊥平面AB 1D 1，得平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(1，－1,1)，则两平面间的距离d ＝|BA →·n|n ||＝a 3＝33a .]5．已知棱长为1的正方体ABCD -EFGH ，若点P 在正方体内部且满足AP →＝34AB →＋12AD →＋23AE →，则点P 到AB 的距离为( )A.56 B ．18112 C.10306D ．56A [建立如图所示的空间直角坐标系，则AP →＝34(1,0,0)＋12(0,1,0)＋23(0,0,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，12，23.又AB →＝(1,0,0)，∴AP →在AB →上的投影为AP →·AB →|AB →|＝34，∴点P 到AB 的距离为|AP →|2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AP →·AB →|AB →|2＝56.]6．已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱的棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则A ，C 1两点间的距离是________.【导学号：33242322】26 [设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，易得AC 1→＝a ＋b ＋c ，则|AC 1→|2＝AC 1→·AC 1→＝(a ＋b ＋c )·(a ＋b ＋c )＝a 2＋2a·b ＋2a·c ＋2b·c ＋b 2＋c 2＝4＋4＋4＋4＋4＋4＝24，所以|AC 1→|＝2 6.]7.如图3-2-49，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．图3-2-49217[建立如图所示的空间直角坐标系，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，B (0,1,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，则C 1A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，－1，C 1B1→＝(0,1,0)，C 1B →＝(0,1，－1)．设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y,1)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧C 1A →·n ＝32x ＋12y －1＝0，C 1B →·n ＝y －1＝0，解得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1，1，则所求距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪C 1B 1→·n |n |＝113＋1＋1＝217.]8.如图3-2-50所示，在底面是直角梯形的四棱锥P -ABCD 中，侧棱P A ⊥底面ABCD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，P A ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1，则AD 到平面PBC的距离为________.【导学号：33242323】图3-2-502 [由已知，得AB ，AD ，AP 两两垂直．∴以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，P (0,0,2)，PB →＝(2,0，－2)，BC →＝(0,2,0)，设平面PBC 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则⎩⎨⎧n ·PB →＝0n ·BC →＝0，即⎩⎨⎧2a －2c ＝02b ＝0，∴可取n ＝(1,0,1)．又AB →＝(2,0,0)，AD ∥平面PBC ，∴所求距离为|AB →·n ||n |＝ 2.]9．如图3-2-51所示，在四棱锥P -ABCD 中，AD ⊥DB ，其中三棱锥P -BCD 的三视图如图所示，且sin ∠BDC ＝35.(1)求证：AD ⊥PB .(2)若P A 与平面PCD 所成角的正弦值为121365，求AD 的长．图3-2-51[解] (1)由三视图得PD ⊥平面ABCD . 因为AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥PD .又AD ⊥DB ，且PD ∩BD ＝D ，PD ，BD ⊂平面PBD ， 所以AD ⊥PD ，又AD ⊥DB ，且PD ∩BD ＝D ， PD ，BD ⊂平面PBD ，所以AD ⊥平面PBD . 又PB ⊂平面PBD ，所以AD ⊥PB . (2)由(1)知，PD ，AD ，BD 两两垂直，以D 为原点，以DA ，DB ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD ＝λ，λ>0， 结合sin ∠BDC ＝35，得：A (λ，0,0)，B (0,3,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，－125，0，P (0,0,4)，所以P A →＝(λ，0，－4)，DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125，0，DP →＝(0,0,4)，设n ＝(x ，y ，z )为平面PCD 的法向量， 由题意知⎩⎨⎧DP →·n ＝4z ＝0，DC →·n ＝－95x ＋125y ＝0，取y ＝3，得n ＝(4,3,0)，设P A 与平面PCD 所成角为θ，因为P A 与平面PCD 所成角的正弦值为121365， 所以sin θ＝|cos 〈P A →，n 〉| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4λ5λ2＋16＝121365. 解得λ＝6，所以AD ＝6.10．如图3-2-52所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，∠P AD ＝90°，且P A ＝AD ＝2，E ，F 分别是线段P A ，PD 的中点．问：线段CD 上是否存在一点Q ，使得点A 到平面EFQ 的距离为45？若存在，求出CQ 的值；若不存在，请说明理由.【导学号：33242324】图3-2-52[解] 由题意知P A ，AD ，AB 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，D (0,2,0)，E (0,0,1)，F (0,1,1)． 假设在线段CD 上存在一点Q 满足题设条件． 令CQ ＝m (0≤m ≤2)，则DQ ＝2－m .∴点Q 的坐标为(2－m,2,0)，∴EQ →＝(2－m,2，－1)．而EF →＝(0,1,0)，设平面EFQ 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·EF →＝0n ·EQ →＝0，∴⎩⎨⎧y ＝0(2－m )x ＋2y －z ＝0，令x ＝1，则n ＝(1,0,2－m )是平面EFQ 的一个法向量．又AE →＝(0,0,1)，∴点A 到平面EFQ 的距离d ＝|AE →·n ||n |＝|2－m |1＋(2－m )2＝45，即(2－m )2＝169，∴m ＝23或103，103＞2，不合题意，舍去．故存在点Q ，且CQ ＝23时，点A 到平面EFQ 的距离为45.[能力提升练]1．如图3-2-53所示，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1，动点P ，Q 分别在线段C 1D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是( )图3-2-53A.23 B ．33 C.23D ．53C [建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，C 1(0,1,2)．根据题意，可设点P 的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，点Q 的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]，则PQ ＝(1－μ)2＋(μ－λ)2＋4λ2 ＝2μ2＋5λ2－2λμ－2μ＋1 ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－15μ2＋95⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－592＋49，当且仅当λ＝19，μ＝59时，线段PQ 的长度取得最小值23.]2．在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为：Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0(A ，B ，C ，D ∈R ，且A ，B ，C 不同时为零)，点P (x 0，y 0，z 0)到平面α的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O 到侧面的距离等于( )A.55 B ．255 C ．2D ．5B [作出正四棱锥P -A ′B ′C ′D ′，如图，以底面中心O 为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz ，则A ′(1,1,0)，B ′(－1,1,0)，P (0,0,2)，设平面P A ′B ′的方程为Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0，将以上3个坐标代入计算得A ＝0，B ＝－D ，C ＝－12D ，所以平面P A ′B ′的方程为－Dy －12Dz ＋D ＝0，即2y ＋z －2＝0，所以点O 到侧面积的距离d ＝|2×0＋0－2|22＋12＝255.] 3．已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，则点B 到平面EFG 的距离为________.【导学号：33242325】21111 [如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz ，则B (4,0,0)，E (4,2,0)，F (2,4,0)，G (0,0,2)，∴EF →＝(－2,2,0)，EG →＝(－4，－2,2)．设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ⊥EF →n ⊥EG→⇒⎩⎨⎧－2x ＋2y ＝0－4x －2y ＋2z ＝0，令x ＝1，得平面EFG 的一个法向量为n ＝(1,1,3)，∵BE →＝(0,2,0)，n ＝(1,1,3)，∴|n |＝11，BE →·n ＝2，∴点B 到平面EFG 的距离为|BE →·n ||n |＝21111.]4．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱A 1A ＝5，AB ＝12，那么直线B 1C 1和平面A 1BCD 1的距离是________．6013 [∵B 1C 1∥BC ，且B 1C 1⊄平面A 1BCD 1，BC ⊂平面A 1BCD 1，∴B 1C 1∥平面A 1BCD 1.从而点B 1到平面A 1BCD 1的距离即为所求． 过点B 1作B 1E ⊥A 1B 于E 点．∵BC ⊥平面A 1ABB 1，且B 1E ⊂平面A 1ABB 1， ∴BC ⊥B 1E .又BC ∩A 1B ＝B . ∴B 1E ⊥平面A 1BCD 1， ∴线段B 1E 的长即为所求． 在Rt △A 1B 1B 中， B 1E ＝A 1B 1·B 1B A 1B ＝5×1252＋122＝6013. 因此直线B 1C 1和平面A 1BCD 1的距离是6013.]5．已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．(1)求点D 到平面PEF 的距离； (2)求直线AC 到平面PEF 的距离.【导学号：33242326】[解] (1)建立以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系，如图所示．则P (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－1，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0， 设平面PEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·EF →＝0，n ·PE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12x ＋12y ＝0，x ＋12y －z ＝0.11 令x ＝2，则y ＝2，z ＝3，所以n ＝(2,2,3)， 所以点D 到平面PEF 的距离为d ＝|DE →·n ||n |＝|2＋1|4＋4＋9＝31717， 因此 ，点D 到平面PEF 的距离为31717.(2)因为AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0， 所以点A 到平面PEF 的距离为d ＝|AE →·n ||n |＝117＝1717， 所以AC 到平面PEF 的距离为1717.。