第4章 振动系统的运动微分方程
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第4章 振动系统的运动微分方程
(d)
分析杆 AB ，列写 AB 的运动微分方程，如图（c）
m2 &x&C = − X A
(e)
m2 &y&C = −YA − m2 g
(f)
1 12
m2l 2ϕ&&
=
X
A
l 2
cosϕ
+ YA
l 2
sin ϕ
(g)
运动学方程
xC
=
xA
+
l 2
sin
ϕ
,
x&C
=
x& A
+
l ϕ& cosϕ 2
yC
=
−
l cosϕ , 2
y& C
=
l ϕ& sinϕ 2
&x&C
=
&x&A
−
l ϕ& 2 2
sin ϕ
+
l ϕ&& cosϕ 2
(h)
&y&C
=
l ϕ&& sin ϕ 2
+
l ϕ& 2 2
cos ϕ
(i)
上述 9 个方程包含 &x&A ,ε , &x&C , &y&C ,ϕ&&, X A ,YA , F, N 等 9 个未知量，由上述 9 个方程消去
解：系统具有两个自由度，选图示 AB 与铅垂线的夹角ϕ 及圆轮中心 A 的位移 xA 为广
义坐标。
分析圆轮 A ，受力图如图（b）所示。列写圆轮 A 的运动微分方程：
汽车振动基础第4章-多自由度(定稿)
j 1
k11 k1 x1 k2 x1 k1 k2
k21 k12 k2 x1 k2
k22 k2 x2 k3 x2 k2 k3
j2
k31 k13 0
k32 k23 k3 x2 k3
0 k1 k 2 k 2 K k 2 k 2 k3 k3 0 k3 k3
– 拉格朗日法
• 方程的形式
广义坐标
qi (i 1, 2,3,, n)
T：系统的总动能
d T T ( ) Qi 0 dt qi qi
i 1, 2,3, , n
对应于第i个广义 坐标的广义力
– 保守系统
» 系统作用的主动力仅为势力 Qi
d T T U ( ) 0 dt qi qi qi
m2 m22 m3 4
④柔度矩阵的影响系数法
F ij
柔度影响系数 ij 的意义是在第j个坐标上施加单位力作用时，在第i个坐 标上引起的位移。 例题4-8 用影响系数法求图示系统的柔度矩阵
11 F 21 31
12 22 32
13 23 33
也可写成 其中
或
或
MX KX 0
力方程 位移方程
K 1MX X 0
m x 0 或 x
称为柔度，而
FMX X 0
1 称为柔度矩阵
1 k
FK
②刚度矩阵的影响系数法
K kij
刚度影响系数 k 的意义是使系统的第j个坐标产生单位位移，而其它的 ij 坐标位移为零时，在第i个坐标上所施加的作用力的大小。
仅代表外部激励 广义力
k11 k1 x1 k2 x1 k1 k2
k21 k12 k2 x1 k2
k22 k2 x2 k3 x2 k2 k3
j2
k31 k13 0
k32 k23 k3 x2 k3
0 k1 k 2 k 2 K k 2 k 2 k3 k3 0 k3 k3
– 拉格朗日法
• 方程的形式
广义坐标
qi (i 1, 2,3,, n)
T：系统的总动能
d T T ( ) Qi 0 dt qi qi
i 1, 2,3, , n
对应于第i个广义 坐标的广义力
– 保守系统
» 系统作用的主动力仅为势力 Qi
d T T U ( ) 0 dt qi qi qi
m2 m22 m3 4
④柔度矩阵的影响系数法
F ij
柔度影响系数 ij 的意义是在第j个坐标上施加单位力作用时，在第i个坐 标上引起的位移。 例题4-8 用影响系数法求图示系统的柔度矩阵
11 F 21 31
12 22 32
13 23 33
也可写成 其中
或
或
MX KX 0
力方程 位移方程
K 1MX X 0
m x 0 或 x
称为柔度，而
FMX X 0
1 称为柔度矩阵
1 k
FK
②刚度矩阵的影响系数法
K kij
刚度影响系数 k 的意义是使系统的第j个坐标产生单位位移，而其它的 ij 坐标位移为零时，在第i个坐标上所施加的作用力的大小。
仅代表外部激励 广义力
04-1zf_两自由度系统的振动
m2 x2 K2 (x2 x1) K3 x2
整理得系统运动微分方程：
m1x1 (K1 K2 )x1 K2 x2 0 m2 x2 K2 x1 (K2 K3 )x2 0
引入符号：
m1x1 m2 x2
(K1 K2
x1
K2 (
安装两个齿轮的传动轴示意图
假设： (1)相对于齿轮来说，轴的质量较小 可以忽略； (2)轴的变形较大，考虑其弹性； (3)齿轮可视为集中质量元件的刚性 圆盘。
若研究系统在纸面平面内的横向振动，
在上述假设条件下，系统可简化成图两
自由度横向振动力学模型。
两自由度横向振动力学模型
若研究系统的扭振问题，两圆盘具有 转动惯量，轴具有扭转弹性，系统可 简化为两自由度扭转振动力学模型。
x20 )2
(1x10 x20 )2 2
n2
1
arctan
n1 (2 x10 2 x10
x20 x20
)
2
arctan
n
2 (1x10 1x10
x20 x20
)
例1 图示两自由度系统。已知，ml=m2=m=0.05kg， K1=K2=K3=K=20N／m。
(1)第1个方程既含有 x1 项，也含有-bx2项； 性常微分方程组。
(2)第2个方程既含有 x2 项，也含有-cxl项。
显然，这两个方程是相互耦联的，将-bx2、-cxl称为耦合项。
与单自由度振动系统运动微分方程比较：两自由度振动系统运动
微分方程是含有耦合项的二级常微分方程组。
4.1.2 固有频率与主振型
整理得系统运动微分方程：
m1x1 (K1 K2 )x1 K2 x2 0 m2 x2 K2 x1 (K2 K3 )x2 0
引入符号：
m1x1 m2 x2
(K1 K2
x1
K2 (
安装两个齿轮的传动轴示意图
假设： (1)相对于齿轮来说，轴的质量较小 可以忽略； (2)轴的变形较大，考虑其弹性； (3)齿轮可视为集中质量元件的刚性 圆盘。
若研究系统在纸面平面内的横向振动，
在上述假设条件下，系统可简化成图两
自由度横向振动力学模型。
两自由度横向振动力学模型
若研究系统的扭振问题，两圆盘具有 转动惯量，轴具有扭转弹性，系统可 简化为两自由度扭转振动力学模型。
x20 )2
(1x10 x20 )2 2
n2
1
arctan
n1 (2 x10 2 x10
x20 x20
)
2
arctan
n
2 (1x10 1x10
x20 x20
)
例1 图示两自由度系统。已知，ml=m2=m=0.05kg， K1=K2=K3=K=20N／m。
(1)第1个方程既含有 x1 项，也含有-bx2项； 性常微分方程组。
(2)第2个方程既含有 x2 项，也含有-cxl项。
显然，这两个方程是相互耦联的，将-bx2、-cxl称为耦合项。
与单自由度振动系统运动微分方程比较：两自由度振动系统运动
微分方程是含有耦合项的二级常微分方程组。
4.1.2 固有频率与主振型
机械振动基础
第4章 机械振动基础4-1 图示两个弹簧的刚性系数分别为k 1 = 5 kN/m ，k 2 = 3 kN/m 。
物块重量m = 4 kg 。
求物体自由振动的周期。
解：根据单自由度系统自由振动的固有频率公式 mk =n ω 解出周期 nπ2ω=T图（a ）为两弹簧串联，其等效刚度 2121eq k k k k k +=所以 )(2121n k k m k k +=ω2121n)(π2π2k k k k m T +==ω代入数据得s 290.0300050003000)4(5000π2=⨯+=T图（b ）为两弹簧串联（情况同a ） 所以 T = 0.290 s图（c ）为两弹簧并联。
等效刚度 k eq = k 1 + k 2 所以 mk k 21n +=ω21nπ2π2k k mT +==ω代入数据得 T = 0.140 s图（d ）为两弹簧并联（情况实质上同（c ））。
所以 T = 0.140 s4-3 如图所示，质量m = 200 kg 的重物在吊索上以等速度v = 5 m/s 下降。
当下降时，由于吊索嵌入滑轮的夹子内，吊索的上端突然被夹住，吊索的刚度系数k = 400 kN/m 。
如不计吊索的重量，求此后重物振动时吊索中的最大张力。
解：依题意，吊索夹住后，重物作单自由度自由振动，设振幅为A ，刚夹住时，吊索处于平衡位置，以平衡位置为零势能点，当重物达到最低点时其速度v = 0。
根据机械能守恒，系统在平衡位置的动能与最低点的势能相等。
即 T max = V max 其中 2max 2v m T = ， 2max 21kA V =v km A =吊索中的最大张力 mk v mg kA mg F +=+=max 代入数据得 kN 7.461040020058.92003max =⋅⋅+⋅=F4-5 质量为m 的小车在斜面上自高度h 处滑下，而与缓冲器相碰，如图所示。
缓冲弹簧的刚性系数为k ，斜面倾角为θ。
振动系统的运动微分方程题解
习 题3-1 复摆重P ，对质心的回转半径为C ρ，质心距转动轴的距离为a ，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。
解:系统具有一个自由度，选复摆转角ϕ为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。
复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程 O O M J =ϕ其中)(22a gP J C O +=ρ 得到复摆运动微分方程为 ϕϕρcos )(22Pa a gP C =+ 或0cos )(22=-+ϕϕρga a C3-2均质半圆柱体，质心为C ，与圆心O 1的距离为e ，柱体半径为R ，质量为m ，对质心的回转半径为C ρ，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。
解：系统具有一个自由度，选θ为广义坐标。
半圆柱体在任意位置的动能为：222121ωC C J mv T +=用瞬心法求C v ： 2222*2)cos 2()(θθθ Re R e CC v C -+== θω =2C C m J ρ=故2222221)cos 2(21θρθθ Cm Re R e m T +-+=系统具有理想约束，重力的元功为题3-1图题3-2图θθδd mge W sin -= 应用动能定理的微分形式W dT δ=θθθρθθd mge m Re R e m d C sin 21)cos 2(2122222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+ θθθθθθθθθθρd mge d mRe d mRe d R e m C sin sin cos 2)(2222-=+-++ 等式两边同除dt ，θθθθθθθθθθρ sin sin cos 2)(2222mge mRe mRe R e m C -=+-++ 0≠θ ，等式两边同除θ故微分方程为0sin sin )cos 2(2222=+++-+θθθθρθmge mRe Re R e m C ①若为小摆动θθ≈sin ，1cos ≈θ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为0])[(22=++-θθρge r R C要点及讨论（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。
机械振动运动学第四章 多自由度系统振动(改)
(4.19)
或简写成
上式还可以简写成：
（4.21）
(4.20)
上式表明，在动力作用下系统产生的位移等于系统的柔 度矩阵与作用力的乘积。它也可写成：
（4.22） 柔度矩阵与刚度矩阵之间转换关系为：
（4.23）
上式说明，对于同一个机械振动系统，若选取相同的广 义坐标，则机械振动系统的刚度矩阵和柔度矩阵互为逆矩矩 阵。
可用矩阵形式表达为：
（4.48）
（4.49）
（4.50） （4.51） 将式（4.50）和式（4.51）代入式（4.48）和式（4.49） 中，得到机械系统的动能T和势能V的表达式分别为：
（4.52）
故得
（4.53） （4.54）
（4.55）
单自由度无阻尼系统在作自由振动时，其动能T和势能V （4.57） （4.58）
现在选取以下三组不同的广义坐标来分别写出振动系统 的运动作用力方程。
①取C点的垂直位移 yc和刚杆绕C点的转角c为广义坐标。 如图4.6（b）所示。
图4.6（b） 刚体振动系统广义坐标示意图 应用达朗伯原理，得出振动系统的运动方程式：
(4.62)
将上式写成矩阵形式：
（4.63）
上式中，刚度矩阵是非对角线矩阵，反映在方程组中，即 为两个方程通过弹性力项互相耦合，故称为弹性耦合。
为使系统的第 j坐标产生单位位移，而其它坐标的位移 为零时，在第i 坐标上所需加的作用力大小。
现以图4.1所示的三自由度系统为例，说明确定影响系数和 系数矩阵的方法。
1、确定 及[k] 设 x₁ 1， x₂ 0，x₃ 0 则得到系统的刚度矩阵
2、确定 及[C] 设 设 设
得 C₁₁ C₁ C₂， C₂₁ C₂， C₃₁ ； 得 C₂₂ C₂ C₃;C₁₂ C₂;C₃₂ C₃ 得C₃₃ = C₃; C₂₃ = C₃; C₁₃ = 0
或简写成
上式还可以简写成：
（4.21）
(4.20)
上式表明，在动力作用下系统产生的位移等于系统的柔 度矩阵与作用力的乘积。它也可写成：
（4.22） 柔度矩阵与刚度矩阵之间转换关系为：
（4.23）
上式说明，对于同一个机械振动系统，若选取相同的广 义坐标，则机械振动系统的刚度矩阵和柔度矩阵互为逆矩矩 阵。
可用矩阵形式表达为：
（4.48）
（4.49）
（4.50） （4.51） 将式（4.50）和式（4.51）代入式（4.48）和式（4.49） 中，得到机械系统的动能T和势能V的表达式分别为：
（4.52）
故得
（4.53） （4.54）
（4.55）
单自由度无阻尼系统在作自由振动时，其动能T和势能V （4.57） （4.58）
现在选取以下三组不同的广义坐标来分别写出振动系统 的运动作用力方程。
①取C点的垂直位移 yc和刚杆绕C点的转角c为广义坐标。 如图4.6（b）所示。
图4.6（b） 刚体振动系统广义坐标示意图 应用达朗伯原理，得出振动系统的运动方程式：
(4.62)
将上式写成矩阵形式：
（4.63）
上式中，刚度矩阵是非对角线矩阵，反映在方程组中，即 为两个方程通过弹性力项互相耦合，故称为弹性耦合。
为使系统的第 j坐标产生单位位移，而其它坐标的位移 为零时，在第i 坐标上所需加的作用力大小。
现以图4.1所示的三自由度系统为例，说明确定影响系数和 系数矩阵的方法。
1、确定 及[k] 设 x₁ 1， x₂ 0，x₃ 0 则得到系统的刚度矩阵
2、确定 及[C] 设 设 设
得 C₁₁ C₁ C₂， C₂₁ C₂， C₃₁ ； 得 C₂₂ C₂ C₃;C₁₂ C₂;C₃₂ C₃ 得C₃₃ = C₃; C₂₃ = C₃; C₁₃ = 0
普通物理A(1) 课程指导 第4章《振动》
N
2
cost
N 1
2
2
14
7. 分别敲击某待测音叉和标准音叉，使它们同时发音，听到时强时弱 的拍音．若测得在20 s内拍的次数为180次，标准音叉的频率为300 Hz， 则待测音叉的频率为______________．
拍频: 单位时间内强弱变化的次数 2 1 ( 2 1)
设1 300 Hz 则有： 2 1 9，或者1 2 9 2 309 Hz，或者 2 291Hz
0.08
O
-0.04
1
x1 t (s)
2 x2
x1
0.08 c os (t
2
),
x2
0.04 c os (t
) 2
A2
0
x
A
A1
10
6. N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等，初相分别为0, , 2, ..., 依次差一个恒量 ，求合振动的振幅。
x1 Acost x2 Acos(t ) x3 Acos(t 2)
4
1. 一质点作简谐振动，周期为T．当它由平衡位置向x轴正方向运 动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时 间为
(A) T /12． (B) T /8． (C) T /6． (D) T /4．
旋转矢量法
[C ]
首先画出二分之一最大位移处旋转矢量图，
然后，再画最大位移处旋转矢量图。
设所求的时间为t，则有
(1) 质点的振动方程； (2) 质点在A点处的速率．
AB
x
解： 3
4
4
t = 0时， x 5cm Acos
A 5 5 2 cm
cos(3 / 4)
∴ 振动方程
x 5 2 102 cos(t 3) (SI) 44
机械系统动力学第四章 固有频率的实用计算方法
1 2 U k ( a ) 系统的势能 2
2
1 22 2 T = J J ( c o st ) = J c o sn t 0 0 0 n 0 0 n 2 2 2
2 n
1 21 21 2 2 2 U =( k a ) k ( a s i n) t = k a s i n t 0 n n 0 2 2 2
解：单自由度系统，取均质杆为研究对象，画其受 力图如图(b)。根据动量矩定理 J MF () o 0
J k a c l o
2 2
第4章 固有频率的实用计算方法
4-1 单自由度系统 一． 列方程法
解：单自由度系统，取均质杆为研究对象，画其受 力图如图(b)。根据动量矩定理 J MF () o 0
2 2 J k a c l o
k a c l 0 即 J o
2 2
振动系统固有频率：
k a2 k a2 3 k a2 n 3 1 Jo m l 3 m l 3
第4章 固有频率的实用计算方法
4-1 单自由度系统
二．能量法 原理： 对于单自由度无阻尼自由振动系统，其响应为简谐振 d (T U ) 0 。在静平衡 动，系统 T Uc o n s t或 dt U 0 ,T T 位置，势能为0，动能达到最大，即： m a x。 在最大位移处，动能为0，势能达到最大， U U ,T 0 即： 。所以有： m a x
1 2 2 最大动能 Tmax = J00 n 2
得：最大势能：1 来自max = ka202 2由
Tmax =Umax
1 2 2 1 2 2 J0 = k a 0 2 0 n 2
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[
]
两边对时间求导数
3 &x & & mx&& = mgx − 2k (2 x + λ s ) x 2
注意到在静平衡位置满足 所以微分方程为
mg = 2kλ s
3 m&& + 4kx = 0 x 2
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Theory of Vibration with Applications
4.1 牛顿定律和普遍定理
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4.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程 拉格朗日（Lagrange）
4.2.4 完整的保守系统的拉格朗日运动方程
例4-5 图示系统，摆的支点在水平方向受到弹性约束，其总 刚度为k，摆的质量为m，摆长为l。试用拉格朗日方程求出系 统的运动方程。 解： （1）选择x及θ 为广义坐标。 （2）动能及势能
4.1.4 普遍定理的综合应用
在有限路程中主动力的功为
∑ Wx0 − x = −mg ( x0 − x) +
1 2 k (2 x0 + λ s ) − (2 x + λ s ) 2 2
[
]
由动能定理的积分形式
T − T0 = ∑Wx0 − x
1 3 2 1 2 2 & ⋅ mx − T0 = − mg ( x 0 − x ) + k (2 x 0 + λ s ) − (2 x + λ s ) 2 2 2
∑ (F
n i =1
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x i δ xi
+ F y i δ y i + Fz i δ z i = 0
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)
4.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程 拉格朗日（Lagrange）
4.2.2 达朗贝尔（D’Alembert）原理 达朗贝尔（ ）
& ϕ 其中， 为圆盘的角速度，IA = mr2/2是圆盘对质心的转动惯量。
圆盘作不滑动的滚动时，存在有 ϕ r = θ& ( R − r ) &
T=
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& ϕ=
R−r & θ r
3 R − r &2 mr 2 θ 4 r
d T = Σ δWF
其中
δWiF 表示作用在质点系上主动力的元功
dT
表示质点系动能的微分
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4.1 牛顿定律和普遍定理
4.1.3 刚体平面运动微分方程
刚体的平面运动可简化为具有相同质量的平面图形在固定平面 内的运动。 内的运动。 应用质心运动定理和相对质心动量矩定理得
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4.1 牛顿定律和普遍定理
4.1.4 普遍定理的综合应用
无重量不可伸长的细绳绕过质量为m、 例4-2无重量不可伸长的细绳绕过质量为 、半径 无重量不可伸长的细绳绕过质量为 R为的均质圆盘。弹簧刚度为 ，与细绳相连，如 为的均质圆盘。弹簧刚度为k，与细绳相连， 为的均质圆盘 图所示，列写该系统的运动微分方程。 图所示，列写该系统的运动微分方程。
图4-5摆振系统
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4.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程 拉格朗日（Lagrange）
4.2.4 完整的保守系统的拉格朗日运动方程
例4-6 图示的刚体由四根拉伸弹簧支承，被 限制在图示平面内运动。图示位置为平衡位 置。且质量为m，转动惯量IO。试导出微幅运 动微分方程。 解：取刚体质心O点偏离平衡位置的x、y和 刚体绕质心的转角θ为广义坐标，即
4.1 牛顿定律和普遍定理
4.1.4 普遍定理的综合应用
动量定理、动量矩定理、 动量定理、动量矩定理、动能定理从不同的角度建立 了质点系的运动变化与其受力之间的关系， 了质点系的运动变化与其受力之间的关系，称为质系的 普遍定理。 普遍定理。 各个定理都是从不同的方面提出了建立运动微分方程 的方法，从而为解决动力学的基本问题提供了依据。 的方法，从而为解决动力学的基本问题提供了依据。
两边对时间求导数
系统微幅振动时的运动方程
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第4章 振动系统的运动微分方程
4.2
拉格朗日运动方程
Theory of Vibration with Applice）运动方程 拉格朗日（Lagrange）
4.2.3 完整的保守系统的拉格朗日运动方程
拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的一 个普遍的简单而又统一的方法。 个普遍的简单而又统一的方法。 在t1与t2区间的虚位移δqi是任意的，而且δqi彼此独立的。 因此，得到著名的拉格朗日方程 拉格朗日方程
∫ ∑ (Q δq )dt − ∫ ∑
t2 t2 t1 i =1 i i t1 i =1
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第4章 振动系统的运动微分方程
4.1
牛顿定律和普遍定理
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4.1 牛顿定律和普遍定理
4.1.1 质点的运动微分方程 4.1.2 质点系动能定理的微分形式 4.1.3 刚体平面运动微分方程 4.1.4 普遍定理的综合应用
Theory of Vibration with Applications
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4.1 牛顿定律和普遍定理
4.1.1 质点的运动微分方程
牛顿第二定律， 牛顿第二定律，质点在惯性坐标系中的运动微分方程有 以下几种形式
m
d2r dt dt
2
= ΣF
d2x d2 y d2z m 2 = ΣFx , m 2 = ΣFy , m 2 = ΣFz dt dt dt
这就是摆的运动方程。 当微幅振动时，取cosθ ≈1，sinθ = 0，并可略去高阶项， 则可简化为
& m&& + mlθ& + kx = 0 x & m&& + mlθ& + mgθ = 0 x
两式相减得到 mgθ = kx 得到运动方程
mg & + l θ& + gθ = 0 k
设初始条件为 t = 0
x = x0
& & x = x0
在有限路程中主动力的功为
∑Wx0 − x = −mg ( x0 − x) +
Theory of Vibration with Applications
1 2 k (2 x 0 + λ s ) − (2 x + λ s ) 2 2
[
]
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4.1 牛顿定律和普遍定理
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2
4.1 牛顿定律和普遍定理
4.1.4 普遍定理的综合应用
系统的势能 W = mg ( R − r )(1 − cosθ ) ≈ mg ( R − r )θ 2
T − T0 = ∑Wx0 − x
3 & m( R − r ) 2 θ& + mg ( R − r )θ = 0 2
1 2
由动能定理的积分形式
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4.1 牛顿定律和普遍定理
4.1.2 质点系动能定理的微分形式
设质点系由n个质点组成 ， 在理想约束的条件下， 设质点系由 个质点组成， 其 在理想约束的条件下 ， 质点 个质点组成 系动能的微分等于作用在质点系的主动力的元功之和。 系动能的微分等于作用在质点系的主动力的元功之和。有
4.1.4 普遍定理的综合应用
例4-4 图示系统中，半径为 r 的均匀圆盘 在槽内作不滑动的滚动。已知圆盘质量为 m ， 槽的半径为R。建立系统的运动方程。
图4-4圆盘微幅振动
解：若选择θ 为广义坐标，则系统微幅振动时的动能为
1 &] 2 + 1 I ϕ 2 T = m[( R − r )θ A & 2 2
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4.1 牛顿定律和普遍定理
4.1.4 普遍定理的综合应用
x取任意值时，系统的动能为
&2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 x & T = mvC + J C ω = mx + ⋅ mR 2 2 2 2 2 2 R
1 3 2 & T = ⋅ mx 2 2
根据虚功原理，可以得出达朗贝尔原理的另一种叙述方式： 在具有理想约束的质点系中，在任一瞬时，作用于各质点上 的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所作虚功之和等于 零。这就是动力学普遍方程，即
δW + δWin = 0
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4.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程 拉格朗日（Lagrange）
解：系统具有一个自由度，建立广义坐标x，坐标原点位于 系统具有一个自由度，建立广义坐标 ， 弹簧具有静伸长时圆盘中心的静平衡位置， 弹簧具有静伸长时圆盘中心的静平衡位置，坐标正方向如 图中所示。 图中所示。 x取任意值时，系统的动能为 取任意值时， 取任意值时