高中概率知识要点
概率知识要点
一、随机事件的概率
1事件的有关概念
(1)必然事件：一般地，把在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件。
简
称必然事件
(2)不可能事件：把在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件。
简称不可能事件
(3 )确定事件：必然事件和不可能事件统称相对于条件S的确定事件。
(4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件。
简称随机事件(5)事件及其表示方法：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A、B、C,…,表示
2随机试验
对于随机事件，知道它的发生可能性大小是非常重要的，要了解随机事件发生的可能性大小，
最直接的方法就是试验
一个试验如果满足下述条件：
(1 )试验可以在相同的情形下重复进行；
(2 )试验的所有结果是明确可知的，但不止一个；
(3)每次试验总是出现这些结果中的一个，但是一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果
我们称这样的试验为随机试验
3频数、频率和概率
(1)频数：在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数。
(2)频率：在相同条件S下重复n次试验，时间A出现的比例f n(A) 皿称为事件A出现的频
n
率
(3)概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值
5互斥事件与对立事件
(1)互斥事件A与事件B互斥：A B为不可能事件，即A B ，即事件A与事件B在任何一次试验中并不会同时发生。
(2)对立事件A与事件B互为对立事件： A B为不可能事件，
A B为必然事件，即事件
A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。
6概率的几个基本性质
(1)概率P(A)的取值范围：0 P(A) 1 .
(2)必然事件E的概率为1 ,即P(E) 1 .
(3)不可能事件F的概率为0.即P(F) 0 .
(4)若事件A与事件B互斥时，P(A B)=P(A)+P(B)――概率的加法公式。
(5)事件B与事件A互为对立事件，则A B 为必然事件，所以P(A B)=P(A)+P(B)=1，
从而P(A)=1 - P(B)
二、古典概型
1、古典概型的概念
(1 )基本事件
一次试验中可能出现的每一个结果陈为一个基本事件
(2 )基本事件的特点
①任何两个基本事件都是互斥的，一次试验中，只可能出现一种结果，即产生一个基本事件。
②基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和
(3 )古典概型的定义
①试验中所以可能出现的基本事件只有有限个②每个基本事件出现的可能性相等
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，检查古典概型。
古典概型是一种特殊的概率模型，其特征有两个：①有限性；②等可能性
2、古典概型的概率计算公式
般地，如果一次试验中共有n种等可能的结果，那么每一个基本事件发生的概率都是如果事件A 包含的结果有m个，那么事件A发生的概率P(A)
三、几何概型
1、基本概念
(1)几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比
例，则称这样的概率模型为几何概率模型;
(2 )几何概型的概率公式：构成事件A的测度(面积或体积)
()试验的全部结果所构成的总测度(面积或体积)
(3)几何概型的特点:
①无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;
②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等
四、条件概率与相互独立事件同时发生的概率
1、条件概率
(1)条件概率的定义：设A,B为两个事件，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率记作P(B A),读作“ A发生的条件下B的概率”
注意：已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B A)相当于把A看做新的
n()
1 n m n
A包含的基本事件个数总的基本事件个数
基本事件空间来计算AB发生的概率，即
n (AB)
P(B
n() P(AB)
n(A) P(A)
(2)条件概率的性质
①0 P(BA) 1
②如果B和C事两个互斥事件，则P(B C A) P(B A) P(C A)
2、事件的独立性
(1)相互独立事件
设A,B为两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立。
事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(BA)=P(B),这是我们称两个事件A,B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件。
一般地，当事件A,B相互独立时，A与B , A与B, A与B也都相互独立
3、独立重复试验
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都
只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中某事件发生的概率均相等。
(2)在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那
么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X k) C n k p k(1 p)n k,
k=1,2,…,n。
概率知识点归纳总结高中
概率知识点归纳总结高中概率是数学中一个重要的分支，它研究的是随机事件发生的可能性。
概率在日常生活中也有着广泛的应用，比如天气预报、赌博、金融投资等领域都离不开概率的运用。
在高中数学课程中，概率也是一个重要的内容，我们主要学习了基本概率、条件概率、独立事件、贝叶斯定理等知识点。
下面我们将对这些内容进行详细的归纳总结。
一、基本概率1.概率的定义和性质：概率是指一个随机实验的结果符合某种条件的可能性大小。
概率的性质包括非负性、规范性和可列可加性。
2.概率的计算：对于一个随机实验的样本空间S，如果事件A包含n个基本事件，那么事件A的概率P(A)可以用公式P(A)=n/N来计算，其中N为样本空间S中基本事件的总数。
3.事件的互斥与对立事件：互斥事件指两个事件不可能同时发生；对立事件指两个事件中至少有一个发生。
二、条件概率1.条件概率的定义：当事件B已经发生时，事件A发生的概率称为条件概率，记作P(A|B)。
条件概率的计算公式为P(A|B)=P(AB)/P(B)。
2.乘法定理：P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)。
3.全概率公式和贝叶斯定理：全概率公式用于求解事件A的概率，贝叶斯定理用于求解事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
三、独立事件1.独立事件的定义和性质：事件A和事件B互相独立的条件是P(A|B)=P(A)，P(B|A)=P(B)，即事件A的发生与事件B的发生没有任何影响。
2.独立事件的乘法公式：若事件A和事件B是独立事件，则P(AB)=P(A)P(B)。
3.重复独立实验的概率：重复独立实验指多次独立且相同的实验，对于n次独立实验，事件A发生k次的概率为C(n,k)P(A)^k[1-P(A)]^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数。
四、随机变量及其分布1.随机变量的概念：随机变量是对随机事件结果的数学描述，它可以是离散型随机变量也可以是连续型随机变量。
2.离散型随机变量的分布：包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等，每种分布都有其对应的概率质量函数和概率分布函数。
期末概率知识点总结高中
期末概率知识点总结高中概率是数学中的一个重要分支，是用来描述随机事件发生的可能性大小的一种方法。
在高中阶段，概率是数学课程中的一个重要内容。
下面将对高中阶段概率相关的知识点进行概括总结。
一、基本概念1. 随机试验：具有不确定性的试验称为随机试验。
例如掷骰子、抽签等。
2. 样本空间：随机试验所有可能结果的集合称为样本空间，用S表示。
3. 样本点：样本空间中的每一个元素称为样本点。
4. 事件：包含一个或多个样本点的集合称为事件。
5. 必然事件：样本空间S是一个必然事件，即必然发生的事件。
6. 不可能事件：不包含任何样本点的事件称为不可能事件。
7. 事件的发生：当随机试验的结果与事件中的样本点相符时，称事件发生。
8. 事件的互斥：事件A和事件B不可能同时发生，称A和B是互斥事件。
9. 事件的对立：事件A的对立事件，指的是A不发生的事件，记作A'。
10. 事件的等可能性：当每个样本点发生的可能性相同时，称事件是等可能事件。
二、概率计算方法1. 频率定义：对于一个随机试验，在大量重复试验中某事件发生的频率趋近于一个常数，这个常数就称为该事件的概率。
概率通过实验方法来估计。
2. 等可能概率定义：在随机试验中，所有样本点发生的可能性相同，事件A发生的概率等于事件A中的样本点个数除以样本空间的样本点个数。
3. 古典概率定义：在已知试验的样本空间和事件的基础上，根据古典概率定义可以计算事件的概率。
公式为：P(A) = n(A) / n(S)，其中n(A)表示事件A中样本点的个数，n(S)表示样本空间中样本点的个数。
4. 几何概率定义：当样本空间中某一事件的几何模型可用来计算概率时，可以采用几何概率定义。
公式为：P(A) = S(A) / S(S)，其中S(A)表示事件A的几何模型的面积或长度（一维情况下），S(S)表示样本空间的面积或长度（一维情况下）。
5. 条件概率：当已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率称为条件概率，用P(A|B)表示。
高三数学知识点归纳概率
高三数学知识点归纳概率概率是数学中一个非常重要的分支，它可以帮助我们理解事件发生的可能性。
在高三数学中，概率是一个必学的知识点。
本文将对高三数学概率知识点进行归纳总结，旨在帮助高三学生加深对概率的理解和掌握。
一、基础概念概率是指事件发生的可能性，用来表征事件的随机性。
它的取值范围是0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
常用的求概率的方法有频率法、几何法和古典概型法等。
二、事件的概率计算1.频率法频率法是通过实验的次数和结果的出现次数来计算概率的方法。
当实验的次数足够多时，事件发生的频率将逼近其概率。
2.几何法几何法是通过对样本空间的几何图形进行面积比较来计算概率。
对于连续型随机事件，可以使用几何法计算概率。
3.古典概型法古典概型法适用于样本空间元素个数有限且等可能的随机事件。
通过计算事件的有利结果个数与总结果个数之比来计算概率。
三、概率的性质与公式1.加法公式对于两个互斥事件A和B，其概率之和等于两个事件分别发生的概率之和。
2.乘法公式对于两个独立事件A和B，其同时发生的概率等于两个事件分别发生的概率之积。
3.全概率公式全概率公式是在事件A的基础上，将样本空间划分为若干互斥事件，并计算这些事件的概率之和等于事件A的概率。
4.条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
通过条件概率，我们可以计算两个事件的相关性。
四、排列与组合排列与组合是概率中常见的计数方法。
排列是指从n个不同元素中选取m个元素按照一定顺序排列的方法数，计算公式为P(n,m)=n!/(n-m)!。
组合是指从n个不同元素中选取m个元素并不考虑顺序的方法数，计算公式为C(n,m)=n!/[(n-m)!m!]。
五、常见的概率模型1.简单随机抽样简单随机抽样是指从总体中随机选择样本的抽样方法，其样本容量n较小时，可以近似认为是简单随机抽样，使用古典概型法计算概率。
2.二项分布二项分布是一种离散型概率分布，适用于只有两种可能结果的重复试验。
高考数学 概率知识点
高考数学概率知识点概率是数学中的一个重要分支，是研究随机事件发生的可能性的数值。
在高考数学中，概率也是一个重要的考点。
本文将介绍高考数学中的概率知识点，包括样本空间、事件、概率公式、条件概率等内容。
一、样本空间和事件在概率中，样本空间是指一个随机试验所有可能结果的集合。
而事件是指样本空间中的一个子集，表示一个或多个结果的组合。
例如，掷一个六面骰子，其样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}，掷出偶数点数为一个事件。
二、概率公式在概率中，我们通常使用概率公式来计算事件发生的可能性。
概率公式有以下几种常见形式：1. 等可能概型下的概率计算在等可能概型下，每个事件发生的可能性相等。
例如，掷一枚硬币，正面和反面的可能性都是1/2。
在这种情况下，事件A发生的概率可以用以下公式计算：P(A) = 事件A的可能性 / 样本空间的大小2. 加法法则加法法则适用于两个事件相互独立的情况。
如果事件A和事件B是相互独立的，那么它们发生的概率可以用以下公式计算：P(A 或 B) = P(A) + P(B)3. 乘法法则乘法法则用于计算两个事件同时发生的概率。
如果事件A和事件B相互独立，那么它们同时发生的概率可以用以下公式计算：P(A 且 B) = P(A) × P(B)三、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率。
条件概率可以用以下公式计算：P(A|B) = P(A 且 B) / P(B)四、排列组合与概率在高考数学中，排列组合也是与概率有关的知识点。
排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行排序的方法数，用P(n,m)表示。
组合是指从n个不同元素中取出m个元素不考虑顺序的方法数，用C(n,m)表示。
概率与排列组合有关的情况可以用以下公式计算：P(A) = 事件A的有利结果数 / 样本空间的大小五、概率分布概率分布是指随机变量在各个取值上的概率。
在高考数学中，离散随机变量的概率分布通常可以用概率分布列或概率分布图表示。
高中数学概率知识点总结
高中数学概率知识点总结一、概率的基本概念1.1 概率的定义在日常生活中，我们经常会遇到很多不确定的事件，比如掷骰子的结果、抽奖的中奖情况等等。
而概率就是用来描述这些不确定事件发生的可能性的。
概率可以理解为某件事情发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数值来表示，其中0表示不可能发生，1表示一定会发生。
1.2 样本空间和事件在进行概率计算时，通常需要确定一个样本空间，即所有可能发生的结果的集合。
比如掷一枚骰子，样本空间为{1,2,3,4,5,6}。
事件则是样本空间的一个子集，表示我们关心的那部分结果。
比如“出现奇数点数”的事件为{1,3,5}。
1.3 古典概率和频率概率古典概率是指在所有可能结果等可能时，事件发生的概率即为事件发生的次数与样本空间元素总数的比值。
而频率概率是指在实际观察中，某一事件发生的次数与总次数的比值。
古典概率适用于理论计算，而频率概率适用于实际观测。
1.4 概率的性质概率具有以下几个重要性质：（1）非负性：任何事件的概率都大于等于0；（2）规范性：全集事件的概率为1；（3）可列可加性：对于两个互不相容的事件，它们的概率之和等于这两个事件并起来的概率。
二、概率的计算方法2.1 古典概率的计算在古典概率中，当每个事件发生的可能性相等时，概率等于事件发生的次数除以总事件数，即P(A)=n(A)/n(S)。
2.2 几何概率的计算几何概率是通过几何模型中的面积、长度或体积来计算概率的方法。
比如说，在一个正方形的面积中，事件发生的可能性可以表示为事件的面积与总面积的比值。
2.3 频率概率的计算频率概率是通过实验次数和事件发生次数的比值来计算概率的方法，即P(A)=n(A)/n。
2.4 排列和组合排列是指从n个不同元素中取出m个元素，按一定的次序排成一列，不同元素的个数为n!/(n-m)!。
组合是指从n个不同元素中取出m个元素，不考虑次序的情况，不同元素的个数为n!/(m!(n-m)!)。
高中概率知识点总结
高中概率知识点总结概率是高中数学中的重要内容，它在现实生活中的应用非常广泛，如抽奖活动、保险行业、数据分析等。
下面就来对高中概率的知识点进行一个全面的总结。
一、随机事件和概率1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。
比如抛掷一枚硬币，正面朝上或者反面朝上就是随机事件。
2、概率概率是用来描述随机事件发生可能性大小的数值。
对于一个随机事件 A，它的概率记为 P(A)，取值范围在 0 到 1 之间。
如果 P(A) ＝ 0，表示事件 A 不可能发生；如果 P(A) ＝ 1，表示事件 A 必然发生；如果0 ＜ P(A) ＜ 1，则表示事件 A 有可能发生。
二、事件的关系与运算1、包含关系如果事件 A 发生必然导致事件 B 发生，那么称事件 B 包含事件 A，记作 A⊆B。
2、相等关系如果 A⊆B 且 B⊆A，那么称事件 A 与事件 B 相等，记作 A ＝ B。
3、和事件事件 A 或事件 B 至少有一个发生的事件称为事件 A 与事件 B 的和事件，记作 A∪B。
4、积事件事件 A 和事件 B 同时发生的事件称为事件 A 与事件 B 的积事件，记作A∩B。
5、互斥事件如果事件 A 与事件 B 不能同时发生，那么称事件 A 与事件 B 互斥，即A∩B ＝∅。
6、对立事件如果事件 A 和事件 B 满足 A∪B 为必然事件，A∩B 为不可能事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件，此时 P(B) ＝ 1 P(A) 。
三、古典概型1、定义具有以下两个特征的随机试验的概率模型称为古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。
2、古典概型的概率公式如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而事件 A 包含的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
四、几何概型1、定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。
高中数学概率知识点总结及公式
高中数学概率知识点总结及公式高中数学概率知识点总结及公式概率是数学中一个重要的分支，广泛应用于各个领域，尤其是在统计学、经济学和工程学中。
在高中数学中，概率是一个重要的学习内容，涵盖了许多基本概念和公式。
本文将对高中数学中的概率知识点进行总结，并介绍相关的公式。
一、概率的基本概念1.试验：指对某个随机现象的观察、测量或实验，例如掷硬币、抽卡等等。
2.样本空间：指试验所有可能结果的集合，通常用S表示。
3.事件：指样本空间中的一个子集，通常用A、B、C等表示。
4.基本事件：指样本空间中的一个点，即某个具体结果。
5.概率：指某个事件发生的可能性大小，通常用P(A)表示，0 ≤ P(A) ≤ 1。
二、概率的计算方法1.古典概型：当样本空间中的基本事件具有等可能性时，可以采用古典概型计算概率。
例如掷硬币，硬币正反面各有一个基本事件，且两者等可能，所以正面出现的概率为1/2。
2.频率概率：通过进行大量试验，统计某个事件发生的频率，来近似计算概率。
例如抛硬币1000次，统计正面出现的次数，用正面出现的次数除以总次数，可以得到正面出现的频率，近似估计正面出现的概率。
3.几何概率：通过分析几何模型，计算概率。
例如在正方形纸片上随机投针，可以通过纸片上针与横线相交的概率来计算π的近似值。
三、概率的性质1.互斥事件：指两个事件不可能同时发生，两个事件的交集为空集。
例如掷骰子，事件A为出现偶数，事件B为出现奇数，显然A和B是互斥事件。
2.对立事件：指两个事件互为补事件，即一个事件发生的概率等于它的对立事件不发生的概率，两个事件的和为样本空间。
例如抽一张扑克牌，事件A为红桃，事件B为非红桃，显然A和B互为对立事件。
3.独立事件：指两个事件的发生与否互不影响，一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率。
例如掷两个骰子，事件A为第一个骰子出现奇数，事件B为第二个骰子出现奇数，显然A和B是独立事件。
四、概率的计算公式1.加法法则：对于互斥事件A和B，有P(A∪B) = P(A) +P(B)。
概率高中数学知识点
概率高中数学知识点
高中概率知识点如下：
1、确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件。
2、K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）。
3、若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件。
4、必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1。
5、必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件。
6、对立事件:事件A和事件B必有一个发生的互斥事件. A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生这时P(A+B)=P(A)+P(B)＝1 即P(A+A)=P(A)+P(A)=1。
当计算事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件A的概率则要容易些，为此有P（A）=1－P（A）。
事件与集合：从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集。
事件A的对立事件A所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集。
对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。
注意
1、在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。
2、通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。
3、通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
4、了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义。
5、通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。
高中概率有关知识点总结
高中概率有关知识点总结概率是描述随机事件发生可能性的数学工具。
在高中数学课程中，概率是一个重要的知识点，学生需要掌握概率的基本概念、计算方法和应用技巧。
下面我们将针对高中概率知识点进行总结，主要包括概率的基本概念、基本概率问题、条件概率和贝叶斯定理、排列组合与概率、随机变量和分布以及极限定理等内容。
一、概率的基本概念1. 随机事件和样本空间随机事件是指在一次试验中可能发生的一个或一组结果，而样本空间则是所有可能结果的集合。
例如，投硬币的结果可以是正面或反面，所以样本空间Ω={正面，反面}。
在概率问题中，我们通常用样本空间来描述随机事件的可能结果。
2. 事件的概率事件A的概率P(A)表示事件A发生的可能性大小，它是一个介于0和1之间的实数。
概率的最基本性质是非负性和规范性。
即对于任意事件A，0≤P(A)≤1，并且P(Ω)=1。
3. 古典概率和频率概率古典概率是指根据事件发生的理论可能性来计算概率，如抛硬币、掷骰子等。
频率概率是指通过实际试验的结果来计算概率，如抛硬币100次，统计正面朝上的次数。
二、基本概率问题1. 互斥事件和对立事件互斥事件是指两个事件不可能同时发生，如掷骰子出现1点和出现2点。
对立事件是指两个事件之一一定会发生，如掷骰子出现奇数点和出现偶数点。
2. 独立事件独立事件是指一个事件的发生不受另一个事件的影响，例如两次掷硬币结果是独立的。
3. 事件的联合概率事件A和事件B同时发生的概率记作P(A∩B)，它表示事件A和事件B共同发生的可能性。
如果事件A和事件B是独立事件，则P(A∩B)=P(A)P(B)。
4. 事件的互补概率事件A的互补事件是指A不发生的事件，记作A'，其概率为P(A')=1-P(A)。
三、条件概率和贝叶斯定理事件A在事件B发生的条件下发生的概率称为事件A在事件B的条件下的概率，记作P(A|B)。
它表示在已知事件B发生的情况下，事件A发生的可能性大小。
2. 乘法法则有两个事件A和B，事件A和B都发生的概率可以用条件概率表示为P(A∩B)=P(A|B)P(B)。
(最全)高中数学概率统计知识点总结
概率与统计一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中,出现次数最多的数。
2、平均数：①、常规平均数：12nx x x x n++⋅⋅⋅+=②、加权平均数：112212n n n x x x x ωωωωωω++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数.4、方差：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋅⋅⋅+- 二、频率直方分布图下的频率1、频率 =小长方形面积：f S y d ==⨯距；频率=频数/总数2、频率之和:121n f f f ++⋅⋅⋅+=；同时 121n S S S ++⋅⋅⋅+=;三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。
2、平均数： 112233n nx x f x f x f x f =+++⋅⋅⋅+ 112233n n x x S x S x S x S =+++⋅⋅⋅+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x 的值。
4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+⋅⋅⋅+-四、线性回归直线方程:ˆˆˆybx a =+ 其中：1122211()()ˆ()nni i i i i i nni i i i x x y y x y nxybx x x nx ====---∑∑==--∑∑ ， ˆˆay bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ；2、ˆ0:b>正相关;ˆ0:b <负相关。
3、线性回归直线方程:ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆb 中,两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。
五、回归分析1、残差：ˆˆi i i ey y =-(残差=真实值—预报值）.分析：ˆi e 越小越好; 2、残差平方和：21ˆ()ni i i y y=-∑， 分析:①意义：越小越好； ②计算:222211221ˆˆˆˆ()()()()ni i n n i y yy y y y y y =-=-+-+⋅⋅⋅+-∑ 3、拟合度（相关指数）：22121ˆ()1()ni i i ni i y yR y y ==-∑=--∑，分析:①.(]20,1R ∈的常数； ②。