江苏省句容碧桂园学校2020_2021学年高一下学期第一次月考数学测试卷

第1页共8页第2页共8页句容碧桂园学校2020-2021学年度第二学期第一次月考检测高一数学试卷满分：150分 时间：120分钟 制卷： 审核：一、单选题（每小题5分，共40分）1．下列命题：（1）零向量没有方向；（2）单位向量都相等；（3）向量就是有向线段；（4）两向量相等，若起点相同，终点也相同；（5）若四边形ABCD 为平行四边形，则,．其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．化简得（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ） A ．+2B ．2+C ．－2D ．2-4．已知向量＝(2，1)，＝10，|＋|=，则||＝（ ） A ．B ．C ．5D ．255．如图所示，点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，则（ ）A ．B ．-C ．-D ．-6．已知＝(-，-1)，＝(1，)，那么与的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π67．已知点A (2，3)，B (－2，6)，C (6，6)，D (10，3)，则以A 、B 、C 、D 为顶点的凸四边形是（ ） A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．不能构成平行四边形8．河水的流速为5 m/s ，小船想沿垂直于河岸方向以12 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（ ） A ．13 m/sB ．12 m/sC ．17 m/sD ．15 m/s二、多选题（每小题5分，共20分） 9．下列计算正确的选项有（ ）A ．sin22°cos38°+cos22°sin38°＝1B ．sin20°cos110°+cos160°sin70°＝1C ．1tan1531tan15+︒=-︒D ．3cos74sin14sin 74cos142︒︒-︒︒=-10．函数()sin 3cos 1f x x x =+-的（ ）A ．图象对称中心为2,1(Z)3k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭B ．图象对称轴方程为(Z)3x k k ππ=-+∈C ．增区间为52,2(Z)66k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D ．最大值是1，最小值是3-11．已知向量＝(2，1)，＝(1，-1)，＝(m -2，-n )，其中m ，n 均为正数，且(－)∥，下列说法正确的是（ ） A ．＝1B ．与的夹角为钝角C ．向量在方向上的投影为D ．2m +n ＝412．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且，，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ） A ．B ．C ．||=D ．在方向上的投影为三、填空题（每小题5分，共20分）13．在边长为4的正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，E 在线段AB 上运动，则的取值范围.14．已知向量＝(2，3)，＝(-1，m )，且与+垂直，则m=. 15．已知点O 是△ABC 的内心，若，则cos BAC ∠=.16．化简：sin 22cos 45sin 23cos 22sin 45sin 23︒︒︒︒︒︒+-＝.四、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）17．计算：（1）sin 57sin 27cos30cos 27︒-︒︒︒（2）()22sin 50sin1013tan102sin 80⎡⎤︒+︒+︒⋅︒⎣⎦.18. 如图，D 、E 分别是△ABC 的边BC 的三等分点，设，，∠BAC =60° .第3页共8页第4页共8页（1）用，分别表示，；（2）若，||=，求△ABC 的面积.19．已知324ππβα<<<，()12cos 13αβ-=，()3sin 5αβ+=-，求sin 2α、sin 2β.20．已知平面向量，，||＝2，||＝1，且与的夹角为3π． （1）求； （2）求||； （3）若与垂直，求的值．21．已知三个点()2,1A ，()3,2B ，()1,4D -. （1）求证：AB AD ⊥；（2）若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标及矩形ABCD 两对角线所成锐角的余弦值.22．在△ABC 中，2AB =，1AC =，120o BAC ∠=，点E ，F 在BC 边上且BE BC λ=，BF BC μ=. （1）若13λ=，求AE 的长； （2）若4AE AF ⋅=，求11λμ+的值.第5页共8页第6页共8页参考答案：1．A2．D3．D4．C 5．B 6．D 7．B 8．A 9．CD 10．ACD 11．AD12．BCD 【详解】由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，123(0,0),(1,0),(1,0),(0,3),(,)33E A B C D -，设123(0,),(0,3),(1,),(,)33O y y BO y DO y ∈==--，BO ∥DO ， 所以2313y y -=-，解得：3y =， 即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确；32OA OB OC OE OC OE ++=+==，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误；123(,)33ED =，(1,3)BC =，ED 在BC 方向上的投影为127326BC BCED +⋅==，所以选项D 正确.故选：BCD13．[8，24] 14．113-15．16【详解】因为()()3177OA OB OA OC OA -=-+-，即()3OC OA OB =-+， 取AB 中点D ，连接OD ，则2OA OB OD +=，故6OC OD =-， 故点,,C O D 共线，又ACO BCO ∠=∠，故AC BC =，且CD AB ⊥， 所以1cos 6DA OD BAC CA OC ∠===.故答案为：16.16．117．（1）原式=sin 57sin 27cos30sin(3027)sin 27cos30cos 27cos 27︒︒︒︒︒︒︒︒︒-+-=sin 30cos 27cos30sin 27sin 27cos30cos 27︒︒︒︒︒︒︒+-=sin 30cos 271sin 30cos 272︒︒︒︒=== （2）解：原式=2sin 50sin10(13tan10)2sin80︒︒︒⎡⎤︒++⋅⎣⎦cos103sin10(2sin 50sin10)2sin 80︒︒︒︒+=+⋅⋅ 13cos10sin1022(2sin 502sin10)2cos10cos10︒︒︒︒+=⋅︒+⋅ sin 30cos10cos30sin10(2sin 502sin10)2cos10cos10︒︒︒︒︒︒︒+=+⋅⋅ 22sin 50cos1022sin10sin 40︒︒︒=⋅+︒22(sin 50cos10sin10cos50)︒︒︒︒=+322sin(5010)226︒︒=+=⨯= 18．解：（1）根据向量的线性运算法则，可得13AD AB BD AB BC =+=+12121()33333AB AC AB AB AC m n =+-=+=+，221212()333333AE AB BE AB BC AB AC AB AB AC m n =+=+=+-=+=+.（2）由BC AC AB m n =-=-，第7页共8页第8页共8页因为33BC =，可得222()233BC m n m n m n m n =-=-=+-⋅=, 即22227m n m n +-⋅=， 又由222112225()()153333999AD AE m n m n m n m n ⋅=+⋅+=++⋅=， 解得9m n ⋅=，所以918cos60m n ⋅==︒，所以ABC 的面积1||||sin 6022=⋅︒=S m n . 19．解：∵324ππβα<<<，∴04παβ<-<，32ππαβ<+<又∵()12cos 13αβ-=，()3sin 5αβ+=-，∴()5sin 13αβ-=，()4cos 5αβ+=- ()()sin 2sin ααβαβ=++-⎡⎤⎣⎦()()()()56sin cos cos sin 65αβαβαβαβ=+-++-=-()()sin 2sin βαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦()()()()16sin cos cos sin 65αβαβαβαβ=+--+-=-20.解：（1）1cos2132a b a b π⋅=⋅=⨯=； （2）()2222224444412a b a ba ab b +=+=+⋅+=++=，223a b +∴=；（3）()()22a b a b λ+⊥+，()()220a b a b λ∴+⋅+=，即()()222428421230a a b b λλλλλ++⋅+=+++=+=，解得：4λ=-.21．解：（1）由题知，()1,1AB =，()3,3AD =-，所以()13130AB AD ⋅=⨯-+⨯=，所以AB AD ⊥，所以AB AD ⊥；（2）设点C 的坐标为(),C x y ，则根据四边形ABCD 为矩形得AB DC =，即：()()1,11,4x y =+-，所以1141x y +=⎧⎨-=⎩，解得0,5x y ==，所以()0,5C ；所以()2,4AC =-，()4,2BD =-， 所以164cos ,2052AC BD AC BD AC BD⋅====，矩形ABCD 两对角线所成锐角的余弦值为45. 22．解：（1）设AB a =，AC b =，则2a =，1b =，因此ocos1201a b a b ⋅==-，所以()121333AE ABBE a b a a b =+=+-=+，2211339AE a b ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭， （2）因为BE BC λ=，所以()()1AE AB BE a b a a b λλλ=+=+-=-+， 同理可得，()(1)AF AB BF a b a a b μμμ=+=+-=-+，所以()1(1)a b a AE AF b λλμμ⎡⎤⎡⎤=-+⋅-+⎣⎦⎣⎦⋅[]4(1)(1)(1)(1)λμλμλμμλ=--+--+- 475()λμλμ=+-+，∴475()4λμλμ+-+=，即75()0λμλμ-+=， 同除以λμ可得，1175λμ+=.。