一、欧式空间的定义及性质课件
第八章 欧氏空间
例3 在R3中，向量 (1, 0, 0), (1, 1, 0) 求 , 的夹角。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
三、向量的正交
定义4 对欧氏空间V中的两个向量 , , 若内积 ( , ) 0, 则称
与 正交或垂直，记为：
注意： 零向量与任一向量正交。 例4 在R4中求一单位与下面三个向量
例1 设 (1 , 2 ), (1 , 2 ) 为二维实空间R2中的任意两个 向量，问：R2对以下规定的内积是否构成欧氏空间？
(1) ( , ) 1 2 2 1
(2) ( , ) (1 2 )1 (1 2 2 ) 2
正交向量组。
如果一个正交组的每一个向量都是单位向量，则这样的向 量组称为标准正交向量组。 性质1 欧氏空间V中的正交向量组必定线性无关。 注： (1) 单个非零向量也称为一个正交向量组。 (2) 线性无关的向量组不一定是正交向量组。
欧氏空间
§2 标准正交基
定义2 在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为 正交基，由n个标准正交向量组成的正交基称为标准正交基。 性质2 设 1 , 2 , , n 是n维欧氏空间V中的一组标准正交基，则
(3) ( , ) ( , ) ( , ) (4) ( , ) 0,当且仅当 0 时有 ( , ) 0 这里 , , 是V中任意的向量，k为实数，这样的线性空间V
称为欧几里得空间，简称为欧氏空间。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
i 1 i 1 i 1 i 1n n n
n
(4) 一组基为标准正交基的充要条件是它的度量矩阵为 单位矩阵。
欧氏空间
第09章 欧式空间
= α s−1
−
(α s−1, ε1 ) (ε1,ε1 )
ε
1
−⋯
−
(α s−1 (ε s−2
,ε ,ε
s −2 s−2
) )
ε
s
−2
，ε s
= αs
−
s −1 k=1
(α s (εk
− εk ) ,εk )
ε
k
① L(ε1 ,⋯,ε s ) = L (α1 ,⋯,αs ) ⇔ ε1,⋯,ε s 与 α1,⋯, αs 等价
α = (ε1,⋯,ε n ) X = (η1,⋯,ηn ) X ， X = T X ， β = (ε1,⋯,ε n)Y = (η1,⋯,η n)Y ，Y = T Y
(α, β )在基 ε1,⋯,ε n ，η1,⋯,ηn下的度量矩阵分别为 G, G
(α ,
β)
=
X
'GY
=
X
'
T
'GT Y
=
X
'
GY
∴G = T 'GT 即 G~G
⎧R欧式空间
线性空间定义度量性质后 ⎪⎪C酉空间
⎨⎪思维时空空间 ⎪⎩辛空间
三维几何空间 R3
R
2
：设
� a
=
(a1
,
a2
),
� b
=
(b1,
b2)
�� a ⋅b = a1b1 + a2b2 ∈R
� a 的长度：
� a
=
a2 + a2 =
�� a⋅a
1
2
�� a,b
的夹角：
<
�� a, b
>= ar
欧式空间
欧氏空间(Euler space )一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、 长度与夹角1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
欧氏空间
≤ α + 2 α ⋅ β + β = ( α + β )2
2 2
由于 α + β 与 α + β 此即三角不等式。
都是非负实数，故有
α+β ≤ α + β
第九章 欧几里得空间
(α , β ) 由于 ≤ 1, α⋅β
(α , β ) 有意义。 故 cos θ = α⋅β
定义3 设 α 与β 是欧氏空间V的两个非零向量，α 与β 的夹 (α , β ) , 0≤θ ≤π θ = arc cos 角规定为： α⋅β 例9.1.8 在欧氏空间 R 3 中，取向量 α = (1, 0, 0), β = (1,1, 0), 求 α 与β 的夹角。 解： 于是
(γ , γ ) = (α + t β , α + t β ) = (α , α ) + 2(α , β )t + ( β , β )t 2 ≥ 0 （9.1.4）
这是关于t的一个二次三项式，又 ( β , β ) > 0, 故 ∆ ≤ 0, 4(α , β )2 − 4(α , α )( β , β ) ≤ 0 (α , β )2 ≤ (α , α )( β , β ), 故有 (α , β ) ≤ α ⋅ β 因此 即
(α , β + γ ) = (α , β ) + (α , γ ) 。 (α , k β ) = k (α , β ) 。
∀α 1 , α 2 , k1 , k2 ,
n m
,α n , β1 , β 2 , , kn , l1 , l2 ,
n m
, β n ∈V
, ln ∈ R,
则有
( ∑ kiα i , ∑ li β i ) = ∑ ∑ ki li (α i , β j ) 。
高等代数 第7章欧式空间 7.1 欧氏空间的定义及性质
x, y
x y
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
18 2 解 cos 3 261. 非负性 当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时, 称 x 为单位向量 .
2 当 x 0, y 0时, arccos
(4)[ x , x ] 0, 且当x 0时有[ x , x ] 0.
则称V（R）关于这个数积构成一个欧氏空间。这里 x,y为任意向量，k为任意实数。
数积的性质： （1）（x ,ky)=k(x , y) (2) (x , y+z )=(x , y)+( x , z ) (3) (x , )=0
欧氏空间的定义及性质
定义：设V（R）是实数域R上的线性空间，
在V（R）中定义了一个叫做数积的运算，即 有一定的法则，按照这个法则，对V（R）中 的任意两个向量x,y,都能确定R中唯一一个实 数，称之为x与y的数积，记作（x,y),如果这个 运算具有性质：
(1) ( 2) ( 3)
x, y y, x ; x, y x, y; x y, z x, z y, z ;
n (4) k i i 1
, l
i j 1 i
n
n,m ki l j ( i i 1, j 1
,
i
j
)
向量的长度及性质
定义2 令
x
x, x
2 2 2 x1 x2 xn ,
称 x 为n 维向量 x的长度 或 范数 .
欧式空间
欧氏空间(Euler space ) 一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数. 3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ije e aA ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AYX '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的. 二、 长度与夹角 1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时，2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
欧式空间
一 向量的内积
(0, x 2 )
O
A1 = (x 1, x 2 )
JJJ G2 2 2 OA1 = x 1 + x 2
(x 1, 0)
(0, 0, x 3 )
B = (x 1, x 2 , x 3 ) (0, x 2 , 0)
A = (x 1, x 2 , 0)
O
(x 1, 0, 0)
(α ,α ) ≥ 0, ,当且仅当 α = θ 时， (α ,α ) = 0 （4） 。
这里 α , β , γ 是V的任意向量，k是任意实数， 则称 (α , β )为向量α 与 β 的内积，而这样的线性 空间称为Euclid空间，简称欧氏空间。 例B.6.1 设V是定义在闭空间[a,b]上的所有 连续函数构成的函数空间 C [a , b] 。对于V中任意二 个函数 f ( x ), g ( x ) 规定其内积为
是对称矩阵。
三 标准正交基
定义3.3.5 设 V 是欧氏空间，α1, α2 , 中 m 个非零向量。若 α1, α2 , 称 α1, α2 ,
, αm 是 V
, αm 两两正交，则
, αm 是正交向量组。由单位向量构成
的正交向量组称为标准正交向量组。
n R 例 在欧式空间 中，自然基是标准正交向量组。
∫
b
a
f 2 ( x)dx > 0.
例B.6.2
在全体n阶矩阵所构成的线性空间R n×n
中，对任意两个n阶矩阵A、B,规定其内积为 n n ( A, B ) = ∑ ∑ aij bij = tr ( ABT ) 容易验证它满足定义的四个条件，因此 R n×n 对 于所定义的内积构成一个欧氏空间。
欧式空间
欧式空间————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:第八章 欧氏空间向量空间可以看成是通常几何空间概念的推广,然而几何空间里有向量的长度和夹角的概念,而一般的向量空间里却没有得到反映。
这一章我们将在实数域上的向量空间里引入欧氏内积的概念，从而可以合理的定义有向量的长度和夹角，这样的向量空间称为欧氏空间，在许多领域里有广泛的应用。
学习中还要注意学习具体到抽象,再从抽象到具体的辩证的思想方法。
§1 定义和性质几何空间3V 里向量的内积是通过向量的长度和夹角来定义的,即||||cos ξηξηθ⋅=⋅,||ξ表示ξ的长度,θ表示ξ与η的夹角。
我们不能直接按上面方式定义内积,因为还没有定义长度和夹角。
我们要根据几何内积所满足的性质来定义，回想到在第四章第8节在n R 定义内积就是根据几何内积所满足的性质来定义的。
所以在抽象的讨论中，我们取内积作为基本的概念。
定义1 设V 是实数域R 上的一个向量空间，有一个V V ⨯到R 的二元实函数，记作(,)αβ，具有以卡性质:,,V αβγ∀∈，k R ∀∈1） (,)(,)αββα=;2) (,)(,)(,)αβγαβαγ+=+; 3) (,)(,)k k αβαβ=;4) (,)0αα≥， 等号成立当且仅当0α=(,)αβ叫做向量α与β的内积,V 叫做对这个内积来说的欧氏空间。
在需要和其它的内积区别的时候，我们也把满足这4条性质的内积叫做欧氏内积。
在欧氏空间的定义中，对向量空间的维数并无要求,可以是有限维的,也可以是无限维的。
几何空闻中向量的内积显然适合定义中列举的性质，所以几何空间中向置的全体构成一个欧氏空间。
例1 1212(,,,)',(,,,)'n n n a a a b b b R αβ∀==∈，规定α与β的内积为1122(,)'n n a b a b a b αβαβ=+++=，则n R 作成一个欧氏空间。
第九章 欧式空间(第一讲)
2
( , )
2
( , )
2
2
,
即
( , )
2
2
2
.
开方便得
( , )
.
综合ⅰ，ⅱ便知定理成立. 基于定理1.1的结果，又可以给出欧氏空间中两向量夹 角的定义.
定义1.3 对于欧氏空间中两个非零向量α, β ，定义α与 β的夹角为
累次应用以上两条及欧氏空间定义中的条件2）3）即可得 到3）式.
性质2 对于欧氏空间中任意向量α ，总有（α ，0）= （0，α）=0. 证明 由
( , 0) ( , 0 0) ( , 0) ( , 0)
即得（α ，0）=0.再由内积的交换律又知（0，α）= （α ，0）=0 . 特别，有（0，0）=0 .再结合欧氏空间定义中的第4） 条规定，便得如下结论：内积空间中向量α为零向量的充 分必要条件是（α ，α ）=0 ，也就是说，零向量是内积空 间中与自身的内积为0的唯一向量.
即对欧氏空间中任一组向量我们看到殴氏空间在向量的长度夹角正交等方面与我们已熟知的普通几何空间确有许多相像之处
线性代数
机动
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结束
第九章
欧氏空间*
通过上两章的学习，我们对线性空间有了比较深入的 了解.线性空间是涉及一个集合、一个数域、两种运算、 八个条件的一个整体概念.它包含着丰富的内容，有着广 泛的应用.在这一章里将讨论一类特殊发线性空间—欧氏 空间.我们还将发现，欧氏空间与人们熟悉的几何空间有 许多相似的结果.通常的实向量内积、长度、夹角、距离 等概念都可以平行地在欧氏空间上建立起来，并得到类似 的相应结果.
欧氏空间的定义与基本性质 PPT
一、欧氏空间的定义 二、欧氏空间中向量的长度 三、欧氏空间中向量的夹角 四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示 五、欧氏子空间
问题的引入：
1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算， 其具体模型为几何空间 R2、R3, 但几何空间的度量 性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及.
（5）
当且仅当、 线性相关时等号成立.
证：当 0时， ( ,0) 0, 0 ( , ) 0. 结论成立. 当 0 时，作向量 t ,
tR
由内积的正定性，对 t R，皆有
( , ) ( t , t )
注意：由于对 V , 未必有 (, ) (, )
所以1），2）是两种不同的内积. 从而 Rn 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.
例2．C(a,b) 为闭区间 [a,b] 上的所有实连续函数
所成线性空间，对于函数 f ( x), g( x) ，定义
b
( f , g) a f ( x)g( x) dx
1. 引入夹角概念的可能性与困难
1）在 R3中向量 与 的夹角 , arccos
（4）
2）在一般欧氏空间中推广（4）的形式，首先
应证明不等式： 此即,
( , ) 1
2. 柯西－布涅柯夫，有
( , )
、 , 定义一个二元实函数，记作 ( , ) ，若 ( , ) 满足性质： , , V , k R
1 (, ) ( , )
（对称性）
2 (k, ) k(, )
3 ( , ) , ( , )
（数乘） （可加性）
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7.1 欧氏空间的基本概念
授课题目 欧氏空间的基本概念 授课时数 3 学时 教学目标 理解并掌握内积、欧氏空间、长度、夹角、 距离的定义及内积的性质 教学重点 欧氏空间有关概念及内积的性质 教学难点 Cauchy-Schwarz 不等式及应用
精
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一、欧式空间的定义及性质 1、 向量的内积
, V3 , cos ,cos
在 V3 中，内积具有下列性质：
对称性：
线性性： k k
精
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1.欧氏空间V的内积具有以下基本性质.
(1)a V , , 0 0, 0
证 ,0 0, 0 , 0
(2) , , V , , , ,
证
, , , ,
, ,
, xn yn 给出，那么 H 是一个欧氏空间. n1
练习 1 (a1,a2 ), (b1,b2 )为向量空间中任意
两向量,证明:
精
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R2对 , ma1b1 na2b2 作成欧氏空间的充分 必要条件是 m > 0, n > 0.
aibj i , j
i 1
j1
i1 j1
例 设 1,2 , ,n 是欧氏空间的n个向量，行列式
1 ,1
G 1, ,n 2 ,1
1 , 2 2 , 2
1 , n 2 ,n
n ,1
n , 2
精
n ,n
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叫做 1,2 , ,n 的格兰姆（Gram）行列式.
2) 线性性： , , , k , k , ;
3) 恒正性：当 0时， , 0 则称这个代数运算为V的一个内积,且称 , 为向量 与 的内积,实线性空间V叫做对这个
内积来说的一个欧几里得空间.(欧氏空间) 3、举例
例 1 在Rn里,对于任意两个向量
精
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( x1, x2 ,..., xn ), ( y1, y2 ,..., yn ) 规定
, x1 y1 x2 y2 ... xn yn容易验证,关于内积
的公理被满足,因而 Rn对于这样定义的内积来说作 成一个欧氏空间.
例 2 在 Rn 里 , 对 于 任 意 向 量 ( x1, x2 ,..., xn ), ( y1, y2 ,..., yn )规定
精
前页 后页 返回8
(3) , V ,k R, ,k k ,
证 ,k k , k , k ,
(4)i , j V ,ai ,bj R, i 1, 2, , m, j 1, 2, , n
m
n
mn
aii , bj j
向量 的长度用符号 表示： , .
精
前页 后页 返1回1
定理7.1.1
在一个欧 氏空间里 ,对于任意向 量, . 有不等式 , 2 , , 当且仅当 与 线性相关
时，上式才取等号.
证 如果 与 线性相关, 则其中有一个可由另一个 线 性 表 示 , 不 妨 设 k ,k R . 于 是
本性质可知,内积的公理 1)---4)都被满足,因而
作成 C[a,b]一个欧氏空间.
例 4 令 H 是一切平方和收敛的实数列
( x1, x2 ,..., xn ), xn2 所成的集合.在 H 中用 n1
然的方式定义加法和标量与向量的乘法:
精
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设 ( x1, x2 ,...), ( y1, y2 , ),a R. 规 定 ( x1 y1, x2 y2 ,...); a (ax1,ax2 ,...) 向量 ( x1, x2 ,...), ( y1, y2 , )的内积由公式
, 2 , k 2 k2 , 2 , k ,k , , .
恒正性 :当 0时, 0
其中, , 是V3的任意向量，k 是任意实数.
2、线性空间的内积 定义1 设V是R上线性空间，定义一个V V 到R的代数运算.
, V，用 , 表示这个运算结果，
如果这个代数运算满足：
1.对称性： , ,
精
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证明: G 1, ,n =0，必要且只要 1, ,n
线性相交.
证 必要性：
由 G1,
1 ,1
n ,1
,n =0知齐次线性方程组
1 , n
x1 x2
0 0
(*)
n ,n
xn
, x1 y1 x2 y2 ... xn yn 不难验证, Rn 也作
成一个欧氏空间.
精
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例3 令C[a,b] 是定义在[a, b]上一切连续实函数所
成的向量空间, f ( x), g( x)C[a,b] 我
们规定 f , g b f ( x)g( x)dx.根据定积分的基 a
0
精
前页 后页 返1回0
必有非零解，设 1, ,n 为 其一组非零解则有
n
i , j a j 0,i 1,2, ,n
j1
二、向量的长度、两非零向量的夹角
定义2 设 是欧氏空间的一个向量，非负实数
, 的算术根 , 叫做 的长度.