计算方法实验三 不同曲线拟合比较讲解
关于几种曲线拟合基本方法的比较
关于几种曲线拟合基本方法的比较学院：材料科学与工程学院专业：材料学（博）姓名：郑文静学号： 1014208040在实际工作中，变量之间的关系未必都是线性关系，更多时候，它们之间呈现出了曲线关系，在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到一些x 和y 数据，为了对位置点进行研究，很多时候，我们通过曲线拟合的方式，将这些离散点近似为一条连续的曲线，从而来预测或者得到所需结果。
曲线拟合的方法很多，本文中，主要讨论了曲线拟合的三种基础方法-- 插值法、磨光法、最小二乘法的特点，并对其在科学实验和生产实践中的应用性进行了比较。
插值法是函数逼近的一种基本方法，插值法就是通过函数在有限个点处的取值情况，估算出函数在其他点处的近似值。
插值法中，选取不同的插值公式，来满足实际或运算需求，得到拟合的函数。
其中，最基础的插值方法是三弯矩法，该方法是利用拉格朗日插值为基础，已知平面中的 n+1 个不同点，寻找一条n 次多项式曲线通过这些点。
该曲线具有唯一性。
另外，还有三转角法，该方法是利用Henmiter 插值为基础，其思路与三弯矩法相同，已知条件有所差别，在 Henmiter 插值中，不仅已知函数在一些点的函数值，而且，还知道它在这些点的导数值，甚至知道其高阶导数值，要求所求函数不仅满足过这些点，同时也要求其导函数，甚至高阶导函数满足条件。
采用Henmiter 插值法求得的多项式比拉格朗日法求得的多项式有较高的光滑逼近要求。
此外，还有以分段和B-样条函数为基础的δ -基函数法，其中，样条函数是：对于 [a,b] 上的划分，称函数 S(x)为[a,b]上关于划分△的 k 次样条函数，记做 S k，△ [a,b] 。
该方法避免了高次插值可能引起的大幅度波动现象，在实际中通常采用分段低次插值来提高近似程度。
插值法常用于填充图像变换时像素之间的空隙。
磨光法是适应保凸性要求的数据拟合方法。
积分可以改变函数的光滑度，而微商是积分的逆运算，对函数进行积分，然后在微商，可以将函数还原。
第八章 曲线拟合、回归和相关讲解
t
( y0 yp ) n 2
sy.x n 1 [n(x0 x)2 / sx2 ]
有n-2个自由度的t分布。由此能求得预报得总体值
得置信限
2 预报的平均值的假设检验
设y0是x=x0时y的预报值，它是从样本回归方程得到 的估计，即y0=a+bx0。设y p记对总体而言对应x=x0的y 的预报平均值，那么统计量
y=+x。下面是与正态分布有关的一些检验：
1 假设=c的检验
为了检验假设：回归系数等于某一特定值c，使
用统计量
t b n2
sy.x / sx
它具有n-2自由度的t分布。此结论也可用于从样本 值求总体回归系数的置信区间
2 预报值的假设检验
设y0是x=x0时y的预报值，它是从样本回归方程得到 的估计，即y0=a+bx0。设yp记对总体而言对应x=x0的y的 预报值，那么统计量
将所有点代入直线方程后相加，我们得到
y=an+bx(或 y a b x)
以及 xy=ax+bx2
这两个方程称为最小二乘的正规方程。由上 面的方程组我们可以达到a,b分别为：
a
yx2 nx2
xxy (x)2
,
b
nxy nx2
xy (x)2
, 其中b也可以写成
最小二乘法
若在近似n个数据点的集合
时，对一给定的曲线族的全
部曲线，其中有一条曲线的
性质:
d12
d
2 2
...
d
2 n
达最小值，则称该曲线为给 定曲线族中的最佳拟合曲 线。 有这样性质的一条曲线称为 在最小二乘意义上对数据的 拟合，该曲线称为最小二乘 回归曲线
曲线拟合的最小二乘法讲解
实验三 函数逼近与曲线拟合一、问题的提出：函数逼近是指“对函数类A 中给定的函数)(x f ,记作A x f ∈)(,要求在另一类简的便于计算的函数类B 中求函数A x p ∈)(,使 )(x p 与)(x f 的误差在某中度量意义下最小”。
函数类A 通常是区间],[b a 上的连续函数，记作],[b a C ,称为连续函数空间，而函数类B 通常为n 次多项式，有理函数或分段低次多项式等，函数逼近是数值分析的基础。
主要内容有：（1）最佳一致逼近多项式（2）最佳平方逼近多项式（3）曲线拟合的最小二乘法二、实验要求：1、构造正交多项式；2、构造最佳一致逼近；3、构造最佳平方逼近多项式；4、构造最小二乘法进行曲线拟合；5、求出近似解析表达式，打印出逼近曲线与拟合曲线，且打印出其在数据点上的偏差；6、探讨新的方法比较结果。
三、实验目的和意义:1、学习并掌握正交多项式的MATLAB 编程；2、学习并掌握最佳一致逼近的MATLAB 实验及精度比较；3、学习并掌握最佳平方逼近多项式的MATLAB 实验及精度比较；4、掌握曲线拟合的最小二乘法；5、最小二乘法也可用于求解超定线形代数方程组；6、 探索拟合函数的选择与拟合精度之间的关系；四、 算法步骤：1、正交多项式序列的生成{n ϕ（x ）}∞0：设n ϕ（x ）是],[b a 上首项系数a ≠n 0的n 次多项式，)(x ρ为],[b a 上权函数，如果多项式序列{n ϕ（x ）}∞0满足关系式⎩⎨⎧=>≠==⎰.,0,,0)()()()(),(k j A k j x d x x x kk j bak j ϕϕρϕϕ则称多项式序列{n ϕ（x ）}∞0为在],[b a 上带权)(x ρ正交，称n ϕ（x ）为],[b a 上带权)(x ρ 的n 次正交多项式。
1）输入函数)(x ρ和数据b a ,;2）分别求))(),(()),(,(x x x x j j j nϕϕϕ的内积； 3）按公式①)())(),(())(,()(,1)(10x x x x x x x x j n j j jj n nn ϕϕϕϕϕϕ∑-=-==计算)(x n ϕ，生成正交多项式；流程图：开始否是结束2、 最佳一致逼近多项式],[)(b a C x f ∈，若存在n n H x P ∈)(*使得n n E P f =∆),(*，则称)(*x P n 是)(x f 在],[b a 上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼近多项式。
计算方法实验三 不同曲线拟合比较讲解
计算方法C（2014-2015-2）【不同拟合曲线的比较】实验报告学号：******* 姓名：*****8课程教师：戴克俭教学班级：无实验三 不同拟合曲线的比较实验目的：掌握曲线拟合和最小二乘法的思想，比较不同拟合曲线的精度。
实验题目：下表给出了我国1949~1984年间的一些人口数据，分别按下述方案求最小二乘拟合函数及其偏差平方和Q ，求1969年人口并预测方案I 拟合函数取如下形式的三次多项式3322101)(x a x a x a a x F +++=方案II 用离散正交多项式求三次拟合多项式)(2x F 方案III 用离散正交多项式求四次拟合多项式)(3x F 方案IV 拟合函数为如下形式的函数10sin)(4xb a x F π+=算法流程图如下：i、方案1 ii、方案2iii、方案3iv、方案4源程序清单如下：i、方案1图1：求3次多项式图2：求偏差ii、方案2图3：求3次多项式iii、方案3图4：求4次多项式图5：求sin(π*X/10)图6：nafit函数M文件图7:命令行输入运算结果如下：⑴、方案1P(X)=745181.85611415-1135.160413656X+0.576328328X^2-0.000097520X^3 P(1969)= 11.4973750142380600 亿P(2000)=14.3408021503128110亿图8 拟合曲线：蓝色线表示拟合曲线P(X)，红色线表示真实数据误差很大⑵、方案2P(X)=732370.3125-1115.615844727X+0.566389024X^2-0.000095836X^3P(1969)= 4.1277828774182126亿P(2000)= 6.7190460005076602亿图9 拟合曲线：蓝色线表示拟合曲线P(X)，红色线表示真实数据误差很大⑶、方案3P(X)=30212.5+320.9404296875X-0.5357236862X^2+0.0002799341X^3-0.000000048X^4P(1969)= 627.7665998683078200 亿P(2000)= 671.4145749998278900 亿图10 拟合曲线：蓝色线表示拟合曲线P(X)，红色线表示真实数据蓝色线的数值全是上百亿与实际严重不符误差巨大⑷、方案4P(X)=0.2414+7.7753sin(π*X/10)P(1969)= 2.6441006951177228 亿P(2000)= 0.2413990828363674 亿图11 拟合曲线：蓝色线表示拟合曲线P(X)，整体看该曲线具有和sin近似的周期性质，与实际数据不是很符合。
三种曲线拟合方法的精度分析
三种曲线拟合方法的精度分析L,曲线拟合是皂丝圈宁的曲线光滑方法它根据给定的离散点?建立一个适当的解析式,使所表示的连续曲线反映和逼近已知点构成的特征多边形.地形图上的曲线具有多种类型.例如境界,道路,等高线和水网线等.这些曲线图形多数是多值函数,呈现出大挠度,连续拐弯的图形特征.在传统的测绘工作中,各种曲线是根据实测点位由人工联接勾绘而成.随着测绘自动化及数字化技术的不断发展,野外地面测量仪器中的经纬仪.已被全站仪逐渐取代.而在平板仪上进行的地形图清绘整饰工作,则可在微机上借助交互式图形技术完成.这一进步不仅可增加工作效率,缩短生产周期,减低劳动强度,也提高了图形质量.野外实测数据确定的特征多边形,需在计算机图形编辑中采用一定的曲线线跫对其作曲线拟合.本文对三种曲线拟台线型——圆曲线,二次B样条曲线,三次B样条曲线的理论拟台精度展开讨论.并在实验中得到验证.l三种曲线拟合方法1.1圆曲线平面上三点;(?,y1),B(?.),(南,ya)}其圆弧方程++/)X+Ey+F=0.过上述三点作圆弧(图1).当I丑yl1f?的顶点.二次B样条的一阶导数为:小l.B.且Bo?t?l0?t?1其端点性质如下:P(o)一?(Bo4-且)}P(1)=告(B】+岛);(0)一BI一&}(1)=岛一B}P(专)吉&+}且+吉岛=1{吉[P(o)+P(1)]+蜀};(音)一{(岛一Bo)一P(1),P(0)以上性质说明二次B样条曲线的起点P(0)在B特征多边形第一边的中点处,且其切向量且一&即为第一边的走向;终点P(1)在第二边的中点处,且其切向量B:一B为第二边的走向.而且P(1/Z)正是凸P(O)昌P(1)的中线B,M的中点,在P(1/2)处的切线平行于P(O)P(1)(图2).图2二次B样条拟台特征多边形上海蚨道大学第17告1.3三次B样条曲线三次B样条的分段函数式为..c一霎c一-,d一c+一一,,c一=s,z=.,,z,s 三次B样条曲线的矩阵为:3P()=?.3(f)BL=J一口其一阶导数为:[产1]?百1?(t)一[产t1]?告?一l3—3l3—630,30301410一l3—3l2—42O一10l0昂目岛鼠鼠且岛且0?t?10?t?l三次B样条曲线的端点性质如下:P(0)=音(岛+4且+岛)一{(堡{)+号且}P(1)=吉(且+4B+鼠)={(鱼{)+导局;(0)一百1(岛一Bo);(1):I(B一Bi)以上性质说明:三次B样条曲线起点P(0)落在反目B的中线/3.研上距/3的三分之一处,该点的切向量(0)平行于厶‰矗岛的底边/3.Bz,长度为其一半;终点P(1)处的情况与此相对应(见图3).if一}图3三次B拌条拟合特征多边形2三种拟合曲线的比较2+l圆曲线与二次B样条曲线的比较取平面上三点/3-,马…/3井分两种情况进行比较一一一第3期许恺.三神曲拽拟音方法的情虚分析(1)当瓦=瓦瓦时(见图4),过岛,B,岛作圆曲线岛Q最岛,其与特征多边形有两处偏离值最大,即QR与c,,且QR=UV.而二次B样条曲线RTU与特征多边形有一处偏离值最大,即B?则.0??,,7j,一—,/I//,?L—r/.s图4圈曲线与二趺B样条比较(1)QR=s蜀T={(2r?si譬)式中,为圆弧半径l0为弦届置所对圆心角l2,6为弦BoBz所对圆心角.由此即可知.器=>1(>0)(2)鼠晶?蜀岛时,随着岛蜀与蜀岛的差值加大,QR也加大,而B,T值是一定值(见图5).由此可得出二次B样条曲线拟合优于圆曲线拟合的结论.j,一0/..7.一\,}l一?I1形图等高线上选定点位组成特征多边形.分别用圆曲线,二次B样条曲线,三次B样条曲线对等高线特征多边形进行曲线拟合,测出拟合曲线与特征多边形的偏离值.共50个观测值,对测中误差为0.05rnm,取偏离值的平均值列于附表.附裹兰莫拟台曲线平均偏差比较裹哪由上分析可得出如下结论:1?圆曲线拟合特征多边形时,其偏差值要太于=次B样条曲线的拟合偏差.特征多边形相邻两边的长度相差越大.上述两种曲线拟合偏差之差越大.2一二次B样条曲线的拟合误差是三次B样条曲线拟合误差的四分之三.3一对特征多边形作曲线拟合时,在圆曲线.二次B样条,三次B佯条中使用二次B样条参考文献1盒延赞.计算机图形学.杭州t浙江大学出版杜.1988165,1672许隆文.计算机绘图.北京机槭工业出版杜.1989,334,3383孙家广.扬长贵.计算机图形学.北京清华大学出版杜.1994:288,2g0AnalysisofAccuracyofThreeCurve—FittingMethodsXHKdi(Dept?ofCivilE.ShanghaiTiedaoUniv)..Abst喇{reecurve—fittigmethodsareanalyzedandcornpared.ThequadraticBph”re岛ekcted.heopjmlJmcurvefittingforimp?Vingmapaccuracyoftopo graghicaldrawing?andthey8reverifiedbexperiments.dsltopographicmap,eurve—fittig,fittingaccuraey,BsDlines。
几种比较复杂的曲线拟合方法
几种比较复杂的曲线拟合方法
曲线拟合是数学中一种重要的技术，它可以将一组数据拟合到一条曲线上，以
便更好地理解数据的规律。
近年来，随着互联网技术的发展，曲线拟合技术也取得了长足的进步，出现了许多比较复杂的曲线拟合方法。
其中，最常用的曲线拟合方法之一是多项式拟合。
多项式拟合是一种基于多项
式函数的拟合方法，它可以将一组数据拟合到一条多项式曲线上，以便更好地理解数据的规律。
多项式拟合的优点是简单易行，但是它的缺点是拟合的曲线可能会出现过拟合的现象，从而导致拟合的结果不够准确。
另一种比较复杂的曲线拟合方法是指数拟合。
指数拟合是一种基于指数函数的
拟合方法，它可以将一组数据拟合到一条指数曲线上，以便更好地理解数据的规律。
指数拟合的优点是可以更好地拟合出数据的趋势，但是它的缺点是拟合的曲线可能会出现欠拟合的现象，从而导致拟合的结果不够准确。
此外，还有一种比较复杂的曲线拟合方法是指数幂拟合。
指数幂拟合是一种基
于指数幂函数的拟合方法，它可以将一组数据拟合到一条指数幂曲线上，以便更好地理解数据的规律。
指数幂拟合的优点是可以更好地拟合出数据的趋势，而且可以更好地避免过拟合和欠拟合的现象，从而使拟合的结果更加准确。
总之，多项式拟合、指数拟合和指数幂拟合是三种比较复杂的曲线拟合方法，
它们都可以用来拟合一组数据，以便更好地理解数据的规律。
随着互联网技术的发展，这些曲线拟合方法将会变得更加强大，为我们提供更多的便利。
化工计算方法-4-曲线拟合
例题4-2 某矾土矿物成分用x表示，SiO2用y表示，实验数 据如下，已知x和y间存在线性关系，试计算a和b并进行相 关系数检验
X Y 67 24 54 15 72 23 64 19 39 16 22 11 58 20 43 16 46 17 34 13
解 本例除观测数据不同外，程序与例4-1完全相同，只需将 例4-1程序中x和y数据按本题数据改写即可。 请同学们自己上机练习 运行后输出 a=5.4366346 alpha =0.01 alpha =0.05
0 2i
x0，令x0=1， 2 x0 矩阵各项值 未变，但形 x0 x1i 式变得很有 x0 x2 i 规律
x x x x x
0 2 1i 1i
1i
2i
x x x x x
• 可用高斯消去法求正规方程组，得到模型系数C0，C1，C2 • 同样方法可推广到二元以上的多元线性拟合，如对有4个自 变量的四元线性拟合方程，需要确定C0，C1，…，C5 五个模 型系数 • 也可用其它方法求解多元线性模型正规方程组
i 1
•相关系数 R
S回 S总
Lxy Lxx Lyy
由于S总>=S回，有R2<=1
• 相关系数 R 用于评价两个变量间的线性相关程度
•R的取值情况： ① R = 0 ，表明原离散函数 x 与 y 之间不存在线性关系，称 为线性无关； ② 0 < |R| < 1 ，x 与 y 存在线性关系 |R|越接近于1，线性相关性越大； ˆ R<<1，说明yi与yi 偏离大，回归直线不能代表原离散函数； ③ |R| = 1 ，所有数据点都在回归直线上，称完全线性相关， 表明 x 和 y 有确定的函数关系 • 显著性检验——只有当相关系数 R 的绝对值达到一定值时 才可用回归直线表示 x 与 y 的关系 • 相关函数R与显著性水平的关系表（表4-2） • R的临界值——与观测次数m及显著性水平有关 • m-2: 自由度 ：信度，0.05和0.01，代表显著性水平 • 若 R小于 ＝0.05 时的值，不显著，反之则显著(以*表示) • 若R大于＝ 0.01时的值，高度显著（以**表示）；＃
曲线拟合方法浅析
曲线拟合方法概述工业设计 张静 1014201056引言：在现代图形造型技术中，曲线拟合是一个重要的部分，是曲面拟合的基础。
现着重对最小二乘法、移动最小二乘法、NURBS 三次曲线拟合法和基于RBF 曲线拟合法进行比较，论述这几种方法的原理及其算法，基于实例分析了上述几种拟合方法的特性，以分析拟合方法的适用场合，从而为图形造型中曲线拟合的方法选用作出更好的选择。
1 曲线拟合的概念在许多对实验数据处理的问题中，经常需要寻找自变量和对应因变量之间的函数关系，有的变量关系可以根据问题的物理背景，通过理论推导的方法加以求解，得到相应关系式。
但绝大多数的函数关系却很复杂，不容易通过理论推导得到相关的表达式，在这种情况下，就需要采用曲线拟合的方法来求解变量之间的函数关系式。
曲线拟合(Curve Fitting)，是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之问的函数关系的一种数据处理方法。
在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x 与y 的一组数据对(x i ,y i )，i =1，2，3…，m ，其中各x i 是彼此不同的。
人们希望用一类与数据的规律相吻合的解析表达式y =f(x)来反映量x 与y 之间的依赖关系。
即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。
f(x)称作拟合函数，似的图像称作拟合曲线。
2 曲线拟合的方法2.1最小二乘法最小二乘法通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，是进行曲线拟合的一种早期使用的方法 一般最小二乘法的拟合函数是一元二次，可一元多次，也可多元多次。
该方法是通过求出数据点到拟合函数的距离和最小的拟合函数进行拟合的方法令f(x)=ax 2+bx+c ，计算数据点到该函数所表示的曲线的距离和最小 即：δ=∑-=n i y x f i i 02))((对上式求导，使其等于0，则可以求出f(x)的系数a,b,c ，从而求解出拟合函数。
2.2 移动最小二乘法移动最小二乘法在最小二乘法的基础上进行了较大的改进，通过引入紧支概念（即影响区域，数据点一定范围内的节点对该点的拟合函数值有影响），选取适合的权函数，算出拟合函数来替代最小二乘法中的拟合函数 从而有更高的拟合精度及更好的拟合光滑度。
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计算方法C
（2014-2015-2）
【不同拟合曲线的比较】实验报告
学号：******* 姓名：*****8
课程教师：戴克俭教学班级：无
实验三 不同拟合曲线的比较
实验目的：
掌握曲线拟合和最小二乘法的思想，比较不同拟合曲线的精度。
实验题目：
下表给出了我国1949~1984年间的一些人口数据，分别按下述方案求最小二乘拟合函数及其偏差平方和Q ，求1969年人口并预测
方案I 拟合函数取如下形式的三次多项式
3322101)(x a x a x a a x F +++=
方案II 用离散正交多项式求三次拟合多项式)(2x F 方案III 用离散正交多项式求四次拟合多项式)(3x F 方案IV 拟合函数为如下形式的函数
10
sin
)(4x
b a x F π+=
算法流程图如下：
i、方案1 ii、方案2
iii、方案3
iv、方案4
源程序清单如下：i、方案1
图1：求3次多项式
图2：求偏差
ii、方案2
图3：求3次多项式
iii、方案3
图4：求4次多项式
图5：求sin(π*X/10)
图6：nafit函数M文件
图7:命令行输入
运算结果如下：
⑴、方案1
P(X)=745181.85611415-1135.160413656X+0.576328328X^2-0.000097520X^3 P(1969)= 11.4973750142380600 亿
P(2000)=14.3408021503128110亿
图8 拟合曲线：蓝色线表示拟合曲线P(X)，红色线表示真实数据误差很大
⑵、方案2
P(X)=732370.3125-1115.615844727X+0.566389024X^2-0.000095836X^3
P(1969)= 4.1277828774182126亿
P(2000)= 6.7190460005076602亿
图9 拟合曲线：蓝色线表示拟合曲线P(X)，红色线表示真实数据误差很大
⑶、方案3
P(X)=30212.5+320.9404296875X-0.5357236862X^2+0.0002799341X^3-0.000000048X^4
P(1969)= 627.7665998683078200 亿
P(2000)= 671.4145749998278900 亿
图10 拟合曲线：蓝色线表示拟合曲线P(X)，红色线表示真实数据蓝色线的数值全是上百亿与实际严重不符误差巨大
⑷、方案4
P(X)=0.2414+7.7753sin(π*X/10)
P(1969)= 2.6441006951177228 亿
P(2000)= 0.2413990828363674 亿
图11 拟合曲线：蓝色线表示拟合曲线P(X)，整体看该曲线具有和sin近似的周期性质，与实际数据不是很符合。
结论如下：
由上面的四种方案求出的拟合函数的图像与实际数据曲线比较，或是从Q大小来看,会发现这4种方法或多或少都会出现相应的误差。
就误差大小来看：
方案一的结果普遍比实际数据高个1倍多，按常理来说，由matlab软件封装好的求多项式系数的函数polyfit的结果不应有错，可是在本实验中，预测人数和实际人数竟然会不符，可能是软件安装的有错，此方案应该可行；方案二的结果要低个3倍多，此方案不是很对；方案三比实际数据高出几百倍，显然不对，此方案不应采纳，方案四的数据具有周期性，区域内具有最大值和最小值，二者和人口在逐年增长的事实不符合，此方案不能采用。
结论：如果排除我电脑上matlab软件安装的错误，有ployfit求出的拟合函数应该是对的。
另外3种方案，拟合3次多项式和4次多项式不应该采用，方案4最不该采用。
附：实际人口数据曲线。