商仆过河问题——数学建模
数学建模—商人们怎样安全过河
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，并解释其
实际意义。
提示：
决定商品价格的主要因素：
生产成本、包装成本、其他成本。
•一般思维：
36 18 10 4 2 1 18 9 5 2 11 36 2 2 2 22
•逆向思维：
每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即 就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场。
3 某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于 6时抵达T市车站，它的妻子驾车准时到车站接他 回家。一日他提前下班搭早一班火车于5时半抵达 T市车站，随即步行回家，它的妻子像往常一样驾 车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比往常 提前了10分钟。问他步行了多长时间？
“数学软件与数学建模”选修课之二
数学模型简介
马新生
浙江教育学院数学系 xsma@
“数学软件与数学建模”选修课之二
数学模型简介
2.1 模型2-商人们怎样安全过河 2.2 模型3-照明问题 2.3 数学模型介绍
模型2 商人们怎样安全过河
问题(智力游戏)
随从们密约, 在河的任一 岸, 一旦随从的人数比商 人多, 就杀人越货.
模型的局限性
数学模型的分类
应用领域 人口、交通、经济、生态 … …
数学方法 初等数学、微分方程、规划、统计 … …
表现特性 建模目的
确定和随机
静态和动态
离散和连续
线性和非线性
描述、优化、预报、决策 … …
了解程度 白箱
灰箱
数学建模：研究商人过河问题
数学建模实验一报告实验题目：研究商人过河问题一、实验目的：编写一个程序（可以是C,C++或Mathlab ）实现商人安全过河问题。
二、实验环境：Turbo c 2.0、Microsoft Visual C++ 6.0、Matlab 6.0以上 三、实验要求：要求该程序不仅能找出一组安全过河的可行方案，还可以得到所有的安全过河可行方案。
并且该程序具有一定的可扩展性，即不仅可以实现3个商人，3个随从的过河问题。
还应能实现 n 个商人，n 个随从的过河问题以及n 个不同对象且每个对象有m 个元素问题(说明：对于3个商人，3个随从问题分别对应于n=2,m=3)的过河问题。
从而给出课后习题5（n=4,m=1）的全部安全过河方案。
四、实验步骤：第一步：问题分析。
这是一个多步决策过程，涉及到每一次船上的人员以及要考虑此岸和彼岸上剩余的商人数和随从数，在安全的条件下（两岸的随从数不比商人多），经有限步使全体人员过河。
第二步：分析模型的构成。
记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ，2,1=k ，n y x k k 2,1,=，（具有可扩展性），将）（k k y x ,定义为状态，状态集合成为允许状态集合（S ）。
S={2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0|,======y x y x y x y x ）（}记第k 次渡船的商人数为k u ，随从数为k v ，决策为),(k k v u ，安全渡河条件下，决策的集合为允许决策集合。
允许决策集合记作D ，所以D={2,1,0,,21|,=<+<v u v u v u ）（|1<u+v<2,u,v=0,1,2},因为k 为奇数时船从此岸驶向彼岸，k 为偶数时船由彼岸驶向此岸，所以状态k s 随决策k d 变化的规律是k k k k d s s )1(1-+=-，此式为状态转移律。
制定安全渡河方案归结为如下的多步决策模型：求决策)2,1(n k D d k =∈，使状态S s k ∈按照转移律，由初始状态)3,3(1=s 经有限n 步到达)0,0(1=+n s第三步：模型求解。
商人过河问题数学建模
做业1、2：之阳早格格创做商人过河一、问题沉述问题一：4个商人戴着4个随从过河，过河的工具惟有一艘小船，只可共时载二部分过河，包罗划船的人.随从们稀约, 正在河的任一岸, 一朝随从的人数比商人多, 便杀人越货.乘船渡河的规划由商人决断.商人们何如才搞仄安过河?问题二：假若小船不妨容3人，请问最多不妨有几名商人各戴一名随从仄安过河.二、问题分解问题不妨瞅搞一个多步计划历程.每一步由此岸到此岸或者此岸到此岸船上的人员正在仄安的前提下(二岸的随从数没有比商人多),经有限步使部分人员过河.用状态变量表示某一岸的人员情景，计划变量表示船上的人员情况，不妨找出状态随计划变更的顺序.问题便变换为正在状态的允许变更范畴内（即仄安渡河条件），决定每一步的计划，达到仄安渡河的目标.三．问题假设1. 过河途中没有会出现没有成抗力的自然果素.2. 当随从人数大于商人数时，随从们没有会改变杀人的计划.3．船的品量很佳，正在多次谦载的情况下也能仄常运做.4. 随从会听从商人的调动.四、模型形成x(k)~第k 次渡河前此岸的商人数 x(k),y(k)=0,1,2,3,4; y(k)~第k 次渡河前此岸的随从数 k=1,2,…..s(k)=[ x(k), y(k)]~历程的状态 S~允许状态集中 S={(x,y)|x=0,y=0,1,2,3,4; x=4,y=0,1,2,3,4;x=y=1,2,3} u(k)~第k 次渡船上的商人数 u(k), v(k)=0,1,2;v(k)~ 第k 次渡船上的随从数 k=1,2…..d(k)=( u(k), v(k))~历程的计划 D~允许计划集中 D={u,v|u+v=1,2,u,v=0,1,2}状态果计划而改变s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)~状态变化律供d(k)ÎD(k=1,2,….n),使s(k)ÎS 并按变化律s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)由（4,4）到达（0,0）数教模型： k+1kS =S +k k D （-1）（1）'4k k x x += （2）'4k k y y +=（3）k.k x y ≥ （4）''k k x y ≥（5）模型分解：由（2）（3）（5）可得化简得概括（4）可得k k x y =战 {}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y ===（6） 还要思量{}'(',')|'0,'0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （7）把（2）（3）戴进（7）可得化简得{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8）概括（6）（7）（8）式可得谦脚条件的情况谦脚下式 {}(,)|0,4,0,1,2,3,4;k k k k k k k S x y x y x y ====（9） 所以咱们知讲谦脚条件的面如上图所示：面移动由{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8）到达{}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y ===（6）时，不妨认为完毕渡河.果为移动的格数小于等于2，惟有核心面（2，2）到（6）面战（8）面的距离为2，所以核心面（2,2）成为渡河的闭键面.当咱们移动到（2,2）面时，便无法举止下去.故4个商人，4个随从，船容量为2人时，无法仄安渡河. 对付于问题二，咱们不妨修坐模型为：k+1k S =S +k k D （-1）（10）'k k x x M += （11）'k k y y M += （12）k.k x y ≥（13）''k k x y ≥ （14）u(k), v(k)=0,1,2,3; （15）通过类似于问题一的步调不妨知讲：坐标上的闭键面是（3,3），最多不妨五名商人戴五名随从往日.需要决定五名商人戴五名随从的规划可止再决定六名商人戴六名随从的规划没有成止1、五名商人戴五名随从的情况：（1）最先没有成能有三名商人先过河，二名商人一名随从过河，一名商人二名随从过河（2）三个随从先过河（5,2），回去一个随从（5,3），往日二个随从（5,1）回去一个随从（5,2），再往日三个商人（2,2），回去一个商人一个随从（3,3），再往日三个商人（0,3），回去一个随从（0,4），往日三个随从（0,1），回去一个随从（0,2）再往日二个随从（0,0）综上可知：五名商人戴五名随从，小船不妨载三部分不妨过河2、六名商人戴六名随从的情况：（1）最先没有成能有三名商人先过河，二名商人一名随从过河，一名商人二名随从过河（2）三个随从先过河（6,3），回去一个随从（6,4），往日二个随从（6,2）回去一个随从（6,3），往日三个商人（3,3），此时二岸皆是（3,3），由坐标法分解知，那是最交近末面的临界面，然而是如果回去的时间一定是回去一个商人战一个随从，如果那一步可止，后里便举止没有去综上所述，六个商人戴六个随从，小船载三部分的情况下没有克没有及渡河分离1、2知，当小船最多载三部分的时间，最多五名商人各戴一个随从不妨过河.五、模型的考验取评介由少量人的过河问题推广到了更普遍人的过河问题，使得问题变得明白有顺序.六、参照文件[1]章胤，2014年燕山大教世界大教死数教修模竞赛训练ppt，2014年4月17日。
15对商仆过河问题数学建模论文
数学建模题目：商仆过河问题组员：班级：指导老师：目录1.摘要 (3)2.问题的提出 (3)3.问题的分析 (4)4.模型的假设 (5)5.模型的建立与解 (5)6.模型的符号 (6)7.模型的解 (6)8.模型的图解 (8)9.关于C语言的程序算法 (10)10.模型的优缺点 (14)11.参考文献 (15)摘要：本文针对商人安全渡河问题，采用多步决策的过程建立数学模型，求解得到了在随从没杀人越货的情况下的渡河方案。
对于本题而言，在3(15)对商仆、船最大容量为2（8）人的情况下，首先定义了渡河前此岸的状态，并设安全渡河条件下的状态集合定义为允许状态集合，接着得到渡河方案的允许决策集合，然后得到状态随从渡河方案变化的规律。
利用c软件编译运行程序得到了一种商人安全渡河的方案，并输出了允许的状态向量和允许的决策向量。
关键词：船载量、允许状态向量、允许决策向量一．问题的提出仆人们密约，在河的任何一边，只要仆人的数量超过商人的数量，仆人就会联合起来将商人杀死并抢夺其财物，三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳两人，由他们自己划行。
在河的任意一岸，一旦随从的人数比商人多，商人就有危险．但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。
商人们怎样才能安全渡河呢？同时，推广到十五名商人带十五名随从又如何？二．问题的分析1.安全渡河问题可以看成一个多步决策过程，船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员(商人随从各几人)作出决策。
2.状态向量：用二维坐标向量表示（商，仆）：0<=H<=3(11),0<=S<=3(11)，例如：（3，3，）（5，0）（6，4）等均成立3.允许向量：由题意可知，仆人数少于商人数被选定为允许向量。
4.运载向量：利用二维向量(m,n)表示船只上的商仆数量。
5.可行的运载向量：满足二维向量(m,n)，0<=n<=m<=3(15)。
枚举所有可能的算法：（1，0）（2，0）（3，0）（4，0）（5，0）（6，0）（7，0）（8，0）（1，1）（2，2）（3，3）（4，4）（2，1）（3，2）（4，3）6.可取用状态向量：利用穷举法表示状态，利用递归算法进行模型的建立与运算7.运载向量：使用二维向量进行表示（商，仆）：0<=商<=3(11),0<=仆<=3(11)8.该模型使用逻辑运算法则进行数学模型的建立三．模型的假设(1)每个商人和他的随从均会划船(2)只有一条船，且船只的承载数量为8人(3)船在划行的状况下不受任何的外力干扰(4)不存在任意几人不能同时坐船的情况四．模型的建立与解由题目可知，3(15)对商仆过河，船载量为2(8)人，现记第K次渡河前的商人数为Xk,仆人数为Yk,k=1,2,…,(2)8,再记一组二维向量Ak=(Xk,Yk)，Ak为给定时的状态量，可记做C的表达式为：C=｛(x,y)|x=0,y=0,1,…,(3)15=y=0,1,…,(3)15=y=0,1,…,(3)15再记第K次渡河时船上的商人数为uk,仆人数为vk,记二维向量Bk=(uk,vk),可知小船此时的运载为D，D的表达式为;D ={(u,v)|1<=u+v<=2(8),u,v=0,1,…,2(8)}由上题目中的题意可知第K+1次时的情况为E ：E=Ak+(-1)^k*Dk最终直到3(15)对商仆全部过河时完成问题五．模型的符号A 表示起始状态下商仆所在一岸B 表示末状态商仆所在一岸S 表示商仆的对数K 表示船最多的载人数C 渡河时的一侧岸边的商仆数D 小船运载的商仆数量E 第k次渡河是的商仆数量Ak 河岸一边的商人数Bk 河岸一边的仆人数Ck 河岸另一边的商人数Dk 河岸另一边的仆人数六．模型的解（1）利用程序框图来解决过河问题根据题意状态转移必须满足以下规则;(1). Z从1变0或0变1交替进行。
11对商仆过河问题数学建模.
数学建模论文商仆过河问题摘要本文针对商人安全渡河的问题，采用多步决策的过程建立数学模型，求解得到了在随从没有杀人越货的情况下的渡河方案。
对于本题而言，在11名商人、11名随从、船的最大容量为6人的情况下，首先定义了渡河前此岸的状态，并设安全渡河条件下的状态集定义为允许状态集合，接着得到渡河方案的允许决策集合，然后得到状态随渡河方案变化的规律，利用matlab 7.0，win 7软件，编译运行程序得到了一种商人安全渡河的方案，并输出了允许的状态向量和允许的决策向量。
但是，本文不仅仅是为了拼凑出一个可行方案，而是希望能找到求解这类问题的规律性，并建立数学模型，用以解决更为广泛的问题。
一 .问题的提出当今社会每个人都想当王者，谁都想成为富翁，所以就在这个问题中仆人们也想成为商人。
仆人们密约，在河的任何一边，只要仆人的数量超过商人的数量，仆人就会联合起来将商人杀死并抢夺其财物，十一名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳六人，由他们自己划行。
在河的任意一岸，一旦随从的人数比商人多，商人就有危险．但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。
商人们怎样才能安全渡河呢？同时，推广到M名商人带M名随从又如何？二. 模型假设3 模型假设（1）每个商人和随从都会划船；（2）只有一条船，且每条船上最多只能乘坐六个人；（3）所有商人与随从之间没有矛盾，不会出现有人不愿意同坐一条船的现象；（4）船在渡河的过程中不受外界环境的影响。
三．问题符号说明3符号说明A初始状态下，商人和随从所在的一岸；B初始状态下，商人和随从欲到达的一岸；S 商仆对数K 船最多载人的数目四 .问题分析安全渡河问题可以看成一个多步决策过程。
每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员(商人随从各几人)作出决策，在保证安全的前提下(两岸的商人数都不比随从数少)，在有限步内使人员全部过河。
用状态(变量)表示某一岸的人员状况，决策(变量)表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。
数学建模 商人过河
数学建模课程作业论文题目：对商人过河问题的研究指导教师：黄光辉小组成员：黄志宇（20156260）车辆工程04班牛凯春（20151927）电气工程05班文逸楚（20150382）工商管理02班一、问题重述3名商人带3名随从乘一条小船过河，小船每次只能承载至多两人。
随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
乘船渡河的方案由商人决定，商人们如何才能安全渡河呢？二、问题分析本题针对商人们能否安全过河问题，需要选择一种合理的过河方案。
对该问题可视为一个多步决策模型，通过对每一次过河的方案的筛选优化，最终得到商人们全部安全过到河对岸的最优决策方案。
对于每一次的过河过程都看成一个随机决策状态量，商人们能够安全到达彼岸或此岸我们可以看成目标决策允许的状态量，通过对允许的状态量的层层筛选，从而得到过河的目标。
三、模型假设1.过河途中不会出现不可抗力的自然因素。
2.当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。
3．船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。
4.随从会听从商人的调度，所有人都到达河对岸。
四、符号说明第k次渡河前此岸的商人数第k次渡河前此岸的随从数过程的状态向量允许状态集合第k次渡船上的商人数第k次渡船上的随从数决策向量允许决策集合x y 3322110s 1s n +1d 1d 11五、模型建立本题为多步决策模型，每一次过河都是状态量的转移过程。
用二维向量表示过程的状态，其中分别表示对应时刻此岸的商人，仆人数以及船的行进方向，其中则允许状态集合:=又将二维向量定义为决策，则允许的决策合集为:因为k 为奇数时船从此岸驶向彼岸，k 为偶数时船从彼岸驶向此岸，所以状态随决策的变化规律是该式称为状态转移律。
求决策，使,并按照转移律，由经过有限步n 到达状态六、模型求解本模型使用MATLAB 软件编程，通过穷举法获得决策方案如下(完整matlab 程序详见附录):初始状态：可用图片表示为：X0=33状态为:S =3132303111220203010200决策为:D =0201020120112001020102七、模型推广该商人和随从过河模型可以完美解决此类商人过河的决策问题，并且该模型还可推广至解决m个商人和n个随从过河，以及小船的最大载重人数改变时的问题，只需适当地改变相关的语句即可轻松实现模型的转换。
商人过河模型问题的求解
《数学建模实验》课程考试试题----商人安全过河数学建模与求解一．问题提出：4名商人带4名随从乘一条小船过河，小船每次自能承载至多两人。
随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.乘船渡河的方案由商人决定，商人们如何才能安全渡河呢二．模型假设：商人和随从都会划船，天气很好，无大风大浪，且船的质量很好，可以保证很多次安全的运载商人和随从。
三．问题分析：商随过河问题可以视为一个多步决策过程，通过多次优化，最后获取一个全局最优的决策方案。
对于每一步，即船由此岸驶向彼岸或由彼岸驶向此岸，都要对船上的人员作出决策，在保证两岸的商人数不少于随从数的前提下，在有限步内使全部人员过河。
用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律，问题转化为在状态的允许变化范围内(即安全渡河条件)，确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。
四．模型构成：k x ~第k 次渡河前此岸的商人数，k y ~第k 次渡河前此岸的随从数 k x , k y =0,1,2,3,4; k =1,2,… …k S =(k x , k y )~过程的状态,S ~ 允许状态集合，S={(x , y )| x =0, y =0,1,2,3,4; x =4 ,y =0,1,2,3,4; x =y =1,2,3} k u ~第k 次渡船上的商人数k v ~第k 次渡船上的随从数k d =(k u , k v )~决策，D={(u , v )| 21≤+≤v u ,k u , k v =0,1,2} ~允许决策集合 k =1,2,… …因为k 为奇数时船从此岸驶向彼岸，k 为偶数时船从彼岸驶向此岸，所以状态k S 随决策k d 的变化规律是1+k S =k S +k )1(-k d ~状态转移律求k d ∈D(k =1,2, …n), 使k S ∈S, 并按转移律由1S =(4,4)到达状态1+n S =(0,0)。
多对商人过河数学建模
多对商仆过河问题12对商人过河——（算法中多少对可以改变，此为N=12的时候，稍加修改便可以成为你需要的对数解决方案）摘要本文针对商人安全渡河的问题，采用多步决策的过程建立数学模型，求解得到了在随从没有杀人越货的情况下的渡河方案。
对于本题而言，在12名商人、12名随从、船的最大容量为2的情况下，首先定义了渡河前此岸的状态，并设安全渡河条件下的状态集定义为允许状态集合，接着得到渡河方案的允许决策集合，然后得到状态随渡河方案变化的规律，最后利用 dijkstra算法，并利用Microsoft Visual C++ 6.0软件，编译运行程序得到了一种商人安全渡河的方案。
但是，本文不仅仅是为了拼凑出一个可行方案，而是希望能找到求解这类问题的规律性，并建立数学模型，用以解决更为广泛的问题。
基于此目的，利用了dijkstra算法，得到最短路径的最优解。
但同时由于该算法遍历计算的节点很多，所以效率低，而且当有多个最短距离时，不能够将所有符合条件的情况逐一列出。
我们通过对程序的改善，使可以运行比较多的将符合条件的情况列出来。
1 问题重述十二名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。
在河的任意一岸，一旦随从的人数比商人多，商人就有危险．但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。
商人们怎样才能安全渡河呢？同时，推广到M名商人带M名随从又如何？2 问题分析安全渡河问题可以看成一个多步决策过程。
每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员(商人随从各几人)作出决策，在保证安全的前提下(两岸的商人数都不比随从数少)，在有限步内使人员全部过河。
用状态(变量)表示某一岸的人员状况，决策(变量)表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。
问题转化为在状态的允许变化范围内(即安全渡河条件)，确定每一步的决策，达到渡河的目的。
此类智力问题经过思考，可以拼凑出一个可行方案。
但是，我们现在希望能找到求解这类问题的规律性，并建立数学模型，用以解决更为广泛的问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、问题的提出
S个商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳Ｋ人，由他们自己划船。商人们窃听到随从们密谋，在河的任意一岸上，只要随从的人数比商人多，就杀掉商人。但是如何乘船渡河的决策权在商人手中,商人们如何安排渡河计划确保自身安全？
二、问题的关键
ＳK+1=SK+(-1）KDK,k=l，2,⋯，
称之为状态转移律,这样，制定过河方案就归结为如下的多步决策问题:
每一步,船由A岸驶向B岸或B岸驶回A岸,都要对船上的人员(商人UK，随从VK各几人)作出决策,在保证安全的前提下即两岸的商人数XK都不比随从数ＹK少,用有限步使人员全部过河．用状态(变量)SK表示某一岸的人员状况,决策（变量)DＫ表示船上的人员状况，可以找出状态SK随决策DK变化的规律.这样安全过河问题就转化为:
四、 模型假设
记第k次过河前A岸的商人数为XK，随从数为YKk=1，2，⋯XK,YK=0，1，2,3，将二维向量ＳK＝（XK，YＫ）定义为状态.把满足安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合。记作S。则
S=｛(ＸK,ＹK)|(XK=０，YK=0,1，2,3),(XK＝３，ＹK=0,1,2,３),(XＫ=ＹＫ=1)(XK=YK=2）}
学习数学建模以来，重新认识了学习数学的乐趣，也重新认识了数学,本以为数学是单调的，枯燥的，学习了之后,发现数学是普遍存在我们生活之中的。解决现实中的问题，很多都需要数学。沉浸在数学的世界里,发现学习是有趣的;相比于机械的认识各个组织器官，建立一个数学模型解决问题是十分有趣的。
参考文献：
(1）傅清祥．《数据结构与算法》.王晓东.北京：电子工业出版社 １998.
这就是三个商人的过河问题模型。
六、模型求解:
穷举法:计算机编程（见附）
先建立编程的基本过程，然后考虑模型,再编写程序。
然后就可以得出结果了。
主程序流程图
图解法：状态s=(x,ｙ）16个格点
允许状态 10个●点
允许决策移动１或2格; k奇，左下移;
ｋ偶,右上移.
总共需要11步
可以得出经过11步的渡河就能达到安全渡河的目标及满足渡河的次数尽量少的条件。这11步的渡河方案就是上面程序运行结果中船上下面的一列。
八、 模型的检验
用2名商人和2名随从的过河问题的解决思路，检验３名商人和3名随从的过河问题。
九、 模型的拓展和延伸
通过三名商人和三名随从的过河问题的解决方案，可以进一步计算四名商人和四名随从的过河问题，通过计算机编程可以设计ｍ名商人和n名随从的过河问题。
十、总结
这是通过数学分析的方法解决实用问题，经过问题提出、问题假设、问题分析、模型建立、模型求解、模型检验的过程,解决商人过河问题。然后扩展延伸到n个商人的问题。
intlength；
}；
classA
{
ｐuｂｌic:
Ａ(）;
~A(）;
ﻩｖoidTspt()；ﻩ／/过河的动作
ﻩｖｏｉｄｄoＬeft（ｉnt nhead，int ntail,intnｌength);ﻩ
privａte：
ﻩbool isｌegal(intnm,ｉｎｔns);//判断是否满足约束条件，满足为true
商仆过河问题——数学建模
———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期:
商仆过河问题
作者：*学院*＊班*****＊＊**＊*****号
20１4年12月４日
摘要：为了求解3个商人和３个随从的过河问题，用数学分析方法，建立数学模型，并且加以求解，展示动态规划思想的应用步骤。最后利用计算机编程进行求解，获得过河问题的完整求解过程;有效地求解类似多步决策问题的作用。
(２)姜启瑟．《数学建模》(第二版)．北京：高等教育出版社,2000.
（３)运筹学教材编写组．《运筹学》（修订版).北京:清华大学出版社。2０01．
附：商仆过河的Ｃ程序及运行截屏：
#include＜ｉｏstream＞
usinｇnamespaｃe stｄ;
strucｔNoｄe
｛ﻩiｎｔnMer;
ﻩｉnt nSｅr;
解决的关键集中在商人和随从的数量上，以及小船的容量上,该问题就是考虑过河步骤的安排和数量上。各个步骤对应的状态及决策的表示法也是关键。
三、问题的分析
在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多)，经有限步使全体人员过河。由于船上人数限制,这需要多步决策过程,必须考虑每一步船上的人员。动态规划法正是求解多步决策的有效方法。它要求把解的问题一层一层地分解成一级一级、规模逐步缩小的子问题。直到可以直接求出其解的子问题为止。分解成所有子问题按层次关系构成一棵子问题树.树根是原问题。原问题的解依赖于子问题树中所有子问题的解。
记第k次过河船上的商人数为UＫ,随从数为ＶK
将二维向量DK＝(ＵK,VK)定义为决策．由小船的容ＶＫ=l,２}={(Ｏ,1);（O，2);(1,O);(１,１);(2，O)｝
五、模型建立：
动态规划法正是求解多步决策的有效方法。它要求把解的问题一层一层地分解成一级一级、规模逐步缩小的子问题。直到可以直接求出其解的子问题为止。分解成所有子问题按层次关系构成一棵子问题树．树根是原问题。原问题的解依赖于子问题树中所有子问题的解。
用动态规划法分析三名商人的过河问题。可得如下的递归树：
（转下页)
(注解:当K为奇数时，船在B岸；当Ｋ为偶数时,船在A岸。）
通过分析该递归树,知道求解关键在于正确地写出基本的状态转移关系式和恰当的边界条件。
因为ｋ为奇数时，船是从Ａ岸驶向Ｂ岸,k为偶数时。船是由B岸驶回A岸。所以状态SK随决策DＫ变化的规律是
求决策ＤK∈D(k=1,2，……，ｎ），使得状态SK∈S,按照状态转移律，由初始状态S1＝（3，３),经有限步n到达状态SK+1=(O,Ｏ)。
模型建立:
SＫ+1＝ＳK+(-１）KDK,ｋ=ｌ,2，3，其中DＫ ∈Ｄ={（UK ，ＶＫ）｜ＵK +VK=ｌ，2｝，{其中SK ∈（ＸK ,YＫ)｜(XK=０,YK =1,２，３)；(ＸK =３,ＹＫ=０,1,2,3);(XＫ =YK ＝1,2)}，Sｎ＋1 =(0,0)