矩阵的初等变换精品PPT课件
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6讲2.6初等矩阵 PPT课件
20
2.6.3 矩阵等价的充要条件
*定理2.4 A可逆 初等阵 P1, , Pk 使:
证 显然
A可逆
A P1 Pk
r(A)=n A 初E
即存在初等阵 P1, P2 , , Ps , Q1, Q2, , Qt
使 P1P2…PsAQ1Q2…Qt=E
A
P P 1 1 s s1
P11 EQt1Qt11
A
E
列
E A1
26
例3 用初等行变换求矩阵A的逆矩阵:
0 2 1
A
1
1
2
1 1 1
解 先将A化为行阶梯阵,再化为单位阵
27
0 2 1 1 0 0 1 1 2 0 1 0
[A
E]
1
1
2
0 1 0 0 2 1 1 0 0
a24
a21
a22
a23
a24
2
a31 a32 a33 a34 a31 a32 a33 a34 3
3 6
31
预习完 2.8
(^-^) Bye!
32
例6
将
A
1 1
1
1
表示成为初等方阵
之积.
解
A
1 1
1
1
1 0
1
2
1 0
1
1
E
33
E(1,2(1))E(2(1))E(2,1(1))A E
矩阵的初等变换与初等矩阵52页PPT
行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标 准形．
第二章 矩阵的运算
14
例如，
1 0 1 0 4
A
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
0 0 0 0 0
c3 c4 c4c1c2
1 0
0 c 5 4 c 1 3 c 2 3 c 3 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 0 4 4
0 0 0
1 0 0
x1 1
B4
对应方程组为
x2
0
x 3 0
第二章 矩阵的运算
12
矩阵B3 和B4 都称为行阶梯形 . 矩阵 特点：
（1）、可划出 一条阶梯线，线 的下方全为零；
（2）、每个台 阶 只有一行，
1 0 1 0 4
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
A
0 0 0 0 0
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非 零元．
A
r42r10
r2 r1
0 0
1 1 0
3 3 0
2 2 0
4 6 2
4 10 6
第二章 矩阵的运算
17
r3 r2
3 0
r4 r3
0 0
2 1 0 0
3 3 0 0
4 2 0 0
5 4 2 0
9
4 6 0
(行阶梯形矩 阵)
2 2×1
x1
2x2 x3 x2 2x3 0
1
3 1 x2 3x3 0
1
2 (B2 )
3
第二章 矩阵的运算
2
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x1
第二章 矩阵的运算
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例如，
1 0 1 0 4
A
0 0
1 0
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0 1
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0 0 0 0 0
c3 c4 c4c1c2
1 0
0 c 5 4 c 1 3 c 2 3 c 3 0
0 1 0 0
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x1 1
B4
对应方程组为
x2
0
x 3 0
第二章 矩阵的运算
12
矩阵B3 和B4 都称为行阶梯形 . 矩阵 特点：
（1）、可划出 一条阶梯线，线 的下方全为零；
（2）、每个台 阶 只有一行，
1 0 1 0 4
0 0
1 0
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A
0 0 0 0 0
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非 零元．
A
r42r10
r2 r1
0 0
1 1 0
3 3 0
2 2 0
4 6 2
4 10 6
第二章 矩阵的运算
17
r3 r2
3 0
r4 r3
0 0
2 1 0 0
3 3 0 0
4 2 0 0
5 4 2 0
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(行阶梯形矩 阵)
2 2×1
x1
2x2 x3 x2 2x3 0
1
3 1 x2 3x3 0
1
2 (B2 )
3
第二章 矩阵的运算
2
3 2
x1
矩阵的初等变换与线性方程组的求解【精品推荐ppt】ppt课件
a1=q1a2+r1,0<r1<a2, a2=q2r1+r2,0<r2<r1, ……
rm-2=qmrm-1+rm,0<rm<rm-1, rm-1=qm+1rm（m≥1, rm=d）
x1 x2 3x3 x4 x5 3
例1 求线性方程组
或“－1”，若主对角线上某一元素为“－1”，则该
32xx11
2x2 4x3 5x4 x5 4x3 2x4 3x5
4 4
位填充矩阵C是匹配的。
由
得
的一般解。 B是匹配的，故C只能是n×n矩阵， 从而C′
rm-2=qmrm-1+rm,0<rm<rm-1,
而B的填充矩阵为：
1 0
0
1
0 b1,r1 0 b2,r1
b1,r2 b2,r2
b1n
b2n
C
0
0
1 b b r,r1
r ,r 2
brn
(5)
0 0
0 1 0
0
0 0
00 0
1nn
其所有J－列向量为： r+1=(b1,r+1, …,br,r+1, －1,0, …,0) r+2=(b1,r+1, …,br,r+1,0, －1, …,0)
有解，其增广矩阵A经一系列初等行变换化 为行最简形矩阵B，则B的n×(n+1)单位填充
矩阵பைடு நூலகம்所有“J－列向量”构成方程组(7)的导
出组的一个基础解系，而C的最后一列为方 程组(7)的一个特解。
证明 由定理1，前一结论显然。下证Ｃ的最 后一列为方程组的一个特解。
作齐次线性方程组
rm-2=qmrm-1+rm,0<rm<rm-1, rm-1=qm+1rm（m≥1, rm=d）
x1 x2 3x3 x4 x5 3
例1 求线性方程组
或“－1”，若主对角线上某一元素为“－1”，则该
32xx11
2x2 4x3 5x4 x5 4x3 2x4 3x5
4 4
位填充矩阵C是匹配的。
由
得
的一般解。 B是匹配的，故C只能是n×n矩阵， 从而C′
rm-2=qmrm-1+rm,0<rm<rm-1,
而B的填充矩阵为：
1 0
0
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0 b1,r1 0 b2,r1
b1,r2 b2,r2
b1n
b2n
C
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1 b b r,r1
r ,r 2
brn
(5)
0 0
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其所有J－列向量为： r+1=(b1,r+1, …,br,r+1, －1,0, …,0) r+2=(b1,r+1, …,br,r+1,0, －1, …,0)
有解，其增广矩阵A经一系列初等行变换化 为行最简形矩阵B，则B的n×(n+1)单位填充
矩阵பைடு நூலகம்所有“J－列向量”构成方程组(7)的导
出组的一个基础解系，而C的最后一列为方 程组(7)的一个特解。
证明 由定理1，前一结论显然。下证Ｃ的最 后一列为方程组的一个特解。
作齐次线性方程组
线性代数课件--05矩阵的初等变换与初等矩阵-PPT精品文档
课件 7
Go
由此可知，方程组的三种同解变换很自然地要引 入到矩阵上，导出矩阵矩阵的三种初等行变换. 同时，必须注意，原方程组能同解变换成什么样 的最简单方程组，就是相当于增广矩阵在初等行 变换下能变成什么样的最简单矩阵（行最简形矩 阵）. 就本例来说，四个未知数划分为自由未知数 x 3 和 非自由未知数 x 1, x 2, x 4.
《线 性 代 数》
电子教案之五
课件
1
主要内容
第 矩阵的初等变换的概念； 五 阶梯形矩阵的概念； 讲
矩 阵 的 初 等 变 换 与 初 等 矩 阵 矩阵等价的概念； 三种初等矩阵，初等矩阵与初等变换的联系.
基本要求
熟悉掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩 阵，知道矩阵等价的概念； 知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联 系，掌握用初等变换求可逆矩阵的逆阵的方法.
1 2 3 4
Байду номын сангаас
( B2 )
x x 2 x x 4 , 1 2 3 4 2 12 x x x 0 , 2 3 4 2 x 6 , 3 52 4 4 32 x 3 . 4
课件
( B3 )
4
2
1 2
3 52 4 32 3
1 2
4 3 0 . 3
课件
6
说明
求解线性方程组可分为消元与回代两过程。消元 过程的实质，就是通过一系列方程组的同解变换 找到一个形式上较简单的方程组，然后进行回代， 这里方程组的同解变换是指下列三种变换： 对调两个方程； 以不为零的数乘某一个方程； 把一个方程的倍数加到另一个方程上. 从原方程组 ( 1 ) 同解变换到方程组( B 5 ) 的过程可见， 除去代表未知数的文字外，矩阵与方程组是一一 对应的.换言之，方程组有没有解，有什么样解完 全由各方程组的系数和常数项连同它们相互位置 所成数表，即增广矩阵所决定.而且，对方程组作 同解变换，相当于对它的增广矩阵作相应的变换.
Go
由此可知，方程组的三种同解变换很自然地要引 入到矩阵上，导出矩阵矩阵的三种初等行变换. 同时，必须注意，原方程组能同解变换成什么样 的最简单方程组，就是相当于增广矩阵在初等行 变换下能变成什么样的最简单矩阵（行最简形矩 阵）. 就本例来说，四个未知数划分为自由未知数 x 3 和 非自由未知数 x 1, x 2, x 4.
《线 性 代 数》
电子教案之五
课件
1
主要内容
第 矩阵的初等变换的概念； 五 阶梯形矩阵的概念； 讲
矩 阵 的 初 等 变 换 与 初 等 矩 阵 矩阵等价的概念； 三种初等矩阵，初等矩阵与初等变换的联系.
基本要求
熟悉掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩 阵，知道矩阵等价的概念； 知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联 系，掌握用初等变换求可逆矩阵的逆阵的方法.
1 2 3 4
Байду номын сангаас
( B2 )
x x 2 x x 4 , 1 2 3 4 2 12 x x x 0 , 2 3 4 2 x 6 , 3 52 4 4 32 x 3 . 4
课件
( B3 )
4
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1 2
3 52 4 32 3
1 2
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课件
6
说明
求解线性方程组可分为消元与回代两过程。消元 过程的实质，就是通过一系列方程组的同解变换 找到一个形式上较简单的方程组，然后进行回代， 这里方程组的同解变换是指下列三种变换： 对调两个方程； 以不为零的数乘某一个方程； 把一个方程的倍数加到另一个方程上. 从原方程组 ( 1 ) 同解变换到方程组( B 5 ) 的过程可见， 除去代表未知数的文字外，矩阵与方程组是一一 对应的.换言之，方程组有没有解，有什么样解完 全由各方程组的系数和常数项连同它们相互位置 所成数表，即增广矩阵所决定.而且，对方程组作 同解变换，相当于对它的增广矩阵作相应的变换.
线性代数课件 矩阵的初等变换
第i列
第 j列
11
(2) 以数 k 0 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。
以数k 0乘单位矩阵的第i行( ri k )，得初等 矩阵E ( i ( k )).
1 1 E ( i ( k )) k 1 1
标准形矩阵
特点：左上角为一个单 位矩阵,其他位置上的元素全 都为 0 .
9
二、初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 1 0 0 r 4r 1 0 4 1 3 例如 E 0 1 0 ~ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
3
定义3 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作A ~ B．
等价关系的性质：
（1）自反性 A A；
（2）对称性 若 A B , 则 B A; （3）传递性 若 A B, B C, 则 A C.
4
行阶梯形矩阵：
特点： （1）可划出一 条阶梯线，线的 下方全为零； （2）每个台阶 只有一行，
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k; k ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .
矩阵的初等变换与矩阵的秩课堂 ppt课件
2 1 1 1 2
1
4
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2 2
1 2
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B
3
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7
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1
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铃
第四节 矩阵的初等变换与矩阵的秩
一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。 (1)交换矩阵的两行； (2)以数k0乘矩阵的某一行； (3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。 交换第i行与第j行记为rirj。 例如
用数k乘以第i列记为cik。例如
1 5 1 1 1 2 1 3 3 8 1 1 1 9 3 7
c34
———
1 5 4 1 1 2 4 3 3 8 4 1 1 9 12 7
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一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。
(1)交换矩阵的两列；
(2)以数k0乘矩阵的某一列；
② 所有非零行（元素不全为0的行）的首元，它的“列标” 随着“行标”的增大而严格增大。
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0
0
1 0
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B4
0
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00
0
行阶梯形矩阵： 1. 可画出一条阶梯线，线的下
方全为零； 2. 每个台阶只有一行； 3. 阶梯线的竖线后面是非零行
的第一个非零元素.
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备注
• 带有运算符的矩阵运算，用“ = ”．例如：
矩阵加法
＋
数乘矩阵、矩阵乘法
×
1
4
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2 2
1 2
4 4
B
3
6 9
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第四节 矩阵的初等变换与矩阵的秩
一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。 (1)交换矩阵的两行； (2)以数k0乘矩阵的某一行； (3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。 交换第i行与第j行记为rirj。 例如
用数k乘以第i列记为cik。例如
1 5 1 1 1 2 1 3 3 8 1 1 1 9 3 7
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一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。
(1)交换矩阵的两列；
(2)以数k0乘矩阵的某一列；
② 所有非零行（元素不全为0的行）的首元，它的“列标” 随着“行标”的增大而严格增大。
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行阶梯形矩阵： 1. 可画出一条阶梯线，线的下
方全为零； 2. 每个台阶只有一行； 3. 阶梯线的竖线后面是非零行
的第一个非零元素.
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• 带有运算符的矩阵运算，用“ = ”．例如：
矩阵加法
＋
数乘矩阵、矩阵乘法
×
4.矩阵的初等变换与矩阵的秩课堂ppt教学教材
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• 带有运算符的矩阵运算，用“ = ”．例如：
矩阵加法
＋
数乘矩阵、矩阵乘法
×
矩阵的转置
T（上标）
方阵的行列式
|∙|
• 不带运算符的矩阵运算，用“～”．例如：
初等行变换 初等列变换
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三、用初等变换将矩阵化为阶梯形和标准阶梯形矩阵 （1）阶梯形矩阵 定义：适合下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵 ①零行（元素全为0的行）位于矩阵的下方
r24
———
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一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。 (1)交换矩阵的两行； (2)以数k0乘矩阵的某一行； (3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。
第j行的k倍加到第i行记为ri+krj。例如
初等矩阵有下列三种： I(i, j)、I(i(k))、 I (i, j(k)) 。 例如，下面是几个4阶初等矩阵：
1000
1000
I
0
1
0
0
r2+kr4
———
0
1
0
k I(2,4 (k))
0010
0010
0001
0001
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c4+kc2
———
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k I(2, 4(k) )
高中数学《矩阵及其初等变换》课件
0 3 1 2 01 3 0 1 2 2
注意: 在这个例子中 BA 无意义.
例2
A
a1
a2
,
B b1
b2
则
AB
a1b1
a2b1
a1b2 a2b2
,
BA
(b1a1
b2a2
)
注意: 在这个例子中,虽然 AB 与
BA 均有意义,但是AB 是 2×2 矩阵, 而BA是 1×1 矩阵.
第一章 矩阵及其初等变换
1
本章主要内容
1.1 矩阵及运算 1.2 向量与分块矩阵 1.3 初等变换与初等阵
2
1.1 矩阵的概念
1.1.1.矩阵的概念
1. 矩阵的定义
由 mn 个数排成的m行、n列的矩形数表
a11 a12
A
a21
a22
am1
am 2
称为阶数为 m n 的矩阵.
a1n
a2n
非齐次线性方程组的表示形式
a11 x1 a12 x2 (1)一般形式： a21x1 a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
(2) 矩阵形式： AX b 其中A (aij )mn , X ( x1, x2, b (b1, b2, , bm )T
a11
对角矩阵:
diag(a11,
ann
单位矩阵: E ,In 或 E n diag(1,1,
a11 a12
上三角矩阵:
a22
a1n
a2
n
ann
, ann )
,1)
a11
下三角矩阵:
a21
a22
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2a14
a24
a34
2a14
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山东财政学院
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
13
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
a13 a23
P
a22 a12
a21 3a22 a11 3a12
a23
a13
山东财政学院
二、求逆矩阵的初等变换法 1. 矩阵的等价标准形
2. 定义1.15 如果矩阵B可以由矩阵A经过有限次初等 变换得到，则称A与B等价。
3. 定理1.7 任意矩阵A都与一个形如
Er 0
0
0
的矩阵等价，这个矩阵称为矩阵A的等价标准形。
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
山东财政学院
a11 a12 a13 a14
2a11 2a12 2a13
例：A
a21
a22
a23
a24
B
a21
a22
a23
a31 a32 a33 a34
a31 a32 a33
2a11
C
2a11
a21
a31
2a12 2a11 a22
a32
2a13 2a13 a23
a33
2a14
对矩阵（A, E)做一系列行初等变换，将其左半 部分化为单位矩阵E,这时右半部分就是
（A, E) 行初等变换（E, A1)
山东财政学院
例3
设A=
2 1
5 3
求A1.
2 4 1
例4
设A
1
5
2
求A1.
1 1 1
4 2 3
例5
求解矩阵方程AX
A 2 X , 其中A
1 1
1 2
0 3
山东财政学院
推论1 对于任意m n矩阵A, 存在m阶初等矩阵P1, P2, Ps和
n阶初等矩阵Q1,Q2, Qt ,使得
P1P2
Ps AQ1Q2
Qt
Er 0
0
0
.
推论2 对于任意m n矩阵A, 存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆
矩阵Q,
使得PAQ
Er 0
0
0
.
推论3 n阶矩阵A可逆的充要条件是 A的等价标准形为En.
山东财政学院
推论4 n阶矩阵A可逆的充要条件是A可以表示为
有限个初等矩阵的乘积。
2. 求逆矩阵的初等变换法
A1
G1G2
Gk E
E G1G2 Gk A
从这两式可以看出，当对矩阵A进行有限次初等行变
换，将A化为单位矩阵E时，对单位矩阵E进行相同
的初等行变换，就将E化为 A1.
山东财政学院
于是,我们可以采用以下方法求A1 : 将A与E并排在一起，组成一个n 2n的矩阵（A, E).
(1) 对A进行一次行初等变换，相当于用一个m阶 的初等矩阵左乘A; (2)对A进行一次列初等变换，相当于用一个m阶 的初等矩阵右乘A; 例
山东财政学院
例：A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
B
a12 a22
a11 a21
a13
a23
C
a12 a22
a11 3a12 a21 3a22
(3)将E的第j行(列)的k倍加到第i行(列)上,得到的初等
矩阵记作 P(i, j(k))
1
1k
演示
P(i,
j(k
))
1
1
可以验证，初等矩阵具有以下性质：
（1）初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵；
（2）初等矩阵皆为可逆矩阵，且其逆矩阵仍为 同类型的初等矩阵。山东财政学院
矩阵的初等变换和初等矩阵之间有如下的 密切联系： 定理1.6 设A=(aij )是m n矩阵，则
一般的，由三种初等变换得到三种初等矩阵，分别 记为
(1)交换E的第i、j行（列）（i<j),得到的初等矩阵计作P(i,j)，
演示
1
0
P(i,
j)
1
0
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0
1
0
1
(2) 用非零常数k乘以E的第i行(列),得到的初等矩 阵记作 P(i(k)),
1
演示
1
P(i(k
))
k
1
1
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1.6 矩阵的初等变换
一、矩阵的初等变换与初等矩阵 定义 1.13 设A (aij )mn,则以下三种变换： (1)交换A的两行(列); (2)用一个非零的数乘以A的某一行(列); (3) 将A某一行(列)的k倍加到另一行(列)上。 称为A的初等行(列)变换，通称初等变换。
例
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定义 1.14 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩 阵称为初等矩阵。