磁场最小面积的确定方法.

磁场最小面积的确定方法

电磁场内容历来是高考中的重点和难点。近年来求磁场的问题屡屡成为高考中的热点，而这类问题单纯从物理的角度又比较难求解，下面介绍几种数学方法。

一、几何法

1. 一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v0，从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图1所示，粒子的重力不计，试求：

（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；

（2）c点到b点的距离。

图1 1．解析：（1）先找圆心，过b点逆着速度v的方向作直线bd，交y轴于d，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于Ob连线上，距O点距离为圆的半径，据牛顿第二定律有：

Bqv m v R

2

=①

解得R

mv

qB

=0②

过圆心作bd的垂线，粒子在磁场中运动的轨迹如图2所示：要使磁场的区域有最小面积，则Oa应为磁场区域的直径，由几何关系知：

图2

r

R

=cos30°③

由②③得r

mv

qB =

3

2

所以圆形匀强磁场的最小面积为：

S r m v q B

min ==

π

π

2

2

2

22

3

4

（2）带电粒子进入电场后，由于速度方向与电场力方向垂直，故做类平抛运动，由运动的合成知识有：

s vt ·°sin30=

④

s at ·°cos30122=

⑤

而

a qE

m =

⑥

联立④⑤⑥解得

s mv Eq =

4302

二、参数方法

2．在xOy 平面内有许多电子（质量为m 、电荷量为e ），从坐标原点O 不断地以相同的

速率v 0沿不同方向射入第一象限，如图3所示。现加一个垂直于xOy 平面向里，磁感应强度为B 的匀强磁场，要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于x 轴向x 轴正向运动。求符合该条件磁场的最小面积。

图3

2．解析：由题意可知，电子是以一定速度从原点O 沿任意方向射入第一象限时，先考

察速度沿+y 方向的电子，其运动轨迹是圆心在x 轴上的A1点、半径为

R mv qB =

的圆。该

电子沿圆弧OCP 运动至最高点P 时即朝x 轴的正向，可见这段圆弧就是符合条件磁场的上边界，见图5。当电子速度方向与x 轴正向成角度θ时，作出轨迹图4，当电子达到磁场边界时，速度方向必须平行于x 轴方向，设边界任一点的坐标为S x y ()，，由图4可知：

图4

x R y R R ==-sin cos θθ，，消去参数θ得： x y R R 222+-=()

可以看出随着θ的变化，S 的轨迹是圆心为（0，R ），半径为R 的圆，即是磁场区域的下边界。

上下边界就构成一个叶片形磁场区域。如图5所示。则符合条件的磁场最小面积为扇形

面积减去等腰直角三角形面积的2倍。

图5

S r R mv eB

min =?-

?

?

?

?

?=

-?

?

?

?

?2

1

4

1

4

2

2

220

2π

π

三、带电粒子在磁场中的运动例题

3．在如图所示的平面直角坐标系xoy中，有一个圆形区域的匀强磁场（图中未画出），磁场方向垂直于xoy平面，O点为该圆形区域边界上的一点。现有一质量为m，带电量为+q的带电粒子（重力不计）从O点为以初速度vo沿+x方向进入磁场，已

知粒子经过y轴上p点时速度方向与+y方向夹角为θ＝30o，OP=L

求：⑴磁感应强度的大小和方向⑵该圆形磁场区域的最小面积。

四．--穿越有界场的轨迹分析；

4．如图所示，在y ＜0区域内存在匀强磁场，方向垂直于XY 平面并指向纸外，磁感应强度为B ，一带正电的粒子从Y 轴上的A 点，以速度V 0与Y 轴负半轴成夹角θ射出，进入磁场后，经磁场的偏转最终又恰能通过A 点，A 点的坐标为（0，a ）．试问该粒子的比荷为多少？从A 点射出到再次经过A 点共要多少时间

解析： R mv Bqv 2

0= ①

几何关系 θθtan cos a R = ② 在磁场中偏转时间qB

m T t )2(221θππθπ+=

+= ③

匀速运动的时间θ

θcos 2cos 2

002v a v a

t == ④

联立①② 及③④分别可得

粒子的比荷 θ

θ

θθsin cos tan cos 200Ba v Ba v m q ==

总时间 qB

m v a t )

2(cos 20θπθ++

=

【益智演练】

1．如图，在

xoy 平面内有一边界半径为R 强度为B ，方向垂直xoy 平面指向纸内。从阴极K 逸出的质量为m 、电量为的电子（初速度可看作零），经过加速电压为U 的电场加速后，从原点O 沿Y 轴正方向射入匀强磁场中。已知电子运动的轨道半径大于R 。求： （1）电子从O 点进入磁场时的速度大小。

（2）若圆形磁场区域的圆心O ＇处于不同的位置（原点O 界上）偏转角可达到的最大值。

解答（2）由图可知： Φm =∠OO ’’A

圆轨道对应的弦越长，圆心角越大，即偏转角越大。当弦长为圆

形磁场的直径时，电子射出磁场区域时的偏转角最大为Φm 。

mU

e RB mv RBe r R m

22sin 0===φ ∴ mU e RB m

2arcsin 2=φ

x

O O v

2、一个负离子，质量为m ，电量大小为q ，以速率v 垂直于屏S 经过小孔O 射入存在着匀强磁场的真空室中，如图3—51所示，磁感强度B 的方向与离子的运动

方向垂直，并垂直于纸面向里．

(1)求离子进入磁场后到达屏S 上时的位置与O 点的距离． (2)如果离子进入磁场后经过时间t 到达位置P ，试证明：直线0P 与离子入射方向之间的夹角θ跟t 关系是

3．(04甘肃理综)一匀磁场，磁场方向垂直于x y 平面，在x y 平面上，磁场分布在以O 为中心的一个圆形区域内。一个质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，由原点O 开始运动，初速为v ，方向沿x 正方向。后来，粒子经过y 轴上的P 点，此时速度方向与y 轴的夹角为30°，P 到O 的距离为L ，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感强度B 的大小和x y 平面上磁场区域的半径R 。

解：粒子在磁场中受各仑兹力作用，作匀速圆周运动，设其半径为r ，

r v m

qvB 2

①

据此并由题意知，粒子在磁场中的轨迹的圆心C 必在y 轴上，

且P 点在磁场区之外。过P 沿速度方向作延长线，它与x 轴相交 于Q 点。作圆弧过O 点与x 轴相切，并且与PQ 相切，切点A 即 粒子离开磁场区的地点。这样也求得圆弧轨迹的圆心C ，如图所示。 由图中几何关系得

L=3r ②

由①、②求得

qL m v

B 3=

③ 图中OA 的长度即圆形磁场区的半径R ，由图中几何关系可得 L

R 33=

④

4.设在地面上方的真空室内存在匀强电场和匀强磁场.已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的,电场强度的大小E=4.0伏/米,磁感应强度的大小B=0.15特.今有一个带负电的质点以v=20米/秒的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动,求此带电质点的电量与质量之比q/m 以及磁场的所有可能方向(角度可用反三角函数表示).

解：

根据带电质点做匀速直线运动的条件,得知此带电质点所受的重力、电场力和洛仑兹力的合力必定为零.由此推知此三个力在同一竖直平面内,如右图所示,质点的速度垂直纸面向外.

解法一:由合力为零的条件,可得

求得带电质点的电量与质量之比

因质点带负电,电场方向与电场力方向相反,因而磁场方向也与电场力方向相反.设磁场方向与重力方向之间夹角为θ,则有

qEsin θ=qvBcos θ,

即磁场是沿着与重力方向夹角θ=arctg0.75,且斜向下方的一切方向.

解法二:因质点带负电,电场方向与电场力方向相反,因而磁砀方向也与电场力方向相反.设磁场方向与重力方向间夹角为θ,由合力为零的条件,可得

qEsin θ=qvBcos θ, ①

qEcosθ+qvBsinθ=mg,

②

即磁场是沿着与重力方向成夹角θ=arctg0.75,且斜向下方的一切方向

5.如图所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B；在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E。一质量为m，电量为-q的粒子从坐标原点O沿着y 轴正方向射出。射出之后，第三次到达x轴时，它与点O的距离为L。求此粒子射出时的速度v和运动的总路程s（重力不计）。

解：粒子运动路线如图示有

L＝4R ①

粒子初速度为v，则有

qvB=mv2/R ②

由①、②式可算得

v=qBL/4m ③

设粒子进入电场作减速运动的最大路程为l，加速度为

a，v2=2al ④

qE=ma ⑤

粒子运动的总路程 s=2πR+2l ⑥

由①、②、④、⑤、⑥式，得s=πL/2+qB2L2/(16mE) ⑦

6．图中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外是MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电量为＋q、质量为m 、速率为的粒于，粒于射入磁场时的速度可在纸面内各个方向已知先后射人的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇，P到0的距离为L不计重力及粒子间的相互作用

(1)求所考察的粒子在磁场中的轨道径

(2)求这两个粒子从O点射人磁场的时间间隔

解：（1）设粒子在磁场中作圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二

定律，有

qvB=mv2/R 得R=mv/qB ①

（2）如图所示，以OP为弦可画两个半径相同的圆，分别表示在P点相遇的两个粒子的轨道。圆心和直径分别为O1、O2和OO1Q1,OO2Q2,在0处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，用θ表示它们之间的夹角。由几何关系可知

∠PO1Q1=∠PO2Q2θ②

从0点射入到相遇，粒子1的路程为半个圆周

加弧长Q1P

Q1P＝Pθ③

粒子2的路程为半个圆周减弧长PQ2=2

PQ2=Rθ④

粒子1运动的时间

t1=(1/2T)+(Rθ/v) ⑤

其中T为圆周运动的周期。粒子2运动的时间

为

t2=(1/2T)-(Rθ/v) ⑥

两粒子射入的时间间隔

△t=t1-t2=2Rθ/V ①

因Rcos(θ/2) =1/2L

得θ=2arccos (L/2R) ③

由①、①、③三式得

△t=4marccos(lqB/2mv)/qB

7.如图所示，在y ＞0的空间中存在匀强电场，场强沿y 轴负方向；在y ＜0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy 平面（纸面）向外。一电量为q 、质量为m 的带正电的运动粒子，经过y 轴上y ＝h 处的点P 1时速率为v 0，方向沿x 轴正方向；然后，经过x 轴上x ＝2h 处的 P 2点进入磁场，并经过y 轴上y ＝h 2-处的P 3点。不计重力。求

（l ）电场强度的大小。

（2）粒子到达P 2时速度的大小和方向。

（3）磁感应强度的大小。

解：

（1）粒子在电场、磁场中运动的轨迹如图所示。设粒子从P 1到P 2的时间为t ，电场强度的大小为E ，粒子在电场中的加速度为a ，由牛顿第二定律及运动学公式有

qE ＝ ma ① v 0t ＝ 2h ② h at =2

2

1 ③ 由①、②、③式解得

qh

mv E 220= ④

（2）粒子到达P 2时速度沿x 方向的分量仍为v 0，以v 1表示速度沿y 方向分量的大小，v 表示速度的大小，θ表示速度和x 轴的夹角，则有

ah v 221= ⑤

2

21v v v += ⑥ 0

1

tan v v =

θ ⑦ 由②、③、⑤式得

v 1＝v 0 ⑧ 由⑥、⑦、⑧式得

02v v = ⑨ ?=45θ ⑩

（3）设磁场的磁感应强度为B ，在洛仑兹力作用下粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律

r

v m qvB 2

= ⑾ r 是圆周的半径。此圆周与x 轴和y 轴的交点分别为P 2、P 3。因为OP 2＝OP 3， θ＝45°，由几何关系可知，连线P 2P 3为圆轨道的直径，由此可求得

r ＝h 2 ⑿

由⑨、⑾、⑿可得qh

mv B 0

=

x

x