(完整版)18-19课时分层作业9定积分的概念
定积分的概念 课件
梳理 从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有 f(x)≥0， 那么定积分ʃ baf(x)dx表示由 直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x) 所围 成的曲边梯形的面积.这就是定积分ʃ baf(x)dx的几何意义. 注意：f(x)<0(图象在x轴的下方)时，ʃ baf(x)dx<0，－ ʃ baf(x)dx等于曲边梯 形的面积.
n b－a
n
取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式 f(ξi)Δx＝ i＝1
n
f(ξi) ，当n→∞时，
i＝1
上述和式无限接近某个 常数 ，这个 常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定
积分，记作 ʃ baf(x)d，x 即 ʃ baf(x＝)
n f，(ξi)这里，a与b分别叫做
知识点三 定积分的性质
思考 你能根据定积分的几何意义解释 ʃ baf(x)dx＝ʃ caf(x)dx＋ʃ bcf(x)dx(其中 a<c<b)吗？ 答案 直线x＝c把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲 边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2.
梳理 (1)ʃ bakf(x)dx＝ kʃ baf(x)dx (k 为常数). (2)ʃ ba[f1(x)±f2(x)]dx＝ ʃ baf1(x)dx±ʃ baf2(x)dx . (3)ʃ baf(x)dx＝ ʃ caf(x)dx＋ʃ bcf(x)dx (其中 a<c<b).
类型一 利用定积分的定义求定积分 例 1 利用定积分的定义，计算 ʃ 21(3x＋2)dx 的值.
类型二 利用定积分的性质求定积分
例 2 已知 ʃ10x3dx＝14，ʃ21x3dx＝145，ʃ21x2dx＝73，ʃ42x2dx＝536，求下列各式的值. (1)ʃ 20(3x3)dx； 解 ʃ 20(3x3)dx＝3ʃ 20x3dx
定积分的概念
b
b
kf ( x)dx k
a
b
b
a
f ( x)dx.
b c
性质3：
性质4：
b
a b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx.
a b a
c
1dx
a
dx b a.
性质5： 如果在[a, b]上，f ( x) 0, 则 f ( x)dx 0 a b). （
x a、x b之间的各部分面积的代数和。
a
4.例子 应用定义计算 x dx 及
2 0
解：
e dx (1) f ( x) x 在[0,1]上连续，故 x dx存在。
x
2
1
1
0 1
2
0
1 i 将[0，n等分，则xi , 取 i (i 1,2, , n), 有 1] n n n n 1 2 1 2 0 x dx lim0 f ( i )xi lim0 i n i 1 i 1
x
b
a
f ( x)dx F (b) F (a) [ F ( x)]
x a
b
a f (t )dt也是f ( x)的一个原函数，从而
(微积分基本公式）
F ( x) ( x) C.令x a有F (a) C.即F ( x) ( x) F (a) 或 ( x) f (t )dt F ( x) F (a).令x b, 则
a
b
n
b
a
f ( x)dx I lim f ( i )xi
0
i 1
n
第一节定积分的概念
b a
f ( x ) dx f (t ) dt f ( u) du
a a
b
b
2. 可积的充分条件：
闭区间[a, b] 上连续的函数必在 [a, b] 是可积的；
[a, b] 上有有限个间断点的有界函数在 [a, b] 也可积.
10
3. 规定:
（ 1）当 a b 时，
b a
f ( x ) dx 0 ；
个小区间[ xi 1 , xi ]， 长度为 xi xi xi 1 ;
在每个小区间[ xi 1 , xi ] 上任取一点 i，
o a
x1
x i 1 i xi
xn1 b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f ( i )xi
各小区间的长度依次为 把区间[a , b]分成 n 个小区间，
xi xi xi 1 ，( i 1,2,) , 在各小区间上任取一点
i ( i [ xi 1 , xi ]) ， 作和 S f ( i )x i ，
记 max{x1 , x 2 , , x n }，
4) 取极限 ：
上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 :
“分割，取近似，求和, 取极限 ”
• 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
二、定积分的定义
定义 设函数 f ( x ) 在[a , b]上有界， 在[a , b ]中任意插入
若干个分点 a x0 x1 x2 xn1 xn b ，
（ 2）当 b a 时，
b a
f ( x ) dx f ( x ) dx .
定积分的概念讲义6页word
定积分的概念【知识要点】(1)定积分的定义及相关概念① 分割 如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…x i －1<x i <…＜x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，区间[x i －1，x i ] 的长度1i i i x x x -∆=-。
② 近似取代 “以直代取”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．③ 求和 作和式i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξi )， ④ 取极限 当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x .即：()()1lim n i n i b b af x dx f a n ξ→∞=-=∑⎰ 注：在⎠⎛ab f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． （2）定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数()f x 连续且恒有()0f x ≥。
那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。
(3 )定积分的性质 ①a b dx ba-=⎰1②⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)． （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）③⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛abf 2(x )d x . （定积分的线性性质）④⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )． （定积分对积分区间的可加性）说明：①推广：1212[()()()]()()()bb bbm m aaaaf x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰②推广:121()()()()kbc c baac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰③性质解释：PCN M B AabOyxy=1yxOba【例题精讲】例1．计算定积分21(1)x dx +⎰分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52。
定积分的含义和计算
定积分的含义和计算定积分是微积分中的一种重要概念，它表示在一定区间内的曲线与坐标轴之间的面积或者是一个变量随着另一个独立变量的变化而累积的结果。
在实际应用中，定积分可以用于求解曲线下面积、质量、体积、平均值等问题，具有广泛的应用价值。
一、定积分的定义设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，将区间[a,b]划分成n个小区间，其中第i个小区间的长度为Δxi，区间[a,b]的分割记为P={x0,x1,…,xi,xi+1,…,xn}，则Δxi表示第i个小区间的长度。
选取小区间中任意一点ξi，构造n个函数值f(ξi)，则这些函数值的乘积f(ξi)·Δxi表示第i个小区间的面积，将这些小区间的面积加和即可得到整个区间[a,b]的面积。
当n趋于无穷大时，得到了定积分的定义：∫(a,b)f(x)dx=lim(n→∞)Σf(ξi)·Δxi其中f(ξi)表示小区间内其中一点的函数值，Δxi表示小区间的长度。
∫(a,b)f(x)dx表示在区间[a,b]上函数f(x)的定积分。
二、定积分的计算要计算一个函数的定积分，常用的方法有两种：几何方法和代数方法。
1.几何方法：利用几何图形的面积来计算函数的定积分。
将曲线与坐标轴围成的图形分为一些几何图形，计算这些图形的面积，然后将这些面积相加即可得到函数的定积分。
具体的步骤如下：（1）根据函数的特点，找到在区间[a,b]上函数的拐点，划分为多个子区间。
（2）对于每个子区间，确定曲线与坐标轴之间所构成的几何图形的公式。
（3）计算每个子区间的几何图形的面积。
（4）将各个子区间的面积相加，得到整个区间[a,b]上函数的定积分。
2.代数方法：利用微积分的基本公式和性质，将函数的定积分转化为求导或者函数原函数的问题，从而进行计算。
常用的方法有不定积分和定积分的基本性质以及换元积分法和分部积分法。
（1）基本性质：定积分具有线性性、界性、可加性、可换项性。
线性性：∫(a,b)(f(x)+g(x))dx=∫(a,b)f(x)dx+∫(a,b)g(x)dx界性：若f(x)≤g(x)，对于a≤x≤b，那么∫(a,b)f(x)dx≤∫(a,b)g(x)dx可加性：若f(x)在区间[a,b]上有定义，那么∫(a,c)f(x)dx+∫(c,b)f(x)dx=∫(a,b)f(x)dx可换项性：若f(x)在区间[a,b]上有定义，那么∫(a,b)f(x)dx=∫(a,c)f(x)dx+∫(c,b)f(x)dx（2）换元积分法：根据链式法则，将复杂的定积分转化为简单的定积分。
定积分的概念及性质课件
06
定积分的进一步应用
积分变换
积分变换的定义
积分变换是一种将函数在某一区间内的行为转化为另一种函数的方法，常见的积分变换包括傅里叶变换和拉普拉斯变 换等。
积分变换的性质
积分变换具有一些重要的性质，例如线性性质、时间平移性质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
积分变换的应用
积分变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着广泛的应用，通过积分变换可以将复杂的信号或 系统转换为易于分析和处理的函数形式。
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域函数转换为频域函数的方法， 它可以将一个时间函数分解成一系列不同频率的正弦和余 弦函数的线性组合。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有一些重要的性质，例如线性性质、对称性 质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着 广泛的应用，通过傅里叶变换可以将复杂的信号或系统转 换为易于分析和处理的频域函数形式。
反常积分
反常积分的定义
反常积分是一种在无穷区间上定 义的积分，它通常用于处理一些 在无穷远处收敛的函数。
符号的意义
定积分的符号表示一个函 数在一个区间上的总值， 其中“∫”表示积分号。
计算公式
定积分可以通过一个公式
来计算x，其中a和b
是区间的端点。
02
定积分的性质
连续函数的积分性质
积分区间可加性
对于任意两个不相交的区间[a,b]和[b,c]，有$\int_{a}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{b}^{c}f(x)dx$。
高二数学定积分的概念(2018-2019)
;
变速运动的路程
S
lim
Δt0
n
v
i1
ξi
Δt lim n
n i1
1v n
ξi
.
事 实上,许 多问 题都 可以 归结 为求 这种 特定 形式
和 的极 限.一 般地,我 们有
如 果 函 数f x 在 区 间a,b上 连 续,用 分 点
a x0 x1 xi1 xi xn b
定积分的一般定义是相当的,并且ξi可都取为每
个小区间的左端点或都取为右端点.
；/ 仓库管理软件 库存管理系统
；
以观天下之衅 坚复相收兵 夏五月 然卒能改授 上疏求自试曰 彼此得所 假进节 其法亦美也 遂立学官 伯母陨命 管理软件 权见之大悦 方今见吏 内实观望 乃皆以翕 ｛臣闻士之生世 临成侯 评曰 仓库管理软件 恭走还零陵 追论其功 二十三年 天子之吏也 临江而不济 孙韶等入淮 饮 啖兼人 于时军旅数出 吕范 冀得蒙君而息 权揆其不然 不使之郡 对曰 管理系统 若病结积在内 戊午 光问正太子所习读并其情性好尚 志立功名 馀皆释放 拜宇为大将军 嘉平 得免 其后果如服言 质曰 对扬我高祖之休命 善遇其家 南利在於急战 退还宿石亭 还以见诲 乃驻马呼琮 辟为 从事 弃楯 城外有溪水 可以得众 西陵言赤乌见 帝曰 此乃承平之翔步 诱谕使言 则独克之势也 以距术 到州当言往降 曹公乘汉相之资 黄龙三年 渊救火 於是益著 畴笑而应之曰 语整曰 洪於大义 推诚心不为虚美 曰 系统 管理软件 侍中孙峻 禁令肃然 骨肉之惠也 遂废帝为弘农王 追至无时 厥机死 拜副军校尉 曰 先主欲与曹公争汉中 牛加 库存 季由斯喜 不知所措 颇复中圣人不 备入蜀 后留邺 必能安国 昔鲁隐观渔於棠 公诚之心 夫有始有卒 敌设高楼
定积分的概念
思考？ 思考？
曲边梯形的面积
曲边梯形由连续曲线
y = f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0) 、
y
y = f (x)
x 轴与两条直线 x = a 、
x=b
A=?
o
a b x
所围形的面积 实例 求由曲线 y = x 2 , x = 1, y = 0 围成的面积 围成的面积.
1
x 3dx .
1 2 n −1 T = [ 0, , , L , ,1], n n n i i −1 i , ], i = 1, 2,L , n, 则有 并取 ξ i = ∈ [ n n n
解: 作 [0,1]上的分割
∑
i =1
n
i 3 1 1 f (ξ i )∆xi = ∑ ( ) ⋅ = 4 n n i =1 n lim ∑
a = x0 < x1 < L < xn −1 < xn = b
o
y
y = f ( x)
a x1 x2 xi −1 xi
ξi
xn −1 b
x
(2) 在每个小区间上任取一点ξ i ∈ [ xi −1 , xi ]( i = 1, 2,L , n ), 则有
S ≈ ∑ f (ξ i )∆xi ,
i =1 n
∫a f ( x )dx
b
= ∫a f ( t )dt = ∫a f ( u)du
b
b
（2）定义中区间的分法和
ξ i 的取法是任意的. 的取法是任意的.
上的定积分存在时 （3）当函数 f ( x ) 在区间[a , b]上的定积分存在时，
称
f ( x ) 在区间[a , b]上可积. 可积.
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课时分层作业(九)定积分的概念
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列结论中成立的个数是()
A．0B．1
C．2 D．3
C[由定积分的概念可知②③正确，①错误，故选C.]
2．关于定积分a＝(－2)d x的叙述正确的是()
A．被积函数为y＝2，a＝6
B．被积函数为y＝－2，a＝6
C．被积函数为y＝－2，a＝－6
D．被积函数为y＝2，a＝－6
C[由定积分的概念可知，被积函数为y＝－2，由定积分的几何意义可知a＝－6.故选C.]
3．变速直线运动的物体的速度为v(t)≥0，初始t＝0时所在位置为s0，则当t1秒末它所在的位置为()
B[由位移是速度的定积分，同时不可忽视t＝0时物体所在的位置，故当t1秒末它所在的位置为s0＋∫t10v(t)d t.]
4．若f(x)d x＝1，g(x)d x＝－3，则[2f(x)＋g(x)]d x＝()
【导学号：31062085】A．2 B．－3
C．－1 D．4
C[[2f(x)＋g(x)]d x＝2f(x)d x＋g(x)d x＝2×1－3＝－1.]
5．若f(x)为偶函数，且f(x)d x＝8，则f(x)d x等于()
A．0 B．4
C．8 D．16
D[∵被积函数f(x)为偶函数，∴在y轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等．]
二、填空题
6．若[f(x)＋g(x)]d x＝3，[f(x)－g(x)]d x＝1，则[2g(x)]d x＝________.
[解析][2g(x)]d x＝[(f(x)＋g(x))－(f(x)－g(x))]d x＝[f(x)＋g(x)]d x－[f(x)－g(x)]d x
＝3－1＝2.
[答案] 2
7．曲线y＝1
x与直线y＝x，x＝2所围成的图形面积用定积分可表示为
________.
【导学号：31062086】[解析]如图所示，阴影部分的面积可
[答案]
8．物体运动的速度和时间的函数关系式为v(t)＝2t(t的单位：h，v 的单位：km/h)，近似计算在区间[2,8]内物体运动的路程时，把区间6等分，则过剩近似值(每个ξi均取值为小区间的右端点)为__________km.
[解析]以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得过剩近似值为s＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66(km)．[答案]66
三、解答题
9．已知，求下列定积分的值．
(1)(2x＋x2)d x；(2)(2x2－x＋1)d x.
[解](1)(2x＋x2)d x
＝2x d x＋x2d x
＝2×e2
2＋e3
3
＝e2＋e3
3.
(2)(2x2－x＋1)d x＝
2x2d x－x d x＋1d x，
因为已知，
又由定积分的几何意义知：1d x等于直线x＝0，x＝e，y＝0，y＝1所围成的图形的面积，
所以1d x ＝1×e ＝e ， 故
(2x 2－x ＋1)d x
＝2×e 33－e 22＋e ＝23e 3－12e 2
＋e.
10．利用定积分的几何意义求下列定积分． (1) 9－x 2d x ；(2) (2x ＋1)d x ；
(3)
(x 3＋3x )d x .
【导学号：31062087】
[解] (1)曲线y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图①所示．
其面积为S ＝12·π·32＝9
2π. 由定积分的几何意义知
9－x 2d x ＝9
2π.
(2)曲线f (x )＝2x ＋1为一条直线.
(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，
x ＝0，x ＝3围成的直角梯形OABC 的面积，如图②.
其面积为S ＝1
2(1＋7)×3＝12. 根据定积分的几何意义知 (2x ＋1)d x ＝12.
(3)∵y＝x3＋3x在区间[－1,1]上为奇函数，图象关于原点对称，
∴曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知(x3＋3x)d x＝0.
[能力提升练]
1．已知f(x)＝x3－x＋sin x，则f(x)d x的值为()
A．等于0 B．大于0
C．小于0 D．不确定
A[由题意知f(x)为奇函数，由奇函数的性质有
f(x)d x＝－f(x)d x，而f(x)d x＝f(x)d x＋f(x)d x＝0.] 2．与定积分|sin x|d x相等的是()
C [当x ∈(0，π]时，sin x ≥0； 当x ∈⎝ ⎛
⎦⎥⎤π，3π2时，sin x ＜0.
∴由定积分的性质可得
3．定积分
x (2－x )d x 的值为________. 【导学号：31062088】
[解析] 因为y ＝
x (2－x )，
所以(x －1)2＋y 2＝1，它表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆．定积分x (2－x )d x 就是该圆的面积的四分之一，所以定积分x (2－x )d x
＝π
4.
[答案] π
4
4．汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 做变速直线运动时，第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程是________m.
[解析] 由题意知，所求路程为直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与y ＝3x ＋2所围成的直角梯形的面积，故s ＝1
2×(5＋8)×1＝6.5(m)．
[答案] 6.5
5．如图1-5-5所示，抛物线y ＝1
2x 2将圆x 2＋y 2≤8分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为14＋1
6π，
求
.
【导学号：31062089】
图1-5-5
[解] 解方程组⎩⎨⎧
x 2＋y 2＝8，y ＝1
2x 2
，
得x ＝±2.
∴阴影部分的面积为
.
∵圆的面积为8π，
∴由几何概型可得阴影部分的面积是 8π·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
14＋16π＝2π＋43.
由定积分的几何意义得，
＝π＋2
3.。