中考尺规作图

中考数学专项复习--尺规作图
一、理解“尺规作图”的含义
1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．
2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.
二、熟练掌握尺规作图题的规范语言
1.用直尺作图的几何语言：
①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；
②连结两点××；或连结××；
③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；
}
2.用圆规作图的几何语言：
①在××上截取××＝××；
②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；
③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；
④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×.
三、了解尺规作图题的一般步骤
1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中
的条件；2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.
四、基本作图最基本，最常用的尺规作图,通常称基本作图。

一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。

五种基本作图：
1、作一条线段等于已知线段；
2、作一个角等于已知角；
3、作已知线段的垂直平分线；
4、过一点作已知直线的垂线；
5、作已知角的角平分线；
'
1.作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a .
求作：线段AB，使AB = a .
作法：
（1）作射线AP；
（2）在射线AP上截取AB=a .则线段AB就是所求作的图形。

练习：（广东.2013）如图，已知□ABCD（1）作图：延长BC，并在BC的延长线上截取线段CE，使得CE=BC（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连结AE，交CD于点F，求证：△AFD≌△EFC．
·
2.求作一个角等于已知角∠MON ．
（1）作射线11M O ；（2）在图（1）上，以O 为圆心，恰当的长为半径作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；（3）以1O 为圆心，OA 的长为半径作弧，交11M O 于点C ；（4）以C 为圆心，以AB 的长为半径作弧，交前弧于点D ；（5）过点D 作射线D O 1．则∠D CO 1就是所要求作的角． 练习：如图，△ABC 中，∠ACB>∠ABC.
(1) 用直尺和圆规在∠ACB 的内部作射线CM,使∠ACM=∠ABC (不要求写作法,保留作图痕迹)；
(2)若(1)中的射线CM 交AB 于点D ，AB=9，AC=6，求AD 的长。

】
3.作已知线段的垂直平分线。

已知：如图，线段MN. 求作：ＭＮ的垂直平分线. 作法：
…
（１）分别以M、N为圆心，大于相线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；（２）连接PQ交MN于O．
则PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。

（试问：PQ与ＭＮ有何关系）
练习：1.（2017年）.如是20图，在ABC
∆中，A B
∠>∠.
（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB、BC分别相交于点D、
E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）：
（2）在（1）的条件下，连接AE，若50
B
∠=︒,求AEC
∠的度数。

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2、（广东.2016）如图，已知△ABC中，D为AB的中点.
（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE
（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）条件下，若DE=4，求BC的长. @
D
A
B C
5.过一点作已知直线的垂线；
如下图，已知△ABC ，求作：BC 边上的高
分析 作BC 边上的高，就是过已知点A 作BC 边所在直线的垂线； 作法 如下图①以点A 为圆心，适合的长度为半径画弧，交直线
CB 于G 、H 两点； ②分别以G 、H 为圆心，以大于2
1
GH
的长为半径画弧，两弧交于
E 点；
③作射线AE ，交直线CB 于D 点，则线段AD 就是所要求作的△ABC 中BC 边上的高．
练习：（广东.2015）如题图，已知锐角△AB C. (1) 过点A 作BC 边的垂线MN ，交BC 于点D （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2) 在(1)条件下，若BC =5，AD =4，tan ∠BAD =34
，求DC 的长.
@
5.作已知角的角平分线。

已知：如图，∠AOB ，
求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）。

（
H E
(1)
C
B
A
作法：（1）以O为圆心，恰当的长度为半径画弧，
}
分别交OA，OB于M，N；
1MN为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于
2
（3）作射线OP。

则射线OP就是∠AOB的角平分线。

练习：（广东.2014）点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A.
（1）作△BDC的平分线DE，交BC于点E
（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）.
B
【
综合练习：1.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角分线．（1）以AB上的一点O为圆心，AD为弦在图中作出⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论．
[
2.如图,已知在△ABC 中,∠A=90∘
(1)请用圆规和直尺作出P ,使圆心P 在AC 边上,且与AB,BC 两边都相切(保留作图痕迹,不写作法和证明).
(2)若P 与BC 的切点为D,∠B=60∘,AB=3,求劣弧AD 的长。

%
3.如图，在Rt ABC ∆中，︒=∠90B ，分别以点A 、C
为圆心，大于AC 2
1
长为半径画弧，两弧相交于点
M 、N ，连结MN ，与AC 、BC 分别交于点D 、E ，连结AE ．
（1） 求ADE ∠；（直接写出结果） （2） 当AB =3，AC =5时，求ABE ∆的周长
4、如图，已知△ABC.按如下步骤作图：
①以A为圆心，AB长为半径画弧；
②以C为圆心，CB长为半径画弧,两弧相交于点D；
③连结BD，与AC交于点E，连结AD，CD.
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若∠BAC = 30°,∠BCA = 45°,AC = 4，求BE的长.。