第九章 代数系统

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DEFINITION5.13 设V=<S, f1, f2, …, fk>是代数系统，BS，如果B对f1,
f2, …, fk都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数，则
称<B, f1, f2, …, fk>是V的子代数系统，简称子代数。
例如，<N, +>是<Z, +>的子代数：因为N对+是封闭 的，且它们都没有代数常数。
证明： (3) yl = yl◦e = yl◦(x◦yr) = (yl◦x)◦yr= e◦yr = yr， yl = yr ， 把yl = yr记作y，假设y’S是x的逆元，则有： y’= y’◦e = y’◦(x◦y) = (y’◦x)◦y = e◦y = y. 对于可结合的二元运算来说，元素x的逆元如果存 在则是唯一的。
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xQ，有x*0=x+0-x· 0=x, 0*x=0+x-0· x=x，
∴0是幺元。
xQ，有x*1=x+1-x· 1=1, 1*x=1+x-1· x=1，
∴1是零元。 xQ，欲使x*y=0和y*x=0，即 x+y-xy=0， x x 1 ( x 1). 即 x ( x 1). 解得 y x 1 x 1
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证明：
(2) l = l◦r
l◦r = r l = r ，
(因为l为左零元)
(因为r为右零元)
把l = r记作，假设S中存在零元’，则有： ’= ’◦ = 是S中关于运算◦的唯一的零元。
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工作者应初步掌握其基本的理论和方法。
我们通过对具体代数系统的学习，应初步掌 握对代数系统研究的一般方法：从简单到复杂、 从具体到一般，从而发现代数系统的一般规律。
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我们在前面已经研究过集合，那时没有 过多地考虑一个集合内部元素之间的联系。 现在我们要在一个集合的内部引入运算，并 研究其运算规律，主要内容为：
(3) ◦适合幂等律：xS, x◦x=x.
(4) *对◦可分配：x,y,zS, x*(y◦z,yS, x*(x◦y)=x,
x◦(x*y)=x.
幂集合上的∩，∪运算满足幂等律，可分配律，以及吸收率。
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DEFINITION 5.8—5.10.
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（3） 幂集P(S)上的∪运算不满足消去律。 取A, B, CP(S)，由A∪B=A∪C不一定能得 到B=C. 同样，∩运算也不满足消去律。 但运算满足消去律。 运算不存在零元，A, B, CP(S)，都有： AB=ACB=C，BA=CAB=C.
第九章 代数系统的一般性质
§1 二元运算及其性质
§2 代数系统及其子代数和积代数
§3 代数系统的同态与同构 §4 题例分析
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本章的主要研究对象是各种各样的代数系
统，即具有一些元运算的集合，代数系统的思想
和方法已经渗透到现代科学的许多分支，它的结
果已应用到计算机的不少方面，因此计算机科学
x2
…
xn x1 ◦ xn x2 ◦ xn … xn ◦ xn
x1 ◦ x2 … x2 ◦ x2 … … … xn ◦ x2 …
二元运算表的一般形式
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EXAMPLE 5.2
设S={1, 2}，给出P(S)上的运算ˉ和⊕的 运算表，其中全集为S. xi Ø {1} {2} {1,2} xi {1,2} {2} {1} Ø ⊕ Ø {1} {2} {1,2}
通常把这个唯一的逆元记作x-1.
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DEFINITION 5.11
设◦为S上的二元运算，如果x, y, zS满足以下条 件： (1) 若x ◦ y = x ◦ z且x不是零元，则y = z，
(2) 若y ◦ x = z ◦ x且x不是零元，则y = z，
就称运算◦满足消去律，其中(1)称作左消去律，(2)
(1) 设◦为S上的二元运算，el, er分别为运算◦的左
幺元和右幺元，则有：el=er=e，且e为S上关于运
算◦的唯一的幺元。（由定义证明） (2) 设◦为S上的二元运算，l, r分别为运算◦的左 零元和右零元，则有：l=r=，且为S上关于运 算◦的唯一的零元。（由定义证明） (3) 设◦为S上可结合的二元运算，e为该运算的幺 元，对于xS如果存在左逆元yl和右逆元yr，则有： yl= yr=y，且y是x的唯一的逆元。（由定义证明）
则，矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算。
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DEFINITION 5. 2.
设S为集合，n为正整数，则函数
f :S×S×…×S→S
称为S上的一个n元运算，简称为n元运算。
类似的，也可以使用算符来表示n元运算，若 f (<x1,x2,…,xn>) = y，则可利用算符◦简记为： ◦ (x1, x2, …, xn) = y 或 x1 ◦ x2 ◦ … ◦ xn= y.
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EXAMPLE 5.6 对于下面给定的集合和该集合上的二元运算，指出该 运算的性质，并求出它的幺元、零元和所有的逆元。 (1) Z+，x, yZ+，x*y=lcm(x, y)，即求x和y的最小公 倍数。
(2) Q，x, yQ，x*y=x+y-xy.
解：(1) *运算可交换，可结合，是幂等的。
但，自然数集合N和普通减法-不能构成代数系统，因为两个自 然数相减可能得到一个负数，所以不能写成<N, ->。
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在某些代数系统中对于给定的二元运算存 在幺元或零元，我们称之为该系统的特异元 素或代数常数。
例如，<P(S),∪,∩,ˉ>中的∪和∩的幺元分别 为Ø和S，可将<P(S),∪,∩,ˉ>记为 <P(S),∪,∩,ˉ, Ø, S > 。
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由二元运算的定义可知，验证一个运算是否为集 合S上的二元运算，主要考虑两点： (1) S中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算 的结果是唯一的。（函数） (2) S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该 运算是封闭的。 通常用◦,,•,…等符号表示二元运算，称为算符。 设f :S×S→S是S上的二元运算，对任意的x,yS， 如果x与y的运算结果是z，即 f (<x,y>)=z，则可利用
算符◦简记为： x ◦ y=z.
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EXAMPLE 5. 1
1. 实数集R上的加法，减法，乘法是二元运算。 2. 设Mn(R)表示所有n阶实矩阵的集合(n>=2)，即：
a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2 n M n ( R) aij R M M M M an1 an 2 L ann
xZ+，x*1=x，1*x=x，1为幺元，不存在零元。
只有1有逆元，是它自己，其它整数无逆元。
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(2) *运算满足交换律，∵x, yQ， x*y = x+y-xy = y+x-yx = y*x. *运算满足结合律，∵x, y, zQ，有 (x*y)*z=(x+y-xy)*z=(x+y-xy)+z-(x+y-xy)· z =x+y+z-xy-xz-yz+xyz， x*(y*z)=x*(y+z-yz)=x+(y+z-yz)-x· (y+z-yz) =x+y+z-xy-xz-yz+xyz， ∴(x*y)*z=x*(y*z). *运算不满足幂等律，∵5Q，但5*5=5+5-55= -155. *运算满足消去律，∵x, y, zQ，x1（1为零元）， 证明左消去律成立：若使x*y=x*z，即x+y-xy=x+z-xz， 只有y=z时成立。同理可证右消去律也成立。
称作右消去律。
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EXAMPLE 5.5
(1)整数集合Z上的加法满足消去律。 加法没有零元，x, y, zZ，都有： x+y = x+z y=z，y+x = z+x y=z. (2) 整数集合Z上的乘法也满足消去律。 0是乘法的零元，不能消去，任何非零 的整数都可消去，x, y, zZ (x0)，都 有： xy = xz y=z，yx = zx y=z.
<N, +, 0>是<Z, +, 0>的子代数：因为N对+是封闭的，
且它们都含有相同的代数常数0。 <N-{0}, +>是<Z, +>的子代数，但不是<Z, +, 0>的子 代数：因为<Z, +, 0>的代数常数0N-{0}。
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平凡的子代数：最大和最小的子代数。最大的子代 数是V本身。如果令V中所有代数常数构成的集合是 B，且B对V中所有的运算都是封闭的，则B就构成
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§2 代数系统及其子代数和积代数
DEFINITION 5.12
非空集合S和S上k个一元或二元运算f1,
f2, …, fk组成的系统称为一个代数系统，简
称代数，记作<S, f1, f2, …, fk>。
例如，<N,+>,<Z,+, · >,<R,+, · >,<P(S),∪,∩,ˉ>都是代数系统。