(整理)测量平差

测量平差一．测量平差基本知识 1.测量平差定义及目的在设法消除系统误差、粗差影响下，其基本任务是求待定量的最优估量和评定其精度。

人们把这一数据处理的整个过程叫测量平差。

测量平差的目的：一是通过数据处理求待定量的最优估值；二是评定观测成果的质量。

2.协方差传播律及协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律。

①观测值线性函数的方差： 函数向量：Y=F(X) Z=K(X)其误差向量为：ΔY=F ΔX ΔZ=K ΔX则随机向量与其函数向量间的方差传递公式为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫====F D K D K D F D K D K D F D F D TXZYTXYZTXZTXY②多个观测值线性函数的协方差阵t×n×n ×t×n T n XX t t ZZ K D K D =③非线性的协方差传播T XX ZZ K KD D =3.权及常用的定权方法①权表示比例关系的数字特征称之为权，也就是权是表征精度的相对指标。

权的意义不在于它们本身数值的大小，而在于它们之间所存在的比例关系。

()n i iiP ,...,2,1220==σσi P 为观测值i L 的权，20σ是可以任意选定的比例常数。

②单位权方差权的作用是衡量观测值的相对精度，称其为相对精度指标。

确定一组权时，只能用同一个0σ，令0σσ=i ，则得:iiP ===02202021σσσσ上式说明20σ是单位权(权为1)观测值的方差，简称为单位权方差。

凡是方差等于20σ的观测值，其权必等于1。

权为1的观测值，称为单位权观测值。

无论20σ取何值，权之间的比例关系不变。

③ ⅰ.水准测量的权NC P h =式中，N 为测站数。

SC P h =式中，S 为水准路线的长度。

ⅱ.距离量测的权ii S C P =式中，i S 为丈量距离。

ⅲ.等精度观测算术平均值的权CP ii N=式中，i N 为i 次时同精度观测值的平均值。

4.①协因数与协因数阵n i p iiiiQ ,...,2,1/1202===σσ利用方差协方差与协因数弧协因数的关系导出协因数阵。

⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Q QQQ Q Q DQnn n nXXX对称............12221121120σ②权阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==--P PP PP P P PP Q QQ Q Q Q Q QQ Q Pnn n n n nnn m n n n .......................................21222211121112122221112111 ③ 协因数传播律 将协方差传播公式乘以201σ，并顾及Y Y D Q 201σ=，XX D Q 201σ=，即可得到观测向量X 与其函数向量Y 、Z 之间的协因数传播公式。

⎪⎩⎪⎨⎧===T XX YZ T XX ZZ T XX YY K FQ Q K KQ Q F FQ Q5.最小二乘原理最小二乘准则:min =∆∆=ΦP T顾及方差阵与权阵的关系，并用Δ的估值V 代替Δ又可得Φ==TV PV min观测量真值向量的估值公式为：V L L+=ˆ式中Lˆ称为观测向量的“最或然值”向量或“观测值的平差值”向量；V 称为改正数向量。

根据最小二乘准则进行的估计称为最小二乘估计，按此准则求得一组估值的过程，称为最小二乘平差，由此而得到的一组估值是满足方程的唯一解。

如果方差阵D 和权阵P 是非对角阵，则表示观测值是相关的，按此准则进行的平差即称为相关观测平差。

如果是对角阵，则表示观测值是彼此不相关的，此时称为独立观测平差。

当观测值不相关，即P 为对角阵时，则有：Φ==∑=+++==Tii n innV PV P V P V P V P V 121122222 (i)当观测值不相关, 并为等精度,即P=I 时, 则有:Φ==∑=+++==Ti ninV V V V V V 1212222 (i)二． 条件平差 1.条件平差原理设r 个平差值线性条件方程：()()()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫===0ˆ,,ˆ,ˆ0ˆ,,ˆ,ˆ0ˆ,,ˆ,ˆ21212211n r nn L L L F L L L F L L L F线性化后得改正数条件方程：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-+++=-+++=-+++000221122112211r n n b n n a n n w v r v r v r w v b v b v b w v a v a v a其中()()()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=-=-=n r r n b n a L L L F w L L L F w L L L F w ,,,,,,,,,21212211 令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n r r r b b b a a a A 212121, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=r r w w w W 211,, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n v v v V 211,则改正数条件方程及其闭合差计算的矩阵表达式分别为0=-W AV ()L F W -=按求函数极值的拉格朗日乘数法，设其乘数为()Tr b a r k k k K =1,，称为联系数向量。

组成函数()W AV K PV V T T --=Φ2，对其求导整理得改正数V 的计算公式K QA K A P V T T ==-1——改正数方程当P 为对角阵时，改正数方程的纯量形式为()n i k r k b k a v r i b i a i p i i,,2,1,1=+++= 改正数条件方程与改正数方程联立，称为条件平差的基础方程。

此时，方程的个数与未知数的个数相同，方程有唯一解。

将改正数方程代入改正数条件方程，得0=-W K AQA T ，令T T aa A AP AQA N 1-==，得=-W K N aa ——联系数法方程秩()()()r A R AQAR N R Taa ===,即aa N 是个r 阶的满秩方阵，由此解出W N K aa 1-=当P 为对角阵时，法方程的纯量形式为[][][][][][][][][]⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-+++=-+++=-+++000r r p rr b p br a p ar brpbr bpbb apab arpar bpab apaaw k k k w k k k w k k k 解出K ，将其代入改正数方程，求出改正数V ，在按VL L +=ˆ可求得平差值。

第二节 条件方程条件方程的列立要求：1、条件式数目足数；2、条件式之间线性无关。

一、水准网（同§5.1中所述,略）二、测角网1.单三角形（同§5.1中所述，略）2.中心多边形以中心三边形为例，画出示意图，列出其条件方程和改正数条件方程的一般表达式。

重点讲解极条件的列立方法和规律。

举例（中心三边形实例）列条件方程和改正数条件方程。

3、大地四边形画出示意图，列出其条件方程和改正数条件方程的表达式。

重点讲解极条件的列立方法和规律。

举例上图中，若以对角线交点为极列极条件，其极条件闭合差超限，说明角度观测存在问题，如何返工？先让让学生回答，然后教师讲解。

三、测边网1.中心多边形画出测边中心三边形示意图。

（1）列出以反算角表示的条件方程和改正数条件方程（2）建立反算角改正数与边改正数之间的关系（3）导出以边改正数表示的条件方程2.大地四边形画出测边大地四边形示意图。

（1）列出以反算角表示的条件方程和改正数条件方程（2）建立反算角改正数与边改正数之间的关系（3）导出以边改正数表示的条件方程四、边角网如图，t=2p-q-3=8-3-3=2,r=n-t=8-2=6 应列出6个条件方程 条件分析：内角和条件 2个正弦条件 2个 固定角条件 1个 规定边条件 1个边角网条件方程列立例题讲解分析。

小结：条件方程列立，首先应能正确确定应列的条件数目，保证方程之间不相关，其次应能分析条件类型，最后应掌握各类方程的列立规律，正确列出条件方程。

第三节 精度评定一、单位权方差估值计算rˆ20PVV T ＝οPV V T 的计算：1、()权阵为对角阵时＝2n 222211P P P n T V V V PV V +++ 2、K N K K AQPQA K K QA P K QA PV V aa T T T T T T T ===)()( 3、K W K A V K QA P V PV V T T T T T T ===)(二、协因数阵设[]T TT T TT LV K W L Z ˆ= 列出各分块向量解的表达式及其微分式，利用协因数传播律导出各量的协因数阵和各量之间的互协因数阵的结果列于相应表中表中Lˆ与V 、W 、K 的互协因数阵为零，说明L ˆ与V 、W 、K 统计不相关证明：表中VV Q 、L L Q ˆˆ的计算表达式。

三、观测值平差值的精度评定L LL L Q D ˆˆ20ˆˆˆσ＝ 四、平差值函数的精度评定1．平差值函数表达式及其协因数计算 列出平差值函数表达式），，（＝n 21ˆ,ˆˆˆL L L f ϕ 按泰勒公式展开，并按协因数传播律导出平差值函数协因数的计算公式()AQf N AQf Qf f Q aa TT 1--＝ϕϕf i （i =1,2,…,n）为偏导数值。

2．权函数式n L Ln L L L L L d L f L d L f L d L f d ˆˆˆˆˆˆˆˆ2ˆ21ˆ1===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ ＝ϕnn L d f L d f L d f ˆˆˆ2211+++ ＝——权函数式 3．平差值函数的方差ϕϕϕϕσˆˆ20ˆˆˆQ D ＝ 例1 水准网函数式和权函数式的列立例题。

例2 测角网函数式和权函数式的列立例题。

小结:本节主要介绍了利用改正数计算单位权中误差的公式，各种平差量协因数和互协因数及方差协方差的计算，平差值函数式和权函数式的列立方法，平差值函数协因数和互协因数及方差协方差的计算方法，应重点掌握。

第六章 附有参数的条件平差一、概述设ABD X ∠=~，又可列出1个极条件和一个固定边条件极条件为（以A 点为极）：()()()1~sin ~~sin ~~sin ~sin ~sin ~~sin 5869675=+-+L L L X L L X L L固定边条件为（由AC 边推算到AB 边）：()XL L L L S S AC AB ~sin ~sin ~~sin ~sin 3862+= 或()1~sin ~sin ~~sin ~sin 3862=+XL S L L L S AB AC 由于选了一个参数，增加了一个条件，一般情况下，若选了u 个参数，则条件方程的数目为c=r+u.从以上5 个方程出发进行平差，就是附有参数的条件平差方法。