易错回顾(三)集合不等式函数
集合、函数与导数、不等式
函数的定义与性质
包括函数的定义、函数的表示法（解析法、列表 法、图像法）、函数的性质（单调性、奇偶性、 周期性、有界性）等。
不等式的性质与解法
包括不等式的性质（传递性、可加性、可乘性、 正数可乘性等）、不等式的解法（一元一次不等 式、一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等 式等）。
易错难点剖析
集合运算中的错误
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
集合的基本概念与运算
包括集合的定义、表示法、元素与集合的关系、 集合间的关系（子集、真子集、相等）、集合的 运算（并集、交集、补集）等。
导数的定义与计算
包括导数的定义、导数的几何意义、导数的计算 （基本导数公式、导数的四则运算、复合函数求 导、隐函数求导、参数方程求导等）。
导数在经济学中 的应用
导数在经济学中有广泛 应用，如边际分析、弹 性分析等。通过导数可 以研究经济变量之间的 变化关系，为经济决策 提供数学支持。
不等式在优化问 题中的应用
不等式在优化问题中有 重要作用，如约束条件 中的不等式可以限制变 量的取值范围。同时， 不等式也可以用于刻画 目标函数的性质，如凸 函数和凹函数的定义就 与不等式密切相关。
反函数与复合函数
反函数
设函数$y=f(x)$的定义域为$D_f$，值域 为$R_f$。如果存在一个函数$g:R_f rightarrow D_f$，使得对于任意的$x in D_f, y in R_f$，都有$g(y)=x Leftrightarrow y=f(x)$，则称函数$g(y)$ 为函数$f(x)$的反函数，记作$g=f^{-1}$。
如忽视空集的情况，对并集和 交集的理解不清等。
函数性质理解不透彻
如对函数单调性的判断不准确 ，对函数奇偶性的判断方法掌 握不牢等。
高考数学复习集合与函数易错知识点总结
2019年高考数学复习集合与函数易错知识点总结集合(简称集)是数学中一个基本概念, 下面是集合与函数易错知识点总结, 请考生学习掌握。
1.进行集合的交、并、补运算时, 不要忘了全集和空集的特殊情况, 不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解。
2.在应用条件时, 易A忽略是空集的情况3.你会用补集的思想解决有关问题吗4.简单命题与复合命题有什么区别四种命题之间的相互关系是什么如何判断充分与必要条件5.你知道否命题与命题的否定形式的区别。
6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则。
7.判断函数奇偶性时, 易忽略检验函数定义域是否关于原点对称。
8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时, 易忽略标注该函数的定义域。
9.原函数在区间[-a, a]上单调递增, 则一定存在反函数, 且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数, 此函数不一定单调。
例如: 。
10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗定义法(取值, 作差, 判正负)和导数法11.求函数单调性时, 易错误地在多个单调区间之间添加符号和或单调区间不能用集合或不等式表示。
12.求函数的值域必须先求函数的定义域。
13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题)。
这几种基本应用你掌握了吗14.解对数函数问题时, 你注意到真数与底数的限制条件了吗(真数大于零, 底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论15.三个二次(哪三个二次)的关系及应用掌握了吗如何利用二次函数求最值16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性, 易忽略参数的范围。
17.实系数一元二次方程有实数解转化时, 你是否注意到：当时, 方程有解不能转化为。
若原题中没有指出是二次方程, 二次函数或二次不等式, 你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形。
总结初中代数中的易错知识点回顾
总结初中代数中的易错知识点回顾一、代数中的易错知识点回顾在初中代数学习过程中，学生常常会遇到一些易错的知识点，这些知识点如果没有充分理解和掌握，将会影响后续代数的学习。
本文将对初中代数中的易错知识点进行回顾总结，以帮助学生更好地掌握这些内容，并提高解题的准确性。
二、括号的运算顺序在代数中，括号是非常重要的符号，它可以改变运算的顺序。
然而，很多学生在括号的运算顺序上常常出错。
在进行代数式的运算时，我们需要先计算括号内的值，然后再进行其他运算。
例如，对于表达式1+（2×3），我们应该先计算括号内的值2×3得到6，然后再加上1，最后的结果为7。
而如果我们不遵守括号的运算顺序，可能会得到错误的结果。
三、多项式的合并与分解多项式的合并与分解也是初中代数中常见的易错知识点之一。
在合并多项式时，我们需要将同类项相加，并保持各项中的字母指数不变。
例如，合并多项式3x+2x时，我们将3x与2x相加，结果为5x。
而在分解多项式时，我们需要将多项式拆分成两个或多个乘积的形式。
例如，分解多项式4x^2+2x可以得到2x(2x+1)。
四、因式分解与配方法因式分解是初中代数中的重要内容，但也是容易出错的知识点之一。
在因式分解时，我们需要将多项式分解成两个或多个乘积的形式。
例如，对于多项式x^2+5x+6，我们可以因式分解成(x+3)(x+2)。
而在配方法中，我们需要将多项式进行变形，使其能够适应并应用公式进行因式分解。
例如，对于多项式x^2+7x+10，我们可以应用配方法，找到两个数相加为7，相乘为10，从而得到因式分解为(x+2)(x+5)。
五、方程的解的判断方程的解的判断也是初中代数中容易出错的知识点之一。
在解方程时，我们需要判断方程是否有解，并找到所有的解。
例如，对于方程x^2+6x+9=0，我们可以通过判断其判别式（b^2-4ac）的值来确定方程的解的情况。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数解；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数解；当判别式小于0时，方程没有实数解。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式易混淆知识点(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式易混淆知识点单选题1、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a（元/个）的取值范围应是（）A．90<a<100B．90<a<110C．100<a<110D．80<a<100答案：A分析：首先设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，结合条件列式，根据y>0，求x的取值范围，即可得到a的取值范围.设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，则a=x+90,y=(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x2+200x.要使商家利润有所增加，则必须使y>0，即x2−10x<0，得0<x<10,∴90<x+90<100，所以a的取值为90<a<100.故选：A2、若关于x的不等式|x−1|<a成立的充分条件是0<x<4，则实数a的取值范围是（）A．(－∞，1]B．(－∞，1)C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)答案：D分析：根据充分条件列不等式，由此求得a的取值范围.|x−1|<a成立的充分条件是0<x<4，则a>0，|x−1|<a⇒1−a<x<1+a，所以{1−a≤0⇒a≥3.1+a≥4故选：D的最小值为（）3、设实数x满足x>0，函数y=2+3x+4x+1A．4√3−1B．4√3+2C．4√2+1D．6答案：A解析：将函数变形为y=3(x+1)+4−1，再根据基本不等式求解即可得答案.x+1解：由题意x >0，所以x +1>0，所以y =2+3x +4x+1=2+3(x +1)−3+4x+1=3(x +1)+4x+1−1≥2√3(x +1)⋅4x+1−1=4√3−1，当且仅当3(x +1)=4x+1，即x =2√33−1>0时等号成立， 所以函数y =2+3x +4x+1的最小值为4√3−1.故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方4、关于x 的不等式ax 2−|x|+2a ≥0的解集是(−∞,+∞)，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[√24,+∞)B ．(−∞,√24]C ．[−√24,√24]D ．(−∞,−√24]∪[√24,+∞) 答案：A分析：不等式ax 2−|x|+2a ≥0的解集是(−∞,+∞)，即对于∀x ∈R ，ax 2−|x|+2a ≥0恒成立，即a ≥|x |x 2+2，分x =0和a ≠0两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.解：不等式ax 2−|x|+2a ≥0的解集是(−∞,+∞)，即对于∀x ∈R ，ax 2−|x|+2a ≥0恒成立，即a ≥|x |x 2+2，当x =0时，a ≥0，当a ≠0时，a ≥|x |x 2+2=1|x |+2|x |，因为1|x |+2|x |≤2√|x |⋅|x |=√24，所以a≥√24，综上所述a∈[√24,+∞).故选：A.5、下列命题中，是真命题的是（）A．如果a>b，那么ac>bc B．如果a>b，那么ac2>bc2C．如果a>b，那么ac >bcD．如果a>b，c<d，那么a−c>b−d答案：D分析：根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案. 对于A，如果c=0，那么ac=bc，故错误；对于B，如果c=0，那么ac2=bc2，故错误；对于C，如果c<0，那么ac <bc，故错误；对于D，如果c<d，那么−c>−d，由a>b，则a−c>b−d，故正确. 故选：D.6、已知1a <1b<0，则下列结论正确的是（）A．a<b B．a+b<abC．|a|>|b|D．ab>b2答案：B分析：结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.因为1a <1b<0，所以b<a<0，故A错误；因为b<a<0，所以a+b<0,ab>0，所以a+b<ab，故B正确；因为b<a<0，所以|a|>|b|不成立，故C错误；ab−b2=b(a−b)，因为b<a<0，所以a−b>0，即ab−b2=b(a−b)<0，所以ab<b2成立，故D错误.故选：B7、若a>0,b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取a,b的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.当a>0,b>0时，a+b≥2√ab，则当a+b≤4时，有2√ab≤a+b≤4，解得ab≤4，充分性成立；当a=1,b=4时，满足ab≤4，但此时a+b=5>4，必要性不成立，综上所述，“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.小提示：易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取a,b的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.8、当0<x<2时，x(2−x)的最大值为（）A．0B．1C．2D．4答案：B分析：利用基本不等式直接求解.∵0<x<2，∴2−x>0，又x+(2−x)=2∴x(2−x)≤[x+(2−x)]24=1，当且仅当x=2−x，即x=1时等号成立，所以x(2−x)的最大值为1故选：B多选题9、若正实数a,b满足a+b=2，则下列说法正确的是（）A．ab的最大值为1B．√a+√b的最大值为2C．a2+b2的最小值为1D．2a2+b2的最小值为83答案：ABD分析：A．根据ab≤(a+b2)2进行计算然后直接判断即可；B．将√a+√b平方后再计算最大值并判断；C．将a 2+b 2变形为(a +b )2−2ab ，然后结合ab 的最大值求解出最小值并判断；D .利用消元法将2a 2+b 2变形为3(a −23)2+83，再根据二次函数的最值求解出最小值并判断.A ．因为ab ≤(a+b 2)2=1，取等号时a =b =1，故正确；B ．因为(√a +√b)2=a +b +2√ab =2+2√ab ≤2+2√1=4，所以√a +√b ≤2，取等号时a =b =1，故正确；C ．因为a 2+b 2=(a +b )2−2ab =4−2ab ≥4−2×1=2，取等号时a =b =1，故错误；D ．因为2a 2+b 2=2a 2+(2−a)2=3a 2−4a +4=3(a −23)2+83，当a =23,b =43时取最小值为83，故正确； 故选：ABD.10、下列命题为真命题的是（ ）A ．若a >b ，c >d ，则a +c >b +dB ．若a >b ，c >d ，则ac >bdC ．若a >b ，则ac 2>bc 2D ．若a <b <0，c <0，则c a <c b答案：AD分析：A ．由不等式的性质判断；B.举例判断；C.由c =0判断； D.作差判断.A ．由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故正确；B. 当a =−1,b =−2.c =2,d =1时，ac =bd ，故错误；C.当c =0时，ac 2=bc 2故错误；D.c a −c b =c (b−a )ab ，因为b −a >0，c <0，ab >0，所以c a −c b <0，故正确； 故选：AD11、如果a <b <0，c <d <0，那么下面一定成立的是（ ）A ．a +d <b +cB ．ac >bdC ．ac 2>bc 2D ．d a <c a答案：BD分析：用不等式的性质推导和取值验证相结合可解.取a =c =−2,b =d =−1，则a +d =b +c =−3，ac 2=−8,bc 2=−4，故AC 不正确；因为−a >−b >0,−c >−d >0，所以ac >bd ，故B 正确；因为c<d,1a <0，所以da<ca，故D正确.故选：BD12、已知a∈R，关于x的不等式a(x−1)x−a>0的解集可能是（）A．{x|1<x<a}B．{x|x〈1或x〉a}C．{x|x〈a或x〉1}D．∅答案：BCD分析：分a<0,a=0,0<a<1,a=1,a>1，利用一元二次不等式的解法求解.当a<0时，不等式等价于(x−1)(x−a)<0，解得a<x<1；当a=0时，不等式的解集是∅；当0<a<1时，不等式等价于(x−1)(x−a)>0，解得x>1或x<a；当a=1时，不等式的解集为{x|x≠1}；当a>1时，不等式等价于(x−1)(x−a)>0，解得x>a或x<1．故选:BCD．13、若关于x的一元二次方程(x−2)(x−3)=m有实数根x1,x2，且x1<x2，则下列结论中正确的说法是（）A．当m=0时，x1=2，x2=3B．m>−14C．当m>0时，2<x1<x2<3D．当m>0时，x1<2<3<x2答案：ABD解析：根据题意得，函数y=(x−2)(x−3)与y=m图象有两个交点，进而数形结合即可得答案.解：A中，m=0时，方程为(x−2)(x−3)=0，解为：x1=2，x2=3，所以A正确；B中，方程整理可得：x2−5x+6−m=0，由不同两根的条件为：Δ=25−4(6−m)>0，所以m>−14，所以B正确.当m>0时，在同一坐标系下，分别作出函数y=(x−2)(x−3)和y=m的图像，如图，可得x1<2<3<x2，所以C不正确，D正确，故选：ABD.小提示：关键点点睛：本题考查根据一元二次方程的实数根求参数问题，解题的关键是将问题转化为函数y= (x−2)(x−3)与y=m图象有两个交点问题，进而数形结合解决.考查数形结合思想和化归转化思想，是中档题.填空题14、若∀x∈R,2x2−mx+3≥0恒成立，则实数m的取值范围为________.答案：[−2√6,2√6].分析：根据命题∀x∈R,2x2−mx+3≥0恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解.由题意，命题∀x∈R,2x2−mx+3≥0恒成立，可得Δ=m2−24≤0，解得−2√6≤m≤2√6，即实数m的取值范围为[−2√6,2√6].所以答案是：[−2√6,2√6].15、函数f(x)=x+9x(x>0)的值域为_________.答案：[6,+∞)分析：根据基本不等式即可解出．因为x>0，所以f(x)=x+9x≥2√9=6，当且仅当x=3时取等号．所以答案是：[6,+∞)．16、已知集合A={x|−5<−2x+3<7},B={x|x2−(3a−1)x+2a2−a<0} ,若B⊆A，则实数a的取值范围为______．答案：[−12,5 2 ]分析：分类讨论解不等式，再利用集合的包含关系列式求解作答.依题意，B ={x |(x −a )(x −2a +1)<0}，当a <2a −1，即a >1时，B =(a,2a −1)，当a =2a −1，即a =1时，B =∅，当a >2a −1，即a <1时，B =(2a −1,a)，又A =(−2,4)，B ⊆A ，于是得{a >12a −1≤4，解得1<a ≤52，或{a <12a −1≥−2，解得−12≤a <1， 而∅⊆A ，则a =1，综上得：−12≤a ≤52， 所以实数a 的取值范围为[−12,52]． 所以答案是：[−12,52] 解答题17、某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为R =5x −12x 2(0≤x ≤5)，其中x 是产品生产并售出的数量（单位：百台）.（1）把利润表示为产量的函数.（2）产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）；（3）产量为多少时，企业所得利润最大？答案：（1）y ={−12x 2+194x −12(0≤x ≤5)12−14x(x >5)；（2）年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本；（3）年产量为475台时，企业所得利润最大.分析：（1）依题意对0≤x ≤5与x >5分类讨论，分别求出函数解析式，再写成分段函数形式即可；（2）要使企业不亏本，则y ≥0，根据（1）中函数解析式分类讨论，分别解得即可；（3）根据二次函数的性质计算可得；解：（1）设利润为y 万元，当0≤x ≤5时，y =5x −12x 2−0.25x −0.5，当x >5时y =5×5−12×52−0.25x −0.5=12−14x ，综上可得y ={−12x 2+194x −12(0≤x ≤5)12−14x(x >5) ；（2）要使企业不亏本，则y ≥0.即{0≤x ≤5,−12x 2+4.75x −0.5≥0或{x >5,12−0.25x ≥0,得0.11≤x ≤5或5<x ≤48，即0.11≤x ≤48.即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本.（3）显然当0≤x ≤5时，企业会获得最大利润，此时，y =−12(x −4.75)2+10.78125， ∴x =4.75，即年产量为475台时，企业所得利润最大.18、已知关于x 的不等式ax 2−x +1−a ≤0．（1）当a ∈R 时，解关于x 的不等式；（2）当a ∈[2,3]时，不等式ax 2−x +1−a ≤0恒成立，求x 的取值范围．答案：（1）答案见解析；（2）[−12,1]． 分析：（1）不等式ax 2−x +1−a ≤0可化为(x −1)(ax +a −1)≤0，然后分a =0，a <0，0<a <12，a =12，a >12五种情况求解不等式；（2）不等式ax 2−x +1−a ≤0对a ∈[2,3]恒成立，把a 看成自变量，构造函数f (a )=(x 2−1)a +(−x +1)，则可得{f (2)≤0f (3)≤0，解不等式组可求出x 的取值范围 解：（1）不等式ax 2−x +1−a ≤0可化为(x −1)(ax +a −1)≤0，当a =0时，不等式化为x −1≥0，解得x ≥1，当a <0时，不等式化为(x −1)(x −1−a a )≥0， 解得x ≤1−a a ，或x ≥1；当a >0时，不等式化为(x −1)(x −1−a a )≤0； ①0<a <12时，1−a a >1，解不等式得1≤x ≤1−a a ， ②a =12时，1−a a =1，解不等式得x =1， ③a >12时，1−a a <1，解不等式得1−a a ≤x ≤1．综上，当a =0时，不等式的解集为{x|x ≥1}，当a <0时，不等式的解集为{x|x ≤1−a a 或x ≥1}， 0<a <12时，不等式的解集为{x|1≤x ≤1−a a }， a =12时，不等式的解集为{x|x =1}， a >12时，不等式的解集为{x|1−a a ≤x ≤1}．（2）由题意不等式ax 2−x +1−a ≤0对a ∈[2,3]恒成立， 可设f (a )=(x 2−1)a +(−x +1)，a ∈[2,3]，则f (a )是关于a 的一次函数，要使题意成立只需： {f (2)≤0f (3)≤0⇒{2x 2−x −1≤03x 2−x −2≤0， 解得：−12≤x ≤1，所以x 的取值范围是[−12,1]．。
高一数学集合与函数错题集锦
高一数学集合易错题汇总及详解一、混淆集合中元素的形成例1 集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则AB = ．错解：解方程组02x y x y +=⎧⎨-=⎩ 得11x y =⎧⎨=-⎩{}11A B =-，∴ 剖析： 产生错误的原因在于没有弄清楚集合中元素的形式，混淆点集与数集．集合A B ，中的元素都是有序数对，即平面直角坐标系中的点，而不是数，因而A B ，是点集，而不是数集．{}(11)AB =-，∴（加强练习）1、集合{}{}2,,,A x x y y R B y y x x R==∈==∈，则A B ⋂= （ ）A 、{}0,1 B 、(){}0,1 C 、{}0yy ≥ D 、∅解析：A=R ，[)[)0,,0,B A B =+∞∴=+∞。
答案C2、已知集合}1|{2x y x A -==，},1|{A x x y y B ∈-==，则=⋂B A （） A 、}1,0{ B 、)}0,1{( C 、]0,1[- D 、]1,1[-解析：[1,1],[2,0],[1,0]A B A B =-=-∴=-。
答案C 二、忽视空集的特殊性例2 已知{}|(1)10A x m x =-+=，{}2|230B x x x =--=，若A B ⊆，则m 的值为 ． 错解： 由(1)10m x -+= 得11x m=- 由2230x x --= 得1x =-或3x =1|1A x x m ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭∴ {}13B =-， A B ⊆∵ 111m =--∴或3 2m =∴或23m = 剖析：由于忽视空集的特殊性――空集是任何集合的子集，产生丢解的错误，以上只讨论了A ≠∅的情形，还应讨论A =∅的情形，当A =∅时，1m =．m ∴的值为2123，，．（加强练习）设}01)1(2|{},04|{222=-+++==+=a x a x x B x x x A ，若B B A =⋂，求a 的值解析：∵ B B A =⋂∴ B ⊆A ,由A={0，-4}，∴B=Φ，或B={0},或B={-4}，或B={0,-4}当B=Φ时，方程01)1(222=-+++a x a x 无实数根，则 △ =0)1(4)1(422<--+a a 整理得01<+a 解得1-<a ；当B={0}时，方程01)1(222=-+++a x a x 有两等根均为0，则⎩⎨⎧=-=+-010)1(22a a 解得1-=a ； 当B={-4}时，方程01)1(222=-+++a x a x 有两等根均为-4，则⎩⎨⎧=--=+-1618)1(22a a 无解； 当B={0，-4}时，方程01)1(222=-+++a x a x 的两根分别为0，-4，则⎩⎨⎧=--=+-014)1(22a a 解得1=a 综上所述：11=-≤a a 或三、忽视集合中的元素的互异性．．．这一特征 例3 已知集合{}22342A a a =++，，，{}207422B a a a =+--，，，，且{}37A B =，，求a 的值．错解： ∵{}37AB =，， ∴必有2427a a ++=2450(5)(1)0a a a a +-=⇔+-=∴5a =-∴或1a =剖析：由于忽视集合中元素应互异这一特征，产生增解的错误．求出a 的值后，还必须检验是否满足集合中元素应互异这一特征．事实上，（1）当5a =-时，2423a a +-=，27a -=不满足B 中元素应互异这一特征，故5a =-应舍去．（2）当1a =时，2423a a +-=，21a -=满足{}37A B =，且集合B 中元素互异．a ∴的值为1．四、没有弄清全集的含义例4 设全集{}{}22323212S a a A a =+-=-，，，，，{}5S C A =，求a 的值． 错解： ∵{}5S C A =5S ∈∴且5A ∉2235a a +-=∴2280a a +-=∴2a =∴或4a =- 剖析：没有正确理解全集．．的含义，产生增解的错误．全集中应含有讨论集合中的一切元素，所以还须检验．（1）当2a =时，213a -=，此时满足3S ∈．（2）当4a =-时，219a S -=∉，4a =-∴应舍去，2a =∴． 五、没有弄清事物的本质例5 若{}|2A x x n n ==∈Z ，，{}|22B x x n n ==-∈Z ，，试问A B ，是否相等．错解： 222n n ≠-∵A B ≠∴剖析：只看到两集合的形式区别，没有弄清事物的本质，事实上A 是偶数集，B 也是偶数集，两集合应相等，尽管形式不同．{}{}|2|2A x x n n x x ==∈==⨯Z 整数，{}{}|22|2(1)B x x n x x x n n ==-∈==-∈Z Z ，，{}|2x x ==⨯整数换句话说{}{}||C x x n n x x ==∈==Z ，整数， {}{}|1|D x x n n x x ==-∈==Z ，整数两集合中所含元素完全相同，C D A B =⇔= （加强练习）1. 已知2{1,},{1,}My y x x R P x x a a R ==-∈==-∈,则集合M 与P 的关系是( A )A. M=PB.P R ∈ C . M ⊂≠P D. M ⊃≠P2、已知集合T S T S x x S ⋃=⋂<-=则使},1|12||{的集合T= ( )A 、{|01}x x <<B 、}210|{<<x x C 、}21|{<x xD 、}121|{<<x x解析：显然S=T ，1211,01x x ∴-<-<∴<<。
高职考试中集合不等式函数错题汇总
集合、不等式、函数（易错题汇总）1、 集合{}{}2|2150,|141A x x x B x a x a =--≤=+≤≤+，若B A ⊆，求a 的取值范围。
2、 已知0,0,a b >>若关于,x y 的方程11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是________. 3、 方程13313xx-+=+的解是__________ 4、求函数()f x =的定义域。
5、 函数1y x x=+的值域为_______________。
6、 已知函数1()ln (,0)1kx f x k R k x -=∈>-且，求函数()f x 的定义域。
7、 已知函数()f x 是定义在()0,+∞上的减函数，（1）求函数(31)(1)f x f x ++-的定义域；（2）试比较(31)(1)f x f x +-与的大小。
8、 已知函数()y f x =在其定义域()1,1-上是减函数，且(1)(21),f a f a -<-求实数a 的取值范围。
9、 函数21()log 1f x x =-的定义域为__________。
10、函数12y ⎛= ⎪⎝⎭的值域为（ ） A. ()0,+∞ B. [)1,+∞ C. ()0,1 D. (]0,1 11、函数()3()24f x x -=++的定义域为（ ）A. []2,2- B. (]2,2- C. [)2,2- D. ()2,2-12、 求函数21()322f x x x =+-的最大值。
13、已知0,0,2,a b a b >>+=则14y a b =+的最小值是_________. 14、已知函数2()53cos sin f x x x =+-，求最大值和最小值。
15、 已知0x >，则43x x--有最大值为___________。
16、22121a a ++的最小值是_________。
集合与不等式(教师版)
集合与不等式一、集合部分知识梳理： 二、典型例题：1、（集合的概念）若集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝________.解析 ∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素．当a ＝0时，x ＝23符合要求．当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4a ×2＝0，∴a ＝98.故a ＝0或98.2、（集合间的基本关系）已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．思维启迪 对于含有有限个元素的集合的子集，可按含元素的个数依次写出；B ⊆A 不要忽略B ＝∅的情形．解析 (2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎨⎧m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn 图来直观解决这类问题．练习：（易错）若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，则由a 的可取值组成的集合为__________．易错分析 从集合的关系看，S ⊆P ，则S ＝∅或S ≠∅，易遗忘S ＝∅的情况． 解析 P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解集为x ＝－1a ，为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a ＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)在解答本题时，存在两个典型错误．一是忽略对空集的讨论，如a ＝0时，S ＝∅；二是易忽略对字母的讨论．如－1a 可以为－3或2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解.三、不等式部分知识梳理 四、典型例题：1、设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b；②a c <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c ).其中所有正确结论的序号是( )A.①B.①②C.②③D.①②③(1)∵a >b >1，∴1a <1b.又c <0，∴c a >c b，故结论①正确；函数y ＝x c (c <0)为减函数，又a >b ，∴a c <b c ，故结论②正确；根据对数函数的单调性，log b (a －c )>log b (b －c )>log a (b －c )，故③正确. ∴正确结论的序号是①②③.2、（不等式与函数的综合应用） (2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}3、（2014攀枝花模拟）已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( ) A ．{x |x >2或x <－2} B ．{x |－2<x <2} C ．{x |x <0或x >4}D ．{x |0<x <4}3、（两类恒成立问题）设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围. 思维启迪 (1)分m ＝0和m ≠0讨论，m ≠0可结合图象看Δ的条件； (2)可分离参数m ，利用函数最值求m 的范围. 解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0； 若m ≠0，则⎩⎨⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.所以－4<m ≤0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立. 有以下两种方法：方法一 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3].当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，则0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述：m 的取值范围是{m |m <67}.方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可.所以，m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m |m <67.思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.练习：已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.解 因为x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋ax >0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立.即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )＝g (x )恒成立.而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， 所以g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3. 所以，实数a 的取值范围是{a |a >－3}.4、（线性规划含参问题）若不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34思维启迪 画出平面区域，显然点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43在已知的平面区域内，直线系过定点⎝⎛⎭⎪⎫0，43，结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可.解析 不等式组表示的平面区域如图所示.由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域.因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.思维升华 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：线定界，点定域. 注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点.练习:(2013·课标全国Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )A.14B.12C.1D.2作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分).易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值， 由⎩⎨⎧x ＝1，y ＝a x －3 ，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1， 解得a ＝12，故选B.5、（易错：含绝对值的约束条件）已知x ，y 满足约束条件|x |＋2|y |≤2，且z ＝y －mx (m >12)的最小值等于－2，则实数m 的值等于________.易错分析 本题容易出现的错误主要有两个方面：没有将绝对值不等式转化为不等式组，画不出正确的可行域； 解析 原不等式等价于以下四个不等式组：⎩⎨⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋2y ≤2，⎩⎨⎧ x ≥0，y ≤0，x －2y ≤2，⎩⎨⎧x ≤0，y ≥0，－x ＋2y ≤2，⎩⎨⎧x ≤0，y ≤0，－x －2y ≤2，因此可画出可行域(如图)： 由z ＝y －mx 得y ＝mx ＋z .当m >12时，由图形可知，目标函数在点A (2,0)处取得最小值，因此－2＝0－2m ，解得m ＝1.温馨提醒 (1)含绝对值不等式表示区域的画法含有绝对值的不等式所表示的平面区域，应该根据变量的取值情况，将不等式中的绝对值符号去掉，化为几个不等式组，把每一个不等式表示的平面区域画出后合并起来就是相应的含绝对值不等式所表示的平面区域. 6、(利用基本不等式求最值---对1的代换)(1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________；(2)当x >0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________. 思维启迪 利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第(1)问把1x ＋1y中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式. 答案 (1)3＋2 2 (2)1解析 (1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy时，取等号. (2)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号.思维升华 (1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式.7、(不等式与函数的综合问题)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，12)成立，则a 的最小值是 ( )A.0B.－2C.－52D.－3解析 方法一 设f (x )＝x 2＋ax ＋1， 则对称轴为x ＝－a2.当－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在(0，12)上是减函数，应有f (12)≥0⇒a ≥－52， ∴－52≤a ≤－1.当－a2≤0，即a ≥0时，f (x )在(0，12)上是增函数，应有f (0)＝1>0恒成立，故a ≥0.当0<－a 2<12，即－1<a <0时，应有f (－a 2)＝a 24－a 22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a <0.综上，a ≥－52，故选C.方法二 当x ∈(0，12)时，不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立转化为a ≥－(x ＋1x )恒成立.又φ(x )＝x ＋1x 在(0，12)上是减函数，∴φ(x )min ＝φ(12)＝52，∴[－(x ＋1x )]max ＝－52，∴a ≥－52.。
中考数学常见易错知识点汇总(方程组与不等式组)
中考数学常见易错知识点汇总（方程组与不
等式组）
方程（组）与不等式（组）
易错点1：各种方程（组）的解法要熟练掌握，方程（组）无解的意义是找不到等式成立的条件。
易错点2：运用等式性质时，两边同除以一个数必须要注意不能为0 的情况，还要关注解方程与方程组的基本思想。
（消元降次）主要陷阱是消除了一个带X 公因式要回头检验！
易错点3：运用不等式的性质３时，容易忘记改不改变符号的方向而导致结果出错。
易错点4：关于一元二次方程的取值范围的题目易忽视二次项系数不为0导致出错。
易错点5：关于一元一次不等式组有解无解的条件易忽视相等的情况。
易错点6：解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括
号，易忘记根检验，导致运算结果出错。
易错点7：不等式（组）的解得问题要先确定解集，确定解集的方法运用数轴。
易错点8：利用函数图象求不等式的解集和方程的解。
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山西大学附中高中数学（必修1）易错题回顾（三）
意的3.函数()(1)f x a a =+⋅是( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既奇且偶函数
4.若函数)1,0(1≠>-+=a a b a y x 的图象经过第一、三、四象限,则一定有( )
A ．1,1<>b a
B ．0,10<<<b a
C ．0,10><<b a
D ．0,1<>b a
5．函数22)
21(++-=x x y 得单调递增区间是( ) A ．]21,1[- B ．]1,(--∞ C ．),2[+∞ D ．]2,2
1[ 6．若21,x x 是方程02lg 3lg lg )2lg 3(lg lg 2=⋅+++x x 的两根，则21x x ⋅的值是
（ ）
A ．2lg 3lg ⋅
B ．6lg
C ．6
D ．
61 7．函数)176(log 22
1+-=x x y 的值域是（ ）
A ．R
B ．),8[+∞
C ．]3,(--∞
D ．),3[+∞7． 已知函数
8.()3)1f x x =+，则1(lg 2)(lg )2f f +等于 ( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
9. 已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若)1()3(2a f a f +>-，则a 的取值范围是（ ） A. (－∞，－1)∪(2，＋∞) B.(－1,2) C. (－2,1) D. (－∞，－2)∪(1，＋∞) 10．设)(x f 的定义域为R ，下列函数①|()|y f x =；②2
()y xf x =；③()y f x =--；④()()y f x f x =+-；⑤(||)y f x =中必为偶函数的是____ _____．
11．已知)(x f 是奇函数,定义域为}0,|{≠∈x R x x ,又)(x f 在区间),0(+∞上是增函数,且0)1(=-f ,则满足0)(>x f 的x 的取值范围是__________．
12．已知2)(x x f y +=是奇函数,且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ,则=-)1(g ． 13．若函数()|2|(4)f x x x =-⋅-在区间(5,41)a a +上单调递减，则实数a 的取值范围为__________．
14．若00x y ≥,≥,且21x y +=,则223x y +的最小值为 ．
15.已知函数()f x 的定义域是(1,2)，则函数)2(2
x f 的定义域是 . 16．若直线a y 2=与函数)10(1≠>-=a a a y x 且的图象有两个公共点，则a 的取值
范围是_______.
17.已知函数||)(a x e
x f -=（a 为常数）在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围
是 . 18．有下列五个命题：①若B A =Φ，则B A ,之中至少有一个为空集；②函数(1)y x x x =-{}1≥x x ；③集合{}2210A x R x x =∈-+=有两个元
素；④函数)(2Z x x y ∈=的图象是一直线；⑤不等式()
()06422≤--x x 的解集是{}622=≤≤-x x x 或.其中错误命题的序号是 ．
19.已知)(x f 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11=f ，若对任意
[]0,1,1,≠+-∈n m n m 都有()()0f m f n m n +>+．判断函数)(x f 的单调性并证明．
20．已知定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y ⋅=+，且当1x >时，()0f x <．证明()f x 在()0,+∞上单调递减．
21.设定义在R 上的函数()f x 满足：当0x >时,()1f x > ,且对任意,x y R ∈,有()()()f x y f x f y +=,()12f =,判断函数)(x f 的单调性并证明．。