2018-2019学年浙江省杭州市萧山区九年级(上)期末数学试卷

2018-2019学年浙江省杭州市萧山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（3分）已知＝，则＝（）A．B．C．D．2．（3分）抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标为（）A．（0，﹣2）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（2，0）3．（3分）抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，则下列说法正确的是（）A．连续抛掷2次必有1次正面朝上B．连续抛掷10次不可能都正面朝上C．大量反复抛掷每100次出现正面朝上50次D．通过抛掷硬币确定两人谁先发球的比赛规则是公平的4．（3分）边长为2的正方形内接于⊙O，则⊙O的半径是（）A．1B．C．2D．25．（3分）Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值是（）A．B．1C．D．6．（3分）如图，已知点P是四边形ABCD对角线AC上一点，PE∥CD交AD于点E，PF ∥BC交AB于点E，若＝，则四边形AFPE的周长l1与四边形ABCD的周长l2之比为（）A．＝B．＝C．＝D．＝7．（3分）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，在⊙O中，∠ACB＝50°，∠AOC＝60°，则∠BAC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°9．（3分）已知二次函数y＝（ax﹣b）（x﹣1），当x＞1时，y随x的增大而增大，给出下列结论：①抛物线开口向上；②抛物线与坐标轴必有3个交点；③a≥b．则正确的有（）A．①②③B．①②C．①③D．②③10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝a，点P在AD上，且AP＝2．点E是边AB上的动点，以PE为边作直角∠EPF，射线PF交边BC于点F．连接EF．给出下列结论：①tan∠PFE＝；②a的最小值为10．则下列说法正确的是（）A．①，②都对B．①，②都错C．①对，②错D．①错，②对二、填空題：本题有6个小题，每小题4分，共24分11．（4分）计算：cos45°＝．12．（4分）在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为它是黄球概率的，则n＝．13．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为．14．（4分）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，则x的最小值为．15．（4分）如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．若DH＝CH＝2，BD＝4，则：（1）AB的长为；（2）劣弧的长为．16．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（1）若a＝1，则函数y的最小值为．（2）若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为．三、解答题：本题有7个小题，共66分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17．（6分）某电脑公司现有A、B、C三种型号的甲品牌电脑和D、E两种型号的乙品牌电脑．某中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）；（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，求A型号电脑被选中的概率．18．（8分）已知二次函数y＝x2﹣x+m的图象经过点（1，﹣2）（1）求此函数图象与坐标轴的交点坐标；（2）若P（﹣2，y1），Q（5，y2）两点在此函数图象上，试比较y1，y2的大小．19．（8分）已知△ABC中，AB＝5，AC＝3，sin B＝，求△ABC的面积．20．（10分）如图，矩形窗户边框ABCD由矩形AEFD，矩形BNME，矩形CFMN组成，其中AE：BE＝1：3．已知制作一个窗户边框的材料的总长是6米，设BC＝x（米），窗户边框ABCD的面积为S（米2）．（1）①用x的代数式表示AB；②求x的取值范围．（2）求当S达到最大时，AB的长．21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：＝．（2）若BD＝2，BE＝3，求tan∠BAC的值．22．（12分）如图，▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠DCB交AD于点E，BF和CE相交于点P．（1）求证：AE＝DF．（2）已知AB＝4，AD＝5①求的值；②求四边形ABPE的面积与△BPC的面积之比．23．（12分）如图，等边△ABC中，点D是BC边上任一点，以AD为边作∠ADE＝∠ADF ＝60°，分别交AC，AB于点E，F．（1）求证：AD2＝AE•AC．（2）已知BC＝2，设BD的长为x，AF的长为y．①求y关于x的函数表达式；②若四边形AFDE外接圆直径为，求x的值．2018-2019学年浙江省杭州市萧山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（3分）已知＝，则＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用比例的合比性质得到答案即可．【解答】解：∵＝，∴＝＝，故选：B．【点评】考查了比例的性质，牢记比例的合比性质是解答本题的关键，难度不大．2．（3分）抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标为（）A．（0，﹣2）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（2，0）【分析】根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标即对称轴．【解答】解：抛物线y＝x2﹣2是顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（0，﹣2），故选：A．【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．3．（3分）抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，则下列说法正确的是（）A．连续抛掷2次必有1次正面朝上B．连续抛掷10次不可能都正面朝上C．大量反复抛掷每100次出现正面朝上50次D．通过抛掷硬币确定两人谁先发球的比赛规则是公平的【分析】根据概率的意义逐一判断即可得．【解答】解：A．连续抛掷2次可能有1次正面朝上，此选项错误；B．连续抛掷10次可能都正面朝上，但可能性较小，此选项错误；C．大量反复抛掷每100次出现正面朝上接近50次，此选项错误；D．通过抛掷硬币确定两人谁先发球的比赛规则是公平的，此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．4．（3分）边长为2的正方形内接于⊙O，则⊙O的半径是（）A．1B．C．2D．2【分析】连接OB，CO，在Rt△BOC中，根据勾股定理即可求解．【解答】解：连接OB，OC，则OC＝OB，∠BOC＝90°，在Rt△BOC中，OB＝．∴⊙O的半径是，故选：B．【点评】此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问题．5．（3分）Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值是（）A．B．1C．D．【分析】根据30°的正弦值是求出∠A，根据直角三角形的性质求出∠B，根据60°的正切值计算．【解答】解：sin A＝，则∠A＝30°，∵∠C＝90°，∴∠B＝60°，∴tan B＝tan60°＝，故选：D．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．6．（3分）如图，已知点P是四边形ABCD对角线AC上一点，PE∥CD交AD于点E，PF ∥BC交AB于点E，若＝，则四边形AFPE的周长l1与四边形ABCD的周长l2之比为（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】由平行线截线段成比例求得四边形AFPE与四边形ABCD的对应边的比例，然后以后四边形的周长定义求得答案．【解答】解：∵PE∥CD，PF∥BC，＝，∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝．故选：C．【点评】考查了平行线的性质，解题的关键是求得四边形AFPE与四边形ABCD的对应边的比例，难度不大．7．（3分）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A．B．C．D．【分析】根据已知条件“a＜0、b＞0、c＜0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y 轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．【解答】解：∵a＝﹣1＜0，b＞0，c＜0，∴该函数图象的开口向下，对称轴是x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y＝ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．8．（3分）如图，在⊙O中，∠ACB＝50°，∠AOC＝60°，则∠BAC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°【分析】由圆心角∠AOC＝60°，可知圆周角∠ABC＝30°，所以∠BAC＝180°﹣50°﹣30°＝100°．【解答】解：∵∠AOC＝60°，∴∠ABC＝30°，∵∠ACB＝50°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣30°＝100°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，关键是根据同弦所对圆心角与圆周角的关系解答．9．（3分）已知二次函数y＝（ax﹣b）（x﹣1），当x＞1时，y随x的增大而增大，给出下列结论：①抛物线开口向上；②抛物线与坐标轴必有3个交点；③a≥b．则正确的有（）A．①②③B．①②C．①③D．②③【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：①由x＞1时，y随x的增大而增大，可知开口必定向上，否则不能满足x＞1时，y随x的增大而增大，故①正确；②当b＝0时，此时y＝ax（x﹣1），此时抛物线与坐标轴只有两个交点，故②错误；③x＞1时，y随x的增大而增大，∴，∵a＞0，∴b≤a，故③正确；故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝a，点P在AD上，且AP＝2．点E是边AB上的动点，以PE为边作直角∠EPF，射线PF交边BC于点F．连接EF．给出下列结论：①tan∠PFE＝；②a的最小值为10．则下列说法正确的是（）A．①，②都对B．①，②都错C．①对，②错D．①错，②对【分析】①tan∠PFE＝，利用矩形ABCD四个直角，再加上∠EPF为直角，联想到构造三垂直模型，故过F作AD垂线，垂足为G，即有△AEP∽△GPF，且相似比为1：2，即求得tan∠PFE．②显然，若a要取最小值，则F、C要重合（G、D重合），又AE与PG为对应边，AE越小则PG（PD）越小，当AE＝0时，PD＝0最小，此时a＝2．【解答】解：过点F作FG⊥AD于点G∴∠FGP＝90°∵矩形ABCD中，AB＝4，∠A＝∠B＝90°∴四边形ABFG是矩形，∠AEP+∠APE＝90°∴FG＝AB＝4∵∠EPF＝90°∴∠APE+∠FPG＝90°∴∠AEP＝∠FPG∴△AEP∽△GPF∴∴Rt△EPF中，tan∠PFE＝，故①正确．如图2，当A、E重合，C、F重合，D、P重合时，AD最短，此时a＝2，故②错误．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形判定和性质，解直角三角形．关键是对几个直角的条件进行组合运用（三垂直模型），动点题求最值时可把动点移到极端位置（一般是线段端点）来思考问题．二、填空題：本题有6个小题，每小题4分，共24分11．（4分）计算：cos45°＝．【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：根据特殊角的三角函数值可知：cos45°＝．故答案为．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，比较简单，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答的关键．12．（4分）在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为它是黄球概率的，则n＝4．【分析】根据黄球的概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可．【解答】解：根据题意得：＝×，解得：n＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．13．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为40°．【分析】根据旋转的性质可得出AB＝AD、∠BAD＝100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数，此题得解．【解答】解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣100°）＝40°．故答案为：40°．【点评】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出∠B的度数是解题的关键．14．（4分）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，则x的最小值为10．【分析】如图，当红灯下沿，大巴车车顶，小张的眼睛三点共线时，求出x的值即可；【解答】解：如图，当红灯下沿，大巴车车顶，小张的眼睛三点共线时，∵CD∥AB，∴△ECD∽△EAB，∴＝，∴＝，解得x＝10，故答案为10【点评】本题考查视点、视角和盲区，相似三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会把实际问题转化为数学问题，属于中考常考题型．15．（4分）如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．若DH＝CH＝2，BD＝4，则：（1）AB的长为8；（2）劣弧的长为．【分析】（1）连接OD，根据垂径定理得到AB⊥CD，根据正弦的定义求出∠B，得到△BOD为等边三角形，根据等边三角形的性质求出OB，得到答案；（2）根据弧长公式计算即可．【解答】解：（1）连接OD，∵AB为⊙O的直径，DH＝CH，∴AB⊥CD，在Rt△BHD中，sin B＝＝，∴∠B＝60°，又OB＝OD，∴△BOD为等边三角形，∴OB＝BD＝4，∴AB＝8，故答案为：8；（2）劣弧的长＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定和性质、弧长的计算，掌握垂径定理、弧长公式是解题的关键．16．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（1）若a＝1，则函数y的最小值为﹣1．（2）若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为或﹣4．【分析】（1）将a＝1代入二次函数y＝ax2﹣4ax+3a，然后配方即可．（2）先求出抛物线的对称轴是直线x＝2，然后分a＞0和a＜0两种情况讨论，根据函数增减性即可求出a的值．【解答】解：（1）当a＝1时，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1∵a＝1＞0∴抛物线的开口向上，当x＝2时，函数y的最小值为﹣1．（2）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a∴抛物线的对称轴是直线x＝2，∵1≤x≤4，∴当a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴直线x＝2右侧y随x的增大而增大，当x＝4时y有最大值，a×（4﹣2）2﹣a＝4，解得a＝，当a＜0时，抛物线开口向下，x＝2时y有最大值，a×（2﹣2）2﹣a＝4，解得a＝﹣4．故答案为（1）﹣1；（2）．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握最值的计算公式．三、解答题：本题有7个小题，共66分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17．（6分）某电脑公司现有A、B、C三种型号的甲品牌电脑和D、E两种型号的乙品牌电脑．某中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）；（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，求A型号电脑被选中的概率．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）可求得A型号电脑被选中的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）画树状图得：∴有6种选择方案：AD、AE、BD、BE、CD、CE；（2）∵（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，且A型号电脑被选中的有2种情况，∴A型号电脑被选中的概率＝＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．18．（8分）已知二次函数y＝x2﹣x+m的图象经过点（1，﹣2）（1）求此函数图象与坐标轴的交点坐标；（2）若P（﹣2，y1），Q（5，y2）两点在此函数图象上，试比较y1，y2的大小．【分析】（1）先把（1，﹣2）代入y＝x2﹣x+m求出m得到抛物线解析式为y＝x2﹣x ﹣，则通过解方程x2﹣x﹣＝0得抛物线与x轴的交点坐标；通过计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标；（2）先确定抛物线的对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的性质，通过比较P点和Q 点到对称轴的距离大小得到y1，y2的大小．【解答】解：（1）把（1，﹣2）代入y＝x2﹣x+m得﹣1+m＝﹣2，解得m＝﹣，则抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣，当y＝0时，x2﹣x﹣＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，所以抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；当x＝0时，y＝x2﹣x﹣＝﹣，所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣）；（2）抛物线的对称轴为直线x＝1，因为P（﹣2，y1）到直线x＝1的距离比点Q（5，y2）到直线x＝1的距离小，而抛物线开口向上，所以y1＜y2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．19．（8分）已知△ABC中，AB＝5，AC＝3，sin B＝，求△ABC的面积．【分析】分两种情形分别求解即可解决问题．【解答】解：如图，作AH⊥BC于H．∵AH＝AB•sin B＝5×＝3，∴BH＝＝4，CH＝＝3∴S△ABC＝×BC×AH＝×（4+3）×3＝，或S△ABC′＝×（4﹣3）×3＝．综上所述，△ABC的面积为或【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．20．（10分）如图，矩形窗户边框ABCD由矩形AEFD，矩形BNME，矩形CFMN组成，其中AE：BE＝1：3．已知制作一个窗户边框的材料的总长是6米，设BC＝x（米），窗户边框ABCD的面积为S（米2）．（1）①用x的代数式表示AB；②求x的取值范围．（2）求当S达到最大时，AB的长．【分析】（1）①设AE＝a，根据题意列式即可得到结论；②解不等式即可得到结论；（2）根据题意求得函数的解析式S＝AB•BC＝•x＝﹣x2+x，根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）①∵BC＝x，∴AD＝EF＝BC＝x，∵AE：BE＝1：3，∴设AE＝a，∴AB＝CD＝4a，MN＝BE＝3a，∴AB+CD+MN＝11a，∵制作一个窗户边框的材料的总长是6米，∴11a+3x＝6，∴a＝，∴AB＝；②∵AB＞0，∴＞0，解得：x＜2，∴x的取值范围为：0＜x＜2；（2）∵S＝AB•BC＝•x＝﹣x2+x，∴S＝﹣（x﹣1）2+，∴当x＝1时，S取最大值，∴AB＝，则当S达到最大时，AB的长为米．【点评】本题考查的是二次函数的实际应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决最值问题，会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：＝．（2）若BD＝2，BE＝3，求tan∠BAC的值．【分析】（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC＝90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE＝CE，进而利用等腰三角形的性质得出∠BAE ＝∠CAE，进而证明即可；（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．【解答】（1）证明：连结AE，如图，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥BC，而AB＝AC，∴BE＝CE，∴∠BAE＝∠CAE，∴；（2）连结DE，CD，如图，∵BE＝CE＝3，∴BC＝6，∵∠BED＝∠BAC，而∠DBE＝∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴，即，∴BA＝9，∴AC＝BA＝9．∴AD＝AB﹣BD＝9﹣2＝7，∴DC＝∴tan∠BAC＝【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．22．（12分）如图，▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠DCB交AD于点E，BF和CE相交于点P．（1）求证：AE＝DF．（2）已知AB＝4，AD＝5①求的值；②求四边形ABPE的面积与△BPC的面积之比．【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF＝∠AFB，得出AF＝AB，同理可证DE＝DC，推出AF＝DE即可解决问题．（2）①求出EF的值，利用平行线的性质即可解决问题．②连接P A．设△AEP的面积为S．求出四边形ABPE，△PBC的面积即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC＝AB，AD＝BC，∴∠AFB＝∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC，则∠ABF＝∠AFB，∴AF＝AB，同理可证：DE＝DC，∴AF＝DE，∴AE＝DF．（2）①解：由（1）可知AB＝AF＝DE＝4，∵AD＝5，∴AE＝DF＝1，EF＝3，∵EF∥BC，∴＝＝．②解：连接P A．设△AEP的面积为S．∵EF＝3AE，∴△EFP的面积为3S，∵△EFP∽△CBP，∴＝（）2＝，∴S△BCP＝S，∵PB：PF＝5：3，∴S△APB：S△APF＝5：3，∴S△ABP＝S，∴S四边形ABPE＝S，∴＝＝．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题．23．（12分）如图，等边△ABC中，点D是BC边上任一点，以AD为边作∠ADE＝∠ADF ＝60°，分别交AC，AB于点E，F．（1）求证：AD2＝AE•AC．（2）已知BC＝2，设BD的长为x，AF的长为y．①求y关于x的函数表达式；②若四边形AFDE外接圆直径为，求x的值．【分析】（1）只要证明△ADE∽△ACD即可解决问题．（2）①作AM⊥BC于M．证明AD2＝AE•AB，即可解决问题．②作EH⊥AF于H，连接EF，证明△AEF的等边三角形，求出AF的值，构建方程即可解决问题．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，∵∠ADE＝60°，∴∠ADE＝∠C，∵∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD，∴＝，∴AD2＝AE•AC．（2）解：①作AM⊥BC于M．∵△ABC是等边三角形，BC＝2，AM⊥BC，∴AB＝BC＝2，∠B＝60°，BM＝MC＝1，AM＝，∵∠ADF＝60°，∴∠ADF＝∠B，∵∠DAF＝∠CAB，∴△ADF∽△AFB，∴AD2＝AF•AB，∴AM2+DM2＝AF•AB∴3+（1﹣x）2＝2y，∴y＝x2﹣x+2（0＜x＜2）．②作EH⊥AF于H，连接EF．∵AD2＝AE•AC＝AF•AB，AB＝AC，∴AF＝AE，∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴四边形AEDF的外接圆的圆心O在EH上，连接OF．∵OE＝OF＝，∠OFH＝30°，∴y＝AF＝2FH＝2××＝，∴＝x2﹣x+2，∴x＝或，【点评】本题属于圆综合题，考查了等边三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．。