弹塑性力学-弹塑性本构关系
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弹塑性本构关系简介
松比）。
塑性材料受外部作用的反应和变形的历史有关（可称为历 史相关性或路径相关性），本构关系应写成增量关系。
应力空间表述的弹塑性本构关系
韧性（塑性）金属材料单向拉伸试验曲线如下 图示意
强度极限
b
屈服上限
L y
U y
e
屈服下限
弹性极限
强化段
软化段 卸载
残余变形
弹性变形
y
y
卸载、反向加载 包辛格效应
屈服面随内变量改变的规律称强化规律。由 材料试验的资料可建立各种强化模型，目前广 泛采用的有：等向强化；随动强化两种模型。
等 向 强
初始屈服面
2
B
f 0(ij ) 0 B
2
C A o1
化
o A 1
o
1
C
D
随
弹性
动
f 0 (ij ) 0
强 化
后继屈服面
f
( ij
,
p ij
,
k)
0
等向强化认为屈服面形状不变，只是作均匀
称后继屈服面，f
(
ij
,
p ij
,
k
)
0
。
如果一点应力的 f (ij ,ipj,,则k)此 点0 处于弹性状态，如
果
f (，ij则,处ipj ,于k)塑 0性状态。
式变张中形量的为i量j间应。存ip力j在张如和ip量j 下k，关统系称为ipj为塑内性变应量ip力j 。张其D量i中j，klkkp与l为塑标ipj 性志应永变久
d ij
Dt ijkl
d
kl
式中 Ditjk为l 切线弹性张量，形式上仍可表为
Dt ijkl
弹塑性力学第5章—塑性本构关系
3 2
sij
−
Cdε
p ij
sij −
Cdε
p ij
−σs = 0
C表征材料强化的大小，来自单向拉伸
5.3 后继屈服条件
1、等向强化模型
单向拉伸实验曲线中三个方向的塑性主应变为
ε1p
= ε p,
ε
p 2
=
ε
p 3
= − 1ε p
2
其中ε p为单向拉伸方向的塑性应变，由此得到等效塑性应变
( ) ( ) ( ) ε p =
4 3
J
′
2
=
2 9
⎡ ⎢⎣
ε1p
−
ε
p 2
2+
ε
p 2
−
ε
p 3
2+
ε
p 3
最大畸变能是材料屈服的原因
J2 = k2
J 2反映了材料的畸变能（ U0d
=
J2 2G
）
( ) J2
=
1 2
sij sij
=
1 6
(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1)2
k 由实验确定，根据简单拉伸实验，在材料屈服时
[ ] J2
=1 6
(σ 0 − 0)2 + 0 + (0 −σ 0 )2
−0.8
屈服条件类似，主要区别是
−1.0
混凝土的抗压强度比抗拉强
−1.2
度高得多。
5.2 常用的屈服条件
5.2.3 混凝土的莫尔－库仑屈服条件
在实验基础上，提出线性化的莫尔－库仑屈服条件，σ
′
0
,
σ
弹塑性力学第四章弹性本构关系资料
产生的x方向应变：
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
弹塑性本构关系简介
2） 势能原理的数学表达
应变能
总势能
Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV 外力势能
-∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS = min
2 虚力原理
1）虚力原理的表述
给定位移状态协调的充分必要条件为：对 一切自平衡的虚应力，恒有如下虚功方程成 立（矩阵）
∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T [u ]0dS
收敛准则
1、位移模式必须包含单元的刚体位移
2、位移模式必须能包含单元的常应变
3、位移模式在单元内要连续、并使相邻单元间的位移必须协调
满足条件1、2的单元为完备单元
满足条件3的单元为协调单元 多项式位移模式阶次的选择——按照帕斯卡三角形选
几何各向同性：位移模式应与局部坐标系的方位无关
多项式应有偏惠的坐标方向，多项式项数等于单元边界结点的自由度总
变间关系为 octσoct
GKtt
oct 3K s oct oct Gs oct
并有
Gs G
1
a
oct
B c
m
KGss
εoct
oct
K G e s
s (c oct ) p
KG
其中G、K分别为初始切线剪切和体积模量，
B c
为混凝土单轴抗压强度，a、m、c和p为由试验
确定的常数。
POCT
弹性张量Dijkl
ij
Dijkl kl
( 2G 1 2
ij kl
2Giklj ) kl
i 1, j 2, k 1,l 2
12
D1212 12
( 2G 1 2
1212
2G1122 )12
11 1 12 0 22 1
弹塑性力学-弹塑性本构关系
3 2
( S ij c ij )( S ij c ij ) s ( c 可 据 简 单 拉 伸 试 验 确 定 )
p p
3.2.3 混合强化模型
运动硬化和等向硬化的组合，可以构成更一般的 硬化模型，称为混合强化模型
( ij , H ) F ( ij c ij ) K 0
( ij , H ) F ( ij ij ) 0 F ( ij ) 0 为 初 始 屈 服 面
t r e s c a 、 vo n m ises 、 M － C
移动张量
常 用 线 形 随 动 强 化 ij c ij
p
m is e s :
0 ij
ij
0 ij
d
ij
0
应力循环中外载所作真实功 与附加应力功
（3）非真实物理功不能引用热力学定律；
（4）德鲁克公设的适用条件： ①ij0在塑性势面与屈服面 之内时，德鲁克公设成立； ②ij0在塑性势面与屈服面 之间时，德鲁克公设不成立；
势面线
屈服面
（5）金属材料的塑性势面与 屈服面基本一致。 附加应力功为非负的条件
在应变空间，流动规则可用下式表示：
d ij d
p
ij
d
和
d
都为非负的比例系数。
3.2 硬化规律
塑性模型三要素
屈服条件 流动法则 硬化规律
判断何时 达到屈服
屈服后塑性应变 增量的方向，也 即各分量的比值
决定给定的应力 增量引起的塑性 应变增量大小
• 硬化规律：加载面在应力空间中的位置、大小和 形状的变化规律。（确定加载面依据哪些具体的 硬化参量而产生硬化的规律称为硬化定律） • 硬化模型：实际土体硬化规律+简化假设（如采用 等值面硬化理论，主应力方向不旋转，加载面形 状不变等）
07 塑性本构关系
哈工大 土木工程学院
3 / 66
07 塑性本构关系
几种简化模型
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4 / 66
07 塑性本构关系
第1节 弹性本构关系
当应力状态处于屈服曲面内部时,材料处于弹性状态, 当应力状态处于屈服曲面内部时,材料处于弹性状态,本 构关系就是广义虎克(Hooke)定律 构关系就是广义虎克 定律 在直角坐标系里,对各向同性材料, 在直角坐标系里,对各向同性材料,有:
e xx e yy ezz e xy e yz e zx 1 = = = = = = s xx s yy szz s xy s yz szx 2G
εx εy ε y εz γ xy γ yz εz εx γ zx 1 = = = = = = σ x σ y σ y σ z σ z σ x 2τ xy 2τ yz 2τ zx 2G
1 ′ 2G I 2
2
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8 / 66
07 塑性本构关系
也可通过偏张量关系式代入第二不变量得到该关系式
1 ′ I 2 = (σ 1 σ 2 )2 + (σ 2 σ 3 )2 + (σ 3 σ 1 )2 6 2 1 = ( 2G ) [(ε 1 ε 2 )2 + (ε 2 ε 3 )2 + (ε 3 ε 1 )2 ] 6
1 ε x = [σ x v (σ y + σ z )] E 1 ε y = [σ y v (σ z + σ x )] E 1 ε z = [σ z v (σ x + σ y )] E
γ xy = γ yz = γ zx =
τ xy
G
E:弹性模量 :
τ yz
G
ν:泊松比
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几种简化模型
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07 塑性本构关系
第1节 弹性本构关系
当应力状态处于屈服曲面内部时,材料处于弹性状态, 当应力状态处于屈服曲面内部时,材料处于弹性状态,本 构关系就是广义虎克(Hooke)定律 构关系就是广义虎克 定律 在直角坐标系里,对各向同性材料, 在直角坐标系里,对各向同性材料,有:
e xx e yy ezz e xy e yz e zx 1 = = = = = = s xx s yy szz s xy s yz szx 2G
εx εy ε y εz γ xy γ yz εz εx γ zx 1 = = = = = = σ x σ y σ y σ z σ z σ x 2τ xy 2τ yz 2τ zx 2G
1 ′ 2G I 2
2
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也可通过偏张量关系式代入第二不变量得到该关系式
1 ′ I 2 = (σ 1 σ 2 )2 + (σ 2 σ 3 )2 + (σ 3 σ 1 )2 6 2 1 = ( 2G ) [(ε 1 ε 2 )2 + (ε 2 ε 3 )2 + (ε 3 ε 1 )2 ] 6
1 ε x = [σ x v (σ y + σ z )] E 1 ε y = [σ y v (σ z + σ x )] E 1 ε z = [σ z v (σ x + σ y )] E
γ xy = γ yz = γ zx =
τ xy
G
E:弹性模量 :
τ yz
G
ν:泊松比
弹塑性本构关系的认识及其在钢筋混凝土中的应用浅谈_塑
弹塑性本构关系的认识及其在钢筋混凝土结构中的应用浅谈摘要：本文首先对弹塑性本构关系和钢筋混凝土材料的本构模型作了简要概述，然后结合上课所学知识和自己阅读的几篇文章，从材料的屈服准则、流动准则、硬化准则和加载卸载准则等四个方面详细阐述了弹塑性本构关系。
最后，结合上述准则简要论述了混凝土这一常用材料在地震作用下的弹塑性本构关系。
关键词：弹塑性本构关系，钢筋混凝土，地震Understanding of Elastoplastic Constitutive Relation and a Brife Talk of Its Aapplication to Reinforced Concrete StructureAbstract：This paper firstly makes a brief overview about elastoplastic constitutive relation and reinforced concrete constitutive model. Then，elaborating the elastoplastic constitutive relation from the four aspects of material yield criterion，flow rule，hardening rule，loading and unloading criterion based on what I have learned in class and reading from a few articles. Lastly，a simply introduction on the elastoplastic constitutive of reinforced concrete under earthquake is demonstrated.Keywords：elastoplastic constitutive relation; reinforced concrete structure; earthquake1 引言钢筋混凝土结构材料的本构关系对钢筋混凝土结构有限元分析结果有重大的影响，如果选用的本构关系不能很好地反映材料的各项力学性能，那么其它计算再精确也无法反映结构的实际受力特征。
弹塑性力学塑性本构关系
0
14
1.理想塑性材料的增量本构关系 2.硬化材料的增量塑性本构关系 3.全量塑性本构关系
15
2. 硬化材料的增量塑性本构关系
d
p ij
d
f
ij
f g 相关联流动
塑性应变大小 塑性应变方向
对于强化材料
f
ij
d ij
0
d ij 在
f
ij
方向上的投影，反映了塑性应变增量的大小。
可假设：
d
1 h
H121
Cp ijkl
1
9K 2
G
H11H 22
H
2 22
对称
H11H 33
H 22H33
H
2 33
H11H12 H 22H12 H 33 H12
H122
H11H 23
H 22H 23
H 33 H12
H12H 23
H
2 23
H11H 31 H 22H31
H
33
H
31
H12H31
H12
H
0
如果hd以 d累积pf塑2ij d性d32应ijd变ijpdkfddijpkdp作32p0为d内2变hd量f ij
f
fij ij
ij
p ij
d
k k p k d2 p f f
p ij
d
d
p ij
d
f k
k
p
d
d p
f
p
ij
0
3 ij ij
2 f f
3 ij ij
h f
Cijkl
1 H
H
ij
H
kl
H
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此式限制了屈服面的形状： 对于任意应力状态，应力增量方向
与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
ij
0 ij
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
/2
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
d 必p 与加载面的外法线
重合，否则总可以找到A0 使A0A·dεp≥0不成立(如右 图)。
的真实功与ij0起点无关；
Ñ d ipj ij ij 0
(2)附加应力功不符合功的 定义，并非真实功
i0j ij i0jdij0
-
应力循环中外载所作真实功 与附加应力功
（3）非真实物理功不能引用热力学定律；
（4）德鲁克公设的适用条件：
①ij0在塑性势面与屈服面
之内时，德鲁克公设成立；
d
p ij
d
ij
由应力空间中的屈服与应变空间中屈服面的转换关系，可得：
结合
-
D
ij
ij
dipj Ddipj
d
p ij
d
ij
可得：
d d
3.1.4 塑性位势理论与流动法则
与弹性位势理论相类似，Mises于1928年提出塑性
位势理论。他假设经过应力空间的任何一点M，必有
一塑性位势等势面存在，其数学表达式称为塑性位势
残余应力增量与塑性 应变增量存在关系：
dipj Ddipj
式中，D为弹性矩阵。 根据依留申公设，在 完成上述应变循环中， 外部功不为负，即
Ñ WI ijdij 0 i0j
只有在弹性应变时，上述WI=0。
根据Druker塑性公设
当 i0 jij时 (iji0 j)dijp 0
可将Druker塑性公设改写成：
②ij0在塑性势面与屈服面
之间时，德鲁克公设不成立；
屈服面 势面线
（5）金属材料的塑性势面与 屈服面基本一致。
-
附加应力功为非负的条件
3.1.3 依留申塑性公设的表述
依留申塑性公设：在弹塑性材料的一个应变循环内， 外部作用做功是非负的，如果做功是正的，表示有塑性变 形，如果做功为零，只有弹性变形发生。
-
d 0
d 0
WI
(ij
0 ij
1
d
ij
) d
p
ij
2
WD
1
d
ij
d
p
ij
WD
0
① ij i0j 0时， (ij i0j)dipj 0
应变空间加 载面外凸
2
③
②
塑性势面与屈服面相同
0 ij
ij时， dijdipj
0
加载准则(取大于号表示 有新的塑性变形发生)
根据
d
p ij
关于
0
的正交法则，可得：
弹塑性力学本构关系
-
1
(1) 稳定材料与非稳定材料
德鲁克公设和依留申公设是传统塑性力学的基础，它把塑性势函 数与屈服函数紧密联系在一起。德鲁克公设只适用于稳定材料， 而依留申既适用于稳定材料，又适用于不稳定材料。
稳定材料
非稳定材料
附加应力对附加应变做功 附加应力对附加应变负做 为非负，即有 0 j dij 0
Ñ 由于弹性应变εije在应力循
环中是可逆的，因而
(ij i0j )diej 0
i0j
于是有：
-
Ñ W DW D p ( ij i0j)dip j 0 i0j
(3) 德鲁克塑性公设的重要推论
Ñ W DW D p ( ij i0j)dip j 0 i0j
续应加 变d载ε到ijpσ，ij+最dσ后ij，应在力这又一卸阶回段到，σij将0。产若生整塑个性
应力循环过程中，附加应力dσij所作的塑性 功不小于零，即附加应力的塑性功不出现负 值，则这种材料就是稳定的，这就是德鲁克 公设。
在应力循环中，外载所作的 功为：
Ñ W
d 0 i0j ij
ij
不论材料是不是稳定，上述 总功不可能是负的，不然， 我们可通过应力循环不断从 材料中吸取能量，这是不可 能的。要判断材料稳定必须 依据德鲁克公设，即附加应 力所作的塑性功不小零得出
W D(ij a diji0 j)dip j 0
1 a 1 2
当i0j ij时,略去无穷小量 (ij i0j)dijp 0
当i0j ij时， dijdipj 0
屈服面的外凸性
塑性应变增量方向 与加载曲面正交
1 屈服曲面的外凸性
(iji0 ) jdip j |A 0 A |d | p|co 0 s
标量dλ，称
为塑性因子
d
p ij
d
ij
切平面 加载面
表明，塑性应变分量σij之间的比例可由在 加载面上Φ的位置确定。
did j ip j 0 d σ n 0 加载准则
意义：只有当应力增量指向加载面的外部时才能产生塑性变形。
3德鲁克塑性公设的评述
➢德鲁克公设的适用条件： （1）应力循环中外载所作
上式表明，如果德鲁克塑性公设成立，WD≥0，则依留申塑性公
设也一定成立，反之，依留申塑性公设成立，并不要求WD≥0， 也就是说，德鲁克塑性公设是依留申塑性公设的充分条件，而
不是必要条件。 当应力点由A到B时，
d 0
d 0
CD
AB
dσ<0,但dσp>0,塑性变形
dεp>0，总变形dε>0
ddp 0 ddp 0
设材料单元体经历任意应力
历即史初后始，的在应应变力εσij0ij在0下加处载于面平内衡，，然
后在单元体上缓慢地施加荷载，使
εij达到屈服面，再继续加载达到 应变变dε点ijpε。ij+然d后ε卸ij，载此使时应产变生又塑回性到应 原先的应变状态εij0，并产生了与
塑性变量所对应的残余应力增量 dσijp。
（应变硬化和理想塑性材料）
（应变软化材料）
(2) 德鲁克塑性公设的表述
德鲁克公设可陈述为：对于处在某一状态下的稳定材 料的质点(试件)，借助于一个外部作用在其原有应力状态 之上，缓慢地施加并卸除一组附加压力，在附加应力的施 加和卸除循环内，外部作用所作之功是非负的。
设材料单元体经历任意应力历史后， 在应力σij0下处于平衡，即开始应力σij0在加 载面内，然后在单元体上缓慢地施加一个附 加力，使σij0达到σij，刚好在屈服面上，再继
-
W D(ij i0 j)dijp0
由图(a)可知，对于弹性性质不随加载面改变的非耦合情况，外 部作用在应变循环内做功WI和应力循环所作的外部功之间仅差 一个正的附加项： 1 d p d p
2
因此可将应变循环所作的外部功，写成
W I W D 1 2 dijdip j (iji0 j 1 2 dij)dip j 0
与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
ij
0 ij
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
/2
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
d 必p 与加载面的外法线
重合，否则总可以找到A0 使A0A·dεp≥0不成立(如右 图)。
的真实功与ij0起点无关；
Ñ d ipj ij ij 0
(2)附加应力功不符合功的 定义，并非真实功
i0j ij i0jdij0
-
应力循环中外载所作真实功 与附加应力功
（3）非真实物理功不能引用热力学定律；
（4）德鲁克公设的适用条件：
①ij0在塑性势面与屈服面
之内时，德鲁克公设成立；
d
p ij
d
ij
由应力空间中的屈服与应变空间中屈服面的转换关系，可得：
结合
-
D
ij
ij
dipj Ddipj
d
p ij
d
ij
可得：
d d
3.1.4 塑性位势理论与流动法则
与弹性位势理论相类似，Mises于1928年提出塑性
位势理论。他假设经过应力空间的任何一点M，必有
一塑性位势等势面存在，其数学表达式称为塑性位势
残余应力增量与塑性 应变增量存在关系：
dipj Ddipj
式中，D为弹性矩阵。 根据依留申公设，在 完成上述应变循环中， 外部功不为负，即
Ñ WI ijdij 0 i0j
只有在弹性应变时，上述WI=0。
根据Druker塑性公设
当 i0 jij时 (iji0 j)dijp 0
可将Druker塑性公设改写成：
②ij0在塑性势面与屈服面
之间时，德鲁克公设不成立；
屈服面 势面线
（5）金属材料的塑性势面与 屈服面基本一致。
-
附加应力功为非负的条件
3.1.3 依留申塑性公设的表述
依留申塑性公设：在弹塑性材料的一个应变循环内， 外部作用做功是非负的，如果做功是正的，表示有塑性变 形，如果做功为零，只有弹性变形发生。
-
d 0
d 0
WI
(ij
0 ij
1
d
ij
) d
p
ij
2
WD
1
d
ij
d
p
ij
WD
0
① ij i0j 0时， (ij i0j)dipj 0
应变空间加 载面外凸
2
③
②
塑性势面与屈服面相同
0 ij
ij时， dijdipj
0
加载准则(取大于号表示 有新的塑性变形发生)
根据
d
p ij
关于
0
的正交法则，可得：
弹塑性力学本构关系
-
1
(1) 稳定材料与非稳定材料
德鲁克公设和依留申公设是传统塑性力学的基础，它把塑性势函 数与屈服函数紧密联系在一起。德鲁克公设只适用于稳定材料， 而依留申既适用于稳定材料，又适用于不稳定材料。
稳定材料
非稳定材料
附加应力对附加应变做功 附加应力对附加应变负做 为非负，即有 0 j dij 0
Ñ 由于弹性应变εije在应力循
环中是可逆的，因而
(ij i0j )diej 0
i0j
于是有：
-
Ñ W DW D p ( ij i0j)dip j 0 i0j
(3) 德鲁克塑性公设的重要推论
Ñ W DW D p ( ij i0j)dip j 0 i0j
续应加 变d载ε到ijpσ，ij+最dσ后ij，应在力这又一卸阶回段到，σij将0。产若生整塑个性
应力循环过程中，附加应力dσij所作的塑性 功不小于零，即附加应力的塑性功不出现负 值，则这种材料就是稳定的，这就是德鲁克 公设。
在应力循环中，外载所作的 功为：
Ñ W
d 0 i0j ij
ij
不论材料是不是稳定，上述 总功不可能是负的，不然， 我们可通过应力循环不断从 材料中吸取能量，这是不可 能的。要判断材料稳定必须 依据德鲁克公设，即附加应 力所作的塑性功不小零得出
W D(ij a diji0 j)dip j 0
1 a 1 2
当i0j ij时,略去无穷小量 (ij i0j)dijp 0
当i0j ij时， dijdipj 0
屈服面的外凸性
塑性应变增量方向 与加载曲面正交
1 屈服曲面的外凸性
(iji0 ) jdip j |A 0 A |d | p|co 0 s
标量dλ，称
为塑性因子
d
p ij
d
ij
切平面 加载面
表明，塑性应变分量σij之间的比例可由在 加载面上Φ的位置确定。
did j ip j 0 d σ n 0 加载准则
意义：只有当应力增量指向加载面的外部时才能产生塑性变形。
3德鲁克塑性公设的评述
➢德鲁克公设的适用条件： （1）应力循环中外载所作
上式表明，如果德鲁克塑性公设成立，WD≥0，则依留申塑性公
设也一定成立，反之，依留申塑性公设成立，并不要求WD≥0， 也就是说，德鲁克塑性公设是依留申塑性公设的充分条件，而
不是必要条件。 当应力点由A到B时，
d 0
d 0
CD
AB
dσ<0,但dσp>0,塑性变形
dεp>0，总变形dε>0
ddp 0 ddp 0
设材料单元体经历任意应力
历即史初后始，的在应应变力εσij0ij在0下加处载于面平内衡，，然
后在单元体上缓慢地施加荷载，使
εij达到屈服面，再继续加载达到 应变变dε点ijpε。ij+然d后ε卸ij，载此使时应产变生又塑回性到应 原先的应变状态εij0，并产生了与
塑性变量所对应的残余应力增量 dσijp。
（应变硬化和理想塑性材料）
（应变软化材料）
(2) 德鲁克塑性公设的表述
德鲁克公设可陈述为：对于处在某一状态下的稳定材 料的质点(试件)，借助于一个外部作用在其原有应力状态 之上，缓慢地施加并卸除一组附加压力，在附加应力的施 加和卸除循环内，外部作用所作之功是非负的。
设材料单元体经历任意应力历史后， 在应力σij0下处于平衡，即开始应力σij0在加 载面内，然后在单元体上缓慢地施加一个附 加力，使σij0达到σij，刚好在屈服面上，再继
-
W D(ij i0 j)dijp0
由图(a)可知，对于弹性性质不随加载面改变的非耦合情况，外 部作用在应变循环内做功WI和应力循环所作的外部功之间仅差 一个正的附加项： 1 d p d p
2
因此可将应变循环所作的外部功，写成
W I W D 1 2 dijdip j (iji0 j 1 2 dij)dip j 0