华中师大一附中2019—2020学年度第二学期高二独立作业(数学)(八)(答题卡)
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高二数学下学期期中试卷(含解析)
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学一、选择题：共12题1．复数在复平面内对应的点所在的象限是A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】本题主要考查复数的概念.因为复数===,所以复数在复平面内对应的点为(.因为,所以该点位于第四象限.故选D.2．设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数的图象,且,则这个正态总体的期望与标准差分别是A.10与4B.10与2C.4与10D.2与10【答案】B【解析】本题主要考查正态密度函数的定义.根据定义可知,总体的均值,即期望方差即,故选B.【备注】正态密度函数,其中分别为总体的期望和标准差.3．函数的大致图象是【答案】B【解析】本题主要考查导数在研究函数中的应用.函数,其定义域为,由得;由得在上单调递增,在上单调递减.时取到极大值.又函数的图象在轴的下方.故选B.4．袋中有大小相同的红球6个,白球5个,从袋中每次不放回地任意取出1个球,直到取出的球是白球为止,设所需要的取球次数为,则随机变量的所有可能值为A.1, 2, , 6B.1, 2, , 7C.1, 2, , 11D.1, 2, 3,【答案】B【解析】本题主要考查随机变量的含义.根据题意,如果第一次取出的是白球,则此时为1.因为一共有6个红球,如果前6次取出的都是红球,则第7次一定是白球,因此最大为7,因此的所有可能值为1, 2, ,7.故选B.5．设点P在曲线上,点Q在曲线上,则最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查指数函数、对数函数以及导数的应用.函数与函数互为反函数,因此曲线关于直线对称,所以要使最小,则点P 关于直线对称.设, 点Q到直线的距离为,则,令,(,(x)=(x);当时,(x),所以,所以.故选B.6．若复数,则的值为A. B. C. D.2【答案】B【解析】本题主要考查复数的基本运算.==,∴.故选B.7．已知是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足,对任意正数、,若<,则的大小关系为A.<B.=C. D.【答案】A【解析】本题主要考查导数的应用.设,则,所以在上单调递增,因为,所以,所以即,又,所以,故选A.【备注】要根据所给的式子的结构构造合适的函数,利用函数的单调性求解.8．若,且,则等于A. B. C.D.【答案】B【解析】本题主要考查二项式定理和复数的运算.因为,由得,所以.故选B.9．已知随机变量的概率分布如下:则P(=10)等于A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查随机变量的分布和概率求和.表格中前9个变量对应的概率组成一个首项是,公比是的等比数列,所以它们的和为.因为所有变量的概率之和为1,所以,即P(=10)=.故选C.10．设f(x)为可导函数,且=-1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率是A.2B.-1C.-2D.【答案】C【解析】∵f'(1)=-1,∴f'(1)=-2=k.11．甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止,设每次投篮甲投中的概率为0.4,乙投中的概率为0.6,而且每次不受其它次投篮结果的影响,甲投篮的次数为,若甲先投,则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查相互独立事件同时发生的概率.因为甲先投,所以表示”甲第次投中,而甲与乙前次没有投中”,或者”甲第次未投中,而乙第次投中”.根据相互独立事件同时发生的概率得到:=.故选B.12．已知,且,现给出如下结论:①;②;③;④.其中正确结论的序号为A.①③B.①④C.②④D.②③【答案】D【解析】本题主要考查函数的零点与方程根的关系.当,所以函数的增区间为,减区间为,所以函数的极大值是函数的极小值是,因为,且,∴且,所以,所以所以.故选D.二、填空题：共4题13．= ___________.【答案】【解析】本题主要考查定积分的性质及其计算.==14．已知复数是实数,则=___________.【答案】【解析】本题主要考查复数的基本运算.,因为是实数,=.15．已知,若存在,使得成立,则实数的取值范围是________.【答案】【解析】本题主要考查导数在研究函数中的应用. 存在,使得成立,等价于,当时,递减,当时,递增,所以当时,取得最小值,; 当时,取得最大值,,故实数的取值范围是.16．若函数的图象关于直线对称,则的最大值是________.【答案】16【解析】本题主要考查函数的性质,考查学生的化归与转化能力.因为函数的图象关于直线对称,所以为偶函数.=,此式如果展开,的系数为的系数为因为为偶函数,所以故,所以,令,得,分解可得,所以,所以当时,,当时,,所以,在和处取得最大值,代入可得的最大值是16.三、解答题：共6题17．已知复数,若是实数,求实数的值.【答案】由题得==,因为是实数,所以a=3.【解析】本题主要考查复数的基本运算.根据是实数,列出方程组,即解得a=3.18．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率;(Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;(Ⅲ)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数,求ξ的分布列.【答案】(Ⅰ)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件E A,那么P(E A)==.即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是.(Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E,那么P(E)==.所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()=1-P(E)=.(Ⅲ)随机变量ξ可能取的值为1,2.事件“ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务,则P(ξ=2)==.所以P(ξ=1)=1-P(ξ=2)=,ξ的分布列是【解析】无19．已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.(Ⅰ)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值; (Ⅱ)当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求k的取值范围. 【答案】(Ⅰ)f '(x)=2ax,g '(x)=3x2+b.因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)=g(1),且f '(1)=g '(1),即a+1=1+b,且2a=3+b,解得a=3,b=3.(Ⅱ)记h(x)=f(x)+g(x),当a=3,b=-9时,h(x)=x3+3x2-9x+1,h'(x)=3x2+6x-9.令h'(x)=0,得x1=-3,x2=1.h(x)与h'(x)在(-∞,2]上的变化情况如下:由此可知:当k≤-3时,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(-3)=28;当-3<k<2时,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.因此,k的取值范围是(-∞ ,-3].【解析】本题主要考查切线、单调性、极值以及最值问题,难度中等,意在考查考生的运算能力和逻辑思维能力.(1)曲线在某点处的切线的斜率就是该点处的导数;(2)本题中函数的极大值同时也是最大值,由此来确定字母k的取值范围.20．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(Ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n ∈N)的函数解析式;(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.【答案】(Ⅰ)当日需求量n≥16时,利润y=80.当日需求量n<16时,利润y=10n-80.所以y关于n的函数解析式为y=(n∈N).(Ⅱ)(i)X可能的取值为60,70,80,并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.X的分布列为X的数学期望为EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.X的方差为DX=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44.(ii)答案一:花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为Y的数学期望为EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.Y的方差为DY=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04.由以上的计算结果可以看出,DX<DY,即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.另外,虽然EX<EY,但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为Y的数学期望为EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.由以上的计算结果可以看出,EX<EY,即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.【解析】本题主要考查函数解析式、随机变量的概率、分布列和方差,意在考查考生的运算求解能力.(Ⅰ)根据日需求量分类求出函数解析式.(Ⅱ)(i)根据当天的需求量,写出相应的利润,列出分布列,求出数学期望和方差.(Ⅱ)(ii)比较两种情况的方差或数学期望即可.【备注】本题中的利润与需求量之间的对应关系是由(Ⅰ)中的函数关系确定出来的,它们之间的关系是线性对应关系,所以它们相对应值的概率一致,抓住一致性就可以顺利解答问题.21．已知M为△ABC的中线AD的中点,过点M的直线分别交两边AB,AC于点P,Q,设,记.(1)求函数的表达式;(2)设.若对任意,总存在,使得成立,求实数a的取值范围.【答案】(1)∵过点M的直线分别交两边AB,AC于P,Q,∴0＜x≤1,0＜y≤1,又∵=x=y,∴==+)=+,又∵P,M,Q三点共线,∴+=1,∴y=f(x)=,由得,∴≤x≤1,∴y =f (x )=,x ∈[,1].(2)∵f (x )==+在[,1]内是减函数,∴[f (x )]min =f (1)=,[f (x )]max =f (31)=1,即函数f (x )的值域为[,1],∵g ’(x )=3x 2+3a 2≥0,∴g (x )在[0,1]内是增函数,∴[g (x )]min =g (0)=2a ,[g (x )]ma x =g (1)=3a 2+2a +1,∴g (x )的值域为[2a ,3a 2+2a +1],由题设得[,1] [2a ,3a 2+2a +1], 则,解得a 的取值范围是(-∞,-]∪[0,].【解析】本题主要考查平面向量基本定理,三点共线的条件和函数的性质.(1)先求出==+)=+,然后利用P,M,Q 三点共线得到+=1 ,变形得到函数解析式y =f (x )=,再利用即 求出≤x ≤1 ,即函数的定义域,从而得到函数的表达式为:y =f (x )=,x ∈[,1].(2)先将y =f (x )的表达式变形得到(x )==+,易知函数y =f (x ) 在[,1]内是减函数,∴[f (x )]min =f (1)=,[f (x )]m ax =f (31)=1,即f (x )的值域为[,1].对函数通过求导,可得到在上是增函数,求出其值域为[2a ,3a 2+2a +1].根据题意可知,[,1]⊆[2a ,3a 2+2a +1],∴,解得a 的取值范围是(-∞,-]∪[0,].22．已知函数.(1)当时,求证:;(2)在区间(1, e)上恒成立,求实数a 的取值范围;(3)当时,求证:N*).【答案】(1)令g (x )={[f (x )-1]-a (1-)}×=ln x -1+ (x ＞0),∴g ’(x )==(x ＞0),在(0,1)内为负,在(1,+∞)内为正,∴g (x )在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,∴[g (x )]min =g (1)=0,∴∀x ∈(0,+∞),g (x )={[f (x )-1]-a (1-)}×=ln x -1+≥0,又∵a＞0,∴f(x)-1≥a(1-).(2)令h(x)=f(x)-x=a ln x+1-x(1≤x≤e),则h’(x)=-1=-(1＜x＜e),1°当a＞e时,∀x∈(1,e),h＇(x)＞0∴h(x)在(1,e)内是增函数,∴∀x∈(1,e),h(x)＞h(1)=0∴a＞e符合;2°当1＜a≤e时h’(x)在(1,a)内为正,在(a,e)内为负,∴h(x)在(1,a)内递增,在(a,e)内递减,∴∀x∈(1,e),f(x)＞x⇔⇔e-1≤a≤e;3°当a≤1时h’(x)在(1,e)内为负,所以h’(x)在(1,e)内单调递减,令h(e)=a+1-e>0,解得a>e-1,与a≤1矛盾,舍去.综合1°2°3°,得a≥e-1.(3)∵由(1)知∀x∈(0,+∞),ln x≥1-,当且仅当x=1时取等号,当a=时,f(x)=ln x+1=ln+1,∴当k∈N*,k≥2时f(k)=ln+1＞(1-)+1=2-＞2-=2+2-2,∴f(2)+f(3)++f(n+1)＞(2+2-2)+(2+2-2)++(2+2-2)=2(n+1-).【解析】本题主要考查导数在研究函数中的应用.(1)要证明当时,,只要证明构造函数g(x)={[f(x)-1]-a(1-)}×=ln x-1+(x＞0),∴g’(x)== (x＞0)它在(0,1)内为负,在(1,+∞)内为正∴g(x)在(0,1)内递减,在(1,+∞)内递增∴[g(x)]min=g(1)=0∴∀x∈(0,+∞),g(x)={[f(x)-1]-a(1-)}×=ln x-1+≥0又∵a＞0∴f(x)-1≥a(1-)(2)构造函数h(x)=f(x)-x=a ln x+1-x(1≤x≤e),则原问题等价于h(x)>0恒成立时a的取值范围.将h(x)求导后对a进行分情况讨论即可.(3) 由(1)知∀x∈(0,+∞),ln x≥1-,当且仅当x=1时取等号当a=时,f(x)=ln x+1=ln+1,∴当k∈N*,k≥2时f(k)=ln+1＞(1-)+1=2-＞2-=2+2-2,∴f(2)+f(3)++f(n+1)＞(2+2-2)+(2+2-2)++(2+2-2)=2(n+1-).。
湖北省华中师范大学第一附属中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析
华中师大一附中2019—2020学年度下学期高二期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡相应位置上）1.甲、乙、丙、丁四人站成一排照相，满足甲乙相邻且甲不在最左边的站法有（）A. 9种B. 10种C. 11种D. 12种【答案】B【解析】【分析】根据甲乙相邻，可将甲乙视为一组，再和另外两人一同排列，要注意甲不在最左边，故还要分成甲在乙左或乙在甲左两种情况.【详解】将甲乙绑定，分甲在乙左或乙在甲左两种情况.若甲在乙左，则甲乙、丙、丁三组站成一排，甲乙不能站最左，故有两种选择，丙、丁随意，故一共有种站法.若乙在甲左，则甲乙、丙、丁三组站成一排，甲乙、丙、丁三组随意站，故一共有种站法.故共有种站法.故选：【点睛】本题考查基本的分类加法计数原理，利用了捆绑法，属于基础题.2.对于给定的样本点所建立的回归模型和模型，它们的残差平方和分别是、，相关指数的值分别是、，下列说法正确的是（）A. 若，则，的拟合效果更好B. 若，则，的拟合效果更好C. 若，则，的拟合效果更好D. 若，则，的拟合效果更好【答案】A【解析】【分析】根据残差平方和以及相关指数的定义进行判断即得.【详解】比较两个模型的拟合效果时，如果模型残差平方和越小，则相应的相关指数越大，该模型拟合的效果越好.若，则，的拟合效果更好.故正确.故选：【点睛】本题考查残差平方和以及相关指数的定义，是基础题. 3.圆的以为中点的弦所在直线方程为（ ） A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】 由弦的中点是，根据垂径定理可知垂直于此弦，再由的斜率可求得此弦斜率，利用点斜式即得方程. 【详解】设以为中点的弦交圆于两点，由题意，由垂径定理知.而，故.则以为中点的弦所在直线方程为：，整理得：.故选：【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，属于基础题. 4.设随机变量，若，则（ ）A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7【答案】D 【解析】 【分析】根据已知，利用，可得，即得.【详解】随机变量服从正态分布，且正态曲线的对称轴是：，由，可得，则.故选：【点睛】本题考查正态分布曲线的性质，属于基础题. 5.已知可导函数满足，则（ ）A. -3B. -2C. -1D. 2【答案】A【解析】【分析】等式两边求导得出的等量关系，可得的值，再计算即得的值.【详解】由题得，函数可导，可得，代入得：，则，那么，则. 故选：【点睛】本题考查导数的计算，属于基础题.6.已知关于x的方程有实根，则（）A. 2B. 4C. 3D. 9 【答案】B【解析】【分析】复数等于零，等价于实部和虚部都等于零.据此列出实部和虚部的两个方程，解出. 【详解】方程有实根，存在实数使得等式成立.故，解得：，故.故选：【点睛】本题考查复数的基本概念，属于基础题.7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 2π＋2B. 4π＋2C. 2π＋D. 4π＋【答案】C【解析】【详解】试题分析：由三视图知几何体是一个简单的组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，对角线长是，侧棱长，高是，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是，高是，所以组合体的体积是，故选C.考点：几何体的三视图及体积的计算.【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图及其体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中根据三视图得出上面一个四棱锥、下面是一个圆柱组成的组合体，得到几何体的数量关系是解答的关键，属于基础题.8.设，，且，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据二项分布的期望和方差公式，可知，，那么等价于，即，并且，，则等价于，即，分情况讨论，看这两个条件是否可以互相推出即得.【详解】由题得，，，故等价于，即. 又，，故等价于，即.若，因为，说明，且，故，故有.若，则，若，则自然有，则，故即.若，则，又因为，，即.若，则与矛盾，故，若，则自然有，若，则由知，即.所以是充要条件.故选：【点睛】本题综合的考查了离散型随机变量期望方差和不等式，属于中档题.9.已知双曲线上存在两点M，N关于直线对称，且线段MN中点在抛物线上，则实数m的值为（）A. -3B. 0或-3C. -4D. 0或1 【答案】B【解析】【分析】根据两点在双曲线上，且关于直线对称，可由表示出的中点坐标，再由中点在抛物线上，计算即得.【详解】由题得，直线的斜率，设点的横坐标分别为，的中点在上，设直线：，由点在上，可得，则，由消元得，则有，即，，故的中点，又线段中点在抛物线上，可得，解得或. 故选：【点睛】本题考查直线和双曲线的位置关系，考查对称性，以及抛物线的性质，解题关键是确定的中点的坐标.10.现有甲、乙、丙、丁、戌5人参加社区志愿者服务活动，每人从事团购、体温测量、进出人员信息登记、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.若甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A. 234B. 152C. 126D. 108【答案】C 【解析】 【分析】分情况进行讨论，先计算“甲乙一起参加除了开车的三项工作之一”有多少种情况，再计算“甲和乙分别承担一份工作，丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作”和“甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作”的情况，相加即得.【详解】由题，分情况讨论，甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：种；甲乙不同时参加一项工作，又分为两种情况：①甲和乙分别承担一份工作，丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有：种；②甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：种.由分类计数原理，可得共有种.故选：【点睛】本题考查计数原理，考查学生的逻辑推理能力.11.如果一椭圆的两个焦点恰好是另一双曲线的两个焦点，则称它们为一对“共焦曲线”现有一对“共焦曲线”的焦点为，，M 是它们的一个公共点，且，设它们的离心率分别为，，则（ ）A. 1B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆的长半轴为，半焦距为，双曲线的实半轴为，半焦距为，利用余弦定理有，由椭圆和双曲线的定义可知，，，即得和，消去，再根据离心率公式和基本不等式计算即得.【详解】设椭圆的长半轴为，半焦距为，双曲线的实半轴为，半焦距为，由余弦定理得，则有，，消去，可得，则有，即，当且仅当时取等号，故.故选：【点睛】本题主要考查双曲线和椭圆的性质，以及离心率，利用了余弦定理和基本不等式，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上）12.2020年华中师大一附中将迎来70周年校庆，学校安排5位男老师和3为女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取4位老师主持晚会，若抽取的4位老师是两男两女，则称主持人为“快乐搭档”.在已经抽取一位女老师担任主持人的条件下，最后确定的主持人是“快乐搭档”的概率为________.【答案】【解析】【分析】已经抽取一位女老师，那么要组成“快乐搭档”还需从剩余位女老师中抽取位，从位男老师中抽取位，根据概率公式计算即得.【详解】在已经抽取一位女老师担任主持人的条件下，还需抽取一位女老师和两位男老师才能形成“快乐搭档”，即需要从剩余位女老师中抽取位，从位男老师中抽取位，故所求概率.故答案为：【点睛】本题考查古典概型，是基础题.13.已知点，点B是圆上的动点，线段AB的垂直平分线交线段BC 于点P，则动点P的轨迹方程是________.【答案】【解析】【分析】连接，根据题意可知，可得，利用椭圆的定义判断点的轨迹，是以为焦点的椭圆，求出的值，即得椭圆的方程.【详解】由题得，圆心，半径等于，连接，则，，故点的轨迹是：以为焦点的椭圆，，即，，又点在轴上，动点P 的轨迹方程是.故答案为：【点睛】本题考查由椭圆的定义求动点的轨迹方程，是常考题型. 14.展开式中项的系数为______． 【答案】【解析】 试题分析：的展开式的通项公式为，对于通项公式为，令得．的展开式系数为．考点：二项式定理的应用.【方法点晴】本题主要考查了二项式定理的应用、二项展开式的系数问题，其中先把话为，得到其通项，则对得通项，可得或，即可得到的系数，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题． 15.已知，若曲线在点处的切线的斜率为-1，则________；当时，与曲线和曲线都相切的直线的方程是________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】先求导可得，再由可得的值；当时，可得，设直线与曲线和曲线的切点分别为，，根据切线的斜率等于曲线在切点处的导数值，以及利用两个切点表示出切线斜率，可得方程组，从而解出切点坐标，即得.【详解】由题得，函数的导数为，由曲线在点处的切线的斜率为，可得，解得.当时，所以，设直线与曲线和曲线的切点分别为，，则切线的斜率等于曲线在切点处的导数值，又，，则有，解得，，故切点为，切线斜率，可得切线方程为，即.故答案为：，【点睛】本题考查根据导数的几何意义求参数，以及求与两个曲线都相切的直线方程.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把答案填在答题卡相应位置上）16.设集合的所有元素的和为z，且. （1）求的值；（2）设，求事件“”的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先表示出集合的所有元素和，再由，可解得的值，再代入，根据复数的运算法则和求复数模的公式计算即得；（2）先计算从个元素中取出两个元素的方法，再确定其中乘积为实数的个数，计算即得.【详解】（1）由题得，，又，则，可得，即，那么.（2）由（1）得，，从个元素中取出两个元素的方法有种，其中乘积为实数的为，共有种情形，故.【点睛】本题考查共轭复数的概念，复数的四则运算和复数的模，以及古典概型，属于基础题.17.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m 不超过m 总计第一种生产方式第二种生产方式总计（2）根据（1）中的列联表，能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828【答案】（1）见详解（2）有【解析】【分析】（1）根据茎叶图可知，排在中间的两个数据是和，可得中位数，进而填写列联表；（2）由公式和列联表数据计算，再查表得出结论.【详解】（1）这名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据是和，计算它们的中位数为，由此填写列联表如下：超过m 不超过m 总计第一种生产方式第二种生产方式总计（2）根据（1）中的列联表，可得的观测值：，故能有的把握认为两种生产方式的效率有差异. 【点睛】本题考查中位数的定义，通过茎叶图完成列联表，以及独立性检验，是常考题型.18.已知点，，C是抛物线上的动点.（1）求周长的最小值；（2）若C位于直线AB右下方，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）过作抛物线准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可知，那么周长即为，为定值，则共线时周长最小，即得；（2）作与直线平行的直线，到直线的距离就是边上的高，且点在抛物线上，则当与抛物线相切时，面积的最大，设点，由抛物线在点处的切线斜率与直线的斜率相同，可得，即得点坐标，利用点到直线的距离公式，以及边的长度，由公式计算即得.【详解】（1）过作抛物线准线的垂线，垂足为，如图1所示，抛物线焦点，，又为常数，共线时，周长最小，，周长最小值为.（2）作与直线平行的直线，如图所示，当与抛物线相切时，切点使得面积最大，此时到直线的距离就是边上的高，设切点，由得，，即，切点的坐标为，点到的距离为，的最大值为，即面积最大值为.【点睛】本题考查抛物线的定义，以及直线和抛物线的位置关系，难度不大.19.已知的二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为（1）求展开式中有理项的个数；（2）求展开式中系数最大的项.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）根据二项式系数和的性质，以及二项式系数和为，可得，解出，再由通项公式，，分析即得；（2）根据各项系数的和均为，可得，解出或，再由通项公式分情况进行计算即得.先通过二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为求出.【详解】（1）的二项展开式的各二项式系数的和为，各项系数的和为，由已知得，故此时展开式的通项为：，，当时，该项为有理项，故有理项的个数为.（2）由，得或当时，展开式通项为，，故二项式系数最大时系数最大，即第项系数最大，即系数最大的项为；当时，，，展开式系数最大的项是奇数项，其中，，，，，故展开式中系数最大的项为第项，即系数最大的项为.综上，展开式中系数最大的项为或.【点睛】本题考查二项式系数的性质，以及通项公式的应用，要注意二项式系数与各项的系数的区别，考查分析计算能力，属于中档题.20.湖北省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3+1+2”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E 五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法．．．．．．分别转换到、、、、五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：等A B C D E级比15% 35% 35% 13% 2%例赋分区间而等比例转换法．．．．．．是通过公式计算：，其中、分别表示原始分区间的最低分和最高分，、分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y表示原始分，T表示转换分，当原始分为、时，等级分分别为、，假设小明同学的生物考试成绩信息如下表：考试科目考试成绩成绩等级原始分区间等级分区间生物75分B等级设小明转换后的等级成绩为T，根据公式得：，所以（四舍五入取整），小明最终生物等级成绩为77分.已知某学校学生有60人选了政治，以期中考试成绩为原始成绩转换该学校选政治的学生的政治等级成绩，其中政治成绩获得A等级的学生原始成绩统计如下表：成绩90 868180 7978 75人数1 2 1 1 2 1 1（1）从政治成绩获得A等级的学生中任取3名，求至少有2名同学的等级成绩不小于93分的概率；（2）从政治成绩获得A等级的学生中任取4名，设4名学生中等级成绩不小于93分人数为，求的分布列和期望.【答案】（1）（2）见详解【解析】【分析】（1）根据已知可得，等级的学生原始分区间的最低和最高分为和，等级分区间的最低和最高分为和，设政治成绩获得等级的学生原始成绩为，等级成绩为，利用转换公式可得，由等级成绩不小于，可求出原始成绩，对照原始成绩表，再计算概率即得；（2）由（1）知等级成绩不小于分人数为人，获得等级的学生有人，可得的可能取值为，计算出对应的概率，可得分布列，再由期望的计算公式，即得.【详解】（1）设政治成绩获得等级的学生原始成绩为，等级成绩为，由转换公式得，即，则，解得.根据成绩统计表显示满足的同学只有人，获得等级的学生有人，故从政治成绩获得等级的学生中任取名，至少有名同学的成绩不小于分的概率为.（2）由题意，等级成绩不小于分人数为人，获得等级的学生有人，的可能取值为，则，，，，所以的分布列为：则的期望为：.【点睛】本题综合考查概率和离散型随机变量的分布列，以及求期望，考查分析计算能力，属于中档题.21.已知圆的任意一条切线l与椭圆都有两个不同交点A，B（O是坐标原点）（1）求圆O半径r的取值范围；（2）是否存在圆O，使得恒成立？若存在，求出圆O的方程及的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）见详解【解析】【分析】（1）圆的中心是原点，椭圆的短半轴长为，根据圆和椭圆的位置关系分析即得；（2）当圆的切线的斜率存在时，设，圆的切线为，与联立，可得，根据韦达定理和，可得和的关系式，再由圆心到切线的距离等于半径，可得，解出，即得；当切线斜率不存在时，可得上述圆的切线，进而求出切点，验证满足即可，故使得恒成立的圆存在；当切线斜率存在且不等于时，则有，由韦达定理和基本不等式可得的最大值，当切线斜率不存在或等于时，可知的值，选两者中的最大值，再由，计算即得.【详解】（1）当时，圆在椭圆内部，切点在椭圆内，圆的每一条切线都过椭圆内部的点，切线与椭圆总有两个不同交点，满足题意；当时，圆的切线和都和椭圆最多只有一个公共点，不满足题意；故的取值范围是.（2）当圆的切线的斜率存在时，设圆的切线为，设，由消去得：，则，，则，由得，即，，又由与圆相切得，即，解得，此时圆的方程为.当切线斜率不存在时，上述圆的切线为或，这两条切线与椭圆的交点为，或，，也满足，故满足条件的圆存在，其方程为.当切线斜率存在且不等于时，因为，当且仅当时取等号；当切线斜率不存在或等于时，，则，又，故，则.【点睛】本题通过圆和椭圆的位置关系综合考查直线和椭圆的位置关系，考查分析和计算能力，是一道综合性的题目，有一定难度.。
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高二数学下学期
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学一、选择题：共12题1．复数在复平面内对应的点所在的象限是A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】本题主要考查复数的概念.因为复数===,所以复数在复平面内对应的点为(.因为,所以该点位于第四象限.故选D.2．设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数的图象,且,则这个正态总体的期望与标准差分别是A.10与4B.10与2C.4与10D.2与10【答案】B【解析】本题主要考查正态密度函数的定义.根据定义可知,总体的均值,即期望方差即,故选B.【备注】正态密度函数,其中分别为总体的期望和标准差.3．函数的大致图象是【答案】B【解析】本题主要考查导数在研究函数中的应用.函数,其定义域为,由得;由得在上单调递增,在上单调递减.时取到极大值.又函数的图象在轴的下方.故选B.4．袋中有大小相同的红球6个,白球5个,从袋中每次不放回地任意取出1个球,直到取出的球是白球为止,设所需要的取球次数为,则随机变量的所有可能值为A.1, 2, , 6B.1, 2, , 7C.1, 2, , 11D.1, 2, 3,【答案】B【解析】本题主要考查随机变量的含义.根据题意,如果第一次取出的是白球,则此时为1.因为一共有6个红球,如果前6次取出的都是红球,则第7次一定是白球,因此最大为7,因此的所有可能值为1, 2, ,7.故选B.5．设点P在曲线上,点Q在曲线上,则最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查指数函数、对数函数以及导数的应用.函数与函数互为反函数,因此曲线关于直线对称,所以要使最小,则点P关于直线对称.设, 点Q到直线的距离为,则,令,(,(x)=(x);当时,(x),所以,所以.故选B.6．若复数,则的值为A. B. C. D.2【答案】B【解析】本题主要考查复数的基本运算.==,∴.故选B.7．已知是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足,对任意正数、,若<,则的大小关系为A.<B.=C. D.【答案】A【解析】本题主要考查导数的应用.设,则,所以在上单调递增,因为,所以,所以即,又,所以,故选A.【备注】要根据所给的式子的结构构造合适的函数,利用函数的单调性求解.8．若,且,则等于A. B. C.D.【答案】B【解析】本题主要考查二项式定理和复数的运算.因为,由得,所以.故选B.9．已知随机变量的概率分布如下:则P(=10)等于A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查随机变量的分布和概率求和.表格中前9个变量对应的概率组成一个首项是,公比是的等比数列,所以它们的和为.因为所有变量的概率之和为1,所以,即P(=10)=.故选C.10．设f(x)为可导函数,且=-1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率是A.2B.-1C.-2D.【答案】C【解析】∵f'(1)=-1,∴f'(1)=-2=k.11．甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止,设每次投篮甲投中的概率为0.4,乙投中的概率为0.6,而且每次不受其它次投篮结果的影响,甲投篮的次数为,若甲先投,则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查相互独立事件同时发生的概率.因为甲先投,所以表示”甲第次投中,而甲与乙前次没有投中”,或者”甲第次未投中,而乙第次投中”.根据相互独立事件同时发生的概率得到:=.故选B.12．已知,且,现给出如下结论:①;②;③;④.其中正确结论的序号为A.①③B.①④C.②④D.②③【答案】D【解析】本题主要考查函数的零点与方程根的关系.当,所以函数的增区间为,减区间为,所以函数的极大值是函数的极小值是,因为,且,∴且,所以,所以所以.故选D.二、填空题：共4题13．= ___________.【答案】【解析】本题主要考查定积分的性质及其计算.==14．已知复数是实数,则=___________.【答案】【解析】本题主要考查复数的基本运算.,因为是实数,=.15．已知,若存在,使得成立,则实数的取值范围是________.【答案】【解析】本题主要考查导数在研究函数中的应用. 存在,使得成立,等价于,当时,递减,当时,递增,所以当时,取得最小值,; 当时,取得最大值,,故实数的取值范围是.16．若函数的图象关于直线对称,则的最大值是________.【答案】16【解析】本题主要考查函数的性质,考查学生的化归与转化能力.因为函数的图象关于直线对称,所以为偶函数.=,此式如果展开,的系数为的系数为因为为偶函数,所以故,所以,令,得,分解可得,所以,所以当时,,当时,,所以,在和处取得最大值,代入可得的最大值是16.三、解答题：共6题17．已知复数,若是实数,求实数的值.【答案】由题得==,因为是实数,所以a=3.【解析】本题主要考查复数的基本运算.根据是实数,列出方程组,即解得a=3.18．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率;(Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;(Ⅲ)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数,求ξ的分布列.【答案】(Ⅰ)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件E A,那么P(E A)==.即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是.(Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E,那么P(E)==.所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()=1-P(E)=.(Ⅲ)随机变量ξ可能取的值为1,2.事件“ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务,则P(ξ=2)==.所以P(ξ=1)=1-P(ξ=2)=,ξ的分布列是【解析】无19．已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.(Ⅰ)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值; (Ⅱ)当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求k的取值范围. 【答案】(Ⅰ)f '(x)=2ax,g '(x)=3x2+b.因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)=g(1),且f '(1)=g '(1),即a+1=1+b,且2a=3+b,解得a=3,b=3.(Ⅱ)记h(x)=f(x)+g(x),当a=3,b=-9时,h(x)=x3+3x2-9x+1,h'(x)=3x2+6x-9.令h'(x)=0,得x1=-3,x2=1.h(x)与h'(x)在(-∞,2]上的变化情况如下:由此可知:当k≤-3时,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(-3)=28;当-3<k<2时,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.因此,k的取值范围是(-∞ ,-3].【解析】本题主要考查切线、单调性、极值以及最值问题,难度中等,意在考查考生的运算能力和逻辑思维能力.(1)曲线在某点处的切线的斜率就是该点处的导数;(2)本题中函数的极大值同时也是最大值,由此来确定字母k的取值范围.20．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(Ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n ∈N)的函数解析式;(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.【答案】(Ⅰ)当日需求量n≥16时,利润y=80.当日需求量n<16时,利润y=10n-80.所以y关于n的函数解析式为y=(n∈N).(Ⅱ)(i)X可能的取值为60,70,80,并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.X的分布列为X的数学期望为EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.X的方差为DX=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44.(ii)答案一:花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为Y的数学期望为EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.Y的方差为DY=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04.由以上的计算结果可以看出,DX<DY,即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.另外,虽然EX<EY,但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为Y的数学期望为EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.由以上的计算结果可以看出,EX<EY,即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.【解析】本题主要考查函数解析式、随机变量的概率、分布列和方差,意在考查考生的运算求解能力.(Ⅰ)根据日需求量分类求出函数解析式.(Ⅱ)(i)根据当天的需求量,写出相应的利润,列出分布列,求出数学期望和方差.(Ⅱ)(ii)比较两种情况的方差或数学期望即可.【备注】本题中的利润与需求量之间的对应关系是由(Ⅰ)中的函数关系确定出来的,它们之间的关系是线性对应关系,所以它们相对应值的概率一致,抓住一致性就可以顺利解答问题.21．已知M为△ABC的中线AD的中点,过点M的直线分别交两边AB,AC于点P,Q,设,记.(1)求函数的表达式;(2)设.若对任意,总存在,使得成立,求实数a的取值范围.【答案】(1)∵过点M的直线分别交两边AB,AC于P,Q,∴0＜x≤1,0＜y≤1,又∵=x=y,∴==+)=+,又∵P,M,Q三点共线,∴+=1,∴y=f(x)=,由得,∴≤x≤1,∴y =f (x )=,x ∈[,1].(2)∵f (x )==+在[,1]内是减函数,∴[f (x )]min =f (1)=,[f (x )]max =f (31)=1,即函数f (x )的值域为[,1],∵g ’(x )=3x 2+3a 2≥0,∴g (x )在[0,1]内是增函数,∴[g (x )]min =g (0)=2a ,[g (x )]ma x =g (1)=3a 2+2a +1,∴g (x )的值域为[2a ,3a 2+2a +1],由题设得[,1] [2a ,3a 2+2a +1], 则,解得a 的取值范围是(-∞,-]∪[0,].【解析】本题主要考查平面向量基本定理,三点共线的条件和函数的性质.(1)先求出==+)=+,然后利用P,M,Q 三点共线得到+=1 ,变形得到函数解析式y =f (x )=,再利用即 求出≤x ≤1 ,即函数的定义域,从而得到函数的表达式为:y =f (x )=,x ∈[,1].(2)先将y =f (x )的表达式变形得到(x )==+,易知函数y =f (x ) 在[,1]内是减函数,∴[f (x )]min =f (1)=,[f (x )]m ax =f (31)=1,即f (x )的值域为[,1].对函数通过求导,可得到在上是增函数,求出其值域为[2a ,3a 2+2a +1].根据题意可知,[,1]⊆[2a ,3a 2+2a +1],∴,解得a 的取值范围是(-∞,-]∪[0,].22．已知函数.(1)当时,求证:;(2)在区间(1, e)上恒成立,求实数a 的取值范围;(3)当时,求证:N*).【答案】(1)令g (x )={[f (x )-1]-a (1-)}×=ln x -1+ (x ＞0),∴g ’(x )==(x ＞0),在(0,1)内为负,在(1,+∞)内为正,∴g (x )在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,∴[g (x )]min =g (1)=0,∴∀x ∈(0,+∞),g (x )={[f (x )-1]-a (1-)}×=ln x -1+≥0,又∵a＞0,∴f(x)-1≥a(1-).(2)令h(x)=f(x)-x=a ln x+1-x(1≤x≤e),则h’(x)=-1=-(1＜x＜e),1°当a＞e时,∀x∈(1,e),h＇(x)＞0∴h(x)在(1,e)内是增函数,∴∀x∈(1,e),h(x)＞h(1)=0∴a＞e符合;2°当1＜a≤e时h’(x)在(1,a)内为正,在(a,e)内为负,∴h(x)在(1,a)内递增,在(a,e)内递减,∴∀x∈(1,e),f(x)＞x⇔⇔e-1≤a≤e;3°当a≤1时h’(x)在(1,e)内为负,所以h’(x)在(1,e)内单调递减,令h(e)=a+1-e>0,解得a>e-1,与a≤1矛盾,舍去.综合1°2°3°,得a≥e-1.(3)∵由(1)知∀x∈(0,+∞),ln x≥1-,当且仅当x=1时取等号,当a=时,f(x)=ln x+1=ln+1,∴当k∈N*,k≥2时f(k)=ln+1＞(1-)+1=2-＞2-=2+2-2,∴f(2)+f(3)++f(n+1)＞(2+2-2)+(2+2-2)++(2+2-2)=2(n+1-).【解析】本题主要考查导数在研究函数中的应用.(1)要证明当时,,只要证明构造函数g(x)={[f(x)-1]-a(1-)}×=ln x-1+(x＞0),∴g’(x)== (x＞0)它在(0,1)内为负,在(1,+∞)内为正∴g(x)在(0,1)内递减,在(1,+∞)内递增∴[g(x)]min=g(1)=0∴∀x∈(0,+∞),g(x)={[f(x)-1]-a(1-)}×=ln x-1+≥0又∵a＞0∴f(x)-1≥a(1-)(2)构造函数h(x)=f(x)-x=a ln x+1-x(1≤x≤e),则原问题等价于h(x)>0恒成立时a的取值范围.将h(x)求导后对a进行分情况讨论即可.(3) 由(1)知∀x∈(0,+∞),ln x≥1-,当且仅当x=1时取等号当a=时,f(x)=ln x+1=ln+1,∴当k∈N*,k≥2时f(k)=ln+1＞(1-)+1=2-＞2-=2+2-2,∴f(2)+f(3)++f(n+1)＞(2+2-2)+(2+2-2)++(2+2-2)=2(n+1-).。
2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高二(下)期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共11小题，共55.0分）1.甲、乙、丙、丁四人站成一排照相，满足甲乙相邻且甲不在最左边的站法有A. 9种B. 10种C. 11种D. 12种2.对于给定的样本点所建立的模型A和模型B，它们的残差平方和分别是的值分别为，，下列说法正确的是A. 若，则，A的拟合效果更好B. 若，则，B的拟合效果更好C. 若，则，A的拟合效果更好D. 若，则，B的拟合效果更好3.圆，以为中点的弦所在的直线方程为A. B. C. D.4.设随机变量，若，则A. B. C. D.5.已知可导函数满足，则A. B. C. D. 26.已知关于x的方程有实根，则A. 2B. 4C. 3D. 97.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D.8.设，，且，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知双曲线上存在两点M，N关于直线对称，且线段MN中点在抛物线上，则实数m的值为A. B. 0或 C. D. 0或110.现有甲、乙、丙、丁、戌5人参加社区志愿者服务活动，每人从事团购、体温测量、进出人员信息登记、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．若甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A. 234B. 152C. 126D. 10811.如果一椭圆的两个焦点恰好是另一双曲线的两个焦点，则称它们为一对“共焦曲线”现有一对“共焦曲线”的焦点为，，M是它们的一个公共点，且，设它们的离心率分别为，，则A. 1B.C. 2D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）12.2020年华中师大一附中将迎来70周年校庆，学校安排5位男老师和3为女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取4位老师主持晚会，若抽取的4位老师是两男两女，则称主持人为“快乐搭档”在已经抽取一位女老师担任主持人的条件下，最后确定的主持人是“快乐搭档”的概率为______．13.设，B是圆F：上的动点，AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为______．14.展开式中项的系数为________．15.已知，若曲线在点处的切线的斜率为，则______；当时，与曲线和曲线都相切的直线的方程是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）16.设集合的所有元素的和为z，且．求的值；设x，，求事件“”的概率．17.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间单位：绘制了如下茎叶图：根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式根据中的列联表，能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：，k18.已知点，，C是抛物线上的动点．求周长的最小值；若C位于直线AB右下方，求面积的最大值．19.已知的二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为256．求展开式中有理项的个数；求展开式中系数最大的项．20.湖北省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到、、、、五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分．具体转换分数区间如表：等级A B C D E比例赋分区间而等比例转换法是通过公式计算：其中、分别表示原始分区间的最低分和最高分，、分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y表示原始分，T表示转换分，当原始分为、时，等级分分别为、，假设小明同学的生物考试成绩信息如表：考试科目考试成绩成绩等级原始分区间等级分区间生物75分B等级设小明转换后的等级成绩为T，根据公式得：，所以四舍五入取整，小明最终生物等级成绩为77分．已知某学校学生有60人选了政治，以期中考试成绩为原始成绩转换该学校选政治的学生的政治等级成绩，其中政治成绩获得A等级的学生原始成绩成绩90868180797875人数1211211从政治成绩获得等级的学生中任取名，求至少有2名同学的等级成绩不小于93分的概率；从政治成绩获得A等级的学生中任取4名，设4名学生中等级成绩不小于93分人数为，求的分布列和期望．21.已知圆O：的任意一条切线l与椭圆都有两个不同交点A，是坐标原点求圆O半径r的取值范围；是否存在圆O，使得恒成立？若存在，求出圆O的方程及的最大值；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：根据题意，将甲乙看成一个整体，与丙丁一起全排列，有种情况，其中甲乙相邻且甲在最左边的情况有种，则有种满足题意的排法；故选：B．根据题意，用间接法分析：先计算甲乙相邻的情况，再排除其中甲乙相邻且甲在最左边的情况，据此分析可得答案．本题考查排列、组合的简单应用，涉及相邻问题，属于基础题．2.答案：C解析：解：比较两个模型的拟合效果时，如果模型残差平方和越小，则相应的相关指数越大，该模型拟合的效果越好．故选：C．比较两个模型的拟合效果时，如果模型残差平方和越小，则相应的相关指数越大，该模型拟合的效果越好，即可得出结论．本题是基础题．考查残差平方和、相关指数．3.答案：D解析：解：的圆心为，则，以点为中点的弦所在直线方程为，即．故选D．求出，即可求出以点为中点的弦所在直线方程．本题考查轨迹方程，求出是关键．4.答案：D解析：解：随机变量，是该正态分布密度曲线的对称轴，．故选：D．利用正态分布密度曲线关于对称的特点，可知与关于对称，即可求出所求的概率．本题考查正态分布密度曲线的性质，要注意密度曲线对称性的应用．属于基础题．5.答案：A解析：解：，，令得，，，故选：A．利用导数的运算法则求出，令可得，计算可得答案．本题考查求函数的导函数值，先求出导函数，令导函数中的x用自变量的值代替．6.答案：B解析：解：由关于x的方程有实根，得，，解得．故选：B．把已知方程变形，利用实部为0且虚部为0列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础的计算题．7.答案：C解析：【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加即得组合体的体积．本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，其方法是分部来求，再求总体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．【解答】解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为由此知其体积为故组合体的体积为故选：C．8.答案：C解析：解：对于：，可得，解得．对于：，可得：，转换为：．由于，，所以．所以，所以，所以：当时，成立，由于，由，所以．故“”是“”成立的充要条件．故选：C．直接利用二项分布的应用，通过对数学期望和方差考察四个条件的应用．本题考查的知识要点：二项分布的应用，四个条件的应用，数学期望和方差的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.答案：B解析：解：设，，由题意可得，两式相减，可得，即，而两点M，N关于直线对称，所以即，所以，所以，MN的中点坐标为：，而线段MN中点在抛物线上，所以，所以可得：，解得，或，故MN的中点坐标或，由题意可得MN的中点在直线上，可得，或，解得：或，故选：B．设M，N的坐标，代入双曲线上，两式相减可得直线MN的斜率与横坐标之和，纵坐标之和的关系，由题意在中点在抛物线上，求出中点的横坐标之和及纵坐标，再由MN的中点在直线上求出m的值．本题考查双曲线的性质及点差法求斜率，和点关于线的对称的性质，属于中档题．10.答案：C解析：解：根据题意，分2种情况讨论：甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：种安排方案；甲乙不同时参加一项工作：若丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有种；若甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：种；此时有种安排方案；则共有种安排方案，故选：C．根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论：甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，涉及分类计数原理的应用，注意特殊元素的分析．11.答案：B解析：解：如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：，，，，设，，在中由余弦定理得，，化简得：，该式可变成：，，则．．故选：B．设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长，焦距由题意与双曲线的定义得到，，在中根据余弦定理可得到，再由基本不等式求最值．本题考查椭圆与双曲线的简单性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．12.答案：解析：解：学校安排5位男老师和3为女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取4位老师主持晚会，若抽取的4位老师是两男两女，则称主持人为“快乐搭档”．在已经抽取一位女老师担任主持人的条件下，基本事件总数为，最后确定的主持人是“快乐搭档”包含的基本事件个数，最后确定的主持人是“快乐搭档”的概率．故答案为：．基本事件总数为，最后确定的主持人是“快乐搭档”包含的基本事件个数，由此能求出最后确定的主持人是“快乐搭档”的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.答案：解析：解：由圆F：，得圆心，半径等于4，的垂直平分线交BF于P，，半径，故点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，且，，，则动点P的轨迹方程为．故答案为：．利用椭圆的定义判断点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，求出a、b的值，即得椭圆的方程．本题考查用定义法求点的轨迹方程，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14.答案：解析：【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．先把三项式写成二项式，求得二项式展开式的通项公式，再求一次二项式的展开式的通项公式，令x 的幂指数等于3，求得r、m的值，即可求得项的系数．【解答】解：的展开式的通项公式为．对于，通项公式为，令，根据，r、m为自然数，求得，或．展开式中项的系数为．故答案为．15.答案：解析：解：，令，代入得，．时，，令．设的切点为：，．所以切线为：，即设的切点为：，．所以切线为，即由题意知：解得，．故公切线方程为．先求导数，令时的导数为，可求出a的值；分别设切点，求出切线方程，然后构造方程组即可．本题考查导数的几何意义和公切线的求法．注意公切线最后解方程时的整体代入求解．属于基础题．16.答案：解：由题意，，，，即．；，，，，当，；，；，；，时，，则事件“”的概率．解析：由已知列式求得．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解；把代入化简M，再由古典概型概率公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查古典概型概率的求法，是中档题．17.答案：解：根据茎叶图中的数据知，第一种生产方式的工作时间主要集中在之间，第二种生产方式的工作时间主要集中在之间，所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为；由此填写列联表如下：超过m不超过m总计第一种生产方式15520第二种生产方式51520总计202040根据中的列联表，计算，能有的把握认为两种生产方式的效率有差异．解析：本题考查了茎叶图、中位数、列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论．18.答案：解：由抛物线的方程可得焦点F坐标，与A重合，准线方程为：所以的周长为：，过C作CM垂直于准线于D，则，所以周长为：，当B，C，D在一条直线上时，周长最小，过B作准线的垂线交抛物线于M，交准线于D，这时M与C重合，而，所以周长的最小值为，直线AB所在的直线方程为：，即，设过C与直线AB平行，且与抛物线相切时C到直线AB的距离最大，设过C的切线方程为：，由题意，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，则，解得，所以过C的切线方程为：，所以两条平行线间的距离，即C到直线AB的距离为，所以，所以三角形ABC的最大面积为1．解析：由抛物线的方程可得A为抛物线的焦点，由抛物线的性质可得C到A的距离等于到准线的距离，过C作准线的垂线，要使三角形ABC的周长最小，则过B作准线的垂线，则最小周长为AB与B到准线之和；要使三角形ABC的面积最大，则C在平行与直线AB且与抛物线相切的直线上，设切线方程，与抛物线联立由判别式为0，求出过C的切线方程，两条平行线的距离为C到直线AB的距离，再由面积公式可得面积的最大值．本题考查抛物线的性质及三角形周长的最小值和面积的最大值满足的条件，考查了计算能力，属于中档题．19.答案：解：易知，展开式各二项式系数的和为，解得．令，则展开式中各项系数之和为，所以或．所以展开式的通项为，，1，2，，8．所以当，4，8时，该项为有理项，共有3项．由知，第项的系数为，当时，易知系数最大项即为二项式系数最大项，为．当时，系数最大项应该，2，4，6，8时取得．设第项的系数最大，则，k的可能取值为0，2，4，6，8．即：，解得时系数最大．即最大项为．解析：根据二项展开式的二项式系数之和为256，令，即可求出n的值；各项系数的和，只需令即可求出a的值．利用通项，令x的指数为整数，即可求出所有的有理项；分和两种情况考虑：时，系数即为二项式系数，问题易解；时，易知奇数项系数为正，故，2，4，6，8时为正，根据通项写出第、项的系数，构造不等式，即可求出系数最大项．本题考查二项式定理的内容及其性质，注意系数与二项式系数的区别以及赋值法的应用．属于中档题．20.答案：解：设等级分93分对应的原始分为X，由题意得：，解得，所以，A等级的学生中，等级分不小于93分的有3人．设事件“至少有两名学生等级分不小于93分”，，，故．由题意的可能取值为0，1，2，3．，，，．故的分布列为：P 0 1 2 3故期望．故的期望为．解析：先根据等级分计算公式将等级分93分换算成原始分，从而确定等级分不小于93分的人数，再根据古典概型概率的计算方法求解；由题意，这是一个超几何分布问题，可根据中的结果，按照超几何分布的规律，来计算的分布列及期望．本题考查古典概型概率的计算、离散型随机变量的分布列和期望的计算方法．同时考查学生数学建模、数据分析、数学运算及逻辑推理等数学核心素养．属于中档题．21.答案：解：要使圆O：的任意一条切线l与椭圆都有两个不同交点A，是坐标原点则圆O必在椭圆的内部，所以圆的半径满足；当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为：，设，，联立切线与椭圆的方程可得，整理可得，所以，，，因为，所以，即，可得，又因为直线与圆O相切，所以，即，此时圆的方程为，当切线的斜率不存在时，切线方程为，代入椭圆中可得交点，或，，满足条件，所以圆的方程为：，当切线的斜率存在且不为0时，，当且仅当时取等号，当切线的斜率不存在或等于0时，，所以；因为，所以，所以，所以存在圆满足条件，．解析：由题意要使圆O：的任意一条切线l与椭圆都有两个不同交点A，是坐标原点则圆O必在椭圆的内部，可得圆的半径的取值范围；分圆的切线的斜率存在和不存在两种情况讨论，假设斜率存在时，设切线的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，再由可得参数的关系，化简可得半径的值，再由可得，可得其最大值．本题考查直线的方程，圆的方程和数量积的应用及直线与椭圆的综合，属于中难题．。
华中师大一附中2019—2020学年度下学期高二期中考试数学试卷答案
一、选择题： BADDA BDCBC BC
二、填空题：13． 4 ； 7
14． y2 x2 1； 43
15． 210 ；
16． 1； y x （第一空 2 分，第二空 3 分）
三、解答题：
17．解：（1）因为集合 M ｛1 i,1 i, 2 i, 2 2ai,3 ai｝，所以 z=9 (a 1)i ，
1 2
h |
AB
|
1 2
2
2 1，
即 ABC 面积最大值为 1．
…………12 分
20．.解：（1）（ x + a ）n 的展开式各二项式系数的和为 2n ，各项系数的和为（1+a）n ， 4x
由已知得 2n =256，n 8 ，此时（ x + a ）n 展开式的通项为： 4x
163k
Tk1 akC8k x 4 ，k 0,1, 2, ,8 ，
x 75 y 86
15
15
根据成绩统计表显示满足 x 82.5 的同学只有 3 人，获得 A 等级的考生有 9 人，
故从政治成绩获得 A 等级的学生中任取 3 名，至少有 2 名同学的等级成绩不小于 93 分的
概率为 P
C32C61 C33 C93
19 84
．
…………5 分
（2）由题意，等级成绩不小于 93 分人数为 3 人，获得 A 等级的考生有 9 人， 的可能取
21 14 21 42 3
…………12 分
22．解：（1）当 0 r 2 时，圆 O 在椭圆内部，切点在椭圆内，圆的每一条切线都过椭
圆内部的点，切线与椭圆总有两个不同交点，适合；
华师一附中2020年高二数学下学期期中试题含答案
华中师大一附中2019—2020学年度下学期高二期中考试数 学 试 题考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：孟昭奎 审题人：吴巨龙一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡相应位置上）1．甲、乙、丙、丁四人站成一排照相，满足甲乙相邻且甲不在最左边的站法有 A ．9种 B ．10种 C ．11种 D ．12种 2．对于给定的样本点所建立的回归模型1f 和模型2f ，它们的残差平方和分别是1a 、2a ，相关指数2R 的值分别是1b 、2b ，下列说法正确的是 A ．若12<a a ，则12>b b ，1f 的拟合效果更好 B ．若12<a a ，则12>b b ，2f 的拟合效果更好 C ．若12<a a ，则12<b b ，1f 的拟合效果更好 D ．若12<a a ，则12<b b ，2f 的拟合效果更好3．圆229x y +=的以(2,1)M 为中点的弦所在直线方程为A ．240x y +-=B ．20x y -=C ．230x y --=D ．250x y +-= 4．设随机变量2~(3,)X N σ，若()0.3P X m >=，则(6)P X m ≥-= A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.7 5．已知可导函数()f x 满足()2(1)ln 1f x xf x '=+-，则(1)f = A ．3-B ．2-C ．1-D ．26．已知关于x 的方程2(2)10()x k i x ki k R ++++=∈有实根，则2k = A ．2 B ．4 C ．3 D ．97．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A．2π+ B．4π+ C．43π+ D．23π+8．设1~(10,)B p ξ，2~(10,)B q ξ，且14pq >，则“12()E E ξξ>()”是“12()()D D ξξ<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知双曲线2212y x -=上存在两点,M N 关于直线0x y m -+=对称，且线段MN 中点在抛物线24y x =上，则实数m 的值为A ．3-B ．0或3-C ．4-D ．0或110．现有甲、乙、丙、丁、戌5人参加社区志愿者服务活动，每人从事团购、体温测量、进出人员信息登记、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．若甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A ．234B ．152C ．126D ．108 11．如果一椭圆的两个焦点恰好是另一双曲线的的两个焦点，则称它们为一对“共焦曲线”．现有一对“共焦曲线”的焦点为12,F F ，M 是它们的一个公共点，且1260F MF ∠=，设它们的离心率分别为12e e 、，则12e e ⋅=min（）A ．1B ．C D 12．网课期间，高二年级吴巨龙、王雪冰等八位数学老师为同学们讲授了计数原理、随机变量及其分布、统计案例、复数、三视图、导数及其应用等章节内容．在师生共同努力下，我们顺利完成教学任务，达到教学目标．下列名单中，按老师们首次讲课．．．．的先后顺序排列正确的是A ．吴巨龙、王雪冰、余文抒、秦 俭B ．王雪冰、吴巨龙、曹 轩、田 甜C ．秦 俭、余文抒、江 河、于 龙D ．江 河、曹 轩、于 龙、田 甜二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置上） 13．2020年华中师大一附中将迎来70周年校庆，学校安排5位男老师和3为女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取4位老师主持晚会，若抽取的4位老师是两男两女，则称主持人为“快乐搭档”．在已经抽取一位女老师担任主持人的条件下，最后确定的主持人是“快乐搭档”的概率为 ．14．已知点(0,1)A ，点B 是圆22:(1)16C x y ++=上的动点，线段AB 的垂直平分线交线段BC 于点P ，则动点P 的轨迹方程是 ． 15．210(1)x x -+展开式中3x 的系数为 ．16．已知()ln(1)sin 2f x x a x =++，若曲线()y f x =在点(0,0)处的切线的斜率为1-，则a = ；当0a =时，与曲线ln 1y x =+和曲线()y f x =都相切的直线的方程是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把答案填在答题卡相应位置上） 17．(本小题满分10分)设集合2{12223}()1M i i ai ai a R i =+-+-∈+，，，，的所有元素的和为z ，且=z z ． （1）求33||1a i i ai-++的值； （2）设,x y M ∈（x y ≠），求事件“xy R ∈”的概率．18．（本小题满分10分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：（1）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m（2附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，19．（本小题满分12分）已知点(0,1),(1,2)A B ，C 是抛物线24x y =上的动点． （1）求ABC ∆周长的最小值；（2）若C 位于直线AB 右下方，求ABC ∆面积的最大值．20．（本小题满分12分）已知n的二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为256． （1）求展开式中有理项的个数； （2）求展开式中系数最大的项．21．（本小题满分12分）湖北省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3+1+2”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法．．．．．．分别转换到[86，100]、[71，85]、[56，70]、[41，55]、[30，40]五个分数区间，得到考生的等而等比例转换法．．．．．．是通过公式计算: 2211Y Y T T =--． 其中1Y 、2Y 分别表示原始分区间的最低分和最高分，1T 、2T 分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y 表示原始分，T 表示转换分，当原始分为1Y 、2Y 时，等级分分别为1T 、2T ，假设小明同学的生物考试成绩信息如下表：设小明转换后的等级成绩为T ，根据公式得：756971T =--，所以76.677T =≈(四舍五入取整)，小明最终生物等级成绩为77分．已知某学校学生有60人选了政治，以期中考试成绩为原始成绩转换该学校选政治的学（193分的概率；（2）从政治成绩获得A 等级的学生中任取4名，设4名学生中等级成绩不小于93分人数为ξ，求ξ的分布列和期望．22．（本小题满分14分）已知圆222:O x y r +=的任意一条切线l 与椭圆22:1124x y M +=都有两个不同交点A ，B （O 是坐标原点）．（1）求圆O 半径r 的取值范围； （2）是否存在圆O ，使得=0OA OB ⋅恒成立？ 若存在，求出圆O 的方程及OA OB 的最大值；若不存在，说明理由．华中师大一附中2019—2020学年度上学期高二期中考试数学试题参考答案与评分标准一、选择题：BADDA BDCBC BC二、填空题：13．47； 14．22143y x +=； 15．210-；16．1-；y x =（第一空2分，第二空3分）三、解答题：17．解：（1）因为集合1,1,2,22,3M i i i ai ai =-+-+-｛｝，所以=9(1)z a i +-，,z z z R =∴∈，10a ∴-=，即1a =， ……………2分333(3)(1)|||||||13|112a i i i i i i i i ai i ----∴+=-=-=-=++ ………………5分 （2）由（1）得，1,1,2,22,3M i i i i i =-+-+-｛｝，从5个元素中取出两个元素方法有2510C =种，其中乘积为实数的为(1)(1),(1)(22)i i i i -+-+，共有2种情形，所以21()105P xy R ∈==． ………………10分 18．解：（1）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后， 排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为7981802m +==；……2分5分 （2）根据（1）中的列联表，可得2K 的观测值：22()40(151555)10 6.635()()()()20202020n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异． ………………10分 19．解：（1）过C 作抛物线准线:1l y =-的垂线，垂足为H ，(0,1)A 为焦点，||||CA CH ∴=，又||AB =,,B C H ∴共线时，ABC ∆周长最小，min (||||)3BC CH +=，ABC ∴∆周长最小值为3+ ………………6分（2）作与直线:+10AB x y -=平行的直线l ，由图可知，当l 与抛物线相切时，切点C 使得ABC ∆面积最大，此时C 到直线AB 的距离就是AB 边上的高，设切点00(,)C x y ，由24x y =得：02011=|=142x x y x y x ='∴=，，即0=2x ，所以切点C 的坐标为(2,1)，所以点C 到AB 的距离为h ==max 11()||122ABC S h AB ∆∴=⋅⋅==，即ABC ∆面积最大值为1． …………12分20．.解：（1）n 的展开式各二项式系数的和为2n ，各项系数的和为+na （1），由已知得2n=256，8n ∴=，此时n展开式的通项为： 1634180,1,2,,8kkk k T a C xk -+==，，当0,4,8k =时，该项为有理项，所以有理项的个数为3； ………………5分 （2）由8+=256a （1），得1a =或3a =-， ………………7分当=1a 时，展开式通项为1634180,1,2,,8k kk T C xk -+==，，所以二项式系数最大时系数最大，即第5项系数最大，即系数最大的项为45870T C x x ==； ……………9分当=3a -时，16341830,1,2,,8k kk k T C x k -+==（-），，展开式系数最大的项是奇数项，其中51422213579=252=5670=20412=6561T x T x T x T x T x --=，，，，，所以展开式中系数最大的项为第7项，即系数最大的项为127=20412T x -． ……………11分综合得，所求系数最大的项为70x 或1220412x -． ……………12分方法二：=3a -时，展开式中奇数项系数为正，令8228(3)1(3)k kk k C C --⋅-≥⋅-，2,4,6,8k =，化简得910(9)1(1)k k k k --≥-（），经计算，仅当k = 2，4，6时不等式成立，即7T 的系数>5T 的系数>3T 的系数，所以展开式中系数最大的项为第7项，127=20412T x-．……12分21．解：（1）设政治成绩获得A 等级的学生原始成绩为x ，等级成绩为y ，由转换公式得：901007586x y x y --=--，即1424015x y +=，142409382.515x x +∴≥⇒≥． …………2分根据成绩统计表显示满足82.5x ≥的同学只有3人，获得A 等级的考生有9人，故从政治成绩获得A 等级的学生中任取3名，至少有2名同学的等级成绩不小于93分的概率为213363391984C C C P C +==． …………5分 （2）由题意，等级成绩不小于93分人数为3人，获得A 等级的考生有9人，ξ的可能取值为0，1，2，3，则：0436495(0)42C C P C ξ===，13364910(1)21C C P C ξ===， 2236495(2)14C C P C ξ===，3136491(3)21C C P C ξ===， …………9分所以ξ的分布列为：…………10分则ξ的期望为：1051564()23211421423E ξ=+⋅+⋅==． …………12分 22．解：（1）当02r <<时，圆O 在椭圆内部，切点在椭圆内，圆的每一条切线都过椭圆内部的点，切线与椭圆总有两个不同交点，适合；当2r ≥时，圆的切线y r =和y r =-均与椭圆最多只有一个公共点，不适合， 所以r 的取值范围是(0,2)． ………………4分（2）当圆的切线的斜率存在时，设圆的切线为y kx m =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由221124x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得：222(13)63120k x kmx m +++-=， 则21212226312,1313km m x x x x k k --+==++，221212212()()13m k y y kx m kx m k -∴=++=+，由=0OA OB ⋅得：12120x x y y +=，即22241212013m k k --=+，223(1)(*)m k ∴=+ 又由y kx m =+与O相切得：=r ，即：2221m r k =+， 把（*）代入此式得23r =，此时圆O 的方程为223x y +=； ………………9分当切线斜率不存在时，上述圆的切线为x =x =为((A B A B 或，也满足=0OA OB ⋅， 所以满足条件的圆O 存在，其方程为223x y +=． ………………10分 当切线斜率存在且不等于0时，因为||AB ====4=≤，当且仅当213k =时取等号； …12分 当切线斜率不存在或等于0时，||AB=，所以max ||4AB =． …13分 因为OA OB ⊥，所以OA OB =||rAB |AB =，故max OA OB=．…14分（方法二：(OA OB x=====（命题人 孟昭奎）。
2019-2020学年武汉市华中师大一附中高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年武汉市华中师大一附中高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共11小题，共55.0分）1.将4个不同的球放入3个不同的盒中，每个盒内至少有1个球，则不同的放法种数为()A. 24B. 36C. 48D. 962.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的是()A. l1和l2必定平行B. l1与l2必定重合C. l1和l2有交点(s,t)D. l1与l2相交，但交点不一定是(s,t)3.已知点M(√2,1)，点N在圆O：x2+y2=1上，则∠OMN的最大值为()A. π2B. π3C. π4D. π64.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,4)，从中随机抽取一件，其长度误差落在(2,4)内的概率为()附：若随机变量ξ～N(μ,σ2)，则：P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6827P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9545P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)=0.9973A. 0.0456B. 0.1359C. 0.2781D. 0.31745.下列结论中正确的个数为()①y=ln2，则y′=12；②y=1x，则y′|x=3=−227；③y=2x，则y′=2x ln2；④y=log2x，则y′=−1xln2．A. 0B. 1C. 2D. 36.在复平面xOy内，若A(2,−1)，B(0,3)，则▱OACB中，点C对应的复数为()A. 2+2iB. 2−2iC. 1+iD. 1−i7. 某几何体的三视图如图所示，则它的直观图是( )A. 圆柱B. 圆锥C. 圆台D. 球8. 已知函数f(x)={|x +1x |(x ≠0)2(x =0)，若关于x 的方程f 2(x)−(a +2)f(x)+2a =0有三个不同实数解的充要条件是( )A. a =2B. a >2C. a <0D. a ≤29. 已知M(x 0,y 0)(x 0、y 0>0)是双曲线C ：x 22−y 2=1上的一点，F 1、F 2是C 的两个焦点，若∠F 1MF 2为钝角，则y 0的取值范围是( )A. (0,√36) B. (0,2√23) C. (0,√33) D. (0,2√33) 10. 将甲，乙等5位同学分别保送到北 京大学，四川大学，浙江大学这3所大学就读，则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为( )种A. 150B. 180C. 240D. 54011. 已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 是C 上一点，满足PF 1⊥F 1F 2，且|PF 2|=|PF 1|，则C 的离心率为( )A. √22B. √2−12C. 2−√2D. √2−1二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）12. 在标号为0，1，2的三张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为奇数的概率是______．13. 已知恒过定点(1,1)的圆C 截直线x =−1所得弦长为2，则圆心C 的轨迹方程为______ ． 14. 二项式(x −1x 2)6展开式中的常数项为______ ． 三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）15. 如图，直线l 是曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线，则直线l 的方程是 (1) ；f(2)+f′(2)的值为 (2) ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）16.一个口袋中有红球3个，白球4个．(Ⅰ)从中不放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，求摸2次恰好第2次中奖的概率；(Ⅱ)每次同时摸2个，并放回，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，连续摸4次，求中奖次数X的数学期望E(X)．17.为试验某英语教学方法的效果，某学校对中、乙两个班分别用两种不同的方法进行英语教学，甲班用原有的方法，乙班用新的方法，经过一段时间的教学，在两个班里各随机挑选了25名学生进行测试，测试成绩如下．(1)分别估计甲、乙两班英语成绩的合格率；(2)填写下面的列联表，根据列联表判断是否有95%的把握认为这种新的教学方法比原来的方法更有效？成绩小于60 成绩大于等于60甲班(原方法) 乙班(新方法)附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．P(K 2≥k) 0.050 0.010 0.00 k 3.8416363510.82818. 在平面直角坐标系xoy 中，直线{x =x 0+tcosαy =tsinα，(t 为参数)与抛物线y 2=2px(p >0)相交于横坐标分别为x 1，x 2的A ，B 两点(1)求证：x 02=x 1x 2；(2)若OA ⊥OB ，求x 0的值．19. 已知f(x)=(2x +1)m +(6x +1)n (m,n ∈N)的展开式中含x 的项的系数为24，求展开式中含x 2项的系数的最小值．20. 某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，如表记录了A ，B ，C ，D 四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为a ，b ．甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记ξ为甲同学最终被招募的项目个数，已知P(ξ=0)=140，P(ξ=4)=110．(Ⅰ)求甲同学至多获得三个项目招募的概率； (Ⅱ)求a ，b 的值；(Ⅲ)假设有十名报了项目A 的志愿者(不包含甲)调整到项目D ，试判断Eξ如何变化(结论不要求证明)．21.若F1，F2是椭圆C：y29+x2m=1(0<m<9)的两个焦点，圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过点(0,√5)的直线l与椭圆C交于两点A、B，以AB为直径的圆经过点(0,−√5)，求直线l的方程．【答案与解析】1.答案：B解析：试题分析：将4个不同的球分为三部分有种，然后放在3个不同的盒子有种方法，根据分步原理可知，不同的放法种数为，故选B考点：本题考查了排列组合的综合运用点评：对于这类问题，必须遵循先分组后排列，属基础题2.答案：C解析：解：∵两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，∴两组数据的样本中心点是(s,t)∵回归直线经过样本的中心点，∴l1和l2都过(s,t)故选C．由题意知，两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，所以两组数据的样本中心点是(s,t)，回归直线经过样本的中心点，得到直线l1和l2都过(s,t)．本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．3.答案：D解析：解：由题意，直线MN与圆O相切时，∠OMN最大，，由于OM=√3，r=1，∴tan∠OMN=√33∴∠OMN的最大值为π．6故选：D．由题意，直线MN与圆O相切时，∠OMN最大，利用三角函数可得结论．本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，半径基础．解析：解：由题意，μ=0，σ=2．则P(−2<ξ<2)=0.6827，P(−4<ξ<4)=0.9545， ∴P(2<ξ<4)=12(0.9545−0.6827)=0.1359． 故选：B ．由题意P(−2<ξ<2)=0.6827，P(−4<ξ<4)=0.9545，可得P(2<ξ<4)=12(0.9545−0.6827)，则答案可求．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，是基础题．5.答案：C解析：本题主要考查函数的导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，属于基础题． 根据函数的导数公式求导即可． 解：①y =ln2，则y′=0；②y =1x 2，则y′=−2x 3，故y ′|x=3=−227； ③y =2x ，则y ′=2x ln2； ④y =log 2x ，则．故②③正确， 故选C ．6.答案：A解析：解：如图，设C(x,y)， ∵O(0,0)，A(2,−1)，B(0,3)， ∴OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y +1)， 由题意可得OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即{x −2=0y +1=3，解得x =y =2． ∴复数z =2+2i ．设C(x,y)，由O(0,0)，A(2,−1)，B(0,3)，可得OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合OACB 为平行四边形列式求得复数z ． 本题考查复数的性质和应用，是基础题．7.答案：A解析：本题考查的知识点是由三视图还原实物图，如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N 棱锥(N 值由另外一个视图的边数确定)；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N 棱柱(N 值由另外一个视图的边数确定)；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N 棱柱(N 值由另外一个视图的边数确定)；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．根据已知的三视图，结合三视图中有两个三角形即为锥体，有两个矩形即为柱体，有两个梯形即为台体，将几何体分解为简单的几何体分析后，即可得到答案． 解：∵该几何体的正视图和侧视图都是长方形， 俯视图是圆，∴该几何体的直观图是圆柱． 故选A ．8.答案：D解析：解：∵f 2(x)−(a +2)f(x)+2a =0即(f(x)−2)(f(x)−a)=0有三个不同实数解 ∴f(x)=2或f(x)=a 有三个不同实数解． 当x ≠0时，f(x)=|x +1x |≥2，由对勾函数单调性可知f(x)在(−∞,−1)，(0,1)上单减，在(−1,0)，(1,+∞)上单增．作出图象如下由图分析可知a≤2故选：D．本题将方程f2(x)−(a+2)f(x)+2a=0的解转化为f(x)的解的问题，结合分段函数的图象求解．本题考查了转化思想和数形结合思想，需要学生具备较好的逻辑分析能力．9.答案：C解析：本题考查双曲线的方程和运用，考查联立圆的方程和双曲线方程求交点，以及运算能力和推理能力，属于中档题．求得双曲线的a，b，c，考虑∠F1MF2为直角，即M在以F1F2为直径的圆上，求得圆方程，与双曲线的方程联立，求得交点M的坐标，即可得到所求y0的取值范围．−y2=1的a=√2，b=1，解：双曲线C：x22可得c=√a2+b2=√3，考虑∠F1MF2为直角，即M在以F1F2为直径的圆上，可得圆方程为x2+y2=c2=3，与双曲线方程x2−2y2=2联立，可得x 2=83，y 2=13，由x 0、y 0>0得 若y M =√33，可得∠F 1MF 2为直角，显然若M 在圆x 2+y 2=c 2=3内， 可得∠F 1MF 2为钝角， 即有y 0的取值范围是(0,√33).故选：C ．10.答案：A解析：本题考查分类与分步计数原理及排列组合的综合应用，由于每所大学至少保送一人，故可以分类来解，当5名学生分成2，2，1时，共有种，当5名学生分成3，1，1时，共有种，根据分类计数原理得到结果．解：把5名学生分成2，2，1或3，1，1两种形式， 当5名学生分成2，2，1时，共有=90种结果， 当5名学生分成3，1，1时，共有=60种结果，∴根据分类计数原理知共有90+60=150， 故不同保送的方法数为150种． 故选A ．11.答案：D解析：解：F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a >b >0)的左、右焦点，P 是C 上一点， 满足PF 2⊥F 1F 2，且|PF 2|=|F 1F 2|，所以|PF 1|=2√2c ，|PF 2|+|PF 1|=2√2c +2c =2a ，所以椭圆的离心率为e =ca =√2−1． 故选：D ．利用椭圆的定义与性质，转化求解椭圆的离心率即可．本题考查了与椭圆定义与性质的应用，考查了数学转化思想方法，是中档题．12.答案：23解析：根据题意可得：所有的基本事件有3个，再计算出符合条件的事件数为2个，进而结合古典概率的计算公式得到答案．本题主要考查古典概率模型及其计算公式，即如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相，此题属于基础题．同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn解：根据题意可得此概率模型是古典概率模型，从3张卡片中随机抽取2张共有的取法有(0,1),(1,2),(0,2)，3种。
湖北省华中师范大学第一附属中学2019_2020学年高二数学上学期期中检测试题(含解析)
湖北省华中师范大学第一附属中学2019-2020学年高二数学上学期期中检测试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知命题p：，总有，则为A. ，使得B. ，使得C. ，总有D. ，总有2.一直平面内的定点A，B和动点P，则“动点P到两定点A，B的距离之和为为一定值”是动点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆的A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要3.直线l经过，两点，则直线l的倾斜角的取值范围是A. B. C. D.4.已知直线沿x轴负方向平移3个单位长度，再沿y正方向平移1个单位长度后，又回到原来位置，则斜率A. B. C. D. 35.已知椭圆的短轴长为4，上顶点A，左顶点B，焦点，分别是椭圆左右焦点，且的面积为，则椭圆的焦距为A. B. C. D.6.已知实数x，y满足，则的取值范围是A. B. C. D.7.过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，O为原点，则的外接圆方程是A. B.C. D.8.椭圆的左右焦点分别是、，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线恰好与圆相切于点P，则椭圆的离心率为A. B. C. D.9.唐代诗人李欣的是古从军行开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有缺的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从出发，河岸线所在直线方程，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为A. B. C. D.10.设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，点P与点A，B不重合，则的面积最大值是A. B. 5 C. D.11.设椭圆C：上的一点P到两条直线和的距离分别是，，则的最小值A. 5B. 6C. 7D. 812.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上一点，椭圆C内一点Q满足：点Q在的延长线上若，则该椭圆离心率的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知直线l过点，且原点到直线l的距离为1，则直线l方程为______．14.若椭圆的焦距为1，则______．15.已知O为坐标原点，椭圆T：的离心率为，一个顶点为，过椭圆上一点P的两条直线PA，PC分别与椭圆交于A，C，设PA，PC的中点分别为D，E，直线PA，PC的斜率分别是，，若直线OD，OE的斜率之和为2，则的最大值为______．16.已知直线与圆交于两点A，B，若期中O为坐标原点，则实数b的取值范围______三、解答题（本大题共6小题）17.已知：和：的交点为P．求经过点P且与直线：垂直的直线的方程直线经过点P与x轴、y轴交于A、B两点，且P为线段AB的中点，求的面积．18.已知P：方程表示圆心在第三象限的圆，q：方程表示焦点在y轴上的椭圆．若为真命题，求实数m的取值范围；若“”为假，“为真”，求m的取值范围．19.若直线与x轴，y轴的交点分别为A，B，圆C以线段AB为直径．Ⅰ求圆C的标准方程；Ⅱ若直线l过点，与圆C交于点M，N，且，求直线l的方程．20.如图，，是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，链接M，N两地之间的铁路是圆心在上的一段圆弧，若点M在O正北方向，且，点N到，距离分别为4km和5km．建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；若该城市的某中学拟在O点正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O 的距离大于4km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于，求该校址距离点O的最近距离．注：校址视为一个点221.已知椭圆C：的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为．求椭圆C的方程；如图所示，该椭圆C的左、右焦点，作两条平行的直线分别交椭圆于A，B，C，D四个点，试求平行四边形ABCD面积的最大值．22.已知的两个顶点为，，平面内P，Q同时满足；；．求顶点A的轨迹E的方程；过点作两条互相垂直的直线，，直线，被点A的轨迹E截得的弦分别为，，设弦，的中点分别为M，试问：直线MN是否恒过一个顶点？若过定点，请求出该顶点，若不过定点，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了全称命题的否定的写法，全称命题的否定是特称命题，属于基础题据全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定．【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，为，使得．故选B．2.【答案】A【解析】解：若点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和，且a为常数成立是定值．若动点P到两定点A，B的距离之和，且a为常数，当，此时的轨迹不是椭圆．“动点P到两定点A，B的距离之和为为一定值”是动点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆的必要不充分条件．故选：A．结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的定义是解决本题的关键．3.【答案】C【解析】解：由题意可得，直线的斜率，故，根据正切函数的性质可知，或，故选：C．由题意可得，直线的斜率，从而可得，然后结合正切函数的性质即可求解．本题主要考查了直线的倾斜角与斜率的关系，解题的关键是正切函数图象的应用．4.【答案】A【解析】解：直线沿x轴负方向平移3个单位长度，得，再沿y正方向平移1个单位长度，得，由题意可得，直线与直线重合，则，即．故选：A．由已知求得平移后图象对应的函数解析式，再由题意可得平移前后的图象重合，由此即可求得k值．本题考查函数的图象及图象变换，掌握函数图象的平移变换是关键，是基础题．5.【答案】C【解析】解：椭圆的短轴长为4，可得，上顶点A，左顶点B，焦点，分别是椭圆左右焦点，且的面积为，可得，即，所以，，可得，，椭圆的焦距为：．故选：C．利用椭圆的简单性质结合三角形的面积求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．46.【答案】C【解析】解：目标函数目标函目标函数，表示动点与定点连线斜率k的两倍加1，由图可知，当点P在点处时，k最大，最大值为：11；当点P在点处时，k最小，最小值为：；从而的取值范围是故选：C．画可行域明确目标函数几何意义，目标函数，表示动点与定点连线斜率k的2倍加过M做直线与可行域相交可计算出直线PM斜率，从而得出所求目标函数范围．本题考查线性规划问题，难点在于目标函数几何意义，考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想．7.【答案】A【解析】【分析】由题意知，，四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，外接圆就是四边形AOBP的外接圆．本题考查圆的标准方程的求法，把求外接圆方程转化为求四边形AOBP的外接圆方程，体现了转化的数学思想．【解答】解：由题意知，，，四边形AOBP有一组对角都等于，四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，的中点为，，四边形AOBP的外接圆的方程为，外接圆的方程为．故选：A8.【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于一般题．利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可．【解答】解：椭圆的左右焦点分别是、，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线恰好与圆相切于点P，可得，可得，所以，，解得．故选：A．9.【答案】B【解析】解：设点A 关于直线的对称点，，的中点为，故解得，，要使从点A 到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为，故选：B．先求出点A 关于直线的对称点，点到圆心的距离减去半径即为最短．本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了直线方程、三角形面积计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．动直线，令，解得，因此此直线过定点动直线，即，令，，可得此直线过定点分类讨论：时，两条直线分别为，，交点，可得时，两条直线的斜率分别为：，m，则，因此两条直线相互垂直．当时，的面积取得最大值．即可得出．【解答】解：动直线，令，解得，因此此直线过定点．动直线，即，令，，解得，，因此此直线过定点．时，两条直线分别为，，交点，．时，两条直线的斜率分别为：，m，则，因此两条直线相互垂直．当时，的面积取得最大值．由解得．．综上可得：的面积最大值是．故选C．11.【答案】D【解析】解：设，，由题意可得：．当且仅当时取等号．的最小值为8．故选：D．设，，由题意可得：，利用三角函数的单调性、和差公式即可得出结论．本题考查了椭圆的标准方程及其参数方程、三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：，点Q在以为直径，原点为圆心的圆上，点Q在椭圆的内部，以为直径的圆在椭圆内，；，，故．，不妨设，则，．，由题意可知：．6综上可得：．故选：A．由，可得点Q在以为直径，原点为圆心的圆上，由点Q在椭圆的内部，可得以为直径的圆在椭圆内，可得；于是由，不妨设，可得，即可得出e的范围．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】或【解析】解：直线l的斜率不存在时，可得直线l的方程为：，满足题意；直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为：，化为：．由题意可得：，解得：，直线l的方程为：，化为：，综上可得：直线l的方程为：或，故答案为：：或．对直线l的斜率分类讨论，利用点到直线的距离公式即可得出．本题考查了直线的方程、点到直线的距离公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】或【解析】解：椭圆的焦距为1，或，解得或．故答案为：或．利用椭圆的性质求解即可．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆的性质的合理运用．15.【答案】【解析】解：不妨设，根据题意，，，故椭圆的方程为，设，，据点差法，得，，，，由直线OD，OE的斜率之和为2，得，故，当且仅当取等号，则的最大值为，故答案为：利用点差法求出斜率关系，根据柯西不等式求出即可．考查点差法求斜率关系式，进而利用柯西不等式求最值，中档题．16.【答案】【解析】解：设AB中点为D，则，，，，．直线与圆交于不同的两点A、B，．，则．或．即实数b的取值范围是故答案为：利用平行四边形法则，借助于直线与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论．本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．17.【答案】解：联立，解得交点P的坐标为，与垂直，的斜率，的方程为，即；为AB的中点，已知，，即，．【解析】联立方程组求得P点坐标，再由两直线垂直与斜率的关系求得所求直线的斜率，再由直线方程点斜式求解；由题意可得A，B的坐标，再由直角三角形面积公式求解．本题考查直线的一般方程与直线垂直的关系，考查三角形面积的求法，是基础题．18.【答案】解：方程可化为；若P为真命题，则，解得；所以为真命题时，实数m的取值范围是；命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆，若q为真命题时，；由“”为假，“为真”，则p、q一真一假；当p真q假时，，即；当p假q真时，，即；综上知，实数m的取值范围是．【解析】求出命题P为真时m的取值范围，即可得出为真时m的取值范围；求出命题q为真时m的取值范围，利用“”为假，“为真”时p、q一真一假；从而求得实数m的取值范围．本题考查了圆的方程与椭圆的标准方程应用问题，也考查了简单的复合命题真假性判断问题，是基础题．19.【答案】解：Ⅰ令方程中的，得，令，得．点A，B的坐标分别为，．圆C的圆心是，半径是，得圆C的标准方程为；Ⅱ，圆C的半径为，圆心C到直线l的距离为．若直线l的斜率不存在，直线l的方程为，符合题意；若直线l的斜率存在，设其直线方程为，即．圆C的圆心到直线l的距离，解得．则直线l的方程为，即．综上，直线l的方程为或．8【解析】Ⅰ由直线方程求得A，B的坐标，进一步求出圆心坐标与半径，则圆C的标准方程可求；Ⅱ由题意可得圆心C到直线l的距离为若直线l的斜率不存在，直线l的方程为，符合题意；若直线l的斜率存在，设其直线方程为，整理为一般方程，由圆C的圆心到直线l的距离等于圆的半径求得k，则直线l的方程可求．本题考查圆的标准方程与几何性质，考查直线和圆的位置关系，是中档题．20.【答案】解：分别以、为x轴，y轴建立如图坐标系．据题意得，，，MN中点为，线段MN的垂直平分线方程为：，故圆心A的坐标为，半径．弧MN的方程为：设校址选在，对恒成立．即，对恒成立整理得：，对恒成立分令．，，在上为减函数．，解得，即校址选在距O最近6km的地方．【解析】建立坐标系，利用圆心在弦的垂直平分线上求圆心坐标，再求半径，进而写出圆的方程．据条件列出不等式，运用函数单调性解决恒成立问题．本题主要考查求点的轨迹方程的方法，函数的恒成立问题，利用二次函数在闭区间上的单调性求函数的值域，属于中档题．21.【答案】解：由题意，，则，即．又，，．椭圆C的方程为；由知，，且直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，，联立，消去x得：．得，．．令，则，．，且函数在上单调递减，当，即时，平行四边形ABCD面积的最大值为．【解析】由题意离心率可得，再结合面积求解a，b的值，则椭圆方程可求；由知，，且直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，联立直线方程与椭圆方程，把平行四边形ABCD的面积用三角形OAB的面积表示，然后利用换元法结合单调性求最值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法与函数的单调性求最值，是中档题．22.【答案】解：，为三角形ABC的重心，设，则，由，知Q是三角形ABC的外心，在x轴上，又，由，得，整理得．，B，C三点不共线，顶点A的轨迹方程为；由知，为A的轨迹E的右焦点，设，，由，得．则，，．由中点坐标公式得，同理可求得则当时，．直线MN的方程为．即．直线MN过定点【解析】由已知向量等式可知P为三角形ABC的重心，设，则，再由，知Q是三角形ABC的外心，结合得由列式求解顶点A的轨迹E的方程；设出直线的方程，与椭圆方程联立求得M的坐标，同理求得N的坐标，求得MN的斜率，写出直线方程的点斜式，整理后利用线系方程说明直线MN过定点本题考查圆锥曲线方程的求法，考查平面向量的应用，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．10。
湖北省武汉市华中师大一附属中学2019年高二数学文测试题含解析
湖北省武汉市华中师大一附属中学2019年高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知椭圆的焦点为F1、F2，P是椭圆上一个动点，延长F1P到点Q，使|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹为( )A.圆B.椭圆C.双曲线一支D.抛物线参考答案：A略2. 已知函数f(x)的导函数为，且，则（）A. 0B. 1C. 2D. 3参考答案：B【分析】根据题意求出导函数，令x=1，即可得解.【详解】由题：函数的导函数为，且，所以，令，解得.故选：B【点睛】此题考查根据导函数求参数的取值，关键在于熟练掌握导函数的公式和求导法则，根据法则进行计算求解.3. 已知与之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为．若某同学根据上表中前两组数据，和，求得的直线方程为，则以下结论正确的是（）A．B．C．D．参考答案：C略4. “，”是“双曲线的离心率为”的（）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充分不必要条件参考答案：D【分析】当时，计算可得离心率为，但是离心率为时，我们只能得到，故可得两者之间的条件关系.【详解】当时，双曲线化为标准方程是，其离心率是；但当双曲线的离心率为时，即的离心率为，则，得，所以不一定非要.故“”是“双曲线的离心率为”的充分不必要条件.故选D.【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.5. 下列函数中是奇函数的有几个（）①②③④A． B．C． D．参考答案：D6. 在数学归纳法的递推性证明中由假设时成立,推导时成立时增加的项数是（）A.1B.C.D.参考答案：D略7. 对于独立性检验，下列四种说法中错误的序号是①的值越大，说明两事件相关程度越大②的值越小，说明两事件相关程度越大③≤3.841时，有95%的把握说事件A与B无关④>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关A．①③ B．①④ C．②③D．②④参考答案：C8. 某校共有850名高二学生参加2017年上学期期中考试，为了了解这850名学生的数学成绩，决定从中抽取50名学生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，50名学生的数学成绩是（）A．总体B．样本的容量C．个体D．从总体中抽取的一个样本参考答案：D由抽样的基本知识得，“50名学生的数学成绩”是从总体中抽取的一个样本。
华师一附中2020年高二数学下学期独立作业(六)含答案
16. 已知函数 f x f 1 ex f 0 x2 x ，若存在实数 m 使得不等式 f m 2n2 n 成立，则实
e
2
数 n 的取值范围为______ ．
2/9
17．有限集合 P 中元素的个数记作 card(P) .已知 card(M ) 10 ， A M ， B M ， A B ， 且 card( A) 2 ， card(B) 3 .若集合Y 满足Y M ，且 A,B 都不是 Y 的子集，则集合Y 的
a2 b2
2
（1） u 1 z 1 a bi (1 a bi)(1 a bi) 1 a 2 b2 2bi b i ，故 u 为纯虚数．
1 z 1 a bi (1 a bi)(1 a bi) (1 a)2 b2
a 1
（2） u 2
2a
b2 (a 1)2
绩按照40,50,50,60,60,70,70,80 分组，得到的频率分布直方图.
频率/组距
频率/组距
0.04
0.03
0.035
0.02 0.015
0.01
成绩 40 50 60 70 80
成绩 40 50 60 70 80
图 1（高中）
图 2（初中）
（1）分别计算参加这次知识竞赛的两个学段的学生的平均成绩；
12．已知 a ， b R ，且 ex a x 1 b对 x R 恒成立，则 ab 的最大值是（ ）
A. 1 e3 2
B. 2 e3 2
C. 3 e3 2
D. e3
二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 5 分.
13．乒乓球比赛采用 7 局 4 胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完 5 局后仍不能 结束比赛的概率等于______________.