整除问题及余数与同余问题
余数与同余问题
余数同余问题1、用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16，被除数、除数、商、余数这四个数的和为463，那么除数为：2、57、96、148被某自然数整除，余数相同，且不为零，那么284被这个自然数除后余：3、150、232、396被某个两位数除后都有余数，且余数都是同一个奇数，那么所得的余数是：4、有一个自然数，用它分别去除81、127、232都有余数，且3个余数的和是33，那么这个自然数是：5、一个两位数去除251，得到的余数是41，这个两位数是：6、两个小于100的不同自然数去除440，余数都是35，这两个数的差为：7、一个两位数除以8，商与余数相同，那么这样的数总和为：8、有一个除法算式，被除数、除数和商都是整数，且没有余数，被除数、除数、商相加的和是79，被除数和除数相差56，这个算式是：9、一个整数，减去它除以5后所得余数的4倍，差是234，这个自然数是：10、2010除以一个两位数ab=（），使所得余数最大。
11、1）一个两位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是：2）一个三位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是：12、在大于2010的自然数中，逐个找出“被49除后，商与余数相等的数”，这些数的和是：13、用一个自然数A去除333，商得4，用所得余数去除自然数B，所得商和余数相加恰好为A，那么B最小为：14、两个数字之和为10、8的三位数乘积是一个五位数，且这个五位数的后四位是1031，那么这两位三位数之和是：15、一个自然数除以9的余数和除以8的商的和等于13，那么这个数除以8的余数是：16、一个自然数除以7的余数和除以8的商的和等于15，则满足条件的所有自然数的和是：17、10个自然数的和为100，分别除以3，若用去尾法，10个商的和为30，若用四舍五入法，10个商的和为34，那么10个数中被3除余1的数有：18、一个三位数分别被63、95、143除之后所得的余数之和为19，那这个三位数是：19、在小于1000的正整数中，被12、15和18除得余数相同的数共有：20、若M=3x＋x3，当x取1、2、3、……、2010时，能被7整除的M共有：21、当X取1、2、3、……2010时，有（）个整数X使2x与X2被7除余数相同。
数字的整除与余数问题
数字的整除与余数问题在数学中，我们经常会遇到整除和余数的问题。
在解决这类问题时，我们需要了解整数的性质以及如何利用整除和余数进行运算。
本文将介绍整除和余数的概念，并提供一些解决这类问题的方法和技巧。
1. 整除的定义整除是指两个数相除的结果恰好等于整数，即没有余数。
如果一个数能被另一个数整除，我们就说它是另一个数的倍数。
例如，12能被3整除，因为12 ÷ 3 = 4，其中没有余数，所以我们可以说12是3的倍数。
2. 余数的定义余数是指两个数相除后剩下的不完整部分，即除不尽的部分。
我们可以使用符号“%”表示余数运算。
例如，对于13 ÷ 5，我们得到商为2和余数为3，可以写成13 % 5 = 3。
3. 整除与余数的性质- 如果一个数能被2整除，那么该数的个位数是0、2、4、6或8。
- 如果一个数能被3整除，那么该数的各个位数之和也能被3整除。
- 如果一个数能被9整除，那么该数的各个位数之和也能被9整除。
4. 解决整除与余数问题的方法和技巧- 除法法则：用一个数除以另一个数，可以将被除数在每一步中逐位除以除数，得到商和余数。
然后将商的各位数相加得到答案。
- 因式分解法：如果需要找到某个数的因数，可以对这个数进行因式分解，以便更好地理解和解决问题。
- 逆向思维：有时候，我们可以通过推理和逆向思考来解决整除和余数的问题。
例如，通过观察某一特定规律，我们可以确定一个数除以另一个数的余数。
5. 应用举例问题1：将一个3位数的个位、十位和百位依次相加，得到的结果可以被3整除吗？解决方法：根据整除性质2，如果一个数能被3整除，那么该数的各个位数之和也能被3整除。
由此，我们可以判断3位数的个位、十位和百位依次相加的结果是否能被3整除。
问题2：将一个4位数的百位数改成0，十位数改成1，个位数改成2，得到的新数能被9整除吗？解决方法：根据整除性质3，如果一个数能被9整除，那么该数的各个位数之和也能被9整除。
余数与同余解析
六余数和同余 1.有余数的除法各部分之间的关系：被除数=除数×商＋余数被除数－余数＝商×除法 2.除法算式的特征:余数＜除数 3.有关余数问题的性质：性质1：如果两个整数a,b 除以同一个数m，而余数相同，那么a 和b 的差能被m 整除。
性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。
性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。
解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。
1.把题目转化为算式就是：□÷7＝□……□ 余数要比除数7 小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。
根据被除数＝商×除法＋余数，算得：0×7＋0＝0；1×7＋1＝8；2×7＋2＝16；3×7＋3＝24；4×7＋4＝32；5×7＋5＝40；6×7＋6＝48。
所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。
一个三位数被37 除余17，被36 除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？这道题可采取经典的余数处理方法------凑。
这个凑，可不是漫无目的的凑。
而是有理有据才行。
1、找一个最小的自然数，满足除以37 余17，当然17 即可满足。
2、很显然，这个数除以36 并不余3，作适当调整。
3、为了不改变37 的那个余数，每次可加上一个37. 4、每加一次37，除以36 的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。
被除数扩大一倍，余数也扩大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数））5、因为我们要求的数除以36 要余3，现在只是余17，即达到36 后再多出3，即余39 （注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22 个37. 6、结果是17+22×37 即为答案。
奥数讲义数论专题：余数及同余
华杯赛数论专题：余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a 与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。
（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.【答案】95【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？【答案】35【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。
小学奥数精讲：带余除法(同余式和同余方程)知识点及典型例题
小学奥数精讲：带余除法（同余式和同余方程）一、基本性质的复习1、带余数除法算式：a÷b=q……r(a、b、q、r 均为整数) 从中我们应该得到：（1）b>r 除数大于余数（2）a-r=b×q 被除数减去余数则会出现整除关系，则带余数问题就可以转化为整数问题。
2、余数的性质：（1）可加性：和的余数等于余数的和。
即：两数和除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数和。
例：7÷3=2……1 5÷3=1……2，则（7+5）÷3 的余数就等于（1+2）÷3 的余数0。
（2）可减性：差的余数等于余数的差。
即：两数差除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数差。
例：17÷3=5……2 5÷3=1……2，则（17-5）÷3 的余数就等于（2-2）÷3 的余数0。
（3）可乘性：积的余数等于余数的积。
即：两数积除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数积。
例：64÷7=9……1 45÷7=6……3，则（64×45）÷3 的余数就等于（1×3）÷7 的余数3。
二、同余式在生活中，若两个自然数 a 和 b 都除以同一个除数m 时，余数相同该如何表示呢？在代数中我们称之为同余。
即：a 与b 同余于模m。
意思就是自然数a 和b 关于m 来说是余数相同的。
用同余式表达为：a≡b(modm).注：若a 与b 同余于模m，则a 与b 的差一定被m 整除。
（余数的可减性）三、例题。
例1、当2011 被正整数N 除时，余数为16，请问N 的所有可能值有多少个？例2、（1）求多位数1234567891011…20102011除以9的余数？（2）将1开始到103的连续奇数依次写成一个多位数：a=135791113…9799101103，则数a共有多少位？数a除以9 的余数为几？（3）一个多位数1234567……979899，问除以11 的余数是多少？例3、（1）用一个数除200 余5，除300 余1，除400 余10，求这个数？（2）甲、乙、丙、丁四个旅行团分别有游客69 人，85 人、93 人、97 人。
余数性质及同余定理答案
知识框架一、带余除法的定义及性质1. 定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b工0若有a4）=q••…r，也就是a= b X q+ r,0奇v b ;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：（1）当r 0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商（2）当r 0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型：如图屈这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2. 余数的性质⑴ 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数；⑵余数小于除数.二、余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23, 16除以5的余数分别是3和1 ,所以23+16 = 39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23, 19除以5的余数分别是3和4，所以23+19 = 42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。
例如：23, 16除以5的余数分别是3和1，所以23 —16= 7除以5的余数等于2,两个余数差3- 1当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23, 14除以5的余数分别是3和4 , 23- 14= 9除以5的余数等于4,两个余数差为3 + 5-4 =43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23, 16除以5的余数分别是3和1,所以23X 16除以5的余数等于3X1= 3。
除法运算中的整除与余数知识点总结
除法运算中的整除与余数知识点总结在数学中，除法是一种基本的运算符号，用于将一个数称为另一个数的倍数。
在除法运算中，我们常常遇到两个关键概念：整除和余数。
本文将对整除和余数的概念进行详细解释，并探讨其在数学运算和实际问题中的应用。
一、整除的概念整除是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数。
我们可以用符号“|”来表示整除关系，例如，如果一个数a能够被另一个数b整除，则记作a | b。
例如，4 | 12 表示12能够被4整除，即12 ÷ 4 = 3，没有余数。
整除的应用非常广泛。
在数论中，整除是研究素数、因数分解、最大公约数和最小公倍数的基础。
在实际应用中，整除的概念经常用于整数的倍数关系、约数关系等。
二、余数的概念余数是指在除法运算中剩下的不够被除数整除的部分。
余数常常用符号“%”来表示。
例如，如果一个数a除以另一个数b得到的余数为r，则记作a % b = r。
例如，13 % 5 = 3，表示13除以5得到的余数为3。
余数的应用也非常广泛。
在计算机科学中，余数的概念经常用于判断一个数是否为偶数或奇数，进而进行条件判断。
在代数学中，余数的概念与同余关系有密切的联系。
三、整除与余数的性质与定理1. 若a | b 且 b | c，则a | c。
这是整除关系的传递性质。
2. 若a | b 且 b | a，则a = ±b。
这是整除关系的反对称性质。
3. 若a | b 且 a | c，则a | (pb + qc)，其中p和q为任意整数。
这是整除关系的线性性质。
4. 余数定理：对于任意整数a和正整数b，存在唯一的整数q和r，使得a = bq + r，其中0 ≤ r < b。
这个定理说明了除法运算总能得到一个唯一的余数。
五、整除与余数在实际问题中的应用整除与余数的概念不仅仅在数学中有重要的应用，它们在实际问题中也起着重要的作用。
1. 日历计算：通过整除和余数的概念，我们可以计算任意一天是星期几。
奥数余数和同余讲义及答案
数学教师解题能力培训之四数的整除（4）余数和同余教室姓名学号【知识要点】1、例如：37÷5＝7……2，四者之间的数量关系：被除数=除数×商+余数2、同余的概念：两个整数，被同一个大于1的整数m除，所得余数如果相同，那么，这两个整数对于除数m来说是同余的。
例如：14和26这两个数虽然大小不同，但它们分别除以6所得的余数相同，我们把14和26叫做关于模6同余。
3、同余最基本的性质是：几个同余式（模相同）相加、减、乘、乘方仍然同余。
【典型例题】例1、两个整数相除商8，余16；并且被除数、除数、商及余数的和是463.那么被除数是多少？解：因为：被除数=除数×8+16，并且被除数+除数=463―8―16＝439，所以除数=（439－16）÷（8+1）=47，被除数=47×8＋16=392.例2、被3除余2，被5除余3，被7除余4的最小自然数是多少？解：被3除余2的数有2，5，8，11，…其中8又能被5除余3，并且满足条件最小的，而［3，5］=15，所以8+15=23，23+15=38，38+15=53，53满足了被7除余4这个条件，并且最小。
例3、五（3）班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人，问上体育课的同学最少多少名？解：［3,4,5,6］=60, 60－1=59(人).例4、小刚在一次计算除法时，把被除数171错写成117，结果商少了3而余数恰好相同，这题中的除数是几？解：设除数为m,正确的商位q，余数为r，那么错写被除数后，除数仍为m，商为q－3，余数仍为r。
因为：171=m×q+r117= m×（q－3）+r于是171－117=（m×q+r）－（m×q－3 m+r）得m=18.【精英班】例5、有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍，且这个三位数除以5余4，除以11余3.这个三位数是多少？解：这个三位数除以5余4，所以它的个位数字是4或9，因为个位数字是百位数字的3倍，所以个位数字只能是9，百位数字是3.因为这个数除以11余3，所以它的十位数字=3+（9－3）=9，这个三位数是399.【竞赛班】例6、11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余数是多少？解：由数的整除性质和同余性质可推知：（1）3的倍数的任何次方（0除外）除以3的余数为0，可知33+66+99除以3余0.（2）不是3的倍数的偶次方除以3的余数为0，可知22+44+88除以3余1.（3）11除以3余1，55与25对于3同余，它们除以3余2. 77与17对于3同余，它们除以3余1.所以（1+2+1）÷3=1……1。
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整除问题及余数与同余问题
姓名得分
一、整除问题基础训练题
1、六位数26AAA1能被9整除，A是几？
2、各位数字都是5，能被21整除的最小自然数是多少？
3、已知3A4A7A9A5能被11整除，A是几？
4、若五位数12ABC能被1125整除，则ABC只能是多少？
5、已知五位数7□4□5能被75整除，且各个数位上的数字各不相同，那么方框里的数字有几种填法？
6、既能被9整除，也能被25整除的最小四位数是多少？
7、在自然数5537的前后各填一个数字，使重新得到的六位数是45的倍数，那么填上去的两个数字之和是几？
8、有一个自然数，它是一个7、三个5、四个3、六个2的连乘积，在这个数的因数中，最大的两位数是多少？
9、三个均小于20的质数，它们的和是30，它们的乘积是多少？
10、在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？
11、50×49×48×…×2×1的乘积中，末尾有多少个零？
12、已知自然数a有两个因数，那么4a有多少个因数？
13、三个自然数的乘积是1224，其中第一个自然数与第二个自然数的和等于第三个自然数，求第三个自然数是多少？
14、两个数的最大公因数是6，最小公倍数是108，两个数的和是66，这两个数各是多少？
15、三个连续自然数的最小公倍数是360，这三个自然数分别是多少？
16、已知三个质数的倒数和等于215／429，求它们的和。
17、有一列数1、1、2、3、5、8、13、21、34…，从第3个数开始，每个数都是它前边两个数的和，那么前100个数中，有多少个偶数？
18、将分母为15的所有最简假分数按由小到大的顺序依法排列，第1998个最简假分数化成带分数，整数部分是多少？
二、整除问题竞赛提高题
1、三位数2ab加299得5ac,如果已知2ab能被9整除，5ab能被11整除，求a+b+c的值。
2、一个三位数能被3整除，去掉它的末位数字后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大的是多少？
3、三个数的和是918，这三个数分别被3，5，11所除得的商都相同，且余数也相同，求这三个数及相同的商、余数。
4、小红买了72本练习册，她忘了单价，只记得总价是□8.1□元（□表示她记不清的数），你知道她一共花了多少钱吗？
5、用1，2，3，4，5，6，7，8，9（每个数字只用一次）九个数字组成3个三位数，这3个数都是9的倍数，3个三位数的和要尽可能小。
这3个三位数分别是多少？
6、用0、1、2、3、4五个数字组成一个四位数，它既是3的倍数，也是4的倍数，这样的四位数一共有几个？各是多少？
7、775×765×756×，要使这个连乘积的最后四个数字都是0，在横线上填一个最小的合数，应该是多少？
8、已知自然数111555是两个连续奇数的乘积，那么这两个奇数的和是多少？
9、一次活动，小学生、中学生和解放军共405人参加，他们的人数比是4：3：2。
要分组活动，且每组中小学、中学生、解放军的人数都相等，可分几组？每组中小学生、中学生、解放军各多少人？
10、在算式11×20×29×…×2000中，相邻两个因数的差都等于9，那么，乘积的末尾连续零的个数有多少个？
三、余数与同余问题基础训练题
1、下面算式中的两个方框内应填什么数，才能使这道整数除法题的余数最大？
⑴÷85=99……
⑵÷24=56……
2、两个数相除商是4，余数是6，被除数、除数、商与余数的和是121，求被除数。
3、两个整数相除商是12，余数是8，并且被除数与除数的差是822，求这两个整数。
4、数713，1103，830，947与某一整数相除，所得余数相同（不为0），求除数。
5、某市举行大型体操会演，小学生队的人数在2000-2150人之间，排成3列则刚好，排成5列则少2人，排成7列则少4人，这队小学生共有多少人？
6、一筐梨，三三数之余一，四四数之余三，五五数之差一。
这筐梨最少有多少个？
7、今有物不知其数，凡三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物有几何？
8、韩信点兵：卫兵一队列成五行纵队，末行一人；列成六行纵队，末行五人；列成七行纵队，末行四人；列成十一行纵队，末行十人。
求兵数。
9、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小自然数。
10、346，304，563三个数分别除以同一个自然数，得到的余数相同，那么这个自然数是多少？
11、两个数被13除分别余7和10，为两个数的各被13除余几？
12、用108除一个数余100，如果改用36除这个数，那么余数是几？
13、用1-9这九个数连续不断排列成一个100位数123456789123456789……这个100位数除以9余几？
14、一个自然数在1000至1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3。
求这个自然数。
15、甲、乙、丙、丁四人分扑克牌，先给甲3张，再给乙2张，再给丙1张，最后给丁2张，然后再按照甲3张，乙2张，丙1张，丁2张……的顺序发牌。
问最后一张（第54张）牌发给了谁？。