四面体外接球的球心、半径求法教师
四面体外接球的球心、半径求法
四面体外接球的球心、在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。
本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。
、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c，则体对角线长为________ / 2 . b2 + ~2I = J a2+b2+C2，几何体的外接球直径2R为体对角线长I即R = ---------- --【例题】：在四面体ABCD中，共顶点的三条棱两两垂直, 其长度分别为1, V6,3，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
解:因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为AE的长即：4R2=AB2+AC2+AD2C 4R2 =12+32+ 府=16 所以R =2球的表面积为S=4；IR2=16；I二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。
球心为直角三角形斜边中点。
【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球0的球面上，AB丄BC且PA =7，PB=5, PC =751，AC =10,求球0 的体积。
解：AB 丄BC 且PA =7，PB=5，P C=妬，AC =10,!_ 2因为=102所以知AC2=PA2+ PC2设球心坐标为O(x, y,z)贝U AO=BO=CO =DO ,由空间两点间距离公式知x 2 +y 2 +z 2 =(x -1)2 +(y -73)2 +z 2J 3解得 “1 y=- z =1所以PA 丄PC 所以可得图形为:在RtAABC 中斜边为AC 在RU PAC 中斜边为AC取斜边的中点0 , 在 RUABC 中 0A = 0B = 0C在 RtiPAC中 OP = OB =OC 所以在几何体中OP = OB =OC =OA ，即O 为该四面体的外接球的球心1R = — AC = 52 所以该外接球的体积为V 丄职―500工3 3 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
内接球和外接球半径计算公式
内接球和外接球半径计算公式
内接球和外接球是几何学中的概念，它们分别是指一个多面体内部最大的（最小的）球和一个多面体外部最小的（最大的）球。
下面是内接球和外接球的半径计算公式。
（以下解释中，我们以正四面体为例）
内接球半径计算公式：
正四面体的内接球是四面体内部最大的球，它的半径可以通过正四面体的棱长计算得出。
设正四面体的棱长为a，则正四面体的内接球半径R为：
R = a / (2√3)
其中√3表示根号下3，也就是3的平方根。
该公式适用于所有正多面体内接球的半径计算。
外接球半径计算公式：
正四面体的外接球是四面体外部最小的球，它的半径可以通过正四面体的边长计算得出。
设正四面体的边长为a，则正四面体的外接球半径r为：
r = a / (2√6)
其中√6表示根号下6，也就是6的平方根。
该公式同样适用于所有正多面体外接球的半径计算。
需要注意的是，以上公式仅适用于正多面体，对于其他不规则多面体，内接球和外接球的半径计算需要用到其他方法。
正四面体外接球和内切球的半径的求法
设 正方体 的棱 长 为 ，则 ２Ｒ ＝ 且 ｎ ＝ ，所 以 Ｒ ＝
７ －ａ，从而ｒ＝了１尺＝
ｎ ．
故所求 的外接球 的半 径 和内切
球 的半 径分 别 为 ｎ和 ｎ．
解 后 反思 ：由此解 法知 ，正方 体 的 内切球 也 是 与 正 四 面体 的 各棱都 相 切 的 球 ，易 得 正 方 体 的 内切 球 的 半 径 为
北京 建工 学院 １０００４４ 孙 瑜蔓 中央 民大 附 中 １０００８１ 孙 猛
我们 常用 到“ｙ ： ＋ ”型最 值 ，我 们
口 十
Ｄ 一
只 要 妙 添 “１”， 然 后 将 “１” 变 形 为 １ ＝
０｝十 Ｄ 即可求出这一类最值，程序如
下 ：
ｙ＝－·（ ＋ ）
解 法 ３ （体 积法 ）如 图 ４，记 正 四面体 ＡＢＣＤ 的 体 积 为 ，每 个 面的 面积 为 ．ｓ，高 为 ｈ，内切 球 球 心 为 ０，连 结 ＤＡ，０日，Ｄｃ，ＯＤ，贝０ ｒ．
Ｄ Ｖ ： 洲 ＋ ｃＤ ＋ ｃ￡Ｍ ＋
，
Ｃ
所以÷．ｓ ：４·了１．ｓｒ，从而ｒ＝ 图４
＝ 口＋ ｂ · （、 口＋ ＋ ｂ～ ） ，
＝ ［Ａ＋８＋ ＋ ］
分析 利用 １＝ＣＯＳ ＋ｓｉｎ 添 “１”
解 Ｙ：－。（、 ＣＯ８，＋ ＳＩｎ）， ＝ ｓ２ ＋ｓｉｎＺｘ （ ＋ ）
＝ １３ ＋ ４ｔａｎ ＋ ９ｃｏｔ ≥ １３ ＋ ２ ·２ｔａｎｘ ·３ｃｏｔｘ ＝ ２５
方 法 拓 展 ： １．若三 棱锥 的三条 侧棱 两两垂 直 ，则其 外接 球也 是 以 这三 条侧棱 为 同一顶点 出发 的三 条棱 的长方 体 的外接 球 ， 若设其 三条 侧棱 长分别 为 ａ，ｂ，Ｃ，则 易得 外 接球 的半 径 为
正四面体外接球内切球半径
解析正四面体外接球内切球半径正四面体是一种非常特殊的多面体，其四个面都是等边三角形，相互之间都是等角的。
正四面体有个很有意思的性质，就是它的外接球和内切球的半径是相等的。
这个性质可以通过以下步骤进行证明：首先，我们需要知道正四面体外接球和内切球的半径分别为r和R。
我们可以画出如下的图形：正四面体的四个顶点分别为A、B、C、D。
正四面体外接球的圆心为O，内切球的圆心为I。
现在我们来证明r=R。
步骤1：连接OI，这条线段的长度为r+R。
步骤2：连接AB、AC、AD、BC、BD、CD，将正四面体分成四个小正三角形。
步骤3：我们知道正四面体每个小正三角形的面积都相等，设为S。
步骤4：我们可以通过三角形的面积公式求出AO、BO、CO、DO的长度。
AO=BO=CO=DO=√(3S)/3步骤5：再通过余弦定理求出角AOI的大小。
cos(AOI)=（OI²+AO²-AI²）/(2×OI×AO)=（r+R）/（2r）步骤6：由于AOI是一个等腰三角形，所以角OAI也等于角OIA。
因此，我们可以用余弦定理求出AI的长度。
cos(OAI)=（OI²+AI²-OA²）/(2×OI×AI)=cos(AOI)AI=√(OI²+OA²-2×OI×OA×cos(AOI))步骤7：我们可以用同样的方法求出BI、CI、DI的长度。
BI=√(OI²+OB²-2×OI×OB×cos(BOI))CI=√(OI²+OC²-2×OI×OC×cos(COI))DI=√(OI²+OD²-2×OI×OD×cos(DOI))步骤8：根据勾股定理，我们可以求出AB、AC、AD、BC、BD、CD 的长度。
正四面体外接球公式
正四面体外接球公式
正四面体外接球，也叫正四面体旋转体，是一种数学上的几何体，是由单一晶体构成的固体物质，也是数学上的重要几何体之一。
正四面体外接球的公式成为正四面体外接球公式，它是一种用来确定正四面体外接球的体积和表面积的公式。
正四面体外接球公式中的前提条件是正四面体是一种球体，它由六个正四面体面构成，六个面相互接触，相互垂直。
正四面体外接球的公式计算非常简单，可以用来计算正四面体的表面积和体积。
正四面体外接球公式的具体形式如下：V=√2r3/3，其中V表示正四面体外接球的体积，r表示正四面体外接球的半径。
在计算正四面体外接球体积时，我们只需要计算出外接球半径，然后代入公式中就可以计算出外接球的体积。
正四面体外接球半径可以通过一个简单的公式来计算：r=a√3/6，其中a表示正四面体每个面的边长。
正四面体外接球公式不仅可以用来计算外接球的体积，而且还可以用来计算外接球的表面积，表面积的公式如下：S=4πr2，其中S 表示外接球的表面积，r表示外接球的半径。
要计算出表面积，只需要把外接球半径代入公式中就可以得出外接球的表面积。
在数学和计算机科学中，正四面体外接球的应用非常广泛，它可以用在很多不同的领域中。
比如在计算机中，正四面体外接球可以用来表示物体的大小，控制物体的移动，同时用来判断两个物体是否在特定距离内。
此外，正四面体外接球的体积和表面积公式在几何学和
微积分中也有着广泛的应用。
正四面体外接球公式是一种非常有用的工具，可以根据不同的计算要求来高效率地计算出正四面体外接球的体积和表面积。
同时，它也有着广泛的应用，可以用在计算机科学，几何学和数学上的不同领域中。
正四面体的外接球半径的求法
正四面体的外接球半径的求法
正四面体是一种比较灵活的多面体，而球又是高中教材中唯一保
留下来的旋转体,此两种几何的组合无疑有着特殊的意义。
现把求四
面体外接球的半径的几种方法总结如下,本人认为很有代表意义，希
望它对高三备考的师生能有启发作用。
如右图:已知正四面体A BCD -,H 为底面的中心，O 为外接球的球
心,设棱长为a,外接球半径为Ｒ,内切球半径为ｒ,试求R ．
方法一：易知R+r=ＡＨ=63a ,由等积法得： A BCD O ABC O BCD O CDA O DAB V V V V V -----=+++
所以：
11433BCD BCD AH S r S ∆∆⋅=⋅⋅ 故14r AH =,34
R AH = 所以 64
R a =.
方法二:如图AHM BNM ∆≅∆所
HM ON AM OA =，即13r R
=,又由Ｒ6可得 64R a =.
方法三:
如图设延长ＡＨ交球面上一点K,则AK=2R,在直角三角形AB Ｋ中由
射影定理得2AB AH AK =⋅ 即2623a a R =⋅ 故得64
R a =. 方法四：如图正四面体可补成一个边长为
22a 的正方体，显然正方体的外接球即为正四面体的外接球,而23()22a R =故可得64
R a =.
小结:此四种方法立体交叉，思想性、艺术性各有千秋,对培养学生的
空间想象能力以及综合解题能很有帮助。
正四面体外接球和内切球的半径的求法
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正四面体外接球和内切球的半径的求法
作者：李凤华
来源：《中学数学杂志(高中版)》2008年第01期
题已知正四面体ABCD的棱长为a，求其外接球的半径R和内切球的半径r.
分析如图1，因为正四面体ABCD的外接球的球心O到点B，C，D的距离相等，所以O 在平面BCD内的射影O1到点B，C，D的距离也相等. 又因为在正四面体ABCD中△BCD是正三角形，所以O1是△BCD的中心，进而在正四面体ABCD中,有AO1⊥平面BCD，所以球心O在高线AO1上;同理:球心O也在其它面的高线上. 又正四面体ABCD中各面上的高都相等，所以，由OA=OB=OC=OD,得:点O到正四面体各面的距离相等，所以点O也是正四面体ABCD的内切球的球心. 这样，正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合. 记正四面体ABCD的高为h，则 . 因此，只要求出r和R中的一个，便可求出另一个.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
”。
四面体外接球的球心半径求法
四面体外接球得球心、半径求法在立体几何中,几何体外接球就是一个常考得知识点,对于学生来说这就是一个难点,一方面图形不会画,另一方面在画出图形得情况下无从下手,不知道球心在什么位置,半径就是多少而无法解题。
本文章在给出图形得情况下解决球心位置、半径大小得问题、一、出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。
【原理】:长方体中从一个顶点出发得三条棱长分别为,则体对角线长为,几何体得外接球直径为体对角线长 即【例题】:在四面体中,共顶点得三条棱两两垂直,其长度分别为,若该四面体得四个顶点在一个球面上,求这个球得表面积。
解:因为:长方体外接球得直径为长方体得体对角线长所以:四面体外接球得直径为得长即:所以球得表面积为二、出现两个垂直关系,利用直角三角形结论。
【原理】:直角三角形斜边中线等于斜边一半。
球心为直角三角形斜边中点。
【例题】:已知三棱锥得四个顶点都在球得球面上,且,,,,求球得体积。
解:且,,,,因为 所以知所以 所以可得图形为:在中斜边为在中斜边为取斜边得中点,在中在中 所以在几何体中,即为该四面体得外接球得球心A C所以该外接球得体积为【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外得两个点连线、三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系,利用向量知识求解ﻩ【例题】:已知在三棱锥中,,,,求该棱锥得外接球半径、解:由已知建立空间直角坐标系解得所以半径为【结论】:空间两点间距离公式:四、四面体就是正四面体处理球得“内切”“外接"问题与球有关得组合体问题,一种就是内切,一种就是外接。
作为这种特殊得位置关系在高考中也就是考查得重点,但同学们又因缺乏较强得空间想象能力而感到模糊。
解决这类题目时要认真分析图形,明确切点与接点得位置及球心得位置,画好截面图就是关键,可使这类问题迎刃而解。
一、棱锥得内切、外接球问题例1.正四面体得外接球与内切球得半径就是多少？分析:运用正四面体得二心合一性质,作出截面图,通过点、线、面关系解之。
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一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为
2
22c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即22
22c b a R ++= 【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。
球心为直角三角形斜边中点。
【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。
总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解
【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒
=∠120BAC ，2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。
【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=
A B C D z x y
四、四面体是正四面体
外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，
根据勾股定理知，假设正四面体的边长为a 时，它的外接球半径为
a 4
6。
典型例题1——球的截面
例 1 球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．
说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式22d R r -=解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．
【练习】过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．
典型例题2——球面距离
例2 过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（ ）．
A ．有且只有一个
B ．一个或无穷多个
C ．无数个
D ．以上均不正确
例3 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的6
1，经过3个点的小圆的周长为π4，求这个球的半径．
分析：利用球的概念性质和球面距离的知识求解．
说明：本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的一道题，除了考查常规的与多面体综合外，还考查了球面距离，几乎涵盖了球这部分所有的主要知识点，是一道不可多得的好题．
例4 A 、B 是半径为R 的球O 的球面上两点，它们的球面距离为
R 2π，求过A 、B
的平面中，与球心的最大距离是多少？
说明：利用关系式2
22d R r -=不仅可以知二求一，而且可以借此分析截面的半径r 与球心到截面的距离d 之间的变化规律．此外本题还涉及到球面距离的使用，球面距离直接与两点的球心角AOB ∠有关，而球心角AOB ∠又直接与AB 长度发生联系，这是使用或者求球面距离的一条基本线索． 典型例题3——其它问题
例5．自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MC MB MA ,,，求222MC MB MA ++的值．
分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．
说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．
例6．试比较等体积的球与正方体的表面积的大小．
分析：首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系．
典型例题4——球与几何体的切、接问题
例7 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放
入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？
分析：先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后，
锥内下降部分(圆台)的体积等于球的体积，列式求解．
例8．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．
分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．
说明：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径h r 4
1=(h 为正四面体的高)，且外接球的半径r R 3=．
例9．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．
分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．
作业
1. 正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面
相切．求球的表面积与体积．
2. 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．
3 在球心同侧有相距cm 9的两个平行截面，它们的面积分别为2
49cm π和2400
cm π．求球的表面积．。