欧拉函数
求欧拉函数
求欧拉函数求欧拉函数是数论中的一个重要问题，它可以帮助我们计算整数集合中与某个给定整数n互质的数的个数。
欧拉函数的定义是：对于任意正整数n，欧拉函数φ(n)表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数。
欧拉函数的计算方法有多种，下面我将介绍其中两种常用的方法。
一、分解质因数法欧拉函数的一个重要性质是：若n是质数p的k次幂，则φ(p^k) = p^k - p^(k-1)。
根据这个性质，我们可以用分解质因数的方法来计算φ(n)。
具体步骤如下：1. 将n进行质因数分解，得到n = p1^k1 * p2^k2 * ... * pm^km 的形式，其中p1、p2、...、pm是不同的质数，k1、k2、...、km 是对应的幂次。
2. 根据性质φ(p^k) = p^k - p^(k-1)，计算每个质因数的欧拉函数值，即φ(p1^k1)、φ(p2^k2)、...、φ(pm^km)。
3. 最后，将所有质因数的欧拉函数值相乘，即可得到φ(n)的值。
例如，对于n = 12，我们可以将其分解为2^2 * 3^1。
根据性质φ(p^k) = p^k - p^(k-1)，我们可以计算出φ(2^2) = 2^2 - 2^1 = 2，φ(3^1) = 3^1 - 3^0 = 2。
最后，将这两个值相乘，得到φ(12) = 2 * 2 = 4。
二、递推法欧拉函数还可以通过递推法来计算，具体步骤如下：1. 初始化φ(1) = 1，φ(i) = i-1（i>1）。
2. 从i = 2开始，依次计算φ(i)的值。
3. 对于每个i，遍历所有小于i且与i互质的数j，将φ(j)的值加到φ(i)上。
4. 最后得到的φ(n)即为所求。
例如，对于n = 12，我们可以按照上述步骤进行计算。
首先初始化φ(1) = 1，φ(2) = 2-1 = 1，φ(3) = 3-1 = 2，φ(4) = 4-1 = 3。
然后，计算φ(5)时，遍历所有小于5且与5互质的数，发现只有1和2满足条件，所以将它们对应的φ值加到φ(5)上，即φ(5) = φ(1) + φ(2) = 1 + 1 = 2。
欧拉函数n
欧拉函数n欧拉函数n是由德国数学家欧拉在18th世纪提出的函数，它是一种有用的数学工具，用来解决某些数学问题。
欧拉函数n也被称为欧拉符号，也称为黎曼函数，是由19世纪的德国数学家黎曼提出的。
它是一个定义在整数和复数之间的函数，可以有效地处理各种数学问题。
概念定义上，欧拉函数n可以用来计算任意正整数n的所有不大于n的正整数的乘积。
它是一个有效的描述质数和其他整数之间关系的函数。
它的定义如下：$$ phi(n) = prod_{p|n}p $$其中，$phi(n)$表示欧拉函数n的值，$p|n$表示p为n的所有因子。
此外，欧拉函数n还可以用来计算余数，也就是在给定一个整数n的情况下求解它的一尾的剩余的量。
它的定义是：$$ phi(n,m) = sum_{k=0}^{m-1}{a_k} $$其中定义$a_k = gcd(n,k)$，即n和k的最大公约数为$a_k$。
另外，欧拉函数n也可以用来计算完全数，也就是满足特定条件的整数。
它的定义如下：$$ phi(n) = prod_{p|n}(p-1) $$其中，$p|n$表示p为n的所有因子。
欧拉函数n在整数论和计算机科学领域有着重要的意义。
它与欧拉定理、埃式测试和质数筛法等都有密切的联系。
它的有效计算也能够有效地求解多种数学问题，其中包括最短路径问题、图的分割问题、最大流问题等等。
此外，欧拉函数n也被用于编码的解码，安全的文件传输，数据库的访问安全，电子商务的安全等多种安全方面的应用，可以说充分发挥了它在数学领域的应用价值。
总之，欧拉函数n是一个十分有用的数学工具，它对求解很多数学问题有着十分重要的作用，同时还可以用于编码解码，数据库的安全访问等多种应用。
atcoder abc 欧拉函数
atcoder abc 欧拉函数欧拉函数是数论中的一个重要概念，与素数、数论函数等密切相关。
在atcoder竞赛中，经常会遇到涉及欧拉函数的题目。
本文将详细介绍欧拉函数的定义、性质及应用，并结合atcoder的题目展示欧拉函数的实际应用。
一、欧拉函数的定义1.1 欧拉函数的概念欧拉函数又称欧拉ϕ函数，表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数。
用符号表示为ϕ(n)。
1.2 欧拉函数的计算公式计算欧拉函数的方法一般有两种：（1）质因数分解法：将n进行质因数分解，得到n=p₁^a₁ * p₂^a₂ * … * pₖ^aₖ，其中p₁,p₂,…,pₖ为n的质因数，a₁,a₂,…,aₖ为对应的幂次。
则有ϕ(n) = n * (1-1/p₁) * (1-1/p₂) * … * (1-1/pₖ)（2）递推公式法：ϕ(n) = n * (1-1/p₁) * (1-1/p₂) * … * (1-1/pₖ)，其中p₁,p₂,…,pₖ为n 的不同质因数。
1.3 欧拉函数的性质根据欧拉函数的定义和计算公式，可以得到以下性质：（1）若n为素数，则ϕ(n) = n-1。
（2）若n为正整数m的倍数，则ϕ(n) = n * (1-1/p₁) * (1-1/p₂) * … * (1-1/pₖ)，其中p₁,p₂,…,pₖ为n的不同质因数。
（3）若a和b互质，则ϕ(a*b)=ϕ(a)*ϕ(b)。
二、欧拉函数的应用2.1 欧拉定理欧拉定理是欧拉函数的一个重要应用，它表明：若a与m互质，则a^ϕ(m) ≡ 1 (mod m)。
2.2 欧拉降幂欧拉降幂是利用欧拉函数的性质，求解大数次方的一种常用方法。
其公式为：a^b mod m = a^(b mod ϕ(m) + ϕ(m)) mod m。
2.3 欧拉函数在atcoder竞赛中的应用在atcoder竞赛中，经常会出现涉及欧拉函数的题目。
给定n个数，求满足条件的数对的个数，其中条件为这对数的最大公约数等于1。
欧拉函数
φ函数的值通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。
φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。
(注意：每种质因数只一个。
比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
设n为正整数，以φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。
欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。
特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。
设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集，据中国剩余定理，A*B和C可建立一一对应的关系。
因此φ(n)的值使用算术基本定理便知，若n= ∏p^(α（下标p）)p|n则φ(n)=∏(p-1)p^(α（下标p）-1)=n∏(1-1/p)p|n p|n例如φ(72)=φ(2^3×3^2)=(2-1)2^(3-1)×(3-1)3^(2-1)=24与欧拉定理、费马小定理的关系对任何两个互质的正整数a, m, m>=2有a^φ(m)≡1(mod m)即欧拉定理当m是质数p时，此式则为：a^(p-1)≡1(mod m)即费马小定理。
利用欧拉函数和它本身不同质因数的关系，用筛法计算出某个范围内所有数的欧拉函数值。
欧拉函数和它本身不同质因数的关系：欧拉函数ψ（N）=N{∏p|N}（1－1/p）亦即:ψ(N)=（P是数N的质因数）如：ψ（10）=10×（1－1/2）×（1－1/5）=4；ψ（30）=30×（1－1/2）×（1－1/3）×（1－1/5）=8；ψ（49）=49×（1－1/7）==42。
关于欧拉函数的等式
关于欧拉函数的等式
我们要证明关于欧拉函数的等式。
欧拉函数通常表示为φ(n)，它表示小于n 且与n互质的正整数的个数。
我们要证明的等式是：
φ(mn) = φ(m)φ(n) 当 gcd(m, n) = 1
其中，gcd(m, n)表示m和n的最大公约数。
假设 m 和 n 是两个互质的正整数。
根据欧拉函数的定义，我们可以得到以下结论：
1. φ(m) 表示小于 m 且与 m 互质的正整数的个数。
2. φ(n) 表示小于 n 且与 n 互质的正整数的个数。
3. 当 m 和 n 互质时，小于 mn 且与 mn 互质的正整数可以分解为小于 m 且与 m 互质的正整数与小于 n 且与 n 互质的正整数的乘积。
因此，我们可以得到以下数学表达式：
φ(mn) = φ(m)φ(n) 当 gcd(m, n) = 1
m 和 n 不互质，无法验证等式。
欧拉函数φn
欧拉函数φn欧拉函数是数论中一个重要的函数，它描述了整数m与小于m的正整数中，互质的个数。
欧拉函数常用符号为φ(n)，其中n为正整数。
欧拉函数的定义是：对于任意正整数n，欧拉函数φ(n)表示不大于n的正整数中与n 互质的数的个数。
特别地，φ(1)=1。
欧拉函数的计算方法有多种，下面以一些常用的方法进行总结。
方法1：直接计算法欧拉函数的最直接计算方法是对于每个小于等于n的数i，如果gcd(i,n)等于1，则将计数器加1。
最终的结果即为φ(n)。
计算φ(8)时，满足与8互质的数有1、3、5、7，因此φ(8)=4。
这种方法简单易懂，但对于大整数的计算，计算量会非常大。
方法2：分解质因数法欧拉函数的另一种计算方法是利用分解质因数的结果，将n分解成质因数的乘积：n=p₁^k₁ × p₂^k₂ × …×pₙ^kₙp₁、p₂、…、pₙ均为不同的质数，k₁、k₂、…、kₙ均为正整数。
那么根据乘法原理，可以将φ(n)分解成φ(p₁^k₁)×φ(p₂^k₂)×…×φ(pₙ^kₙ)。
对于任意一个质数p来说，小于等于p的正整数中，与p的公约数只有1和p，因此φ(p)=p-1。
综合以上两点，就可以得到φ(n)的分解式：φ(n)=n×(1-1/p₁)×(1-1/p₂)×…×(1-1/pₙ)计算φ(24)时，24=2^3×3，因此φ(24)=24×(1-1/2)×(1-1/3)=8。
这种方法都要先分解质因数，因此对于大整数的计算，也需要大量时间。
方法3：线性筛法欧拉函数的线性筛法是一种效率较高的计算方法，它的核心思路是根据欧拉函数的性质，利用筛法的思想求出所有小于等于n的正整数的欧拉函数值。
首先定义一个数组phi[n]，初值全部设为i，表示小于等于n的正整数i的欧拉函数值φ(i)。
接着，从2开始枚举到n，如果phi[i]=i，说明i是一个质数，那么对于i的倍数j，phi[j]需要乘上(1-1/i)，以此更新phi[j]。
欧拉函数
简介
证明
欧拉函数的编程实现
证明
[编辑本段]简介
φ函数的值 通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。 若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。 欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。 特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明于上述类似。
} //这段求出了N内的所有素数
phi=(int*)malloc((N+1)*sizeof(int));
for(i=1;i<=N;i++)
{
phi[i]=i;
}
for(i=2;i<=N;i++)
{
if(prime[i])
{
#include <stdlib.h>
#define N 10000000
main()
{
int *phi,i,j;
char *prime;
prime=(char*)malloc((N+1)*sizeof(char));
prime[0]=prime[1]=0;
for(j=i;j<=N;j+=i)
{
phi[j]=phi[j]/i*(i-1); //此处注意先/i再*（i-1)，否则范围较大时会溢出
}
}
//这段求出了N内所有数的欧拉函数值 2-100欧拉函数表 n φ(n) 2 1 3 2 4 2 5 4 6 2 7 6 8 4 9 6 10 4 11 10 12 4 13 12 14 6 15 8 16 8 17 16 18 6 19 18 20 8 21 12 22 10 23 22 24 8 25 20 26 12 27 18 28 12 29 28 30 8 31 30 32 16 33 20 34 16 35 24 36 12 37 36 38 18 39 24 40 16 41 40 42 12 43 42 44 20 45 24 46 22 47 46 48 16 49 42 50 20 51 32 52 24 53 52 54 18 55 40 56 24 57 36 58 28 59 58 60 16 61 60 62 30 63 36 64 32 65 48 66 20 67 66 68 32 69 44 70 24 71 70 72 24 73 72 74 36 75 40 76 36 77 60 78 24 79 78 80 32 81 54 82 40 83 82 84 24 85 64 86 42 87 56 88 40 89 88 90 24 91 72 92 44 93 60 94 46 95 72 96 32 97 96 98 42 99 60 100 40
欧拉函数1～10
欧拉函数1～10欧拉函数是数学中的一种重要的函数，它的数学定义和计算方法也非常有趣。
欧拉函数源于古希腊数学家欧拉，他发现了它的定义和一些有趣的特点，其中也包括欧拉函数1~10。
这里介绍的欧拉函数1~10是指数学中的定义，不涉及其他问题。
欧拉函数1~10由数学定义如下：1.n是质数时，欧拉函数φ(n)＝n-1；2.n是合数时，有φ(n)=(Πp|n)，其中p是n的任意一个质数因子；3.n是n进制的数时，有φ(n)=(Πq|n)，其中q是n的任意一个n进制质数因子；4.n是2的幂次时，有φ(n)＝2^(n-1)；5.n是2^m+1时，有φ(n)=2^(m-1)；6.n是素因子p^m时，有φ(n)=p^(m-1)*(p-1)；7.n是素数p时，有φ(n)=p-1；8.n是任意奇数时，有φ(n)=2*φ((n-1)/2)；9.n是任意偶数时，有φ(n)=φ(n/2)；10.n是任意质数p^m，有φ(n)=p^(m-1)*(p-1)；欧拉函数1~10涉及到数学中的很多重要的概念，比如因子、质数、合数、素数、质因子等等，它们在多种学科中都有着重要的意义。
欧拉函数1~10的数学特性反映了它与质数和合数之间的关系，同时它也揭示了数的本质，反映出数学中各种层次的关系。
欧拉函数1~10在不同的学科中也有着不同的应用，在计算机科学中，它被用来计算和解决一些复杂的计算问题；在密码学中，它被用来求解一些极其复杂的计算问题；在几何学中，它被用来求解二次解的值；在运筹学中，它被用来求解一些困难的优化问题；在多元分析中，它被用来求解微分方程；在抽象代数学中，它被用来求解一些复杂的代数方程等等。
另外，欧拉函数1~10也用于研究质数的分布规律或求解质数分解等问题。
通过研究欧拉函数1~10，我们可以更深入地了解质数和合数之间的特性及其相互之间的关系，因此，在实际应用中，我们可以更好地利用它来解决现实当中的数学问题和抽象数学问题。
欧拉函数1~10的研究和应用，使我们能够更好地了解数学的本质，探索其中的奥秘，同时，还能在实际应用中更好地利用它来解决实际问题和抽象问题。
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#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int cal(int n)
{
int i,re=1;
for(i=2;i*i<=n;i++)
if(n%i==0)
{
n/=i;re*=i-1;
while(n%i==0)
输入
有多个样例。每行输入一个整数n，(1<=n<=100,000,000)，如果n为0，表示输入结束，这个样例不需要处理。
输出
每行输出一个整数的欧拉函数。
样例输入
1
29
100000000
0
样例输出
0
28
40000000
Sample Input
#include <cmath>
#include <cstdio>
欧拉函数
[Submit Code] [Top 20 Runs]
Acceteped : 91
Submit : 405
Time Limit : 1000 MS
Memory Limit : 65536 KB
Description
一个正整数n，那么我们称1到n-1中与n互质的数的个数为n的欧拉函数值。如果 是能整除n的所有素数，那么欧拉函数 。比如6，与6互质的数为1和5，所以6的欧拉函数为2；能整除6的素数为2和3，那么根据公式，6*(1/2)*(2/3) = 2。
{
n/=i;re*=i;
}
}
if(n>1) re*=n-1;
return re;
}
int main()
{
int n;
while(1)
{
cin>>n;
if(n==0) return 0;
if(n==1) cout<<0<<endl;
else
cout<<cal(n)<<endl;
}}Leabharlann