振动系统的运动微分方程题解
机械振动基础课后习题解答_第3章习题
m
0
0 m
u1 u2
3k k
k 3k
u1 u2
2ku0
sin 0
t
K
2M
3k
2m
k
k
3k 2m
H11 ( )
3k 2m ()
H 21 ( )
k ()
u1(t) u2 (t)
H11 ( ) H21()
2ku0
sin
t
3k 为反共振频率 m
P140,3-9: 图示系统初始静止，求左端基础产生阶跃位移u0后系统的响应。
ml2 1 0 M 3 0 7 /16
K
l2k 16
9 9
9
13
| K 2M | 0
1 0.65
k m
2 2.62
k m
P139,3-3: 建立图示系统的运动微分方程，并求当ki k,i 1, 6, m1 m, m2 2m, m3 m时的固有 频率和固有振型。
m1
M
m2
u2
c
3c
2c
u2
k
3k
2k
u2
0
m u3 0 2c 2c u3 0 2k 2k u3 f0
1 0,2
k m
, 3
2k m
1 1 1
φ1
1 , φ2
0
, φ3
1
1
1/ 2
1
u1 1
u2
1
u3 1
1 0 1/ 2
1 q1
1
q2
1 q3
)d
u0 2
(1 cos1t)
q2
(t)
u0 2
(1
cos 2t )
第4章 振动系统的运动微分方程
(d)
分析杆 AB ，列写 AB 的运动微分方程，如图（c）
m2 &x&C = − X A
(e)
m2 &y&C = −YA − m2 g
(f)
1 12
m2l 2ϕ&&
=
X
A
l 2
cosϕ
+ YA
l 2
sin ϕ
(g)
运动学方程
xC
=
xA
+
l 2
sin
ϕ
,
x&C
=
x& A
+
l ϕ& cosϕ 2
yC
=
−
l cosϕ , 2
y& C
=
l ϕ& sinϕ 2
&x&C
=
&x&A
−
l ϕ& 2 2
sin ϕ
+
l ϕ&& cosϕ 2
(h)
&y&C
=
l ϕ&& sin ϕ 2
+
l ϕ& 2 2
cos ϕ
(i)
上述 9 个方程包含 &x&A ,ε , &x&C , &y&C ,ϕ&&, X A ,YA , F, N 等 9 个未知量，由上述 9 个方程消去
解：系统具有两个自由度，选图示 AB 与铅垂线的夹角ϕ 及圆轮中心 A 的位移 xA 为广
义坐标。
分析圆轮 A ，受力图如图（b）所示。列写圆轮 A 的运动微分方程：
第3章 振动系统的运动微分方程题解
45 / 2045习 题3-1 复摆重P ，对质心的回转半径为C ρ，质心距转动轴的距离为a ，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。
解:系统具有一个自由度，选复摆转角ϕ为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。
复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程O O M J =ϕ其中)(22a gP J C O +=ρ 得到复摆运动微分方程为ϕϕρcos )(22Pa a gP C =+ 或0cos )(22=-+ϕϕρga a C3-2均质半圆柱体，质心为C ，与圆心O 1的距离为e ，柱体半径为固定R ，质量为m ，对质心的回转半径为C ρ，在平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。
解：系统具有一个自由度，选θ为广义坐标。
半圆柱体在任意位置的动能为：222121ωC C J mv T +=题3-1图题3-2图46 / 2046用瞬心法求C v ：2222*2)cos 2()(θθθ Re R e CC v C -+== θω = 2CC m J ρ= 故2222221)cos 2(21θρθθ Cm Re R e m T +-+=系统具有理想约束，重力的元功为 θθδd mge W sin -=应用动能定理的微分形式W dT δ=θθθρθθd mge m Re R e m d C sin 21)cos 2(2122222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+ θθθθθθθθθθρd mge d mRe d mRe d R e m C sin sin cos 2)(2222-=+-++ 等式两边同除dt ，θθθθθθθθθθρ sin sin cos 2)(2222mge mRe mRe R e m C -=+-++ 0≠θ ，等式两边同除θ故微分方程为0sin sin )cos 2(2222=+++-+θθθθρθmge mRe Re R e m C ① 若为小摆动θθ≈sin ，1cos ≈θ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为0])[(22=++-θθρge r R C要点及讨论（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。
特征值解法——精选推荐
《结构动力学》大作业结构大型特征值问题的求解0810020035 吴亮秦1振动系统的特征值问题1.1实特征值问题n 自由度无阻尼线性振动系统的运动微分方程可表示为：[]{}[]{}(M u K u F t += （1.1）其中，{}u 是位移向量，[]M 和[]K 分别是系统的质量矩阵和刚度矩阵，都是n 阶正定矩阵，()F t 是激励向量。
此系统的自由振动微分方程为[]{}[]{}0M u K u += （1.2） 设其主振型为： {}{}sin()u v t ωϕ=+ （1.3） 其中，{}v 为振幅向量，ω为圆频率，ϕ为初相位。
将(1.3)代入自由振动微分方程(1.2)， 得：[]{}[]{K v M v λ= （1.4） 其中2λω=，(1.4)具有非零解的条件是()[][]d e t 0M K λ-= (1.5)式(1.4)称为系统的特征方程，由此可以确定方程的n 个正实根1{}n i i λ=，称为系统的特征值，1{}n i i ω=称为系统的固有频率，{}i v （i=1,2,…..n ）为对应于特征值的特征向量或称为系统的振型或模态。
因为[]M 矩阵正定，则[]M 有Cholesky 分解：[][][]TM L L = (1.6)其中，[]L 是下三角矩阵。
引入向量{}x 满足：{}[]{}T x L v =，则：1{}([]){}T v L x -= (1.7)代入(1.4)，得：([][]){}I P x λ-= (1.8) 其中，()11[][][][]TP L K L --=，式(1.8)称为标准实特征值问题。
1.2复特征值问题多自由度阻尼自由振动系统的运动方程为如下二阶常系数微分方程组：[]{()}[]{()}[]{(M x t C x t K x t ++= (1.9) 其中 []M ，[]C ，[]K 分别是n 阶的质量、阻尼和刚度矩阵，{()}q t 是n 维可微向量函数。
《振动力学》习题集(含问题详解)
《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
图E1.1解： 系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解： 系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
解答题弹簧振子的最大速度公式
解答题弹簧振子的最大速度公式解答题：弹簧振子的最大速度公式弹簧振子是物理学中常见的振动系统之一，它由一根弹性恢复力较强的弹簧和质点组成。
在弹簧振子的运动中，我们可以推导出最大速度公式，本文将解答这个问题。
1. 弹簧振子的基本原理弹簧振子由一个固定点和一根弹簧连接的质点组成。
当质点受到外力扰动后，会发生振动。
弹簧振子的振动受到弹簧的弹性力和重力的共同作用。
2. 振子的运动方程弹簧振子的运动可以用如下的微分方程表示：m * d^2x/dt^2 + kx = 0其中，m是质量，k是弹簧的劲度系数，x是质点的位移，t是时间。
3. 解振动方程我们可以通过求解振动方程得到弹簧振子的解析解。
假设解为x =A * cos(ωt + φ)，其中A是振动的振幅，ω是角频率，φ是初相位。
将解代入振动方程，我们可以得到：-mω^2A * cos(ωt + φ) + kA * cos(ωt + φ) = 0化简上式，得到：ω^2 = k/m根据上述的解析解，我们可以发现振动的频率和角频率与弹簧的劲度系数k和质量m有关。
4. 振动的最大速度振子的最大速度出现在其振幅最大的位置，即当质点经过平衡位置而达到最大位移时。
根据解析解x = A * cos(ωt + φ)的特点，质点速度的最大值出现在位移最大值时。
速度随时间的变化率可以通过位移函数对时间的导数得到：v = dx/dt = -Aω * sin(ωt + φ)当t = 0时，v = -Aω * sin(φ)达到最大值，由于sin函数取值范围为[-1, 1]，因此最大速度为|Aω|。
5. 最大速度公式根据以上的推导，我们可以得到弹簧振子的最大速度公式为：v_max = |Aω| = |A * √(k/m)|其中，v_max是振子的最大速度，A是振动的振幅，k是弹簧的劲度系数，m是质量。
通过最大速度公式，我们可以根据给定的振幅、劲度系数和质量来计算弹簧振子的最大速度。
这个公式在研究和应用弹簧振子系统时非常有用。
线性微分方程的振动性和震荡解
线性微分方程的振动性和震荡解线性微分方程是数学中一个广泛应用的分支，其研究对象为形如y''+p(x)y'+q(x)y=0的函数y(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。
在解这类方程时，我们往往需要寻找解的特性和性质。
其中振动性和震荡解是相对重要的概念，对于线性微分方程的解具有重要的意义。
一、振动性的引出我们考虑如下简单的线性微分方程：my'' + ky = 0其中，m、k为常数。
该方程可以看做是描述一个振动系统的运动方程。
这个系统受到的外界扰动较小，可以看做是一个自由振动的系统。
有经验的读者肯定可以想到，这个模型可以用来描述许多实际中存在的振动系统，如受到微小扰动的弹簧、震动的机械装置等等。
由于这类振动系统的自由运动只受到其初始状态和系统固有振动频率的影响，所以我们主要研究的是这个方程式中的解的固有性质，即振动性。
二、振动性的定义接下来，我们考虑这个方程的解的一些性质。
显然，它的一个解为：y = sin(wt)其中，w为角频率，t为时间。
在物理实验中，通过对振动系统的测量，我们可以求得某个物理量沿时间的变化，如果这个物理量的变化具有如上的形式，我们称之为正弦函数的振动。
同时，哪怕一个实际物理过程的显微细节再细致，我们也可以近似认为其表现为类似正弦函数的周期振动。
这些现象的共同点是它们表现出的固有周期性质，也就是振动性。
我们把一个线性微分方程的解如果显示出一种周期振动的趋势，就说其具有振动性。
这在实际应用中也非常常见。
三、振动性的数学表述对一个解具有周期性质，也即具有振动性的性质来讲，我们也可以具有一种数学上更为严谨的说明方式：其所有解在对任意初始条件的响应过程中，始终保持其初始状态。
这一性质可以通过管理数学、力学中的“周期轨道”和“线性时间不变”，以及物理系统的“守恒量”等来解释。
四、线性微分方程的震荡解现在，我们考虑许多微分方程的振动解和震荡解之间的区别。
简谐振动的微分方程
dt m 2E
dx 1 kx2
2E
2E dt m
令： x 2E cos
k
则：dx 2E sin d
k
∴
dx
2E sin d
k
2E d
1 kx2
1 cos2
k
2E
∴
∴ 即 其中：
2E d
2E dt
k
m
d
k dt
m
d
k m
dt
k m
t
0
x
2E cos( k
k m
t
0
)
把 代入 x
l
kl
m
y
2mg
mg2l ky0l 0
y0 k
轻杆偏离 时，系统的转动方程为：
m(2l)2 mg 2l cos k( y0 y)l cos
当 角很小时，cos≈1 ，因此
4ml 2 mg 2l k( y0 y)l kyl kl l kl 2
∴ k 0 ∴该系统的运动是简谐运动。
A
x02
2 0
2
②确定初相: 先由 cos x0 确定φ的两个可能值；
A
再由 sin 0 的符号决定φ。 A
各种复杂的振动的振幅和初相位 都由初始条件决定。
[补充例题1] 如图所示，一弹簧振子放置在光滑的水平面上。已知弹簧
的劲度系数 k=1.60N/m，物体的质量m=0.40kg。
将物体从平衡位置向右移到x=0.10m处后并给
cos x0
A ∴
0.1 2 和 sin 0 0
0.1 2 2
A
x 0.1
2
cos(2t
π )(m)
常微分方程的振动解
常微分方程的振动解振动是自然界中常见的一种现象，它广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
在振动系统中，常微分方程是描述振动过程的数学工具之一。
本文将介绍常微分方程的振动解，并探讨其在实际问题中的应用。
一、简谐振动方程简谐振动是最常见的振动形式之一，其运动可以用简谐振动方程描述。
简谐振动方程的一般形式为：\[ \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2x = 0 \]其中，\( x \) 表示振动物体的位移，\( t \) 表示时间，\( \omega \) 是角频率。
解这个方程，可以得到简谐振动的解析表达式。
二、简谐振动的解析解对于简谐振动方程，可以使用代数方法求解。
首先，我们假设一个解的形式为：\[ x(t) = A\cos(\omega t+\phi) \]其中，\( A \) 表示振幅，\( \phi \) 表示初相位。
将上述解代入简谐振动方程中，可以得到：\[ \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2x = -A\omega^2\cos(\omega t+\phi) + \omega^2A\cos(\omega t+\phi) = 0 \]由于余弦函数的特点，上式成立。
因此，我们得到了简谐振动方程的一组解析解。
三、复数形式的简谐振动解另一种常用的表示简谐振动解的方法是使用复数形式。
我们可以将振动物体的位移写为一个复数形式：\[ z(t) = A e^{i(\omega t + \phi)} \]其中，\( i \) 是虚数单位。
根据欧拉公式，我们可以将复数形式的简谐振动解变为三角函数的形式：\[ z(t) = A\cos(\omega t + \phi) + i A\sin(\omega t + \phi) \]这两种形式的解是等价的，只是表达形式不同而已。
四、常微分方程的应用常微分方程的振动解在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 机械振动：常微分方程可以描述弹簧振子、摆锤等机械系统的振动过程。
机械振动学(参考答案).docx
机械振动学试题（参考答案）一、判断题：（对以下论述，正确的打“J”，错误的打“X”，每题2 分，共20分）1、多自由度振动系统的运动微分方程组中，各运动方程间的耦合，并不是振动系统的固有性质，而只是广义坐标选用的结果。
（丁）2、一个单盘的轴盘系统，在高速旋转时，由于盘的偏心质量使轴盘做弓形回旋时，引起轴内产生交变应力，这是导致在临界转速时，感到剧烈振动的原因。
（X）3、单自由度线性无阻尼系统的自由振动频率由系统的参数确定，与初始条件无关。
（丁）4、当激振力的频率等于单自由度线性阻尼系统的固有频率时，其振幅最大值。
（X）5、一个周期激振力作用到单自由度线性系统上，系统响应的波形与激振力的波形相同，只是两波形间有一定的相位差。
（X）6、当初始条件为零，即*产；=0时，系统不会有自由振动项。
（X）7、对于多自由度无阻尼线性系统，其任何可能的自由振动都可以被描述为模态运动的线性组合。
（丁）8、任何系统只有当所有自由度上的位移均为零时，系统的势能才可能为零。
（X ）9、隔振系统的阻尼愈大，则隔振效果愈好。
（X）10、当自激振动被激发后，若其振幅上升到一定程度并稳定下来，形成一种稳定的周期振动，则这种振幅自稳定性，是由于系统中的某些非线性因素的作用而发生的。
（J）二、计算题：1、一台面以f频率做垂直正弦运动。
如果求台面上的物理保持与台面接触，则台面的最大振幅可有多大？（分）解：台面的振动为：x = X sin（tyZ - cp）x = —a>2X sin（or —cp）最大加速度：无max = "X如台面上的物体与台面保持接触，贝U ：九《=g （9・81米/秒2）。
所以，在f 频率（/=仝）时，最大振幅为：2nX max =x< g/4^72= 9.81/4* 严（米）2、质量为ni 的发电转子，它的转动惯量J 。
的确定采用试验方法：在转子经向Ri 的 地方附加一小质量mi 。
试验装置如图1所示，记录其振动周期。
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习 题3-1 复摆重P ，对质心的回转半径为C ρ，质心距转动轴的距离为a ，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。
解:系统具有一个自由度，选复摆转角ϕ为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。
复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程 O O M J =ϕ其中)(22a gP J C O +=ρ 得到复摆运动微分方程为 ϕϕρcos )(22Pa a gP C =+ 或0cos )(22=-+ϕϕρga a C3-2均质半圆柱体，质心为C ，与圆心O 1的距离为e ，柱体半径为R ，质量为m ，对质心的回转半径为C ρ，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。
解：系统具有一个自由度，选θ为广义坐标。
半圆柱体在任意位置的动能为：222121ωC C J mv T +=用瞬心法求C v ： 2222*2)cos 2()(θθθ Re R e CC v C -+== θω =2C C m J ρ=故2222221)cos 2(21θρθθ Cm Re R e m T +-+=系统具有理想约束，重力的元功为题3-1图题3-2图θθδd mge W sin -= 应用动能定理的微分形式W dT δ=θθθρθθd mge m Re R e m d C sin 21)cos 2(2122222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+ θθθθθθθθθθρd mge d mRe d mRe d R e m C sin sin cos 2)(2222-=+-++ 等式两边同除dt ，θθθθθθθθθθρ sin sin cos 2)(2222mge mRe mRe R e m C -=+-++ 0≠θ ，等式两边同除θ故微分方程为0sin sin )cos 2(2222=+++-+θθθθρθmge mRe Re R e m C ①若为小摆动θθ≈sin ，1cos ≈θ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为0])[(22=++-θθρge r R C要点及讨论（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。
系统的受力图与运动分析图如图（b ）所示。
列写微分方程⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-=④③②θθθρsin )cos (2Ne e R F m mg N y m F x m C C C上述方程包含Cx，Cy ，θ ，F ，N 五个未知量，必须补充运动学关系才能求解。
建立质心坐标与广义坐标θ之间的关系⎩⎨⎧-=-=θθθcos sin e R y e R x C C ， ⎩⎨⎧=-=θθθθθsin cos e y e R x CC 所以⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=⑥⑤22cos sin sin cos θθθθθθθθθe e y e e R x C C运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立，消去未知约束力N ，F ，就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。
因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。
（2）本题也可用机械能守恒定律求解。
系统的动能2222221)cos 2(21θρθθ Cm Re R e m T +-+=选半圆柱体中心O 1所在平面为零势面，系统的势能θcos mge V -=由 E V T =+E mge m Re R e m C =-+-+θθρθθcos 21)cos 2(2122222 两边对时间t 求导数，即可得到与式①相同的运动微分方程。
3-3 均质杆AB ，长l ，质量为m ，沿光滑墙面滑下，如题3-3图所示。
设水平面也为光滑的。
列写该系统的运动微分方程。
题3-3图解：系统具有一个自由度，选ϕ为广义坐标。
系统在任一位置的动能为222121ωC C J mv T +=由瞬心法求质心的速度ϕ 2l v C =，2121ml J C =，ϕω = 所以223121ϕml T ⋅= 系统的主动力图为图（a ）所示。
重力的元功为ϕϕδd l mg d m W C sin 2=⋅=r g由动能定理 W dT δ=所以ϕϕϕd sin lmg )ml (d 2312122=⋅ 系统的运动微分方程为023=-••ϕϕsin lg要点及讨论（1）平面运动刚体可用式2*21ωC J T =计算刚体动能，式中2*md J J C C +=为刚体对瞬心的转动惯量，d 为质心与瞬心间的距离。
在本题中质心的速度C v 也可用式222C C C y x v +=计算。
其中⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕcos 2sin 2ly l x C C ⎪⎩⎪⎨⎧-==ϕϕϕϕsin 2cos 2 ly l x C C （2）所谓广义坐标应包含坐标值（线位移或角位移）、坐标原点、坐标正方向。
广义坐标的选择一般不是唯一的，例如在本题中也可选杆与水平线的夹角θ为广义坐标，正方向如图（b ）所示（顺时针），广义坐标选定后其它运动量（位移及位移的一阶、二阶导数）都根据广义坐标确定（包括大小与正方向）。
如质心C 的位移与速度，正方向应如图所示，大小分别为θ 2l v C =，θd ldr C 2=系统的动能223121θ ml T ⋅=主动力的元功θθδd l mg W cos 2-=根据动能定理建立的方程为θθθd l mg ml d cos 2)3121(22-=⋅ 所以θθcos 23lg-= “—”号说明当θ取正值时θ为负，即反时针方向。
（3）本题也可用平面运动微分方程求解，读者试列出方程。
3-4 如题3-4图所示，均质圆柱体质量为m ，半径为r ，沿倾斜角为α的三角块作无滑动滚动，质量为M 的三角块置于光滑的水平面上。
列写该系统的运动微分方程。
题3-4图解：系统具有两个自由度，选r x x 、为广义坐标。
系统具有理想约束，且在水平方向的外力为零，所以系统机械能守恒：E V T =+2222221111[(cos )(sin )]2222r r r x T Mx m x x x mr r αα=++++⨯⨯22221111cos 2224r r r Mx mx mx mxx mx α=⨯+⨯+⨯++ 222131cos 242r r Mx mx mx mxx α=+++ sin r V mgx α=-，水平方向动量守恒。
C p x =C x x m xM r =++)cos (α 整理后可分别列写两个方程 E mgx x x m x m xm M r r r =-+⋅++ααsin cos 2321)(2122 ①C x x m x M r =++)cos (α ②式中①②为系统微分方程的首次积分，对时间t 求导后，即可得到系统运动微分方程。
23()sin [1]02cos cos m M g x m ααα+-+= 要点及讨论（1）在理想约束的情况下，动能定理建立了系统的动能与主动力之间的关系，直接给出了系统的速度（或角速度）与位移（或角位移）之间的关系，对时间t 求导一次可得到系统的运动微分方程。
（2）用动能定理建立系统运动微分方程的步骤为：①分析系统受力，在理想约束的情况下只有主动力作功，所以一般在受力图上只画主动力。
②建立广义坐标，确定其原点和正方向；分析系统运动，重点是分析速度（角速度），将速度（角速度）用广义速度表示。
③计算系统在任意位置的动能，将动能表示为广义坐标、广义速度的函数。
④计算力的功，若用积分形式动能定理，则计算主动力在有限路程上的功，若用微分形式的动能定理，则计算力的元功。
⑤应用动能定理建立系统的受力与运动间的关系。
（3）在理想约束、主动力又为势力的情况下，可用机械能守恒定律建立系统运动微分方程。
（4）对于多自由度系统，如两个自由度系统，动能定理只给出一个方程，必须与其他定理，如动量定理或动量矩定理联合应用，才能得到另外一个方程。
3-5题3-5图所示为刚性建筑模型。
刚性基础质量为m ，刚性建筑的质量为M ，对质心C 的转动惯量为I C 。
两刚体在O 处铰接并附有刚度系数为k 1的扭转弹簧。
其他参数如图示。
设地基有水平运动z (t )，试建立系统微幅运动微分方程。
图中2,212cc k k ==。
解：应用牛顿矢量力学建立刚体运动的微分方程时，首先要画出每个刚体的受力图，如题3-5图(b)、(c)所示。
对于图(b)，建立刚体的水平运动微分方程为Ox F z x c z x k xm +----=)()( (1)对于图(c)：建立刚体在铅垂平面内的运动微分方程为 Ox C F xM -= (2) Mg F yM Oy C -= (3)θθθθcos sin 1C a F a F k I OxOy ++-= (4)其中x C 、y C 及x 均是对固定坐标系的坐标，同时考虑到微小运动的假说，于是有 θθa x a x x C +≈+=sin(5)a a y C ≈=θcos(6)由方程(1)、(2)消去未知力，F Ox 并考虑式(5)得kz z c kx x c Ma xm M +=++++ θ)( (7)题3-5图又由方程(2)、(3)和(4)消去未知力F Oy 、F Ox ，并考虑式(5)和(6)，得0)()(12=-+++θθMga k Ma I x Ma C (8)方程(7)和(8)为系统微幅运动微分方程，若令x 和?为确定系统位置的广义坐标，写为矩阵形式⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=θx q那么，方程(7)和(8)改写为矩阵形式如下：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++0)(0000)()(12kz z c x Mga k k x cx Ma I Ma Ma m M C θθθ (9)由此例题可以看出，应用牛顿矢量力学建立系统的运动微分方程，一定要画受力图，于是必然要涉及未知约束力，因此较为繁琐，特别是该例中的组合刚体系统更是如此。
然而对于多自由度系统，应用拉格朗日方程建立运动微分方程较为简单。
另解：由动静法得,以整体为研究对象∑=0X 2()()cos sin 0mx Mx k x z c x z Ma M a θθθθ-------+=以M 为研究对象：0om=∑1cos sin 0c Mxa Ma a I Mga k θθθθθ++-+=sin cos 1θθθθ∴很小 ＝，＝又忽略高阶小量2θ，所以以上两式化简后得：()()()0m M x Ma c x z k x z θ+++-+-= 21()()0c Max I Ma k Mga θθ+++-=化成矩阵形式为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++0)(00000)()(12kz z c x Mga k k x c x Ma I Ma Ma m M C θθθ3-6 题3-6图所示两端简支的均匀梁，已知弯曲刚度为EI ，单位长度的质量为m ，分布载荷为F (y , t )。