结构动力学最新版本
结构动力学课件(大众普及版)
第二章
单自由度 体系模型
运动方程的建立
y (t) c m k F (t)
质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性 自由度只有一个：水平位移y(t) 无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力 无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结 构的阻尼力 随时间变化的荷载F(t)
cy ky F ( t ) （2-3） m y
12 EI 12 EI cy m y l3 l3 y FP ( t ) 2 1
令： k FS 1 FS 2
12 EI 12 EI 3 3 ；k 为（等效）刚度系数。 l1 l2
y (t) FD FS FI F (t)
平衡方程：
FI FD FS F ( t ) FI m y
惯性力： 根据d’Alembert原理： 弹性力： 等于弹簧刚度与位移的乘积：
FS ky
FD cy
阻尼力： 阻尼力等于阻尼系数与速度的乘积：
由此得到体系的运动方程：
cy ky F ( t ) m y
建立体系运动方程的方法
直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻 的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的 虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载， 使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的 思路，直接写出运动方程。 虚功法: 根据虚功原理，即作用在体系上的全部力在虚位移 上所做的虚功总和为零的条件，导出以广义坐标表示的运 动方程。 变分法: 通过对表示能量关系的泛函的变分建立方程。根据 理论力学中的哈密顿原理或其等价形式的拉格朗日方程导 出以广义坐标表示的运动方程。
地震作用
结构动力学_克拉夫(第二版)课后习题
例题E2-1 如图E2-1所示，一个单层建筑理想化为刚性大梁支承在无重的柱子上。
为了计算此结构的动力特性，对这个体系进行了自由振动试验。
试验中用液压千斤顶在体系的顶部（也即刚性大梁处）使其产生侧向位移，然后突然释放使结构产生振动。
在千斤顶工作时观察到，为了使大梁产生0.20in[0.508cm]位移需要施加20 kips[9 072 kgf]。
在产生初位移后突然释放，第一个往复摆动的最大位移仅为0.16 in[0. 406 cm]，而位移循环的周期为1.4 s。
从这些数据可以确定以下一些动力特性：（1）大梁的有效重量；（2）无阻尼振动频率；（3）阻尼特性；（4）六周后的振幅。
2- 1图E2-1所示建筑物的重量W为200 kips，从位移为1.2 in（t=0时）处突然释放，使其产生自由振动。
如果t=0. 64 s时往复摆动的最大位移为0.86 in，试求(a)侧移刚度k；(b)阻尼比ξ；(c)阻尼系数c。
2-2 假设图2- la 所示结构的质量和刚度为：m= kips ·s 2/in ，k=40 kips/in 。
如果体系在初始条件in 7.0)0(=υ、in/s 6.5)0(=υ&时产生自由振动，试求t=1.0s 时的位移及速度。
假设：(a) c=0（无阻尼体系）； (b) c=2.8 kips ·s/in 。
2-3 假设图2- 1a 所示结构的质量和刚度为：m=5 kips ·s 2/in ，k= 20 kips/in ，且不考虑阻尼。
如果初始条件in 8.1)0(=υ，而t=1.2 s 时的位移仍然为1.8 in ，试求：(a) t=2.4 s 时的位移； (b)自由振动的振幅ρ。
例题E3-1 一种便携式谐振荷载激振器，为在现场测量结构的动力特性提供了一种有效的手段。
用此激振器对结构施以两种不同频率的荷载，并分别测出每种情况下结构反应的幅值与相位。
由此可以确定单自由度体系的质量、刚度和阻尼比。
结构动力学word版
第十一章结构动力学？？？本章的问题：A.什么是动力荷载？B.结构动力计算与静力计算的主要区别在哪？C.本章自由度的概念与几何组成分析中的自由度概念有何不同？D.建立振动微分方程的方法有几种？E.什么是体系的自振频率、周期？F.什么是单自由度体系的自由振动？G.什么是单自由度体系的受迫振动？H.什么是多自由度体系的自由振动？I.什么是多自由度体系的受迫振动？J.什么叫动力系数？动力系数的大小与哪些因素有关？K.单自由度体系位移的动力系数与内力的动力系数是否一样？L.在振动过程中产生阻尼的原因有哪些？§11—1 概述前面各章都是结构在静力荷载作用下的计算，在实际工程中往往还遇到另外一类荷载，即荷载的大小和方向随时间而改变，这一章我们将讨论这类荷载对结构的反应。
荷载分：静力荷载：是指施力过程缓慢，不致使结构产生显著的加速度，因而可以略去惯性力影响的荷载。
在静力荷载作用下，结构处于平衡状态，荷载的大小、方向、作用点及由它所引起的结构的内力、位移等各种量值都不随时间而变化。
动力荷载：在动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化，因而其计算与静力荷载作用下有所不同，二者的主要差别就在于是否考虑惯性力的影响。
有时确定荷载是静荷载还是动荷载要根据对结构的反应情况来确定，若在荷载作用下将使结构产生不容忽视的加速度，即动力效应，就应按动荷载考虑。
在工程结构中，除了结构自重及一些永久性荷载外，其他荷载都具有或大或小的动力作用。
当荷载变化很慢，其变化周期远大于结构的自振周期时，其动力作用是很小的，这时为了简化计算，可以将它作为静力荷载处理。
在工程中作为动力荷载来考虑的是那些变化激烈、动力作用显著的荷载。
如风荷载对一般的结构可当做静荷载，而对一些特殊结构往往当做动荷载考虑。
荷载按动力作用的变化规律，又可分为如下几种：(1) 简谐周期荷载这是指荷载随时间按正弦(或余弦)规律改变大小的周期性荷载，例如具有旋转部件的机器在等速运转时其偏心质量产生的离心力对结构的影响就是这种荷载。
《结构动力学》PPT课件
P
sin t
计算步骤: 1.求振型、频率;
2.求广义质量、广义荷载;
3.求组合系数;
4.按下式求组合系数;
N
y(t)
Y
i
Di
(t )
i 1
15
例一.求图示体系的稳态振幅.
Psin t
m1 m2 m 3.415 EI / ml3
m1
m2
EI
解:
1 5.692
6
为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所 附加的约束， Ritz 提出了改进方法：
1、假设多个近似振型 2、将它们进行线性组合
1,2 n 都满足前述两个条件。 Y(x) a1 1 a2 2 an n
（a1、a2、·········、an是待定常数）
j
Y T j
2 j
K
* j
/
M
* j
k Y j
2 j
Y
T j
mY j
折算体系
13
一.振型分解法(不计阻尼)
P1(t) P2 (t)
PN (t)
运动方程
m1 m2
mN
my(t) ky(t) P(t)
设
N
y(t) Yi Di (t)
EI
D2 (t)
2 2
D2
(t )
P2* (t)
/
M
* 2
D2 (t)
0.1054
10 2
Pl 3 EI
s in t
例一.求图示体系的稳态振幅.
第12章结构动力学 ppt课件
§14-1 概 述
一、结构动力计算的特点 动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化。
1、内容： （1）研究动力荷载作用下，结构的内力、位移等计算原理和计算方法。 求出它们的最大值并作为结构设计的依据。
（2）研究单自由度及多自由度的自由振动、强迫振动。 2、静荷载和动荷载 （1）静荷载：荷载的大小和方向不随时间变化（如梁板自重）。 （2）动荷载：荷载的大小和方向随时间变化，需要考虑惯性力。 3、特点 (1)必须考虑惯性力。 （2）内力与荷载不能构成静平衡。必须考据惯性力。依达朗伯原理， 加惯性力后，将动力问题转化为静力问题。
动力自由度的确定方法：加附加链杆约束质点位移，最少链杆数即为自 由度
图刚架上有四个集中质点，但只需要加三根链杆 便可限制全部质点的位置。如图e。
自由度=3 或
图示梁，其分布质量集度为m，可看作有无穷多 个mdx的集中质量，是无限自由度结构。
自由度的数目与结构是否静定或超静定无关
§14-2 结构振动的自由度
2、运动方程的解：
方程
y2y0
为一常系数线性齐次微分方程，其通解为
y (t) A 1 co t s A 2sitn
A1和A2为任意常数，可有初始条件来确定。
振动的初始条件为 t 0 时 y y ， 0 ， y y 0
式中y0—初位移， y0—初速度。则有Fra bibliotekA1y0，A2
y0
可得
yy0cots y0si nt
第十四章 结构动力学
§14-1 概 述 §14-2 结构振动的自由度 §14-3 单自由度结构的自由振动 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 §14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 §14-6 多自由度结构的自由振动 §14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 §14-8 振型分解法 §14-9 无限自由度结构的振动 §14-10 计算频率的近似法
乔普拉版本结构动力学
Structural idealization 结构理想化Lateral stiffness 侧向刚度For the moment 目前In the sense that 也就是说Deform 变形Linear elastic limit 线弹性范围Differential equation 微分方程External excitation 外部激励Differentiation with respect to 对…的微分Initial equilibrium position 初始平衡位置Oscillate 振荡Vibrate 振动Intuition suggest that 直觉告诉我们Ever-decreasing amplitude 不断减小的振幅As expected 像预期的一样Diminish in amplitude 振幅减小Damping 阻尼Kinetic energy 动能Strain energy 应变能Incorporate/ include 包含Viscous damper / dashpot 粘滞阻尼器/减震器in part because 部分原因是energy-dissipating mechanism 能量耗散机理inextensible axially 无轴向变形inertial 惯性property 特性degrees of freedom(DOFs) 自由度constrain to 约束到formulate 描述in contrast 相反linearly elastic systems 线弹性体系implicit 隐含valid 有效，成立imply 意味着single-valued function 单值函数hence/ thus 因此emphasize 强调elastic modulus 弹性模量moment of inertia/ second moment ofthe cross-sectional area 惯性矩/ 截面二次矩respectively 分别的clamp/ fix 嵌固，固定rigid 刚性flexural rigidity 弯曲刚度…independent of ……与…无关Intermediate 中间的Static structure analysis 结构静力分析Static condensation 静力凝聚Applying the procedure to 对…应用这一方法Stiffness coefficient 刚度系数Uniform flexural element 均匀弯曲单元Beam-to-column stiffness ratio 梁柱刚度比Elaborate 详细阐述Increase by a factor of 4 增加4倍。
结构动力学（ＰＤＦ）
机械振动系统，师汉民，华中科技大学出版社cos sin i t e t i t ωωω=+Ch1 单自由度线性系统自由振动1.3 无阻尼自由振动()()0mxt kx t += 解()()22002()cos sin cos cos n n n n nnv v x t x t t x t A t ωωωϕωϕωω=+=++=-振幅和相位由初始条件确定。
确定自然频率的方法： 1、 静变形法：kx mg =，n g xω=2、 能量法：无阻尼弹性振动能量守恒，因此取动能Tmax=势能Vmax 。
1.4 有阻尼自由振动22()()()020n n mx t cx t kx t s s ξωω++=⇒++= ，通解wt Ae通常自然频率可以很容易的通过实验测定，但阻尼比ξ的计算或辨识则比较困难，需要利用自由振动衰减曲线计算。
在间隔1个振动周期T 的自由振动减幅振动曲线上，取两个峰值A1和A2，A1/A2=EXP(ξωn T)Ch2 单自由度线性系统的受迫振动 2.1 谐波激励()()()cos cos mxt cx t kx t F t kA t ωω++= →22()2()()cos n n n x t x t x t A t ξωωωω++= ，设通解cos()X t ωϕ-，ϕ表响应对激励的滞后通解X1为：()20020002cos n t n n d dd v x v x xe t ξωξωξωωωω-+⎛⎫++- ⎪⎝⎭，瞬态响应，逐步衰减。
特解X2为：()()i t H Ae ωϕω-，稳态响应，实际上的激励和响应仅取实部，响应的频率是激励的频率！222222222222cos arctan cos arctan 112112n n n n n n n n AA t t i ωωξξωωωωωωωωωωξξωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪-=- ⎪⎪⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭幅频特性221()12n n X H Ai ωωωξωω==-+，相频特性222()arctan1n nωξωϕωωω=-若激励表示为i t Ae ω，响应表示为i t Xe ω，可表述()()()x t H f t ω=，则()()()i t x t H Ae ωϕω-=共振频率212r n ωωξ=-，有阻尼自然频率21d n ωωξ=-，因此，对共振的研究应考虑阻尼比ξ=0.707的特殊点。
结构动力学-课件(全10章+总结)(刘晶波,杜修力主编.机械工业出版社出版)
质量块mg 无质量弹簧k
(a) 弹簧－质点
2ust
动力反应
u
(b) 静力和动力反应
静力问题和动力问题位移反应的区别
1.4 结构离散化方法
离散化：把无限自由度问题转化为有限自由 度的过程
三种常用的离散化方法： 1、集中质量法、 2、广义坐标法、 3、有限元法。
F (t) = Asinωt F (t) = Acosωt F (t) = Asin(ωt − φ)
可以是机器转动引起的不平衡力等。
p(t)
t
(a) 简谐荷载
1.2 动力荷载的类型
（2）非简谐周期荷载
荷载随时间作周期性变化，是时间t的周期函数，但不
能简单地用简谐函数来表示。 例如：平稳情况下波浪对堤坝的动水压力；轮船螺旋 桨产生的推力等。
n =1
nπx
L
sin(.)— 形函数（形状函数），给定函数，满足边界条件；
bn(t)— 广义坐标，一组待定参数，对动力问题是作为时间的函数。
∑ u( x, t )
=
N n =1
bn
(t)
sin
nπx
L
2、广义坐标法
悬臂梁：
x
(b) 悬臂梁
用幂级数展开：
∞
∑ u(x) = b0 + b1x + b2 x2 + L = bn xn n=0
结构动力学和静力学的本质区别：考虑惯性力的影响
结构产生动力反应的内因（本质因素）：惯性力
惯性力的产生是由结构的质量引起的，对结构中质量位 置及其运动的描述是结构动力分析中的关键，这导致 了结构动力学和结构静力学中对结构体系自由度定义 的不同。
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4)简谐自由振动的特性
由式
y(t)Asin(t)—— 位移
可得，加速度为： & y& (t)A 2sin(t)
惯性力为： I(t) m & y & (t) m A2 sin (t)
无阻尼自由振动的位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化， 且同步、同相、同达幅值.2.3 结构的自振周期和自振频率
2. 如图所示简支梁，将一重为W的物体将物体无初速地 放置在梁中点，求该系统的振动规律。
st yst W
Ayst ar0c.t4gc(m )
T
v0
0
-y0 T/4 T/4 T/4 T/4
t0
t
v0
T/4 T/4 T/4 T/4
13.2.2 单自由度体系自由振动微分方程解答
化成单项三角函数的形式:
y(t)y0costv0sint
解又可表达为： y(t)asin(t)
将其展开： y ( t) a s inc o st a c o ss int
k
W g
2
st g
k 1 g g m m W st
① ω和T只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关；
② T与质量成正比，质量越大，周期越大；与刚度成反比， 刚度越大，周期越小。要改变ω和T，只能改变质量和刚度。
③ ω和T是结构动力特性的重要参数。
泛美大厦，60层 钢结构，南北方向 的基本固有周期为 2.90秒，
yo A
（位移幅值）
&y&o A2
（加速度幅值）
Io mA2
（惯性力幅值）
在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时刻也一
样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，
结果把微分方程转化为代数方程了，使计算得以简化。
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
[例13.1] 求图示梁结构的自振周期和自振频率。
结构力学 （Ⅱ）
结构动力学
土木工程与力学学院 2010年3月
授课内容
13.1 动力计算的特点和动力自由度 13.2 单自由度体系的自由振动 13.3 单自由度体系的强迫振动 13.4 两个自由度体系的自由振动 13.5 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 13.6 一般多自由度体系的自由振动 13.7 多自由度体系在任意荷载下的强迫振动 13.8 计算频率的近似法
解: 让振动质量向下单位位移 需施加的力为：
W
k = cz A= 0.6×103×20 =12×103 kN/m
自振频率为：
kkg12 1039.844.27s 1
m W 60
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
[例13.3] 如图所示简支梁，将一重为W的物体从高 h处自由释放，落到梁的中点处，求该系统的振动规律。
相比较得： y0 asin
则：振幅
ay02v02 2
y(t)
a
v0 a cos
初始相位角
tan 1y0
v0
T
自由振动总位移： y 0
0
t
a
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
由式: y(t)asin(t)可知
时间经 T 2后 ，质量完成了一个振动周期。
用T 表示周期，周期函数的条件: y(t+T )=y(t )
用 f 表示频率：每秒钟内的振动次数
用 表示圆频率： 2 秒内的振动次数
f1 T 2
1)自振周期计算公式： 2)自振频率计算公式：
T 2 2
m
2 m
k
W 2 st
g
g
k 1 g g m m W st
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
3)自振周期和频率的讨论
T 2
m 2 m 2
W
设： yAsin(t)
yst
y
h
其中： g
y st
y
解:自由落体后，梁以一定的
初速度上下作自由振动， 其振动平衡位置为 yst 。
st yst W
振幅：A
y02
v02
2
初始相位角： tan1 y0
v0
y0 y st 初始条件：
y&0 2 g h
具13体.例2.子3比结较构: 的自振周期和自振频率
1.例如设:yst 0.4cm ,h 则10cm
g 98049.5rad/s
h
yst 0.4
A 0 .4 22 1 0 0 .42 .8 6 cm
a rctg( 0 .4) a rctg 0 .1 4 1 0 .1 4 ra d
2 1 0
则振动规律为：
y 2 .8 6 sin (4 9 .5 t 0 .1 4 )
大坝，400英尺高的混凝土重力坝的基 本固有周期由强迫振动试验测得在蓄水 为310英尺和345英尺十分别为0.288秒 和0.306秒，
金门大桥，金门大桥桥墩跨距1280.2米全桥总 长2737.4米的悬索桥，其横向振动的基本基本固 有周期为18.20秒，竖向振动的基本基本固有周 期为10.90秒，纵向振动的基本基本固有周期为 3.81秒，扭转振动的基本基本固有周期为4.43秒
13.2.2 单自由度体系自由振动微分方程解答
原方程： m& y&ky0 &y& k2 y 0 (令： k )
通解为： y(t) C 1sin t C 2c o s m t
m
由初始条件： y(0)y0 C 2y0
y&(0)v0
C1
v0
解为： y(t)y0costv0sint
y(t)
T
y0
y(t)
泛美大厦，60层钢结 构，南北方向的基本固 有周期为2.90秒，
大坝，400英尺高的混凝土重力 坝的基本固有周期由强迫振动试 验测得在蓄水为310英尺和345英 尺十分别为0.288秒和0.306秒，
金门大桥，金门大桥桥墩跨距 1280.2米全桥总长2737.4米的悬索 桥，其横向振动的基本基本固有周期 为18.20秒，竖向振动的基本基本固 有周期为10.90秒，纵向振动的基本 基本固有周期为3.81秒，扭转振动 的基本基本固有周期为4.43秒
解：为求柔度系数，在质点
m EI
上加单位力1（图乘法）
l/2
l/2
P 1
l3 48EI
48EI l3m
T2 m 2 ml3
l/4
48EI
[思考] 比较图示结构的自振频率
m
m
(a)<(b)<(c) m
l/2
l/2
l/2
l/2
l/2
l/2
(a)
(b)
(c)
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
[例13.2] 图示机器与基础总重量W=60kN，基础下 土壤的抗压刚度系数为 cz=0.6N/cm3，基础底面积 A=20m2。试求机器连同基础作竖向振动时振频率。