02 晶体的弹性

2.1 位移与应变张量（10）
因为
dX1′
=
dX1
+
du1
=
dX1
+
∂u1 ∂X1
dX1
+
∂u1 ∂X 2
dX 2
+
∂u1 ∂X3
dX3
⎫ ⎪ ⎪
dX
′
2
=
dX 2
+
du 2
=
dX 2
+
∂u 2 ∂X1
dX1
+
∂u 2 ∂X 2
dX 2
+
∂u 2 ∂X3
⎪ dX3 ⎬
⎪
dX
′
3
=
dX3
+
du 3
=
dX2 B
当晶体发生形变时，质点在平面内均产
θ12
D
生了位移，而且各质点的位移一般是不 A是的u向同向1'+C发的A的位d''相uB生。位移1'的相对如u移，2对位+A果，BdC点A我移那u发B2变们，么的发生到只C位A生了点B点考移了一’变处变查。θ个到，到沿显1θ2C沿AX的然2'‘11处X点方角的，1，方发向角度总沿和生向度变的XXu发变化效122,化方方，果生u2。
⎤ )⎥ ⎥
1 2
( ∂u2 ∂X3
+
∂u 3 ∂X 2
⎥ )⎥ ⎥
∂u 3 ∂X3
⎥ ⎥ ⎦
2.1 位移与应变张量（12）
其中
η11
=
∂u1 ∂X1
η22
=
∂u 2 ∂X 2
η33
=
∂u 3 ∂X3
⎫ ⎪ ⎪
η23
= η32
=
1 2
( ∂u2 ∂X3
+
∂u 3 ∂X 2
)
η31
= η13
=
1 2
( ∂u1 ∂X3
+
∂u3 ) ∂X1
η12
= η21
=
1（ ∂u1 2 ∂X2
+
∂u2 ) ∂X1
⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭
比较位移梯度矩阵与应变张量矩阵，发现两者有如下联系：
η = 1 (E + E′) = 1 (∇u + ∇u′)
2
2
式中的E'表E的转置，▽u'表示▽u的转置。此式告诉我们，
第二章 晶体的弹性
晶体在外力作用下，一般发生两种变化：一种是位置的 变化,包括刚性平移和转动，另一种是形变，包括体积和形状 的变化，亦即质点相对位置的变化。晶体发生形变的同时， 在晶体中将产生与形变有关的内力。通常描述形变用应变张 量，描述内力用应力张量。
晶体的弹性是指外力撤除后，晶体能消除形变恢复原状 的性质。这种能恢复的形变称弹性形变。每种晶体都具有一 定的弹性限度，在弹性限度内，晶体可以看成是一个弹性体。 由于晶体是各向异性体，描述晶体弹性性质的物理量为张量。
相对根伸据缩应量变；分η量2η为1X,η2方2,η向3上与的位相移对的伸关缩系量式；，η不3难为看X3出方，向η上1的为相X1对方伸向缩上量的。
为 了 说 明 应 变 分 量 η4,η5,η6 的 物 理意义，我们在晶体的一个平面上取相
X2
du1
D'
邻近的三个质点A、B、C，选取坐标
B'
系 相
距，为使d该X平2，面A为、XC3两面质。点令相A、距B为两dX质1点。
+ +
∂u 3 ∂X1
)
⎤ ⎥ ⎥
∂u 3 ∂X 2
⎥ )⎥ ⎥
⎡dX1 ⎤ ⎢⎥
⎢⎥
×
⎢⎢dX2
⎥ ⎥
∂u 3 ∂X3
⎥⎢ ⎥
⎥ ⎦
⎢⎣dX3 ⎥⎦
式中的二阶对称矩阵即为描述形变的应变张量。用η表示应
变张量矩阵，则有
⎡η11 η12 η = ⎢⎢η21 η22
⎢⎣η31 η32
η13 ⎤
η23
⎥ ⎥
由于P点的任意性，u((X1，X2，X3,t)是描述晶体中所有质点 的位移参量。
在一般情况下，位移矢量可由刚性运动和形变两部分产 生。晶体不存在形变，只存在刚性运动时，质点仍产生位 移，因此位移矢量与形变没有必然的联系，不能用来描述 晶体的形变。
2.1 位移与应变张量（4）
我们再考察P点附近的任
意 点 Q 的 坐 标 为 (X1+dX1 ， X2+dX2 ， X3+dX3) ， 其 位 置 矢 量 为 L+dL 。在同样外力作用
当晶体的位移梯度矩阵为零时，应变张量必定为零，此时无
形变。
2.1 位移与应变张量（13）
因为应变分量只有六个是独立的，因此可以用简缩下标 表示应变分量。其对应关系为：
η1 = η11
⎫
η2 = η22
⎪ ⎪
η3 = η33 η4 = 2η23 = 2η32
⎪⎪ ⎬ ⎪
η5 = 2η13 = 2η31
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
∂u1
∂X1 ∂u 2
∂X1 ∂u 3
∂u1
∂X 2 ∂u 2
∂X 2 ∂u 3
∂u1
∂X3 ∂u 2
∂X3 ∂u 3
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎡ dX1 ⎢⎢dX 2 ⎢⎣dX3
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎢⎣ ∂X1 ∂X2 ∂X3 ⎥⎦
即
du i
=
∂u i ∂X j
+
2
∂u 2 ∂X 2
dX 2 2
+
2
∂u 3 ∂X3
dX32
+
2( ∂u1 ∂X 2
+
∂u 2 ∂X1
)dX1dX 2
+
2( ∂u2 ∂X3
+
∂u 3 ∂X 2
)dX 2 dX 3
+
2( ∂u3 ∂X1
+
∂u1 ∂X3
)dX1dX3
2.1 位移与应变张量（11）
将上式写成矩阵形式
⎡ ⎢ ⎢
∂u1 ∂X1
⎢ ⎢
∂X1
⎢ ⎢
0
⎢
⎢ ⎢0
∇s
=
⎢ ⎢
⎢0
⎢
⎢∂
→
则 η = ∇s u
⎢ ⎢
∂X
3
⎢∂
⎢
此式反映应变张量与位移矢量的关系。 ⎣∂X2
0
0
⎤ ⎥
⎥
∂
⎥
∂X 2
0⎥ ⎥
∂⎥
0
∂X 3
⎥ ⎥
∂
∂⎥
∂X 3
∂X 2
⎥ ⎥
∂⎥
0
∂X 1
⎥ ⎥
∂
⎥
∂X 1
0⎥ ⎦
2.1 位移与应变张量（16）
三、应变分量的物理意义
X
′
1
=
X1′ (X1, X 2 , X3 )
X
′
2
=
X
′
2
(X1
,
X
2
,
X
3
)
X
′
3
=X
′
3
(X1
,
X
2
,
X
3
)
即p‘点的位置矢量以及p点的位置矢量均可以表示为(X1， X2，X3)的函数。
2.1 位移与应变张量（3）
另外L又是时间t的函数，所以位移矢量也是坐标和时 间的函数，表示为
→
→
→
u(X1, X2 , X3, t) = L′(X1, X2 ,X3, t) - L(X1, X2 , X3, t)
Δ = 2[dX1
dX 2
dX
3
]
×
⎢ ⎢ ⎢
1 2
( ∂u1 ∂X 2
+
∂u 2 ∂X1
)
⎢1 ⎢ ⎣2
( ∂u1 ∂X3
+
∂u 3 ∂X1
)
1 ( ∂u1 + ∂u2 ) 2 ∂X2 ∂X1 ∂u 2 ∂X 2 1 ( ∂u2 + ∂u3 ) 2 ∂X3 ∂X2
1 2 1 2
( ∂u1 ∂X3 ( ∂u2 ∂X3
第二章 晶体的弹性
位移与应变张量 应力矢量和应力张量 晶体中质点的平移运动方程 虎克定律
2.1 位移与应变张量（1）
一、位移与位移梯度
晶体在外力作用下，将可发 A'
生刚性平移、转动以及质点相
A
对位移，从而使晶体由A变到A'
如图所示，图中虚线上的格点
表示质点的初始位置，实线上
格点表示发生位移后的终止位
∂u 1 ∂X1 ∂u 2 ∂X 2 ∂u 3 ∂X3 ∂u2 + ∂u3 ∂X3 ∂X2 ∂u1 + ∂u3 ∂X3 ∂X1 ∂u1 + ∂u2 ∂X2 ∂X1
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
2.1 位移与应变张量（15）
⎡∂
若令矩阵微分算符▽s为如下形式：
dX3
+
∂u 3 ∂X1
dX1
+
∂u 3 ∂X 2
dX 2
+
∂u 3 ∂X3
dX3
⎪ ⎪ ⎭
Δ
=
(d
→
L′)2
− (d
→
L)2
=
dX1′2
+
dX
′2
2
+
dX