第3章_振动系统的运动微分方程
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第三章(第1节) 单自由度系统的强迫振动
sin n t
n
k m
2
[sin t
n
sin n t ]
A sin n t sin n t sin t 2 k m n F0
当t=0时，x0= x 0 =0，上式简化为
x sin n t sin t 2 k m n F0
2 2 2
1 (1 ) ( 2 ) 2
2 2 2
(3.1-10) (3.1-11)
1
2
3.1 对简谐激励的响应
关于解的讨论——幅频特性曲线
放大因子与频率比的关系：
◆当频率比 <<1时，放大因子 接近于1，即振幅X几乎与激励 幅值引起的静变形X0差不多。
◆当频率比 >>1时， 趋于零， 振幅可能非常小。
图 3.1-6
3.1 对简谐激励的响应 例题：不平衡质量激发的强迫振动（例3.1-2） 例3.1-2 作为承受简谐激励的一个例子，考虑图3.16所示的不平衡转子激发的振动。两个偏心质量m/2以角 速度 按相反方向转动，这样可以使两个偏心质量激励 的水平分量相互抵消，铅垂分量则相加起来。设转子的 偏心矩为e，机器总质量为M，求系统的响应。 解：系统的振动微分方程为
x X sin( t )
根据方程（3.1-7）的稳态响应的幅值为
X me k
2
1
1
2 n
2 2
2
2
式中 n ，而 响应的相位角
k M
1
。根据方程（3.1-8）的稳态
2
2
tg
1
1
第3章 多自由度机械振动系统 作业答案
⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ p1 ( t ) ⎤ ⎢x ⎥ = ⎢ p t ⎥ − k3 ⎥ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 ( )⎥ k3 + k 4 ⎥ ⎦⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ p3 ( t ) ⎥ ⎦ 0
d ∂T ∂T ∂U ∂D ( )− + + = Qi i ∂qi ∂qi ∂q i dt ∂q
2、拉格朗日法：
1 1 2 12 + m2 x 2 T = m1 x 2 2
U=
1 2 1 1 2 ⎤ k1 x1 + k2 (2 x2 − x1 ) 2 = ⎡ (k1 + k2 ) x12 + 4k2 x1 x2 + 4k2 x2 ⎣ ⎦ 2 2 2
Dr. Rong Guo
School of automotive studies, tongji university
⎡ k1r 2 K =⎢ 2 ⎣ − k1r
⎡3 2 ⎢ 2 Mr ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
⎤ ⎥ ( k1 + k2 ) r 2 ⎦ − k1r 2
− k1r 2 ⎤ ⎡θ1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ θ 2 ⎦ ⎣0 ⎦ ( k1 + k2 ) r 2 ⎦ ⎣
⎤ ⎤ ⎡ k1r 2 ⎥ ⎡θ ⎥ ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 3 −k r 2 θ Mr 2 ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 1 ⎥ ⎦ 2
x1 2l + k1 x1 2l + m2 x2l = 0 ⎧m1 ⎨ ⎩m2 x2l + k2 ( 2 x2 − x1 ) 2l = 0 x1 + m2 x2l + 2k1 x1 = 0 ⎧2m1 ⎨ x2 − 2k2 x1 + 4k2 x2 = 0 ⎩ m2 ⎡ 2m1 ⎢ 0 ⎣ m2 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2k1 ⎢ ⎥ + ⎢ −2 k m2 ⎥ x 2 ⎦⎣ 2⎦ ⎣ 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢0 ⎥ 4k 2 ⎥ ⎦⎣ 2⎦ ⎣ ⎦
机械振动 第3章-单自由度系统的振动
kx H sin(t ) m x
2 令 n k , h H 则 m m 2 x x h sin(t ) n
无阻尼受迫振动微分方程的标准形式 ，二阶常系数非齐次线性微分方程。
x x1 x2
x1 A sin( n t ) 为对应齐次方程的通解 x2 b sin(t ) 为特解 h h b 2 , x sin(t ) 2 2 2 2 n n h x A sin( t ) sin(t ) 全解为 n 2 2 n ：
——初相位，决定振体运动的起始位置。
T ——周期，每振动一次所经历的时间。
2 f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T，T 。 n n —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
n 1 c fn 2 2 a
n反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。
则自由振动的微分方程的标准形式 ： 2
q q 0
其解为 也可以写成 有
q A sin(nt ) q C1 cos nt C2 sin nt
2 1 2 2
A C C
C1 tg C2
1
6
对于初始扰动引起的自由运动
=q 0 设 t = 0 时， q = q0 , q
单自由度系统无阻尼自由振动
一、自由振动的例子
J
k
实验确定转动惯量装置
5
二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以q 为广义坐标（从平衡位 置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：
c a, c是与系统的物理参数有关的常数，令 a
2 n
振动力学(两自由度系统和多自由度系统)
两自由度是多自由度系统最简单的情况。
2
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
3.1 两自由度系统的振动方程 ——刚度矩阵和质量矩阵
建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样, 但难 度更大。
3.1.1 运动微分方程
标准的m-k-c系统，对每一质量利用牛顿定律得：
3
振动理论及应用
坐标原点仍取在静平衡位置
具体求解时，只假设j坐标处的位移为1，其它各坐标的位 移均为0。
7
振动理论及应用
5.2.3 惯性影响系数与质量矩阵
第3章 多自由度系统的振动
质量矩阵[M]中的元素称为惯性（质量）影响系数，其 mij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义加速度，需在i坐 标处施加的广义力。
具体求解时，只假设j坐标处的加速度为1，其它各坐标的 加速度均为0。
2
x1 5 kx1 5 kx2
V x2
2 5
kx1
1 5
kx2
26
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
计算广义力，设只有x1处产生虚位移x1，则
Q1
cx1 x1 x1
cx1
同样设x2处产生虚位移x2，则
Q2
c 0
x2
0
代入拉格朗日方程即可。
27
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
5l 3
48EI
k12
l3 3EI
k22
1
求出各个刚度系数即组 成刚度矩阵[K]。
17
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
用拉格朗日方程 建立振动系统的运动微分方程
对于非标准的m-k-c多自由度振动系统，用传统的动力学 方法建立运动微分方程比较困难，更适合使用拉格郎日方程和 能量的方法。拉格郎日方程为：
2
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
3.1 两自由度系统的振动方程 ——刚度矩阵和质量矩阵
建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样, 但难 度更大。
3.1.1 运动微分方程
标准的m-k-c系统，对每一质量利用牛顿定律得：
3
振动理论及应用
坐标原点仍取在静平衡位置
具体求解时，只假设j坐标处的位移为1，其它各坐标的位 移均为0。
7
振动理论及应用
5.2.3 惯性影响系数与质量矩阵
第3章 多自由度系统的振动
质量矩阵[M]中的元素称为惯性（质量）影响系数，其 mij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义加速度，需在i坐 标处施加的广义力。
具体求解时，只假设j坐标处的加速度为1，其它各坐标的 加速度均为0。
2
x1 5 kx1 5 kx2
V x2
2 5
kx1
1 5
kx2
26
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
计算广义力，设只有x1处产生虚位移x1，则
Q1
cx1 x1 x1
cx1
同样设x2处产生虚位移x2，则
Q2
c 0
x2
0
代入拉格朗日方程即可。
27
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
5l 3
48EI
k12
l3 3EI
k22
1
求出各个刚度系数即组 成刚度矩阵[K]。
17
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
用拉格朗日方程 建立振动系统的运动微分方程
对于非标准的m-k-c多自由度振动系统，用传统的动力学 方法建立运动微分方程比较困难，更适合使用拉格郎日方程和 能量的方法。拉格郎日方程为：
3振动系统的运动微分方程
n
W ( j) Qj q j
若主动力为有势力，须将势能U表示为广义坐 标的函数。
4. 建立拉氏方程并加以整理，得出n个二阶常微 分方程。 5. 求出上述一组微分方程的积分。
Mechanical and Structural Vibration
3.2 拉格朗日运动方程 例 图示系统，摆的支点在水平方向受到弹性约束，其总刚 度为 k ，摆的质量为 m ，摆长为 l 。试用拉格朗日方程求出系 统的运动方程。 解： （1）选择x及 为广义坐标 （2）动能及势能
拉格朗日方程
d T T V Q i d t q q q i i i
( i 1 , 2 , , n )
图刚体微幅运动
计算拉格朗日方程中各项导数
d T T m x ; 0 d t x x
Mechanical and Structural Vibration
第二类拉格朗日方程
L L 代入拉氏方程： d ( ) 0( j 1,2, , k ) d t q q j j
d L L ( ) 0 d t x x
例 题
d L Ltural Vibration
第3章 振动系统的运动微分方程
3.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程
Mechanical and Structural Vibration
3.2 拉格朗日运动方程
3.2.3 完整的保守系统的拉格朗日运动方程
拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的一个普遍 的简单而又统一的方法。
3.2 拉格朗日运动方程
d T T I ; 0 O d t
V k ( x a ) a k ( x a ) a k ( y a ) a k ( y a ) a 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4
W ( j) Qj q j
若主动力为有势力，须将势能U表示为广义坐 标的函数。
4. 建立拉氏方程并加以整理，得出n个二阶常微 分方程。 5. 求出上述一组微分方程的积分。
Mechanical and Structural Vibration
3.2 拉格朗日运动方程 例 图示系统，摆的支点在水平方向受到弹性约束，其总刚 度为 k ，摆的质量为 m ，摆长为 l 。试用拉格朗日方程求出系 统的运动方程。 解： （1）选择x及 为广义坐标 （2）动能及势能
拉格朗日方程
d T T V Q i d t q q q i i i
( i 1 , 2 , , n )
图刚体微幅运动
计算拉格朗日方程中各项导数
d T T m x ; 0 d t x x
Mechanical and Structural Vibration
第二类拉格朗日方程
L L 代入拉氏方程： d ( ) 0( j 1,2, , k ) d t q q j j
d L L ( ) 0 d t x x
例 题
d L Ltural Vibration
第3章 振动系统的运动微分方程
3.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程
Mechanical and Structural Vibration
3.2 拉格朗日运动方程
3.2.3 完整的保守系统的拉格朗日运动方程
拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的一个普遍 的简单而又统一的方法。
3.2 拉格朗日运动方程
d T T I ; 0 O d t
V k ( x a ) a k ( x a ) a k ( y a ) a k ( y a ) a 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4
机械振动 课后习题和答案 第三章 习题和答案
3.1 如图所示扭转系统。
设12122;t t I I k k ==1．写出系统的刚度矩阵和质量矩阵；2．写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图。
解：1)以静平衡位置为原点，设12,I I 的转角12,θθ为广义坐标，画出12,I I 隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程：111121222221()0()0t t t I k k I k θθθθθθθ⎧++-=⎪⎨+-=⎪⎩ ，即：1112122222122()00t t t t t I k k k I k k θθθθθθ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩所以：[][]12212220,0t t t t t k k k I M K k k I +-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦系统运动微分方程可写为：[][]11220M K θθθθ⎧⎫⎧⎫⎪⎪+=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭………… (a)或者采用能量法：系统的动能和势能分别为θθ=+2211221122T E I I θθθθθθθ=+-=++-222211212121221121111()()2222t t t t t t U k k k k k k求偏导也可以得到[][],M K由于12122;t t I I k k ==，所以[][]212021,0111t M I K k -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦2)设系统固有振动的解为： 1122cos u t u θωθ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，代入（a ）可得：[][]122()0u K M u ω⎧⎫-=⎨⎬⎩⎭………… (b)得到频率方程：22121211222()0t t t t k I k k k I ωωω--==--即：224222121()240t t I k I k ωωω=-+=解得：21,222ω==所以：1ω=2ω= ………… (c)将（c ）代入（b ）可得：112121211122(22220(22t t t t t t k k I k I u u k k k I I ⎡⎤±--⎢⎥⎧⎫⎢⎥=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎢⎥--⎢⎥⎣⎦解得：11212u u =-；12222u u =令21u ，得到系统的振型为：-0.70710.70713.2 求图所示系统的固有频率和振型。
3振动系统的运动微分方程
第3章 振动系统的运动微分方程
机械与结构振动
Mechanical and Structural Vibration Mechanical and Structural Vibration
制作与设计 贾启芬
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第3章 振动系统的运动微分方程
3.1 牛顿定律和普遍定理 3.2 拉格朗日运动方程 3.3 刚度影响系数 作用力方程 3.4 柔度影响系数 位移方程
1 δ 13 k1 1 δ 23 = k δ 33 11 k1
1 k1 1 1 + k1 k 2 1 1 + k1 k 2
1 1 + k1 k 2 1 1 1 + + k1 k 2 k 3 1 k1
Mechanical and Structural Vibration
K =K
Mechanical and Structural Vibration
T
第3章 振动系统的运动微分方程
3.4 柔度影响系数 位移方程
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
在单自由度的弹簧—质量系统中，若弹簧常数是 ， 在单自由度的弹簧 质量系统中，若弹簧常数是k，则 质量系统中
画出各物块的受力图根据平衡条件， 画出各物块的受力图根据平衡条件，有
k11 = k1 + k 2，k 21 = −k 2，k 31 = 0
Mechanical and Structural Vibration
3.3 刚度影响系数 作用力方程
同理， 同理，令 x1 = 0，x 2 = 1，x 3 = 0
&& && && m11 x1 + m12 x 2 + ⋅L+ m1n x n + k 11 x1 + k 12 x 2 +L+ k 1n x n = 0 m x + m x +L+ m x + k x + k x +L+ k x = 0 21 &&1 22 &&2 2 n &&n 21 1 22 2 2n n LL mn1 x1 + mn 2 x 2 +L+ mnn x n + k n1 x1 + k n 2 x 2 +L+ k nn x n = 0 && && &&
机械与结构振动
Mechanical and Structural Vibration Mechanical and Structural Vibration
制作与设计 贾启芬
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第3章 振动系统的运动微分方程
3.1 牛顿定律和普遍定理 3.2 拉格朗日运动方程 3.3 刚度影响系数 作用力方程 3.4 柔度影响系数 位移方程
1 δ 13 k1 1 δ 23 = k δ 33 11 k1
1 k1 1 1 + k1 k 2 1 1 + k1 k 2
1 1 + k1 k 2 1 1 1 + + k1 k 2 k 3 1 k1
Mechanical and Structural Vibration
K =K
Mechanical and Structural Vibration
T
第3章 振动系统的运动微分方程
3.4 柔度影响系数 位移方程
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
在单自由度的弹簧—质量系统中，若弹簧常数是 ， 在单自由度的弹簧 质量系统中，若弹簧常数是k，则 质量系统中
画出各物块的受力图根据平衡条件， 画出各物块的受力图根据平衡条件，有
k11 = k1 + k 2，k 21 = −k 2，k 31 = 0
Mechanical and Structural Vibration
3.3 刚度影响系数 作用力方程
同理， 同理，令 x1 = 0，x 2 = 1，x 3 = 0
&& && && m11 x1 + m12 x 2 + ⋅L+ m1n x n + k 11 x1 + k 12 x 2 +L+ k 1n x n = 0 m x + m x +L+ m x + k x + k x +L+ k x = 0 21 &&1 22 &&2 2 n &&n 21 1 22 2 2n n LL mn1 x1 + mn 2 x 2 +L+ mnn x n + k n1 x1 + k n 2 x 2 +L+ k nn x n = 0 && && &&
第三章二自由度系统
为了完全确定物体的位置而选定的任意一组彼此独立的 坐标参数，称为这个物体的广义坐标。在选定坐标时，除去 直角坐标Ｘ、Ｙ、Ｚ之外，我们也可以用角度φ、θ及从物体 中的一点到某些固定点的距离等参数来确定物体在空间的位 置。
二自由度系统振动 / 不同坐标系的运动微分方程
以汽车的二自由度振动模型为例
汽车板簧以上部分被简化成为一根刚性杆，具有质量m和绕质心 的转动惯量Ic。质心位于C 点。分别在A点和B点与杆相联的弹性 元件k1、k2为汽车的前，后板簧。
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量
二自由度系统振动 / 运动微分方程
式中：
[M
]
m11 m21
m12
m22
m1
0
0
m2
[K
]
k11 k 21
[C]
c11 c21
k12
k
22
k1 k2
k2
c12
c22
2 ET x1x1
2 ET x12
m1
m12
2 ET x1x2
2 ET x2x1
m21
0
m22
2ET x2x2
2 ET x22
m2
[M
]
m11 m21
m12
m22
m1
0
0
m2
二自由度系统振动 / 能量法
(t ) (t)
如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
二自由度系统振动 / 不同坐标系的运动微分方程
以汽车的二自由度振动模型为例
汽车板簧以上部分被简化成为一根刚性杆，具有质量m和绕质心 的转动惯量Ic。质心位于C 点。分别在A点和B点与杆相联的弹性 元件k1、k2为汽车的前，后板簧。
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量
二自由度系统振动 / 运动微分方程
式中：
[M
]
m11 m21
m12
m22
m1
0
0
m2
[K
]
k11 k 21
[C]
c11 c21
k12
k
22
k1 k2
k2
c12
c22
2 ET x1x1
2 ET x12
m1
m12
2 ET x1x2
2 ET x2x1
m21
0
m22
2ET x2x2
2 ET x22
m2
[M
]
m11 m21
m12
m22
m1
0
0
m2
二自由度系统振动 / 能量法
(t ) (t)
如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
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最后令 x1 x2 0，x3 1
画出受力图，有
k13 0，k 23 k 3 ，k 33 k 3
Mechanical and Structural Vibration
3.3 刚度影响系数 作用力方程
因此刚度阵为
k1 k 2 K k2 0
k2 k1 k 3 k3
3.4 柔度影响系数 位移方程
k11 , k 21 分别表示保持系统在 图为 yC 1 , 0 时的受力图，
该位置平衡，应加在C点的力和力偶矩 由刚体AB的平衡条件得到
k11 k1 k 2
Mechanical and Structural Vibration
,
k 21 k1l1 k 2 l2
0 k3 k3
kij k ji
刚度矩阵一般是对称的。 实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即
K K
Mechanical and Structural Vibration
T
第3章 振动系统的运动微分方程
3.4 柔度影响系数 位移方程
Mechanical and Structural Vibration
Mechanical and Structural Vibration
3.3 刚度影响系数 作用力方程
现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。
首先令 x1 1 x2 x3 0 在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力 k11、k 21、k 31
画出各物块的受力图根据平衡条件，有
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
写成矩阵形式
x1 11 12 x 2 21 22 x 3 31 32
13 m1 0 0 m 23 2 33 0 0
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系
K 1
即当刚度矩阵是非奇异时，刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵； 当刚度矩阵是奇异时，不存在逆矩阵即无柔度矩阵。
此时系统的平衡位置有无限多或者说它有刚体运动。
如图示系统具有刚体运动，柔度矩阵不存在。
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。
F1
首先施加单位力 F1 1 ，F2 F3 0 这时三物块所产生的静位移分别是 11、 21、 31
1 当受到F1作用后，第一个弹簧的变形为 k ，第二和第三个 1
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
例 试求图示悬臂梁的柔度影响系数， 并建立其位移方程。(梁的弯曲刚度为 EI，其质量不计) 解：取y1 、 y2为广义坐标，根据柔度影响系数的定义， 11 表示 在m1处施加单位力(沿y1方向)并在m1处产生的位移。 按材料力学的挠度公式，则有
i j ji
柔度矩阵一般也是对称的。 实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即
T
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
用柔度影响系数来建立其运动微分方程
应用叠加原理可得到
x1 ( F1 ) 11 ( F2 ) 12 ( F3 ) 13 x2 ( F1 ) 21 ( F2 ) 22 ( F3 ) 23 x3 ( F1 ) 31 ( F2 ) 32 ( F3 ) 33
m1处产生的位移等于在 m1处施加单 位力在m2处产生的位移。有
l l l3 5l 3 24 12 21 24EI 2 EI 48EI
3
2
柔度矩阵为
11 21
1 12 l 8 1 22 3 EI 16
刚度矩阵中的元素称刚度影响系数(在单自由度系统中，简称 弹性常数)。它表示系统单位变形所需的作用力。具体地说， 如果使第j个质量沿其坐标方向产生单位位移，沿其它质量的 坐标方向施加作用力而使它们保持不动，则沿第i个质量坐标 方向施加的力，定义为刚度影响系数kij；在第j个质量坐标方 向上施加的力称刚度影响系数kjj 。由刚度影响系数的物理意 义，可直接写出刚度矩阵，从而建立作用力方程，这种方法 称为影响系数法。
3.4 柔度影响系数 位移方程
图为 yC 0 , 1时的受力图， k 22 , k12 分别表示保持系统在该位 置平衡，应加在铅直平面内的力偶矩和加在C点的力。
2 k1l12 由平衡条件得 k 22 k 2 l2
, k12 k1l1 k 2 l2
刚度矩阵
(k2l2 k1l1 ) k1 k2 K 2 2 ( k l k l ) k l k l 2 2 11 11 2 2
11
22 表示在m
l ( )3 3 l 2 3EI 24 EI
2处施加单位力(沿y2方向)并在m2处产生的位移。有
22
Mechanical and Structural Vibration
l3 3EI
3.4 柔度影响系数 位移方程
12 21 表示在 m2 处施加单位力在
1 1 k1 k 2 1 1 k1 k 2
1 k1
1 1 k1 k 2 1 1 1 k1 k 2 k 3 1 k1
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
系统的柔度矩阵为
11 12 21 22 31 32 1 13 k1 1 23 k 1 33 1 k1 1 1 k1 k 2 1 1 k1 k 2 1 k1 1 1 k1 k 2 1 1 1 k1 k 2 k 3 1 k1
3.3 刚度影响系数 作用力方程
质量矩阵
m11 m 21 M mn 1
m12 m22 mn 2
m1n m2 n mn n
刚度矩阵
k11 k 21 K kn 1
k12 k 22 kn 2
弹簧的变形为零。
所以三物块的位移都是 11
Mechanical and Structural Vibration
1 1 1 , 21 , 31 k1 k1 k1
3.4 柔度影响系数 位移方程
F2
令
1 1 第一和第二弹簧均受单位拉力，其变形分别为 , k1 k 2
F2 1 ，F1 F3 0
方程中各项均为力的量纲，因此，称之为作用力方程。
若用矩阵表示，则可写成
Kx 0 M x
T T ，x x1 x2 xn
x x1
x2 xn
式中分别是系统的坐标矢量和加速度矢量
Mechanical and Structural Vibration
1 k1
, 23
1 1 k1 k 2
, 33
1 1 1 k1 k 2 k 3
系统的柔度矩阵为
11 12 21 22 31 32
1 13 k1 1 23 k 1 33 1 k1
第三个弹簧不受力，故其变形为零。因此有
12
1 1 1 1 1 , 22 , 32 k1 k1 k2 k1 k2
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
F3
再令 F1 F2 0, F3 1
可得到
13
3.4 柔度影响系数 位移方程
在单自由度的弹簧—质量系统中，若弹簧常数是k，则
1 k
就是物
块上作用单位力时弹簧的变形，称柔度影响系数，用 表示。 n自由度系统的柔度矩阵 Δ 为n阶方阵，其元素 ij 称为柔度影 响系数，表示单位力产生的位移。 具体地说，仅在第j个质量的坐标方向上受到单位力作用时相 应于在第i个质量的坐标方向上产生的位移，即定义为 ij 。
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3.4 柔度影响系数 位移方程
例 试写出图所示刚体AB的
刚度矩阵并建立系统的运动 微分方程。
解：刚体 AB 在图面内的位置可以由其质心 C 的坐标 yC( 以水 平位置O为坐标原点，且水平运动不计)和绕C转角 确定。
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系统运动时，质量的惯性力使弹簧产生变形
x1 ( m1 x1 ) 11 ( m2 x2 ) 12 ( m3 x3 ) 13 x2 ( m1 x1 ) 21 ( m2 x2 ) 22 ( m3 x3 ) 23 x3 ( m1 x1 ) 31 ( m2 x2 ) 32 ( m3 x3 ) 33
1 0 x 0 x2 m3 x 3
位移方程
x Mx
Kx Mx
x 0 Mx
) x K 1 ( Mx
与作用力方程比较
K是非奇异的，即 K 1 的逆矩阵存在
K 1
k1n k 2n kn n
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3.3 刚度影响系数 作用力方程