第3章 随机数的产生与模拟

第三章随机数的产生与模拟目录⏹随机数的产生与模拟⏹§3.1均匀随机数的产生⏹ 3.1.1线性同余法（LCG）的递推公式⏹ 3.1.2反馈位移寄存器法（FSR）⏹ 3.1.3组合发生器⏹§3.2非均匀随机数的产生⏹§3.3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用⏹ 3.3.1计算定积分⏹ 3.3.1.1随机投点法⏹ 3.3.1.2平均值估计法⏹ 3.3.1.3重要抽样法⏹ 3.3.1.4分层抽样法⏹ 3.3.2 计算多重积分⏹ 3.3.2.1 随机投点法⏹ 3.3.2.2 平均值估计法⏹ 3.3.3应用实例⏹§3.4 随机模拟方法在随机服务系统中的应用⏹§3.5 随机模拟方法在理论研究中的应用随机数的产生与模拟用随机模拟方法解决实际问题时，首先要解决的是随机数的产生方法，或称随机变量的抽样方法。

随机数的产生与模拟伪随机数：在计算机上用数学方法产生均匀随机数是指按照一定的计算方法而产生的数列，它们具有类似于均匀随机变量的独立抽样序列的性质，这些数既然是依照确定算法产生的，便不可能是真正的随机数，因此常把用数学方法产生的随机数称为伪随机数。

随机数的产生与模拟均匀分布随机数：定理：设)(x F是连续且严格单调上升的分布函数，它的反函数存在，且记为)(1xF-，1、若随机变量ξ的分布函数为)(x F，则)1,0(~)(UFξ;2、若随机变量)1,0(~UF-的分布函数为)(x FR,则)(1R随机数的产生与模拟均匀分布随机数：该定理说明了任意分布的随机数均可由均匀分布的随机数变换得到。

常简称的随机数为均匀分布随机数。

)1,0(U )1,0(U随机数的产生与模拟1 均匀随机数的产生均匀随机数的产生：主要有线性同余法（LCG），组合同余法，反馈位移寄存器方法等均匀随机数的产生：⎪⎩⎪⎨⎧=+=-01))(mod (值x Mx r M c ax x nn n n 初,...2,1=n 随机数的产生与模拟1 均匀随机数的产生线性同余法（LCG ）的递推公式为：均匀随机数的产生：随机数的产生与模拟1 均匀随机数的产生0≠c 0=c 当，上式称为混合同余发生器，当时，称为乘同余发生器，此时当模为素数时，称它为素数模乘同余发生器。

两个常用的混合式发生器：⎪⎩⎪⎨⎧<=+=-350353511522)2)(mod 15(x x r x x n n n n ⎪⎪⎨⎧=+=-31313112)2)(mod 453806245314159269(x r x x n n n n ,...2,1=n 随机数的产生与模拟1 均匀随机数的产生常用的素数模乘同余发生器：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<-=-=-312)312()312(mod 312535035351x xr x x n n n n ,...2,1=n 随机数的产生与模拟1 均匀随机数的产生常用的素数模乘同余发生器：,...2,1=n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<-=-=-12)12()12(mod 31031311x xr x a x n n n i n )4,3,2,1(=i 168071=a 3972040942=a 7642611233=a 6303600164=a 随机数的产生与模拟1 均匀随机数的产生反馈位移寄存器法（FSR ）：对寄存器中的二进制数码作递推运算，其中是给定的正整数，为给定的常数。

取数列中连续的位构成一个位二进制整数，一直下去，一般地有令则即为FSR 方法产生的均匀随机数列。

)2)(mod (1111-+---+++=k p k p p k p k c c c αααα k αp )1,...,2,1(10,1-===p i or c c i p {}n αL 22)1(1)1(),,,(nL L n L n n x ααα +-+-=,...2,1=n L n n x r 2=,...2,1=n {}n r L 随机数的产生与模拟1 均匀随机数的产生随机数的产生与模拟1 均匀随机数的产生组合发生器：先用一个随机数发生器产生的随机数列为基础，再用另一个发生器对随机数列进行重新排列得到的新数列作为实际使用的随机数。

这种把多个独立的发生器以某种方式组合在一起作为实际使用的随机数，希望能够比任何一个单独的随机数发生器得到周期长、统计性质更优的随机数，即组合发生器。

随机数的产生与模拟1 均匀随机数的产生组合发生器：Maclaren和Marsaglia在1965年提出的著名的组合发生器是组合同余发生器,该算法的具体步骤如下：组合发生器：1用第一个LCG 产生个随机数，一般取。

这个随机数被顺序地存放在矢量中。

置;128=k k ),,,(21k t t t T =1=n k 2 用第二个LCG 产生一个随机整数,要求;j k j ≤≤13 令，然后再用第一个LCG 产生一个随机数,令；置;j n t x =y y t j =1+=n n 4 重复2~3，得随机数列，即为组合同余发生器产生的数列。

若第一个LCG 的模为，令，则为均匀随机数{}n x M M x r n n ={}n r 随机数的产生与模拟1 均匀随机数的产生由均匀分布随机数产生非均匀分布随机数的主要方法有：逆变换法，合成法和筛选法。

随机数的产生与模拟2非均匀随机数的产生1逆变换法：随机数的产生与模拟2非均匀随机数的产生对任意分布函数,要产生服从该分布的随机数，由定理知其抽样步骤为：（1）由抽取;（2）计算)(x F )1,0(U R )(1R F⏹1逆变换法：随机数的产生与模拟2非均匀随机数的产生)1(1)(~2x x p +=πξ⏹例1已知(柯西分布)，试给出其抽样方法。

1逆变换法：随机数的产生与模拟2非均匀随机数的产生解：设,则,因此其抽样步骤如下：（1）由抽取;（2）计算)1,0(~U R )(~)(tan 21x p R -=πξ)1,0(U R )(tan 21-=R πξ1逆变换法：其SAS 程序为（产生100个服从柯西分布的随机数）：data ex1;seed=678;do I=1to 100;r=ranuni(seed);x=tan(3.14159*(r-0.5));output;end;run;随机数的产生与模拟2非均匀随机数的产生2合成法：随机数的产生与模拟2非均匀随机数的产生其想法是：如果X 的密度难于抽样，而X 关于Y 的条件密度以及Y 的密度函数均易于抽样，则X 的随机数可如下产生：由Y 的密度抽取y由条件密度抽取x则X 服从)(y g )|(y x p )(x p )(y g )|(y x p )(x p2合成法：随机数的产生与模拟2非均匀随机数的产生当为离散形式时，即,其中是密度函数，其抽样过程如下：1 产生一个正的随机整数，使得，2 产生分布为的随机数。

)(y g ∑==n i i i x p x p 1)()(α1,01=>∑=ni i i αα)(x p i J j p j J P ==}{n j ,...,2,1=)(x p j2合成法：随机数的产生与模拟2非均匀随机数的产生设时梯形分布的密度函数为，试用合成法产生其随机数。

10<<a ⎩⎨⎧∈-+=其他,0]1,0[,)1(2)(x x a a x p 例22合成法：随机数的产生与模拟2非均匀随机数的产生解：首先将进行分解,即，其中其抽样框图为)(x p )()1()()(21x p a x ap x p -+=⎩⎨⎧∈=其他 0]1,0[,1)(1x x p ⎩⎨⎧∈=其他,0]1,0[,2)(2x x x p2合成法：随机数的产生与模拟2非均匀随机数的产生产生产生令产生令输出Y N )1,0(~U R aR ≤)1,0(~U U U=ξ)1,0(~,U V U ),max(V U =ξξ2合成法：其SAS 抽样程序如下（假若产生100个随机数,）：data ex2;seed=789;a=0.3;do I=1to 100;r=ranuni(seed);r3=ranuni(seed);if r1<=a then do;u=ranuni(seed);x=u;end;else do;u=ranuni(seed);v=ranuni(seed);x=max(u,v);end;output;end;run;随机数的产生与模拟2非均匀随机数的产生3筛选抽样法：随机数的产生与模拟2非均匀随机数的产生假设我们要从抽样，如果可将表示成，其中是一个密度函数且易于抽样，而，是常数，)(x p )()()(x g x h c x p ⋅⋅=)(⋅h 1)(0≤<x g 1≥c )(x p3筛选抽样法：随机数的产生与模拟2非均匀随机数的产生X 的抽样可如下进行：1由抽取，由抽取2如果，则;否则，转1则X 的密度函数为)1,0(U R )(y h y)(y g R ≤y x =)(x p3筛选抽样法：随机数的产生与模拟2非均匀随机数的产生设，试用筛选法抽取其随机数。

34)(x x p =10≤≤x 例33筛选抽样法：随机数的产生与模拟2非均匀随机数的产生解：因为：，即：则抽样框图如下：314)(x x p ⋅⋅=3)(,1)(,4x x g x h c ===3筛选抽样法：随机数的产生与模拟2非均匀随机数的产生独立产生令NY)1,0(~,21U r r 321r r ≤2r x =3筛选抽样法：其SAS 程序如下：data ex3;seed=789;do I=1to 100;r1=ranuni(seed);r2=ranuni(seed);if r1<=r2**3then do;x=r2;output;end;end;run;随机数的产生与模拟2非均匀随机数的产生随机数的产生与模拟3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用蒙特卡罗（Monte Carlo）方法（即随机模拟方法）求解实际问题的基本步骤包括：1建模：对所求的问题构造一个简单而又便于实现的概率统计模型，使所求的解恰好是所建模型的参数或有关的特征量。

2改进模型：根据概率统计模型的特点和计算实践的需要，尽量改进模型，以便减少误差和降低成本，提高计算效率。

3模拟试验4求解：对模拟结果进行统计处理，给出所求问题的近似解。

随机数的产生与模拟3 Monte Carlo 方法在解确定性问题中的应用⎰=1)(dxx f I 计算定积分（1）随机投点法①赋初值:试验次数n=0,成功次数m=0;规定投点试验的总次数N;②产生两个相互独立的均匀随机数置n=n+1;③判断n≤N是否成立,若成立转④,否则停止试验,转⑤;④判断条件是否成立,若成立置m=m+1,然后转②,否则转②;)1,0(~,U ηξ)(ξηf ≤随机数的产生与模拟3 Monte Carlo 方法在解确定性问题中的应用⎰=1)(dxx f I 计算定积分（1）随机投点法对一般区间[a,b]上定积分I =⎰ba dx x f )(的计算,只需做线性变换,即可化成[0,1]上的定积分。