2015年中考数学几何知识点：圆的弧长及面积
探索圆的面积与弧长的关系
探索圆的面积与弧长的关系在数学中，圆是一种特殊的几何形状，具有许多独特的性质和特点。
圆的面积和弧长是研究圆形的重要内容之一，它们之间存在着密切的关系。
本文将探索圆的面积与弧长之间的关系，并通过具体的数学推理加以证明。
一、圆的面积公式在研究圆的面积和弧长之前，我们首先需要了解圆的面积公式。
圆的面积公式是基于半径的平方进行计算的，即：S = πr²其中，S表示圆的面积，r表示圆的半径，π（pi）是一个无理数，约等于3.14159。
二、圆的弧长公式与圆的面积不同，圆的弧长是根据圆的半径和弧度的大小计算的。
圆的弧长公式如下：L = rθ其中，L表示圆的弧长，r表示圆的半径，θ表示圆心角的大小，单位为弧度。
三、面积与弧长的关系现在我们来研究圆的面积和弧长之间的关系。
假设一个圆的半径为r，圆的弧长为L，圆心角为θ。
首先，我们知道一个圆的360度等于2π弧度（即2π rad）。
由于圆心角θ的度数等于圆的弧长L所对应的圆周的弧长所占的比例，即θ/360度= L/2π弧度。
根据圆的弧长公式，我们可以将L表示为：L = rθ将上述关系代入圆心角θ的度数，我们得到：θ/360度= rθ/2π弧度通过简单的等式转换，可以得到：θ = 360度* rθ / (2π弧度)θ = 180度* r / π由于圆的面积公式中使用的是半径的平方，因此可以将半径r表示为√(S/π)。
将其代入上述等式，我们可以得到：θ = 180度* √(S/π) / π综上所述，我们得到圆的弧长L与圆的面积S之间的关系：L = 180度* √(S/π) / π通过上述的推导和证明，我们可以得出结论：圆的弧长和圆的面积之间存在着特定的关系，可以通过面积公式来计算弧长。
结论：探索圆的面积与弧长的关系，我们证明了圆的弧长与圆的面积之间存在着特定的比例关系。
通过面积公式和弧长公式，我们能够根据圆的半径和圆心角的大小来计算圆的面积和弧长。
这一关系在数学和实际生活中都具有重要的应用价值，如在建筑、机械等领域的计算中都会用到。
2015中考数学复习——专题十四圆
专题14 圆 一.选择题1.（2012年，鸡西） 如图，在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，点P 是⊙A 上的一点,且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为 （ ）A A.4-π B.4-2π C.8+π D.8-2π2. （2012年，黄石）如图（4）所示，直线CD 与线段AB 为直径的圆相切于点D ，并交BA 的延长线于点C ，且2AB =，1AD =，P 点在切线CD 上移动.当APB ∠的度数最大时，则ABP ∠的度数为（ ）A. 15°B. 30°C. 60°D. 90° 3．（2012娄底）如图，正方形MNEF 的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB 与CD 是大圆的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，则图中阴影部分的面积是（ ）A ． 4πB ． 3πC ． 2πD ．π4．（2012年，苏州）如图，已知BD 是⊙O 的直径，点A 、C 在⊙O 上，=，∠AOB=60°，则∠BDC 的度数是（ ）P图（4）· OACDBD A CPFE B5．（2012•德州）如果两圆的半径分别为4和6，圆心距为10，那么这两圆的位置关系是（ ） A ． 内含 B ． 外离 C ． 相交 D ． 外切 6．（2012泰安）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠ABC=120°，OC=3，则的长为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．5π 7．（2012成都）已知两圆外切，圆心距为5cm ，若其中一个圆的半径是3cm ，则另一个圆的半径是（ ）A ． 8cmB ．5cmC ．3cmD ．2cm8．（2012年，漳州）如图，一枚直径为4cm 的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是BA ．2πcmB ．4πcmC ．8πcmD ．16πcm 9．（2012年，北海）已知两圆的半径分别是3和4，圆心距的长为1，则两圆的位置关系为： （ ）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切 10．（2012年，桂林）已知两圆半径为5cm 和3cm ，圆心距为3cm ，则两圆的位置关系是【 】 A ．相交 B ．内含 C ．内切 D ．外切 11．（2012年，河北）如图2，CD 是O ⊙的直径，AB 是弦（不是直径），AB CD ⊥于点E ，则下列结论正确的是（ ）A ．AE BE > Ｂ．AD BC = Ｃ．12D AEC =∠∠ Ｄ．ADE CBE △∽△ 12、（2012年，河南）如图，已知AB 为O 的直径，AD 切O 于点A, EC CB =则下列结论不一定正确的是A ．BA DA ⊥B ．OC AE ∥C ．2COE CAE ∠=∠D ．OD AC ⊥二.填空题的外接圆，∠BOC=100°，则∠A=cm．3．（2012年，漳州）如图，⊙O的半径为3cm，当圆心0到直线AB的距离为_______cm时，直线AB与⊙0相切．4．（2012年，苏州）已知扇形的圆心角为45°，弧长等于，则该扇形的半径为．5．（2012年，潜江）平面直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（0，2），半径为1，点N在x 轴的正半轴上，如果以点N为圆心，半径为4的⊙N与⊙M相切，则圆心N的坐标为．6．(2012•兰州)如图，两个同心圆，大圆半径为5c m ，小圆的半径为3c m ，若大圆的弦AB 与小圆相交，则弦AB 的取值范围是 8＜AB ≤10 ．7．(2012•兰州)如图，已知⊙O 是以坐标原点O 为圆心，1为半径的圆，∠AOB ＝45°，点P 在x 轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设P (x ，0)，则x 的取值范围是 ．8．（2012年，佛山）如图，把一个斜边长为2且含有030角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转090到11A B C ∆，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是（）A ．πB ．3 C．342π+ D．11124π+ 9．（2012年，岳阳）圆锥底面半径为，母线长为2，它的侧面展开图的圆心角是 ．10．（2012张家界）已知圆锥的底面直径和母线长都是10cm ，则圆锥的侧面积为． 11．（2012年，南通）如图，在⊙O 中，∠AOB ＝46º，则∠ACB ＝ º． 12．（2012成都）一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则该几何体的全面积(即表面积)为________ (结果保留π )OBAC13．（2012年，莆田）若扇形的圆心角为60°，弧长为２π，则扇形的半径为 ． 14．（2012年，肇庆）扇形的半径是9 cm ，弧长是3πcm ，则此扇形的圆心角为 ▲ 度．三.解答题1．（2012年，肇庆）（本小题满分10分）如图7，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，交BC 于点D ，连结BE 、AD 交于点P . 求证：（1）D 是BC 的中点； （2）△BEC ∽△ADC ； （3）AB ⋅ CE=2DP ⋅AD ．2.（2012年，泉州）（12分）已知：A 、B 、C 不在同一直线上. （1）.若点A 、B 、C 均在半径为R 的⊙O 上，A 、B 、C 如图一，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC 的度数和BC 的长度； Ⅱ.如图二，当∠A 为锐角时，求证sin ∠A=RBC2； （2）.若定长线段．．．．BC 的两个端点分别在∠MAN 的两边AM 、AN （B 、C 均与点A 不重合）滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP ⊥AM ，CP ⊥AN ，交点为点P ，试探索：在整个滑动过程中，P 、A 两点的距离是否保持不变？请说明理由. N QC B B p A B M 图① 图② 图③ (第二十五题图)图73．（2012年，苏州）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC 的长为x（2＜x＜4）．（1）当x=时，求弦PA、PB的长度；（2）当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？4.（2012年，佛山）如图，直尺、三角尺都和圆O 相切，AB=8cm ．求圆O的直径．C5．（2012武汉）在锐角三角形ABC中，BC=4，sinA=，（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长．6．（2012张家界）如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧上一动点（不与A．C重合）．（1）求∠APC与∠ACD的度数；（2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形．（3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．7．（2012南昌）已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．（1）①折叠后的所在圆的圆心为O′时，求O′A的长度；②如图2，当折叠后的经过圆心为O时，求的长度；③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；（2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．①如图4，当AB∥CD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB．CD的距离之和为d，求d的值；②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．8．（2012•济宁）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC．（1）猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论．（2）求证：PC是⊙O的切线．.9．（2012•德阳）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O 的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．（1）求证：AE•FD=AF•EC；（2）求证：FC=FB；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长．（2012宜宾）如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=．过10．点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C．D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A．B，连接AP、BP、AC．DB，且AC与DB的延长线交于点E．（1）求证：；（2）若PQ=2，试求∠E度数．11．（2012•资阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接EP、CP、OP．（1）BD=DC吗？说明理由；（2）求∠BOP的度数；（3）求证：CP是⊙O的切线；如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．12．（2012年，北京）已知：如图，AB是O⊙的直径，C是O⊙上一点，OD BC⊥于点D，过点C作O⊙的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE与O⊙相切；（2）连结AD并延长交BE于点F，若9OB=，2sin3ABC∠=，求BF的长．13.（2012年，南平）（9分）如右图，已知△ABC中，AB=AC，DE⊥ACDE与半⊙O相切于点D．求证：△ABC是等边三角形．14．（2012年，桂林）(10分)如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B12心，顺次连接A、O1、B、O2．(1)求证：四边形AO1BO2是菱形；(2)过直径AC的端点C作⊙O1的切线CE交AB的延长线于E，连接CO2交AE于D，求证：CE＝2O2D；(3)在(2)的条件下，若△AO2D的面积为1，求△BO2D的面积．答案三1.（本小题满分10分）证明：（1）∵AB 是直径 ∴∠ADB = 90°即AD ⊥BC （1分） 又∵AB=AC ∴D 是BC 的中点 （3分） （2）在△BEC 与 △ADC 中，∵∠C=∠C ∠CAD=∠CBE （5分） ∴△BEC ∽△ADC （6分） （3）∵△BEC ∽△ADC ∴CEBCCD AC = 又∵D 是BC 的中点 ∴2BD=2CD=BC ∴CEBD BD AC 2= 则 CE AC BD ⋅=22 ① （7分） 在△BPD 与 △ABD 中， 有 ∠BDP=∠BDA又∵AB=AC AD ⊥BC ∴∠CAD=∠BAD又∵∠CAD=∠CBE ∴∠DBP=∠DAB∴△BPD ∽△ABD （8分） ∴BDAD PD BD = 则 AD PD BD ⋅=2② （9分） ∴由①，②得：AD PD BD CE AC ⋅==⋅222∴AD DP CE AB ⋅=⋅2 （10分） 2解：（1）. ①∠BOC=90°（同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半）；由勾股定理可知BC=11+=2（提示：也可延长BO 或过点O 作BC 边的垂线段）②证明：可连接BO 并延长，交圆于点E ，连接EC. 可知EC ⊥BC （直径所对的圆周角为90°） 且∠E=∠BAC （同弧所对的圆周角相等） 故sin ∠A=RBC2. （2）.保持不变.可知△CQP ∽△BQA ，且∠AQP=∠BQC ，所以△BCQ ∽△APQ; 即PQ CQ AP BC =; AP=︒30cos BC =334（为定值）.故保持不变。
初三数学中考专项练习 弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解(基础)
弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.要点三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r ，侧面展开图中的扇形圆心角为n °，则圆锥的侧面积2360l S rl ππ=扇n =， 圆锥的全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1．如图（1），AB 切⊙O 于点B ，OA=AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC 的弧长为（ ）．A．3 B．2C ．πD ．32π图（1）【答案】A.【解析】连结OB 、OC ，如图（2）则0OBA ∠︒＝9，，0A ∠︒＝3，0AOB ∠︒＝6，由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=︒＝，所以△OBC 为等边三角形，0BOC ∠︒＝6.则劣弧BC，故选A. 图（2） 【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)【答案】R=40mm，n=110∴的长==≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm．2．如图，⊙O的半径等于1，弦AB和半径OC互相平分于点M.求扇形OACB的面积（结果保留π）【答案与解析】∵弦AB和半径OC互相平分，∴OC⊥AB，OM=MC=OC=OA．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120°∴S扇形=．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【变式】如图（1），在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（）．A．449-π B．849-π C．489-π D．889-π图（1）的面积是：BC•AD=×4×2=4，类型二、圆锥面积的计算3．（2014秋•广东期末）如图，一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的底面半径r与母线R之比；（2）圆锥的全面积．【思路点拨】（1）设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可；（2）首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可．【答案与解析】解：（1）由题意可知∴，R=2r（3分）r：R=r：2r=1：2；（2）在Rt△AOC中，∵R2=r2+h2∴，4r2=r2+27r2=9，r=±3∵r＞0∴r=3，R=6.∴S侧=πRr=18π（cm2）（cm2）∴S全=S侧+S底=18π+9π=27π（cm2）．【总结升华】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关的公式．类型三、组合图形面积的计算4．（2015•槐荫区三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．【答案与解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=．∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，在Rt△OEC中，OC==2，∵CE=DE，∠COE=∠DBE=60°∴Rt△COE≌Rt△DBE，∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=π．【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．。
弧长及扇形的面积公式
弧长及扇形的面积公式弧长的公式：弧长是弧上的一段弧线长度，表示为S，可以通过下面的公式来计算：S=rθ其中，S表示弧长，r表示弧的半径，θ表示圆心角（以弧度为单位）。
这个公式的推导可以通过以下几个步骤来得到：首先，我们将圆的半周长除以π，得到半径r之后，再用r乘以θ，即可得到弧长S。
需要注意的是，弧度是一个角度的度量单位，一个完整的圆的弧度是2π。
所以，如果我们知道了弧度的大小，就可以很容易地计算出弧长。
扇形的面积公式：扇形是由圆心角和半径所确定的一个图形，它是由一个圆的一部分构成，通常是从圆心到圆上的一段弧线，再与两个半径的延长线所围成的图形。
扇形的面积表示为A，可以通过下面的公式来计算：A=0.5r²θ其中，A表示扇形的面积，r表示扇形的半径，θ表示扇形的圆心角。
这个公式的推导可以通过以下几个步骤来得到：首先，我们将整个圆的面积除以2π，得到圆的半径r之后，再用r乘以圆心角的弧度θ，最后再除以2，即可得到扇形的面积A。
需要注意的是，公式中的θ必须使用弧度来表示。
因此，在计算扇形的面积之前，我们需要将角度转换为弧度。
将角度转换为弧度可以使用以下公式：弧度=角度×π/180。
另外，如果我们知道扇形的弧长S，也可以使用以下公式来计算扇形的面积A：A=0.5rS这个公式是根据弧长和扇形圆心角的关系来推导的。
总结：弧长和扇形的面积是圆的重要属性之一，它们可以通过简单的公式来计算。
在计算之前，我们需要明确圆的半径和圆心角（以弧度形式表示）。
然后，根据公式S=rθ和A=0.5r²θ或A=0.5rS，即可计算出弧长和扇形的面积。
2015浙江中考试题研究数学精品复习课件第26讲 圆的弧长和图形面积的计算
10 1 解析：摸到白球的概率为 P＝ ＝ ，设口袋里共有 n 个 100 10 5 1 球，则 ＝ ，得 n＝50，所以红球数为 50－5＝45，选 A n 10 【点评】 本题每摸一次就相当于做了一次试验，因此大量 重复的试验获取的频率可以估计概率．
k 解：(1)将点 A(2，3)代入解析式 y＝ ，得 k＝6 x 6 6 (2)将 D(3，m)代入反比例解析式 y＝ ，得 m＝ ＝2，∴点 x 3 D 坐标为(3，2)，设直线 AD 解析式为 y＝kx＋b，将 A(2，3)与 2k＋b＝3， D(3，2)代入得 解得 k＝－1，b＝5，则直线 AD 解析 3k＋b＝2， 式为 y＝－x＋5
0 (0，－3) (0，－1) ┄┄ (0等可能的情况有 12 种， 其中点(x， y)落在第二象限内的情况 2 1 有 2 种，则 P＝ ＝ 12 6
【例2】 (2013·青岛)一个不透明的口袋里装有除颜色外都 相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提 下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中 的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放 回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10 次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有( A )个 A．45 B．48 C．50 D．55
它们所对应的其余各组量都分别相等．
(4)圆周角定理及推论：
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角 的__一半__． 圆周角定理的推论： ①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等 的圆周角所对的弧__相等__． ②半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__；90°的圆周 角所对的弦是__直径__．
(5) 点和圆的位置关系 ( 设 d 为点 P 到圆心的距离 ， r 为圆
【名师面对面】2015中考数学总复习 第6章 第25讲 圆的弧长和图形面积的计算课件
B
2．(2014·嘉兴)一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆 锥的底面半径为( D ) A．15 B．2 C．2.5 D． 3 3．(2014·绍兴)如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90° 的扇形，则该圆锥的底面周长为( B )
4．(2014· 金华)一张圆心角为45°的扇形纸板和 圆形纸板按如图方式分别剪得一个正方形，边长 都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是( A )
2 2 2 2
阴影面积的计算
2．(2014· 昆明)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是边AC上的一点， 连结BD，使∠A＝2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D. (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)若∠A＝60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．(结果保留根号 和π)
解：(1)连结 OD，∵OB＝OD，∴∠1＝∠ODB，∴∠DOC＝2∠1， ∵∠A＝2∠1，∴∠A＝∠DOC，∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠C＝90°， ∴∠DOC＋∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∵OD 为半径，∴AC 是⊙O 的切线 (2)∵∠A＝∠DOC＝60°，OD＝2，∴在 Rt△ODC 中， DC 1 tan60°＝ ，DC＝OD·tan60°＝2× 3＝2 3，∴S△ODC＝ OD·DC＝ OD 2 1 nπ r 60×π ×2 2 ×2×2 3＝2 3，S 扇形 ODE＝ ＝ ＝ π ，∴S 阴影＝ 2 360 360 3 2 S△ODC－S 扇形 ODE＝2 3－ π 3
解：连结 OC，∵△ACE 中，AC＝2，AE＝ 3，CE＝1，∴ AE2＋CE2＝AC2，∴△ACE 是直角三角形，即 AE⊥CD，∵ CE CE sinA＝ ，∴∠A＝30°，∴∠COE＝60°，∴ ＝sin∠COE， AC OC 即 ︵ ︵ ︵ 1 3 2 3 ＝ ，解得 OC＝ ，∵AE⊥CD，∴BC＝BD，∴BD＝ OC 2 3
弧长和扇形面积的计算
弧长计算公式：弧 长 = 圆心角 / 360° × 圆的周长
圆心角单位：弧长 计算中的圆心角单 位必须是弧度制， 而不是度数
圆周率取值：弧长 计算中一般采用圆 周率π的近似值， 如3.14或3.14159
弧长与半径关系： 弧长随着圆心角和 半径的增大而增大 ，与半径成正比关 系
扇形是圆的一部分，由两条半径和一条弧围成 扇形面积的计算公式为：S = (θ/360) × π × r^2，其中θ为扇形的圆心角，r为半径 当θ=90°时，扇形面积=1/4×π×r^2 扇形面积也可以通过底边长度和高的关系计算得出
弧长和扇形面积在几何图形中的应用：通过具体实例说明弧长和扇形面积在几何 图形中的重要性和应用价值
弧长和扇形面积在解决实际问题中的应用：通过具体案例说明弧长和扇形面积在 实际问题中的应用方法和技巧
弧长和扇形面积与其他几何量的关系：说明弧长和扇形面积与其他几何量之间的 联系和相互影响
弧长和扇形面积在几 何学中有着密切的联 系，它们是描述二维 图形的重要参数。
题目：一个扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形的半径为 _______． 题目：已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形的面积是 _______． 题目：已知扇形的圆心角为150°，半径为3，则扇形的弧长为 _______． 题目：已知扇形的圆心角为135°，弧长为3，则扇形的面积是 _______．
考虑扇形所在的圆的整体：在计算扇形面积时，需要考虑扇形所在的整个圆的情况， 以确保计算结果的准确性。
弧长和扇形面积的计算公式 弧长和扇形面积的关系：弧长越大，扇形面积越大 弧长和扇形面积的几何意义 弧长和扇形面积在几何图形中的应用
弧长和扇形面积的关系：弧长和扇形面积的计算公式及其推导过程
中考数学：圆的知识点_考点解析
中考数学：圆的知识点_考点解析中考数学：圆的知识点1.不在同一直线上的三点确定一个圆。
2.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形4.圆是定点的距离等于定长的点的集合5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合6.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合7.同圆或等圆的半径相等8.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆9.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等10.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。
11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角12.①直线L和⊙O相交d②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d>r13.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线14.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径15.推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点16.推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心17.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角18.圆的外切四边形的两组对边的和相等外角等于内对角19.如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上20.①两圆外离d>R+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-rr)④两圆内切d=R-r(R>r)⑤两圆内含dr)21.定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦22.定理把圆分成n(n≥3)：⊙依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⊙经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形23.定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆24.正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n25.定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形26.正n边形的面积Sn=pnrn/2p表示正n边形的周长27.正三角形面积√3a/4a表示边长28.如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=429.弧长计算公式：L=n兀R/18030.扇形面积公式：S扇形=n兀R^2/360=LR/231.内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)32.定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半33.推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等34.推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径35.弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2*l*r。