3.2函数模型及其应用

解：借助计算器或计算机作出函数y=0.25x， y=log7x+1，y=1.002x的图象（图3.2-2）
y 8 7 6 5 4 3 2 1 O
y=0.25x y=1.002x y=5 y=log7x+1
200
400 600
800 1000
x
观察图象发现，在区间[10,1000]上，模型 y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的 上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方， 这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司 的要求. 下面通过计算确认上述判断.
假设你有一笔资金用于投资，现有三种投 资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天 比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天 的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？
解：
设第x天所得回报是y元，则 方案一：y=40(x∈N*)；
20 1.05E+06
30 40 1.07E+09 1.10E+12
400
70 1.18E+21 4900
900
80 1.21E+24 6400
1600
„ „ „
y=2x 1.13E+15 y=x2 2500
再在同一平面直角坐标系内 画出这两个函数的图象（图2）
y
y=2x
1.13E+15
1.10E+12 y=x2
0.953
0.877
0.817
y log1 x
2
3.322 1.737
1
0.515 0.152
-0.138
-0.379
-0.585
„
再在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象 y 1
x 1 y 2
5
4 3 2 1
y x

2
-2
-1
O
1 -1
2
3
4
x
y log 1 x
2
3.2.2
第三章 函数的应用--
3.2函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型（1）
一、实例分析
投资回报和选择奖励模型两个 实例，让学生对直线上升、指数爆 炸与对数增长有一个感性的认识， 初步发现当自变量变得很大时，指 数函数比一次函数增长得快，一次 函数比对数函数增长得快.（底数 a>0）
例1.
利用计算器或计算机，先列出自变量与函数值的对 应值表（表4）. x
1 y 2
x
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1
0.933 0.812 0.707 0.616 0.536 0.467
1.3
0.406
1.5
0.354
„ „
y x

1 2
3.162 1.826 1.414 1.195 1.054
21474 107374182 8364. .4 8
再作出三个函数的图象（图3.2-1）。
由表3-4和图3.2-1可知，方案一的函数 是常数函数，方案二、方案三的函数都是增 函数，但方案三的函数与方案二的函数的增 长情况很不同. 可以看到，尽管方案一、方案二在第1 天所得回报分别是方案三的100倍和25倍， 但它们的增长量固定不变，而方案三是“指 数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从 第7天开始，方案三比其他两个方案增长得 快得多，这种增长速度是方案一、方案二所 无法企及的.
从每天所得回报看，在第1~3天，方案 一最多；在第4天，方案一和方案二一样多， 方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第 9天开始，方案三比其他两个方案所得回报 多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.
下面再看累计的回报数,通过计算器或计算机列表如下：
天数 回报/元 方案
1 40
10
2 80
30
例2. 某公司为了实现1000万元利润的目标， 准备制定一个激励销售人员的奖励方案： 在销售利润达到10万元时，按销售利润进 行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利 润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金 总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的 25%.现有三个奖励模型：y=0.25x， y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符 合公司的要求？
常数函数模型
方案二：y=10x(x∈N*)；
一次函数模型
方案三：y=0.4×2x-1(x∈N*).
指数函数模型
要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情 况进行分析.
我们先用计算器或计算机计算一下三种方案所得回报 的增长情况（表3-4）。
x 方案一 方案二 方案三 / y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 天 1 40 10 0.4 2 3 4 5 40 40 40 40 0 0 0 0 20 30 40 50 10 10 10 10 0.8 1.6 3.2 6.4 0.4 0.8 1.6 3.2
0 t 1, 1 t 2, 2 t 3, 3 t 4, 4 t 5.
这个函数的图象如图3.2-8所示. s 2400 2300
2200
2100
2000
O 1 2 3 4 5 t
建立函数模型解决实际问题的基本过程； 收集数据 画散点图
不 符 合 实 际
选择函数模型
O
50
100
x
从表2和图2可以看出，当自变量x越来越大时， y=2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增 长，x2比起2x来，几乎有些微不足道.
2．探究y=x2，y=log2x两个函数的增长速度.
利用计算器或计算机，先列出自变量与函数值的 对应值表（表3）.
x y=x2 y=log2x x y=x2 y=log2x 1 1 0 40 1600 5.322 10 100 3.322 50 2500 5.644 20 400 4.322 60 3600 5.907 30 900 4.907 „ „ „
3 120
60 2.8
4 160
100 6
5 200
150 12.4
6 240
210 25.2一二源自三0.4 1.2续表
天数
回报/元
方案 一 二 三
7
280 280 50.8
8
320 360 102
9
360 450
10
400 550
11
400 660
204.4 409.2 818.8
因此，投资1~6天，应选择方案一； 投资7天，应选择方案一或方案 二； 投资8~10天，应选择方案二； 投资11天（含11天）以上，则 应选择方案三.
分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依 据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5 万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公 司的总的利润目标为1000万元，所以人员销 售利润一般不会超过公司总的利润.于是， 只需在区间[10，1000]上，检验三个模型是 否符合公司要求即可. 不妨先作出函数图象，通过观察函数的 图象，得到初步的结论，再通过具体计算， 确认结果.
表3-4续表
x/ 方案一 方案二 天 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 6 40 60 7 40 0 70 10 8 40 0 80 10 9 40 0 90 10 10 40 0 100 10 … … … … …
30 40 0 300 10
方案三 y/元 增加量/元 12.8 25.6 12.8 51.2 25.6 102.4 51.2 204.8 102.4 … …
8
x
从表1和图1可以看到， y=2x和y=x2的图象有两个交点， 这表明2x与x2在自变量不同的区间内有 不同的大小关系，有时2x>x2，有时 2x<x2.
利用计算器或计算机，先列出自变量与函数值的 对应值表（表2）.
x 0 10
y=2x y=x2
x
1 0
50
1024 100
60 1.15E+18 3600
求函数模型 检验 符合实际
用函数模型解释实际问题
解：（1）阴影部分的面积为 50×1+80×1+90×1+75×1+65× 1=360 阴影部分的面积表示汽车在这5 小时内行驶的路程为360km.
（2）根据图3.2-7，有
50t 2004, 80( t 1) 2054, s 90( t 2) 2134, 75( t 3) 2224, 65( t 4) 2299,
课堂小结
通过师生交流进行小结： 确定函数的模型——利用数据表格、函 数图象讨论模型——体会直线上升、指 数爆炸、对数增长等不同函数类型增长 的含义.
3.2.1 几类不同增长的函数模型（2）
新课
1．通过图、表比较y=x2，y=2x两个 函数的增长速度.
利用计算器或计算机，先列出自变量与函数值的对 应值表（表1）.
再在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象
y 10 8 y=x2 6 4 2 -4 -3 -2 -1 O 1 2
y=log2x
3 4 x
4．一般的，在区间(0,+∞)上， 尽管函数y=ax(a>1)，y=logax(a>1)和 y=xn(n>0)都是增函数， 但它们的增长速度不同，而且不在同一个 ‘档次’上，随着x的增大， y=ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过 并远远大于y=xn(n>0)的增长速度， 而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢. 因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有 logax<xn<ax.