2-2离散型随机变量及其分布律
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概率论与数理统计之离散型随机变量
n
电子科技大学
离散型随机变量
14.12.13
lim P{ X n k }
n
lk
k!
e , k 1,2,
l
证明略. 思考：你能从条件 lim npn l 0,
n
中分析出什么结论吗？ 注
n
lim npn l
即数列{ pn } 与 { 1 n } 是同阶的无穷小.故
即 10k 10 P{ X a } e 0.95 k 0 k!
a
电子科技大学
离散型随机变量
14
14.12.13
查表可得
10k 10 e 0.9166 0.95 k 0 k!
10k 10 e 0.9513 0.95 k 0 k!
15
这家商店在月底保证存货不少于15件就 能以95%的概率保证下个月该种商品不会 脱销.
p (1 p)
电子科技大学
离散型随机变量
k n
14.12.13
从n次试验中选出k 次试验有C 种不同的 方式.
且各种方式的事件互不相容，由概率的有 限可加性可得
Pn ( k )
结论成立.
k Cn
p (1 p)
k
n k
,
称随机变量X 服从二项分布 ,记为X ～ B(n, p). (0—1)分布可以看作X ～B(1, p).
14.12.13
故
F ( x ) P{ X x }
P[ { X xi }] P{ X xi }
xi x
xi x
二、贝努里试验和二项分布 E1：抛一枚硬币出现正反面; E2：检查一件产品是否合格; E3：射击，观察是否命中; 贝努里 试验
电子科技大学
离散型随机变量
14.12.13
lim P{ X n k }
n
lk
k!
e , k 1,2,
l
证明略. 思考：你能从条件 lim npn l 0,
n
中分析出什么结论吗？ 注
n
lim npn l
即数列{ pn } 与 { 1 n } 是同阶的无穷小.故
即 10k 10 P{ X a } e 0.95 k 0 k!
a
电子科技大学
离散型随机变量
14
14.12.13
查表可得
10k 10 e 0.9166 0.95 k 0 k!
10k 10 e 0.9513 0.95 k 0 k!
15
这家商店在月底保证存货不少于15件就 能以95%的概率保证下个月该种商品不会 脱销.
p (1 p)
电子科技大学
离散型随机变量
k n
14.12.13
从n次试验中选出k 次试验有C 种不同的 方式.
且各种方式的事件互不相容，由概率的有 限可加性可得
Pn ( k )
结论成立.
k Cn
p (1 p)
k
n k
,
称随机变量X 服从二项分布 ,记为X ～ B(n, p). (0—1)分布可以看作X ～B(1, p).
14.12.13
故
F ( x ) P{ X x }
P[ { X xi }] P{ X xi }
xi x
xi x
二、贝努里试验和二项分布 E1：抛一枚硬币出现正反面; E2：检查一件产品是否合格; E3：射击，观察是否命中; 贝努里 试验
离散型随机变量的概率分布
则称之为离散型随机变量X的概率分布或分布列（律） 亦可用下面的概率分布表来表示
X
pk
x1
p1
x2
p2
…
…
xn
pn
…
…
第2章
§2.2 离散型随机变量及其概率分布
第3页
分布列具有如下性质： （1）非负性： pi ≥ 0 （2）规范性： （i=1,2，…）
i
p
i 1
1
例2 已知随机变量X的概率分布为：
(3) 汽车司机刹车时，轮胎接触地面的点的位置是在[0, 2r]上取值的随机变量，其中r 是轮胎的半径．
第2章
§2.2 离散型随机变量及其概率分布
第2页
定义4 设离散型随机变量X所有可能的取值为 x1 , x2 , … , xn , … X取各个值的概率，即事件{X=xi}的概率为
P { X = xi } = pi （i = 1, 2, …）
k 3 k C4 C6 可表示为 P{ X k} (k 0,1,2,3) 3 C10
C 4 C6 C4 3 1 P{X 2} , P{X 3} 3 3 10 C10 C10 30
4红
X
pk
0
1 6
1
1 2
2
3 10
3
1 30
第2章
§2.2 离散型随机变量及其概率分布
X P
0 1 2
1 1 1 2 2
2 1 1 1 2 2 2
3 11 1 22 2
第2章
§2.2 离散型随机变量及其概率分布
第13页
2.1.2 常见的离散型随机变量 1. 0-1分布 若随机变量 X 只可能取 0 和 1 两个值，概率分布为
X
pk
x1
p1
x2
p2
…
…
xn
pn
…
…
第2章
§2.2 离散型随机变量及其概率分布
第3页
分布列具有如下性质： （1）非负性： pi ≥ 0 （2）规范性： （i=1,2，…）
i
p
i 1
1
例2 已知随机变量X的概率分布为：
(3) 汽车司机刹车时，轮胎接触地面的点的位置是在[0, 2r]上取值的随机变量，其中r 是轮胎的半径．
第2章
§2.2 离散型随机变量及其概率分布
第2页
定义4 设离散型随机变量X所有可能的取值为 x1 , x2 , … , xn , … X取各个值的概率，即事件{X=xi}的概率为
P { X = xi } = pi （i = 1, 2, …）
k 3 k C4 C6 可表示为 P{ X k} (k 0,1,2,3) 3 C10
C 4 C6 C4 3 1 P{X 2} , P{X 3} 3 3 10 C10 C10 30
4红
X
pk
0
1 6
1
1 2
2
3 10
3
1 30
第2章
§2.2 离散型随机变量及其概率分布
X P
0 1 2
1 1 1 2 2
2 1 1 1 2 2 2
3 11 1 22 2
第2章
§2.2 离散型随机变量及其概率分布
第13页
2.1.2 常见的离散型随机变量 1. 0-1分布 若随机变量 X 只可能取 0 和 1 两个值，概率分布为
离散型随机变量及其分布律
解 由 0 p 1 ( k 0 , 1 , 2 , ), p 1 k k k 0 1 k ( ) a 得 k 1 即 a 3 1 ! k! k 03 k k0 1k 1 1 ( ) ae 3 3 e3 ! k 0 k
2. 离散型随机变量分布律与分布函数及 事件概率的关系 (1) 若已知 X 的分布律：
X
pk
0 1 2
1 2
1
实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,那末,若规定
1 , 取得不合格品, X 0 , 取得合格品.
X
0
190 200
1
10 200
pk
则随机变量 X 服从(0-1)分布.
说明 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
p P { X x } k k
或
F ( x ) F ( x 0 ) k k k 1 , 2 , ) F ( x ) F ( x ) ( k k 1
( P { X x } P { x X x } ) k k 1 k 注 1º 离散型随机变量X的分布函数F(x)是阶
梯函数，x1, x2,· · · ,是F(x)的第一类间断 点, 而X在xk（k=1,2, · · ·）处的概率就是
F(x)在这些间断点处的跃度.
2º P { a X b }
P { a X b } P { X a } P { X b }
[ F ( b ) F ( a )] [ F ( b ) F ( b 0 )] [ F ( a ) F ( a 0 )]
2-2离散型随机变量及其分布律
松定理（第二章）和中心极限定理（第五章），利用这些定理
可以近似计算出它们的值．
3．泊松分布
定义 2.5 如果随机变量 X 的分布律为
P{X k} k e ， k 0,1, 2,L ， 0 ，
k!
就称 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ P() ．
【注 1】 P{X
k
k}
e
0 ， k 0,1, 2,L
一般地，在随机试验 E 中，如果样本空间 只包含两个
样本点
{1,2}，且
X
0, 1,
若 =1 , 若 =2 ,
则 X ~ B(1, p) ，其中 p P{X 1} P({2}) ．
在现实生活中，0 1两点分布有着广泛的应用．例如某产品 合格与不合格；某课程的考试及格与不及格；某事件 A 发生与 不发生等许多现象都能够刻划成 0 1两点分布．
§2 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量及其分布律的概念 定义 2.1 若随机变量 X 的取值为有限个或可列无限多个，就 称 X 为离散型随机变量．
定义 2.2 设 X 为离散型随机变量，其所有可能的取值为 x1, x2 ,L , xi ,L ，且
P{X xi} pi ， i 1, 2,L ．
的概率为 0.6 ，求该射手在 4 次射击中，命中目标次数 X 的
分布律，并问 X 取何值时的概率最大． 解 将每次射击看成一次随机试验，所需考查的试验结果只
有击中目标和没有击中目标，因此整个射击过程为 4 重的贝
努里试验．故由题意知， X ~ B(4, 0.6) ，即
P{X k} C4k 0.6k 0.44k ， k 0,1, 2,3, 4 ．
P{X
10}
2-2离散型随机变量的概率分布
实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就是 n重伯努利试验.
(3) 二项概率公式 若 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数, 则 X 所有可能取的值为
0, 1, 2, , n.
当 X k (0 k n) 时, 即 A 在 n 次试验中发生了 k 次.
AAA AAA ,
泊松资料
泊松分布的图形
泊松分布随机数演示
上面我们提到
二项分布 np ( n )泊松分布
单击图形播放/暂停 ESC键退出
合理配备维修工人问题
例5 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修 工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生 产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备 的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况 ) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障 但不能及时维修的概率小于0.01?
把检查一只元件是否为一级品看成是一次试 验, 检查20只元件相当于做20 重伯努利试验.
解 以 X 记 20 只元件中一级品的只数, 则 X ~ b(20, 0.2), 因此所求概率为
P{ X k} 20(0.2)k (0.8)20k , k 0,1,,20. k
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022 P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007 P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
一、离散型随机变量的分布律
定义 设离散型随机变量X 所有可能取的值为 xk (k 1,2,), X 取各个可能值的概率, 即事件 { X xk } 的概率, 为
(3) 二项概率公式 若 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数, 则 X 所有可能取的值为
0, 1, 2, , n.
当 X k (0 k n) 时, 即 A 在 n 次试验中发生了 k 次.
AAA AAA ,
泊松资料
泊松分布的图形
泊松分布随机数演示
上面我们提到
二项分布 np ( n )泊松分布
单击图形播放/暂停 ESC键退出
合理配备维修工人问题
例5 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修 工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生 产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备 的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况 ) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障 但不能及时维修的概率小于0.01?
把检查一只元件是否为一级品看成是一次试 验, 检查20只元件相当于做20 重伯努利试验.
解 以 X 记 20 只元件中一级品的只数, 则 X ~ b(20, 0.2), 因此所求概率为
P{ X k} 20(0.2)k (0.8)20k , k 0,1,,20. k
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022 P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007 P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
一、离散型随机变量的分布律
定义 设离散型随机变量X 所有可能取的值为 xk (k 1,2,), X 取各个可能值的概率, 即事件 { X xk } 的概率, 为
§2.2离散型随机变量及其分布列
1, x a F ( x) 0, x a
1
例2.2.9 若
.
服从两点分布
0
P
q
求
的分布函数
解： P（ x） 0 当 x 0时，F（x） F（x） P（ x） P（ 0） q 当 0 x 1 时， F ( x) P( x) P( 0) P( 1) 1 当 x 1 时， 例2.2.10 设 的分布列为
0 1 2 3 4 5
k 5 k 5k
k=0,1,2,3,4,5.
q 5 5 pq 4 10 p 2 q 3 10 p 3 q 2 5 p 4 q p 5
3．分布列的性质
由概率的性质可知，任一离散型随机变量 的分布列 p i 都具有下述性质：
非负性：1）pi 0, i 1, 2, 规范性：2） pi 1
k 6 k 6
5000
5000
其中b(k;5000,1/1000)= C
k 5000
1 k 1 5000 k ( ) (1 ) 1000 1000
这时如果直接计算P 5 ，计算量较大。由于n很大 ，p较小，而np=5不很大 ，
可以利用 Poisson定理
5 P( 5) 1 P 5 1 e k 0 k !
i
例2.2.11 设随机变量
的分布函数为 的分布列。
解: 依题意可得
0, x 1 0.4, 1 x 1 F ( x) ,求 0.8,1 x 3 1, x 3
的可能取值为-1，1，3
P 1 F 1 0 F 1 0.4,
P 3 F 3 0 F 3 0.2
所以 的分布列为
2.2离散型随机变量及其分布
k k PX k C n p (1 p ) n k
k 0,1, , n,
其中0<p<1, 称X服从参数为n,p的二项分布，记为 X~b(n,p)。
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在n重贝努里试验中，假设A在每次试验中出现 的概率为p，若以X表示n次试验中A出现的次数。那 么由二项概率公式得X的分布律为：
第二节
离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量和概率分布 定义3：如果随机变量所有的可能取值为有限个或 可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。 定义4：设离散型随机变量X的可能取值为xk (k=1,2, …),事件 { X x k } 发生的概率为pk ,即
P { X x k } pk
k k PX k C n p (1 p ) n k
k 0,1, , n
即X服从二项分布。 当n=1时，二项分布化为：P{X=k}=pk(1-p)1-k 即为（0－1）分布 （0－1）分布可用b(1，p)表示。
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k=0,1
k nk n p ( 1 p ) P{X = k}= C k 恰好是 [ Ｐ +(1 － Ｐ )] n 二项展开式中出现pk的那一项，这就是二项分布 名称的由来。
e 5 5 k 0.95 k! k 0
a
e5 5k 即 0.05 k a 1 k !
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查表可得
e 10 ≈0.031828<005 k! k 10
即 a 1 10， a 9
于是，这家商店只要在月底进货这种商品9件 （假定上个月没有存货），就可以95%以上的把握 保证这种商品在下个月不会脱销.
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k 0,1, , n,
其中0<p<1, 称X服从参数为n,p的二项分布，记为 X~b(n,p)。
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在n重贝努里试验中，假设A在每次试验中出现 的概率为p，若以X表示n次试验中A出现的次数。那 么由二项概率公式得X的分布律为：
第二节
离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量和概率分布 定义3：如果随机变量所有的可能取值为有限个或 可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。 定义4：设离散型随机变量X的可能取值为xk (k=1,2, …),事件 { X x k } 发生的概率为pk ,即
P { X x k } pk
k k PX k C n p (1 p ) n k
k 0,1, , n
即X服从二项分布。 当n=1时，二项分布化为：P{X=k}=pk(1-p)1-k 即为（0－1）分布 （0－1）分布可用b(1，p)表示。
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k=0,1
k nk n p ( 1 p ) P{X = k}= C k 恰好是 [ Ｐ +(1 － Ｐ )] n 二项展开式中出现pk的那一项，这就是二项分布 名称的由来。
e 5 5 k 0.95 k! k 0
a
e5 5k 即 0.05 k a 1 k !
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查表可得
e 10 ≈0.031828<005 k! k 10
即 a 1 10， a 9
于是，这家商店只要在月底进货这种商品9件 （假定上个月没有存货），就可以95%以上的把握 保证这种商品在下个月不会脱销.
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2-2离散型随机变量及其分布律
4、二项分布的泊松近似 (泊松定理)
当试验次数n很大时，计算二项分布很麻烦，必须寻求近似方法
P ( X 5 )
5 k 0
Ck 5000
(
1 1000
)k
(
999 1000
)5000k
离散型随机变量X b(n, p). 又设np ( 0), 则有
Cnk
pk (1
p )nk
n
k e
k!
即当n 很大且p 很小时，可用泊松分布近似计算二项分布.
P(X=0)=P(A1)=1/2,
P(X 1) P(A1A2 ) P(A1)P(A2 ) 1 4 P(X 2) P(A1 A2A3 ) P(A1)P(A2)P(A3) 1 8 P(X 3) P(A1 A2 A3A4 ) P(A1)P(A2 )P(A3 )P(A4 ) 1 16 P(X 4) P(A1A2 A3 A4 ) P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) 1 16
例3 (P30，例2) 设射手每次击中目标的概率p=0.75, 且各次射击 相互独立。现共射击4次，以X表示击中目标的次数。（1）写出X的 分布律；（2）求恰击中3次的概率；（3）求至少击中2次的概率。
解 : 定义 A {击中目标}, 伯努利试验.
X的可能取值有:0,1,2,3,4. 显然, X b(2,0.75)
解 : 记 X表示200人中患此病的人数.
显然, X b(200, 0.01)
np 200* 0.01 2
P ( X 4 ) 1 P( X 3)
3
1
Ck 200
(0.01)k
(0.99)2004
k
k0
1 3 2k e2 k0 k !
=1-0.8571=0.1429 (查泊松分布表: P247)
离散型随机变量及其分布
（0－1）分布的分布律用表格表示为：
X0 1
P 1-p p
0
易求得其分布函数为： F (x) 1 p
1
x0 0 x 1
x 1
2.二项分布（binomial distribution)： 定义：若离散型随机变量X的分布律为
PX k Cnk pkqnk k 0,1,L , n
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项
下面我们看一个应用的例子.
例7 为保证设备正常工作，需要配备适量的 维修人员 . 设共有300台设备，每台独立工作， 且发生故障的概率都是0.01。若在通常的情况 下，一台设备的故障可由一人来处理 ， 问至 少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生 故障时不能及时维修的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析：
§2.2 离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量及其分布律
1．离散型随机变量的定义 设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值
是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离 散型随机变量(discrete random variable)。
设X是一个离散型随机变量，它可能取的值 是 x1, x2 , … .为了描述随机变量 X ，我们不仅 需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取 每个值的概率.
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变 量X所取的一切可能值，称等式
P(X xk) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率函数或分布律， 也称概率分布.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
（2） pk1
k
k=1,2, …
用这两条性质判断 一个函数是否是
X0 1
P 1-p p
0
易求得其分布函数为： F (x) 1 p
1
x0 0 x 1
x 1
2.二项分布（binomial distribution)： 定义：若离散型随机变量X的分布律为
PX k Cnk pkqnk k 0,1,L , n
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项
下面我们看一个应用的例子.
例7 为保证设备正常工作，需要配备适量的 维修人员 . 设共有300台设备，每台独立工作， 且发生故障的概率都是0.01。若在通常的情况 下，一台设备的故障可由一人来处理 ， 问至 少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生 故障时不能及时维修的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析：
§2.2 离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量及其分布律
1．离散型随机变量的定义 设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值
是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离 散型随机变量(discrete random variable)。
设X是一个离散型随机变量，它可能取的值 是 x1, x2 , … .为了描述随机变量 X ，我们不仅 需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取 每个值的概率.
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变 量X所取的一切可能值，称等式
P(X xk) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率函数或分布律， 也称概率分布.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
（2） pk1
k
k=1,2, …
用这两条性质判断 一个函数是否是
2-2离散型随机变量及其分布律
P(X=2)=C (0.05) (0.95) = 0.007125
思考：本例中的“有放回”改为”无放回” 思考： 本例中的“有放回”改为”无放回”？ 不是伯努利试验。 各次试验条件不同,此试验就不是伯努利试验 此时, 各次试验条件不同,此试验就不是伯努利试验。此时, 1 2 只能用古典概型求解. 古典概型求解 只能用古典概型求解. C C
3. 泊松分布
定义 若一个随机变量 X 的概率分布为 λke−λ P{ X = k} = , k = 0,1,2,⋯, k! 则称 X 服从参数为 λ 的泊松分布， 泊松分布， 记为 X ~ P (λ ) 或 X ~ π (λ ). 易见， 易见，1) P { X = k } ≥ 0; ( k −λ ∞ ∞ ∞ λk λe −λ (2)∑P{X = k} = ∑ =e ∑ k! k=0 k ! k=0 k=0
泊松分布是常见的一种分布： 泊松分布是常见的一种分布： 地震 火山爆发 特大洪水
商场接待的顾客数 电话呼唤次数 交通事故次数
4. 二项分布的泊松近似
很大时， 对二项分布 b( n, p ), 当试验次数 n 很大时， 计 算其概率很麻烦. 例如， 算其概率很麻烦 例如，b(5000, 0.001), 要计算
.
二、几种常见分布
1. 两点分布 只可能取x 设随机变量 X 只可能取 1与x2两个值 , 它的 分布律为 x x
X pi
p 1− p
1
2
0< p<1
则称 X 服从x1 , x2处参数为 的两点分布。 处参数为p的两点分布。
说明： 只可能取0与 两个值 说明：若随机变量 X 只可能取 与1两个值 , 它的 分布律为 0 1
则随机变量 X的分布律为 X 的分布律为
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解: 如果新药无效, 则任一病人自动痊愈的概率为p=0.3 设X表示10名病人中自动痊愈的人数 则 X ~ b (10, 0.3)
9 P ( X 9 ) C10 (0.3)9 (0.7)109 0.00138
P ( X 9) P ( X 9 ) P ( X 10 )
（3）二项分布的图形特点：X∽b(n,p)
Pk Pk
0
...
n=10, p=0.7
n
0
..
n=20, p=0.5
.. n
说明:
a. 对于固定n及p，随着k的增加 ,概率P(X=k) 先是随之增加， 并在(n+1)p或者[(n+1)p] 达到最大值，随后单调减少。 b. 如果p>0.5，图形高峰右偏；如果p<0.5，图形高峰左偏。
说明：
k P ( X k ) C n p k (1 p )n k 0 a. 可验证二项分布满足概率充分条件 n k k C n p (1 p )n k ( p+1-p )n 1 k 0
k b. 式Cn pk (1 p)nk 为二项式( p 1 p)n 一般项,故二项分布.
c. n 1, B(n, p)即为0 1分布, P( X k ) pk qnk (k 0,1)
k d . n次试验中至多出现m次( m n): P (0 X m ) C n p k q n k k 0 m
np p或np p 1 np p N e. 事件A最可能发生次数k 其它 [np p] k (即使概率P ( X k ) C n p k (1 p)n k 达到最大值的k .
启示：一次试验中概率很小，但在大量重复试验中几乎必然发生
例7 某元件一级品率为0.2，现从一大批中随机抽查20只，问
（1）20只元件中恰有k只(k=0,1,…,20)一级品的概率；（2）求 20件中一级品率的最可能值；（3）一级品数介于3至5的概率。
解: （1） 虽为不放回抽样，因从大批中抽取少量，近似放回抽样 设X为20只元件中的一级品数。
k P ( X k ) C20 (0.2)k (0.8)20 k
显然,
X ~ b (20, 0.2)
(k =0,1,2,...,20)
(2) np p 20 * 0.2 0.2 4.2
k0 =[np p] [4.2] 4
20件中一级品数最可能为4件
(3) P(3<=X<=5)=P(X=3)+ P(X=4)+ P(X=5)= 0.598
二、常见的离散型随机变量
1、0-1分布（伯努里分布）
随机变量X取值两个：0、1，P(X=1)=p，则分布律为： 列表法： X P(X=k)
0 1-p 1 p
公式法： P{X k} pk (1 p)1k
（2）工厂随机抽取一产品是否合格。 （3）掷骰子一次是否出现6点。
0 X=X(e)= 1
(k=0,1)
举例： （1）随机抽取医院一产婴是否为男婴。
Байду номын сангаас
e e1 (女婴,不合格,非6点) e e1 (男婴,合格, 6点)
2、二项分布（重点）
（1）n重伯努里试验：
随机试验E的结果只有两个: A, A, 则称试验E为伯努里试验.
独立地重复进行n次伯努里试验E, n重伯努里试验.
说明：
a. 重复(试验)：指每次试验中P(A)=p保持不变；
第二节
离散型随机变量及其分布律
主要内容（2学时）
一、离散型随机变量的分布律 二、常见的离散型随机变量 1、0-1分布 2、二项分布（重点）
3、泊松分布
一、离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量 X 所有可能取的值为xk ( k 1, 2,), X 取各个可能值xk的概率为 P{ X xk } pk ,
X
pk
x1 p1
x2 xn p2 pn
( k 1,2, )
2) 公式法
P( X xk ) pk
(4) 利用分布律求事件A的概率: 设A R1 , 则 P ( A) P{ xk A}
xk A
pk .
例1. 掷骰子两次。求以下随机变量的分布律：(1)点数之和X； (2)两次投掷的最大点数Y
说明：
( k 1, 2,)
称此为离散型随机变量 X 的概率分布(分布律).
(1) 两要素: 1)所有可能值xk (2) 概率pk 满足两个条件 :
1 ) pk 0, k 1,2, ;
2) 取各可能值xk的概率pk
2 ) pk 1.
k 1
(3) 分布律的表示方法:
1) 列举法
例3 (P30，例2) 设射手每次击中目标的概率p=0.75, 且各次射击相互 独立。现共射击4次，以X表示击中目标的次数。（1）写出X的分布 律；（2）求恰击中3次的概率；（3）求至少击中2次的概率。
解 : 定义 A {击中目标}, 伯努利试验.
X的可能取值有:0,1,2,3,4. 显然, X b(2,0.75)
P(X=0)=P(AA...A ) P(A)P(A)..P(A ) p0 (1 p)n
1 P(X=1)=P(AA...A AAA ...A ... AA...AA ) Cn p1 (1 p)n1
k P( X k ) C n P( ) C k pk (1 p)nk A...A A...A n k n k
3、泊松分布（简介）
如果随机变量X的概率分布为: P ( X k ) 其中>0,则称随机变量X )服从泊松分布.
ke
k! 表示为: X P( )
( k 0,1, 2, ...)
说明：
(1) 容易验证: a. P{X=k} 0. b.
k=0
k e-
k!
=e- e 1
k P ( X k ) C400 (0.02)k (0.98)400 k
400
k=0,1,2,...,400
所求概率为:
k P(X 2)= C400 (0.02)k (0.98)400 k k=2
P(X 2)=1-P(X 0)-P(X 1)
1 0.98400 400 * 0.02 * 0.98399 0.997
1 1 (0.25)4 C4 (0.75)1(0.25)41 =0.949
例4 100个产品中有5个次品。现从中有放回取3次，每次任取1个， 求所取3个中恰有2个次品的概率.不放回时概率多少？ 解: 有放回抽取，试验结果只有次品(记为A)、正品，3重伯努里试验
设X为所取的3次中的次品数，显然X服从二项分布。 根据题意，P(A)=0.05. 显然, X ~ b (3, 0.05)
P ( X 2 ) C32 (0.05)2 (0.95) 0.007125
不放回时，各试验条件不同，不是伯努里试验。只能用古典概型
1 2 C95C5 P( X 2) 3 0.00618 C100
注意：放回、不放回时，结果不同，方法也不同。
例5(P31, 例4) 经验表明人们患了某种疾病, 有30%的人会不经治 疗自动痊愈. 医药公司推出一种新药, 随机抽取10个患难与共此种 病的病人服用新药, 知道其中有9人很快痊愈. 设各人自行痊愈与否 相互独立. 试推断这些病人是自行痊愈的,还是新药的作用.
(2) 泊松分布主要用来描述大量试验中稀有事件出现次数的概率。
例：a.某天医院看急诊的人数； b. 某路口一天的交通事故数
c.某本书中的印刷错误数； d. 放射性物质放射的粒子数
泊松分布的图形
4、二项分布的泊松近似 (泊松定理)
当试验次数n很大时，计算二项分布很麻烦，必须寻求近似方法
设Ai={汽车在第i个路口遇红灯}, i=1,2,3,4。 各 Ai间相互独立。 P(X=0)=P(A1)=1/2,
P(X 1) P( A1A2 ) P(A1 )P( A2 ) 1 4
P(X 2) P(A1 A2 A3 ) P(A1 )P(A2 )P(A3 ) 1 8 P(X 3) P(A1 A2 A3 A4 ) P(A1 )P(A2 )P(A3 )P(A4 ) 1 16 P(X 4) P(A1 A2 A3 A4 ) P(A1 )P(A2 )P(A3 )P(A4 ) 1 16
0.000138 0.310 0.000144
实际推断原理: 概率很小的事件, 在一次试验中几乎不会发生.
因此新药有疗效.
例6 某人每次射击命中率为0.02，独立射击400次，试求至少 击中两次的概率。
解: 400重独立重复试验。设X表示400次射击中的击中次数 显然, X ~ b (400, 0.02)
b. 独立(进行): 即各次试验结果互不影响, 若Ci代表第i次试验结果, 则P(C1C2 ...C n )=P(C1 )P(C 2 )...P(C n ) (Ci =A或A)
举例：
(1)重复抛硬币10次，事件A代表正面，10重伯努里试验。
(2) a只白球，b只黑球，放回抽样n次，A代表白球，n重伯努里试验
分布律（列举法）为：
X=k
0
1
1/4
2
1/8
3
1/16
4
1/16
P(X=k) 1/2
分布律（公式法）为：
P(X k) P(A1 ...Ak Ak 1 ) P(A1 )...P(Ak )P(Ak 1 )
P(X k) (1 p)k p
(k=0,1,2,3,4)
几何分布（某个事件首次出现时已试验次数）
9 P ( X 9 ) C10 (0.3)9 (0.7)109 0.00138
P ( X 9) P ( X 9 ) P ( X 10 )
（3）二项分布的图形特点：X∽b(n,p)
Pk Pk
0
...
n=10, p=0.7
n
0
..
n=20, p=0.5
.. n
说明:
a. 对于固定n及p，随着k的增加 ,概率P(X=k) 先是随之增加， 并在(n+1)p或者[(n+1)p] 达到最大值，随后单调减少。 b. 如果p>0.5，图形高峰右偏；如果p<0.5，图形高峰左偏。
说明：
k P ( X k ) C n p k (1 p )n k 0 a. 可验证二项分布满足概率充分条件 n k k C n p (1 p )n k ( p+1-p )n 1 k 0
k b. 式Cn pk (1 p)nk 为二项式( p 1 p)n 一般项,故二项分布.
c. n 1, B(n, p)即为0 1分布, P( X k ) pk qnk (k 0,1)
k d . n次试验中至多出现m次( m n): P (0 X m ) C n p k q n k k 0 m
np p或np p 1 np p N e. 事件A最可能发生次数k 其它 [np p] k (即使概率P ( X k ) C n p k (1 p)n k 达到最大值的k .
启示：一次试验中概率很小，但在大量重复试验中几乎必然发生
例7 某元件一级品率为0.2，现从一大批中随机抽查20只，问
（1）20只元件中恰有k只(k=0,1,…,20)一级品的概率；（2）求 20件中一级品率的最可能值；（3）一级品数介于3至5的概率。
解: （1） 虽为不放回抽样，因从大批中抽取少量，近似放回抽样 设X为20只元件中的一级品数。
k P ( X k ) C20 (0.2)k (0.8)20 k
显然,
X ~ b (20, 0.2)
(k =0,1,2,...,20)
(2) np p 20 * 0.2 0.2 4.2
k0 =[np p] [4.2] 4
20件中一级品数最可能为4件
(3) P(3<=X<=5)=P(X=3)+ P(X=4)+ P(X=5)= 0.598
二、常见的离散型随机变量
1、0-1分布（伯努里分布）
随机变量X取值两个：0、1，P(X=1)=p，则分布律为： 列表法： X P(X=k)
0 1-p 1 p
公式法： P{X k} pk (1 p)1k
（2）工厂随机抽取一产品是否合格。 （3）掷骰子一次是否出现6点。
0 X=X(e)= 1
(k=0,1)
举例： （1）随机抽取医院一产婴是否为男婴。
Байду номын сангаас
e e1 (女婴,不合格,非6点) e e1 (男婴,合格, 6点)
2、二项分布（重点）
（1）n重伯努里试验：
随机试验E的结果只有两个: A, A, 则称试验E为伯努里试验.
独立地重复进行n次伯努里试验E, n重伯努里试验.
说明：
a. 重复(试验)：指每次试验中P(A)=p保持不变；
第二节
离散型随机变量及其分布律
主要内容（2学时）
一、离散型随机变量的分布律 二、常见的离散型随机变量 1、0-1分布 2、二项分布（重点）
3、泊松分布
一、离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量 X 所有可能取的值为xk ( k 1, 2,), X 取各个可能值xk的概率为 P{ X xk } pk ,
X
pk
x1 p1
x2 xn p2 pn
( k 1,2, )
2) 公式法
P( X xk ) pk
(4) 利用分布律求事件A的概率: 设A R1 , 则 P ( A) P{ xk A}
xk A
pk .
例1. 掷骰子两次。求以下随机变量的分布律：(1)点数之和X； (2)两次投掷的最大点数Y
说明：
( k 1, 2,)
称此为离散型随机变量 X 的概率分布(分布律).
(1) 两要素: 1)所有可能值xk (2) 概率pk 满足两个条件 :
1 ) pk 0, k 1,2, ;
2) 取各可能值xk的概率pk
2 ) pk 1.
k 1
(3) 分布律的表示方法:
1) 列举法
例3 (P30，例2) 设射手每次击中目标的概率p=0.75, 且各次射击相互 独立。现共射击4次，以X表示击中目标的次数。（1）写出X的分布 律；（2）求恰击中3次的概率；（3）求至少击中2次的概率。
解 : 定义 A {击中目标}, 伯努利试验.
X的可能取值有:0,1,2,3,4. 显然, X b(2,0.75)
P(X=0)=P(AA...A ) P(A)P(A)..P(A ) p0 (1 p)n
1 P(X=1)=P(AA...A AAA ...A ... AA...AA ) Cn p1 (1 p)n1
k P( X k ) C n P( ) C k pk (1 p)nk A...A A...A n k n k
3、泊松分布（简介）
如果随机变量X的概率分布为: P ( X k ) 其中>0,则称随机变量X )服从泊松分布.
ke
k! 表示为: X P( )
( k 0,1, 2, ...)
说明：
(1) 容易验证: a. P{X=k} 0. b.
k=0
k e-
k!
=e- e 1
k P ( X k ) C400 (0.02)k (0.98)400 k
400
k=0,1,2,...,400
所求概率为:
k P(X 2)= C400 (0.02)k (0.98)400 k k=2
P(X 2)=1-P(X 0)-P(X 1)
1 0.98400 400 * 0.02 * 0.98399 0.997
1 1 (0.25)4 C4 (0.75)1(0.25)41 =0.949
例4 100个产品中有5个次品。现从中有放回取3次，每次任取1个， 求所取3个中恰有2个次品的概率.不放回时概率多少？ 解: 有放回抽取，试验结果只有次品(记为A)、正品，3重伯努里试验
设X为所取的3次中的次品数，显然X服从二项分布。 根据题意，P(A)=0.05. 显然, X ~ b (3, 0.05)
P ( X 2 ) C32 (0.05)2 (0.95) 0.007125
不放回时，各试验条件不同，不是伯努里试验。只能用古典概型
1 2 C95C5 P( X 2) 3 0.00618 C100
注意：放回、不放回时，结果不同，方法也不同。
例5(P31, 例4) 经验表明人们患了某种疾病, 有30%的人会不经治 疗自动痊愈. 医药公司推出一种新药, 随机抽取10个患难与共此种 病的病人服用新药, 知道其中有9人很快痊愈. 设各人自行痊愈与否 相互独立. 试推断这些病人是自行痊愈的,还是新药的作用.
(2) 泊松分布主要用来描述大量试验中稀有事件出现次数的概率。
例：a.某天医院看急诊的人数； b. 某路口一天的交通事故数
c.某本书中的印刷错误数； d. 放射性物质放射的粒子数
泊松分布的图形
4、二项分布的泊松近似 (泊松定理)
当试验次数n很大时，计算二项分布很麻烦，必须寻求近似方法
设Ai={汽车在第i个路口遇红灯}, i=1,2,3,4。 各 Ai间相互独立。 P(X=0)=P(A1)=1/2,
P(X 1) P( A1A2 ) P(A1 )P( A2 ) 1 4
P(X 2) P(A1 A2 A3 ) P(A1 )P(A2 )P(A3 ) 1 8 P(X 3) P(A1 A2 A3 A4 ) P(A1 )P(A2 )P(A3 )P(A4 ) 1 16 P(X 4) P(A1 A2 A3 A4 ) P(A1 )P(A2 )P(A3 )P(A4 ) 1 16
0.000138 0.310 0.000144
实际推断原理: 概率很小的事件, 在一次试验中几乎不会发生.
因此新药有疗效.
例6 某人每次射击命中率为0.02，独立射击400次，试求至少 击中两次的概率。
解: 400重独立重复试验。设X表示400次射击中的击中次数 显然, X ~ b (400, 0.02)
b. 独立(进行): 即各次试验结果互不影响, 若Ci代表第i次试验结果, 则P(C1C2 ...C n )=P(C1 )P(C 2 )...P(C n ) (Ci =A或A)
举例：
(1)重复抛硬币10次，事件A代表正面，10重伯努里试验。
(2) a只白球，b只黑球，放回抽样n次，A代表白球，n重伯努里试验
分布律（列举法）为：
X=k
0
1
1/4
2
1/8
3
1/16
4
1/16
P(X=k) 1/2
分布律（公式法）为：
P(X k) P(A1 ...Ak Ak 1 ) P(A1 )...P(Ak )P(Ak 1 )
P(X k) (1 p)k p
(k=0,1,2,3,4)
几何分布（某个事件首次出现时已试验次数）