第5周培优 圆幂定理及中考题应用学生版

第5周毕业班数学培优：圆和相似综合题有关定理

一、圆幂定理 以上称圆幂定理（在证明比例式、求线段长度时将发挥重要作用。）

二、弦切角定理：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角称为弦切角。弦切角等于弦与切线所夹弧所对的圆周角。

弦切角定理的证明：

已知：AP 切⊙O 于P ，PQ 是弦，则∠APQ 是弦切角，∠APQ 夹的弧是弧PQ ，

弧PQ 所对的圆周角记为∠PCQ

证明：∠APQ=∠PCQ （弦切角的位置分以下三种情况）

定理 图形 已知 结论 证法

相 交 弦 定 理

⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于点P 。

PA ·PB ＝PC ·PD 连结AC 、BD ， 证：△APC ∽△DPB

切 割 线 定 理

⊙O 中，PT 切⊙O 于点T ，割线PB 交⊙O 于点A 。 PT 2＝PA ·PB 连结TA 、TB ， 证：△PTB ∽△PAT

割 线 定 理

PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、C 两点。

PA ·PB ＝PC ·PD 过P 作PT 切⊙O 于T ，

用两次切割线定理

三、圆幂定理的证明

1、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

如图1，几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线

∴PT2=PA•PB（切割线定理）

如图2，设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT2=PA•PB 证明：连接AT, BT

∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理) ∠P=∠P(公共角)

∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)

则PB：PT=PT：AP

即：PT2=PB•PA

2、推论（割线定理）：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的

两条线段长的积相等

如图3，几何语言：

∵PT是○O切线，PBA，PDC是⊙O的割线

∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）

由上可知:PT2=PA•PB=PC•PD

3、切线长定理：若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

（1）切线长概念

切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

（2）几点说明

对于切线长定理，应明确（1）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（2）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补。

（3）推论：圆的外切四边形对边和相等（圆的外切四边形性质定理，逆定理成立）；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．

基础知识运用：

例1.如图4，正方形ABCD 的边长为1，以BC 为直径。在正方形内作半圆O ，过A 作半圆切线，切点为F ，交CD 于E ，求DE ：AE 的值。

解：

针对性练习：

1、已知：PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，连结AB ，若AB ＝8，弦AB 的弦心距3，则PA ＝（ ） A.

320 B. 3

25 C. 5 D. 8

例2.如图5，P 是⊙O 外一点，PC 切⊙O 于点C ，PAB 是⊙O 的割线，交⊙O 于A 、B 两点，如果PA ：PB ＝1：4，PC ＝12cm ，⊙O 的半径为10cm ，则圆心O 到AB 的距离是___________cm 。

针对性练习：

2.已知：⊙O 和不在⊙O 上的一点P ，过P 的直线交⊙O 于A 、B 两点，若PA •PB ＝24，OP ＝5，则⊙O 的半径长为_____________。

3.若PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 割线交⊙O 于B 、C ，若BC ＝20， ，则PC 的长为_____________。 4、如图6，已知P 为⊙O 的直径AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于C ，CD ⊥AB 于D ，求证：CB 平分∠DCP 。

四、定理应用

1.（2016深圳22题9分）如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦，AB与CD交于点M，将弧CD沿着CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，链接PC。

（1）求CD的长；

（2）求证：PC是⊙O的切线；

（3）点G为弧ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交弧BC于点F（F 与B、C不重合）。问GE▪GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由。

2.（2017深圳22．9分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是上

任意一点，AH＝2，CH＝4．

（1）求⊙O的半径r的长度；

（2）求sin∠CMD；

（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE •HF的值．

3.（2018深圳22．9分）如图，△ABC内接于⊙O，BC＝2，AB＝AC，点D为上的动点，

且cos∠ABC．

（1）求AB的长度；

（2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由；

（3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH＝CD+DH．

五、终极一Try

4.（2018广东省中考24题．（9分）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．

（1）证明：OD∥BC；

（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；

（3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．

【与大家共勉共赏】

竹石清代：郑燮

咬定青山不放松，立根原在破岩中。

千磨万击还坚劲，任尔东西南北风。(坚劲一作：韧)

译文

竹子抓住青山一点也不放松，它的根牢牢地扎在岩石缝中。

经历无数磨难和打击身骨仍坚劲，任凭你刮酷暑的东南风，还是严冬的西北风。