测电源的电动势及内阻方法及例题.

测电源的电动势及内阻一、伏安法（U-I法）这是课本上提供的常规方法，基本原理是利用全电路欧姆定律，即U =E-Ir，测出路端电压及电路中的总电流，用解方程组的办法求出电动势和内阻．原理图如图1所示，实验基本器材为电压表和电流表．改变不同的R值，即可测出两组不同的U和I的数据，有E =U1+I1r①，E =U2+I2r②由①②式得：E=211221IIUIUI--，r =2112IIUU--．多测几组U、I数据，分别求出每组测量数据对应的E，r值，最后求出平均值．还可以用图象确定电池的电动势和内电阻．由U=E-Ir知，对于确定的电池，E，r为定值，U是I的一次函数，U与I的对应关系图象是一条直线．其图象持点有：①当I=0时，U=E，这就是说，当外电路断路时，路端电压等于电源电动势．所以反映在U-I图线上是图线在纵轴U上的截距(等于电源的电动势E)．如图2．②当R=0时，U=0，这时I=I短=rE．即是，当电源短路时，路端电压为零．这时电路中的电流并不是无穷大，而是等于短路电路I短．反映在U-I图线上是图线在横轴I上的截距(等于I短)，如图2所示．根据I短=rE，可知r =短IE．这样，从图中求出E和I短，就能计算出r．对于r =短IE，对比图线可以看出，短IE实际上就是U-I图线斜率的大小(斜率取绝对值)．所以求电源内阻r变成了求图线斜率的大小．由于实际实验中数据采集范围的限制以及作图的规范，使得这个实验的U-I图线的纵轴起点一般并不是零，因为若不这样取法将会使全图的下半部变为空白，图线只集中在图的上面的31部分，它既不符合作图要求，又难找出图线与横轴的关系．一般说来纵轴的起点要视电压的实验值(最小值)而定，但图线与横轴的交点不再是短路电流了．常在这里设考点，值得引起注意．这样一来就不能从图线上得到短路电流I短．在这种情况下一般是从图线上任取两点A、B，利用A、B两点的数值求得图线的斜率以获得电源电阻r的值．如图3所示．r的数值应是r=ABBAIIUU--当然，也可以是r=0IUE-其中U0是纵轴的起点值，I0是此时横轴的截距．注意，这里的I0并不是短路电流I短．如图8所示，这是由于电压表的分流I V，使电流表示值I小于电池的输出电流I真，I真=I+I V，而I V =V RU，显见U越大I V越大，只有短路时U =0才有I真=I=I短，即B点，它们的关系可用图9表示，实测的图线为AB，经过I V修正后的图线为A′B，即实测的r和E都小于真实值．实验室中J0408型电压表0~3V挡内阻为3k，实验中变阻器R的取值一般不超过30，所以电压表的分流影响不大，利用欧姆定律可导出r=V1Rrr真真+，=V1RrE真真+，可知r<r真，<真,为减小系统误差，图8电路要求R V>>r 真，这在中学实验室中是容易达到的，所以课本上采取这种电路图．这种接法引起误差的原因都是由于电压表的分流影响．图8 图9另一种电路是将电流表外接，如图10所示，其等效电路图如图11所示．图10 图11由于电流表的分压U A的影响，使电压表的测量值小于电池的端电压U端=U真，而有U真=U测+U A的关系．且U A=IR A，故电流I越大，U A也越大，当电路断开时，U测=U真，即图12中的A点．实测的图线为AB，当将电流表内阻看成内电路的一部分时(如图11所示)，r测=r真+R A，这样处理后，图线可修正为AB′但此时图线与横轴的交点并不为电池的短路电流，由图线可知：E测=E真，r测>r 真．只有当R A<<r真时，才有r测=r真．然而中学的实验设备很难达到这一点，故此法不可取．二、伏欧法（U-R法）如图17所示，改变电阻箱R的阻值，多测几组路端电压及对应的外电阻阻值．则有U1=E-11RUr， U2=E-22RUr，结合两式解得E＝21122121)(RURUUURR--，r=21122121)(RURURRRU--图1图2图3图12图17显然，实验时电阻箱接入电路的初始值应足够大，再由大到小逐渐调节，可多测几组数据，最后求E，r的平均值．也可以由I=RU把变量R转换成I，通过U-I图象求E和r．本方法的基本器材为电压表和电阻箱．由于实验中电压表内阻R V的存在，具有分流作用，故测量值均小于真实值．其关系为：E测＝真真ErRR+VV，r测＝真真rrRR+VV．实际测量电路中往往接有保护电阻，选择保护电阻，不仅要看电阻的大小，还要看允许通过的电流．本题采用U-R 法的测量电路测量电源电动势和内阻，在处理数据时采用U-I法的处理方法．U-I图线上各坐标点的电流值是由)(0RRU+得到的．三、欧安法（R-I法）如图22所示电路图，测出总电流及外电阻，由全电路的欧姆定律知有E＝I1（R1+r），E=I2(R2+r) 则E＝122121)(III IRR--，r=122211IIRIRI--．显然，理论上只需两组I，R值即可，但实际这样的误差太大，应多测几组已便求平均值．也可由U=IR把变量R转换成U，再对U-I图线进行数据的处理．由于电流表内阻R A的分压作用，经分析可知电动势的测量值与真实值相等，即E测＝E真，而内值偏大，即r测＝R A+r真．本实验的基本器材为电流表和电阻箱．四、双伏法（U-U法）如图25所示，两只电压表V1和V2，其量程已知，V1的内阻R V1已知，V2内阻不知为多少，电源内能不可忽略，且未知，电源电动势不超过电压表的量程．先合上开关S，记下V1的示数U1；再断开开关S，记下V1和V2的示数U1′和U2′，有E＝U1+,1V1rRUE=U2′+U1′+,1V1rRU'联立方式有E=)(1121'-'UUUU，r=)()(11V1211'--'+'UURUUU五、U1－R法如图27所示电路图中，多次改变电阻箱的阻值，记下电阻箱的阻值R及相应的电压表的读数U．设电源电动势为E，电压表的内阻为R v，由分压原理有图27 图28U=VVRRR+E，化得ERERU111V+=，作出RU-1图象如图28所示，为一条直线．其截距a=1/E，斜率为V1ER＝ba，则R V=b．这是一种测电源电动势和电压表内阻的巧妙办法．伏安法【例1】在做测量干电池的电动势和内电阻的实验时，备有下列器材供选用：A．干电池一节(电动势约1.5V)B．直流电流表(量程0~0.6~3A，0.6A挡内阻0.10 ，3A挡内阻0.025)C．直流电压表(量程0~3~15V，3V挡内阻5k，15V挡内阻25k)D．滑动变阻器(阻值范围0~15，允许最大电流1A)E．滑动变阻器(阻值范围0~1000，允许最大电流0.5A)F．开关 G．导线若干根 H．电池夹(1)将按本实验要求选定的器材(系统误差较小)，在下图4所示的实物图上连线．图4(2)如图5所示，电流表指针停止在下图(1)所示位置，量程取0.6A挡时读数为______；量程取3A挡时读数为_______．电压表指针停在图(2)所示位置，量程取3V挡时读数为______；取量程为15V挡时读数为______．图5(3)根据实验记录，画出的U-I图象如图6所示，可得待测电池的内电阻r为_______．【解析】本例是典型的U-I法测电源电动势和内电阻，且运用图象处理数据．图22图25图6(1)连接图如图7所示．图7由于电路中的电压为1.5V ，电路中的电流不超过0.6A ，因此，电压表应选0~3V 量程，电流表应选择0~0.6A 量程．为了使电流值可调范围大一些，滑动变阻器应选择0~15，为了减小误差，采用电流表内接法．(2)电流表读数在0.6A 挡时，I =0.280A ，在3A 挡时，I =1.40A ，电压表读数在3V 挡时，U =1.30V ，在15V 挡时，U =6.50V ．(3)r =I U ∆∆=13.045.018.140.1--Ω=0.69Ω．【例2】用电流表和电压表测定电池的电动势E 和内电阻r ，所用的电路如下图13所示．一位同学测得的数据组如下表中所示． (1)试根据这些数据在图中作出U -I 图象． (2)根据图象得出电池的电动势E =______V ，电池的内电阻r =______W ． (3)若不作出图象，只选用其中两组U 和I 数据，可利用公式E =U 1+I 1r 和E =U 2+I 2r 算出E 和r ，这样做可能得出误差很大的结果，选用第_____组和第_____组的数据，求得的E 和r 误差最大．【解析】如图14所示，作图象时应把个别不合理的数据排除．由直线与纵轴的交点可读出电动势E =1．45V ，再读出直线与横I )，连同得出的E 值代入E =U +Ir 中，得r =I U E -=A 65.0V)00.145.1(-=0．69．轴的交点的坐标(U ，图14选用第3组和第4组数据求得的E 和r 误差最大，不需要利用所给的6组数据分别进行计算，利用作图就可看出这一点．选用这两组数据求E 和r ，相当于过图中3和4两点作一直线，利用此直线求出E 和r ，而此直线与所画直线偏离最大．实际上，第4组数据不合理，已经排除．【点评】用图象法处理数据是该实验的一个重点，在高考中经常出现．需要注意两点，如果U -I 图象的坐标原点是U 轴、I 轴的零点，那么图象与U 轴交点表示电源的电动势E ，与I 轴交点表示电源短路的电流，内阻r =E /I 短，当然，电源内阻也可以用r =U /I 求得；如果U -I 图象的坐标原点是I 轴零点，而非U 轴零点，那么图象与U 轴交点仍表示电源的电动势E ，而图象与I 轴交点不表示电源短路时的电流，内阻只能用r =U /I 求解．伏阻法【例3】一种供实验使用的小型电池标称电压为9V ，电池允许最大输出电流为50 mA ，为了测定这个电池的电动势和内阻，用图18所示电路进行测量（图中电压表内阻很大，可不考虑它对测量的影响），R 为电阻箱，阻值范围为0~9999,R 0是保护电阻．(1)实验室里备用的定值电阻有以下几种规格：A ．10，5WB ．150，0.5WC ．200 ，0.25WD ．1.2 k ，1W实验时，R 0应选用______较好．(2)在实验中当电阻箱调到图19所示位置后，闭合开关S ，电压表示数9.0V ，变阻箱此时电阻为____，电路中流过电阻箱的电流为____mA ．图19 图20(3)断开开关，调整电阻箱阻值，再闭合开关，读取电压表示数，多次测量后，做出如上图20所示图线，则该电池电动势E =_____V ，内阻r =__ __ ．【解析】(1)保护电阻R 0的选择关系到能否控制电源的输出电流在50mA 以下，取电阻箱电阻R ＝0，则R 0+r =,180105093maxΩ=Ω⨯=-I E实验室里备用的定值电阻150和200C )均接近180，比较它们的额定电流，图13 组别 I (A) U (V) 1 0.12 1.37 2 0.20 1.323 0.31 1.244 0.32 1.185 0.50 1.106 0.57 1.05图18B=,A058.01505.0maxIRPB>==故应选电阻B作为保护电阻，即R0=150选B．(2)电阻箱的读数为750，通过电阻箱的电流为：I0=.mA10A01.07501509==Ω+=+RRU(3)延长U-I图线，与纵轴的交点即电流电动势，E＝9．5V，电源内阻r=.5010)2030(0.85.83Ω=Ω⨯--=∆∆-IU【点评】实际测量电路中往往接有保护电阻，选择保护电阻，不仅要看电阻的大小，还要看允许通过的电流．本题采用U-R法的测量电路测量电源电动势和内阻，在处理数据时采用U-I法的处理方法．U-I图线上各坐标点的电流值是由)(0RRU+得到的．【例4】现有一阻值为10 W的定值电阻、一只开关、导线若干及一只电压表，该电压表表面上有刻度但无刻度值．要求设计一个能测定某电源内阻的实验方案(已知电压表内阻很大，电压表量程大于电源电动势，电源内阻约为几欧)．要求：(1)画出实验电路图．(2)简要写出完成接线后的实验步骤．(3)写出用测得的量计算电源内阻的表达式r=_____．【解析】(1) 实验电路如图21所示．(2)实验步骤如下：①断开开关，记下电压表偏转格数N1；r=)10(221Ω=-RRNNN②合上开关，记下电压表偏转格数N2；③电源内阻按下列公式计算：(3)由于电压表内阻很大，因此当断开开关S时测得的路端电压U1等于电源电动势．设电压表每格的电压值为U0，则有E＝U1＝N1U0①同样，由于电压表的内阻很大，在合上开关S后，外电路的总电阻可以认为等于R＝10，因此有E＝U2+0222UrRNNrRU⎪⎭⎫⎝⎛+=②联立①、②两式得r=RNNN221-欧安法【例5】现有器材：量程为10.0mA，内阻约为30~40W的电流表一个，定值电阻R1=150，定值电阻R2＝100，单刀双掷开关S，导线若干．要求利用这些器材测量一干电池(电动势约1.5V)的电动势．(1)按要求连接实物图(下图23)．图23【解析】利用一只电流表和两只定值电阻来测量干电池的电动势，基本的原理是改变外电路的电阻，得到两组电流值．根据闭合电路欧姆定律，得到一个关于电源电动势和内阻的二元一次方程组，解方程组即可求得电动势．由给定的条件知，电流表量程为10mA，内阻圴为30欧~40欧，电源电动势约1.5V，内阻约几欧，则外电阻的选择条件为10×10-3≥305.1+R，即R≥Ω-⨯-120301105.13＝，故外电阻可选R1或（R1+R2）．图24(1)连接实物图如下图24所示．(2)当单刀双掷开关掷向b时，R1为外电阻，得到I1=rRE+1①当单刀双掷开关掷向a时，R1和R2串联起来作为外电阻时，得到I2=rRRE++21②式中E、r分别表示干电池的电动势和内阻.联立①②可解得E=22121··RIIII-I1是外电阻为R1时的电流，I2是外电阻为R1和R2串联时的电流．U1－R法【例6】在做测量电源的电动势E和内阻r的实验时，提供的器材有：待测电源一个，已知内阻为R A的电流表一个，电阻箱一个，开关一个，导线若干．为使测量更加准确，多次改变电阻箱的阻值R，读出电流表的相应示数I，以I1为纵坐标，R为横坐标，画出I1与R的关系图线是一条直线，如图(b)所示．图线延长可得直线在纵轴的截距为m，直线的斜率为k．(1)E=_________，r=_________．图21(2)在虚线框图29(a)中画出实验电路图．图29【解析】本题明确电流表内阻为R A ，说明R A 不能忽略．虽然处理数据方法从U -I 图线改变I 1-R 图线，但“U 1-R 法”的原理没有变．(1)E =k 1，r =k kR m A-(2)如图30(R A 不能忽略，根据全电路欧姆定律，I ＝,1,A A ERE R r I R R r E ++=++可知I 1-R图线为直线，其斜率k =E 1，截距m =E R r A +．则E =k 1，r =k kR m A-)图30。