分数混合运算(培优)
分数混合运算(培优)
解题技巧：根据一个数比另一个数多几分之几（或少几分之几）可知：“比”字后面的量已知，即单位“1”已知，根据分数乘法的意义，这样的题计算时用乘法。
（1）先求出多的几分之几具体是多少，然后再用已知数加上多的部分。
（2）已知数是1倍，用1加上未知数比已知数多的几分之几，就可以求出未知数是已知数的几分之几。
例：一堆货物共有320吨，第一天运走它的41，第二天运走余下的31，还剩多少吨没有运走？解：方法一：320⨯（1-41）⨯（1-31）=320⨯43⨯32=160 （ 两个单位“1”：一堆货物和余下的货物） 方法二：320⨯【1-41-（1-41）⨯31】=320⨯21=160（单位“1”都是一堆货物） 练习：1、爸爸买回10块巧克力，给小红52，其余的留给小丁，留给小丁多少块？2、黄金周期间，北山公园第一天门票收入为8.4万元，第二天比第一天增加121，这两天的门票收入共多少万元？3、煤场有煤1200吨，第一天运走总数的31，第二天运走总数的41，两天一共运走多少吨？例 一根绳子80米，第一次用去全长的103，第二次用去全长一半，第二次比第一次多用了多少米？例 水果店里梨子比苹果少51，橘子比梨多61，苹果有150千克，橘子有多少千克？例 某商店有450米布，第一天卖出总数的92，第二天又卖出余下的71，这时还剩下多少米布没卖？ 练习：1、一台电视机现在售价2400元，比原来降低了51，原来每台售价多少元？2、小刚现在的体重是52千克，比原来增加了261，小刚原来体重多少千克？方程解决问题：例 小强2岁时，他的父亲32岁，小强的年龄是父亲的53的那一年，问他父亲当时多大岁数？解：设小强那年x岁，那么小强的年龄为53xX-53x=32-2练习：1、光明小学六年级有学生960人，比五年级人数少71，四年级人数比五年级人数多81，四年级人数有多少人？2、粮店运来大米和面粉共280袋，其中面粉的袋数比大米少94，运来的大米和面粉各有多少袋？附加题：一项工程，甲队单独完成需40天，若乙先做10天，余下的工程由甲、乙两队合作，又需20天完成。
五年级上册数学试题-奥数培优——分数的问题(含解析) 全国通用
小学五年级奥数培优——分数的问题【知识点梳理】1.分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。
2.分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。
【教学重难、点】一、分数与除法的关系，真分数和假分数1、分数与除法的关系：除法中的被除数相当于分数的分子，除数相等于分母。
2、真分数和假分数：①分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。
②分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于1或等于1。
③由整数部分和分数部分组成的分数叫做带分数。
2、假分数与带分数的互化：①把假分数化成带分数，用分子除以分母，所得商作整数部分，余数作分子，分母不变。
②把带分数化成假分数，用整数部分乘以分母加上分子作分子，分母不变。
二、分数的基本性质分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。
2、分数的大小比较：①同分母分数，分子大的分数就大，分子小的分数就小；②同分子分数，分母大的分数反而小，分母小的分数反而大。
③异分母分数，先化成同分母分数（分数单位相同），再进行比较。
（依据分数的基本性质进行变化）三、约分（最简分数）1、最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。
2、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
（并不是一定要把分数化成与它相等的最简分数才叫约分；但一般要约到最简分数为止）注意：分数加减法中，计算结果能约分的，一般要约分成最简分数。
五、分数和小数的互化：1、小数化分数：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几??，能约分的必须约成最简分数；2、分数化小数：用分子除以分母，除不尽的按要求保留几位小数。
（一般保留三位小数。
）3、分数和小数比较大小：一般把分数变成小数后比较更简便。
六、分数的加法和减法 1、真分数加减法（1）同分母分数加、减法（分母不变，分子相加减）（2）异分母分数加、减法（通分后再加减）（3）分数加减混合运算：同整数。
小学五六年级奥数培优——分数的问题(word解析版)
小学五六年级奥数培优——分数的问题【知识点梳理】1.分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。
2.分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。
【教学重难、点】一、分数与除法的关系，真分数和假分数1、分数与除法的关系：除法中的被除数相当于分数的分子，除数相等于分母。
2、真分数和假分数：①分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。
②分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于1或等于1。
③由整数部分和分数部分组成的分数叫做带分数。
2、假分数与带分数的互化：①把假分数化成带分数，用分子除以分母，所得商作整数部分，余数作分子，分母不变。
②把带分数化成假分数，用整数部分乘以分母加上分子作分子，分母不变。
二、分数的基本性质分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。
2、分数的大小比较：①同分母分数，分子大的分数就大，分子小的分数就小；②同分子分数，分母大的分数反而小，分母小的分数反而大。
③异分母分数，先化成同分母分数（分数单位相同），再进行比较。
（依据分数的基本性质进行变化）三、约分（最简分数）1、最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。
2、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
（并不是一定要把分数化成与它相等的最简分数才叫约分；但一般要约到最简分数为止）注意：分数加减法中，计算结果能约分的，一般要约分成最简分数。
五、分数和小数的互化：1、小数化分数：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几??，能约分的必须约成最简分数；2、分数化小数：用分子除以分母，除不尽的按要求保留几位小数。
（一般保留三位小数。
）3、分数和小数比较大小：一般把分数变成小数后比较更简便。
六、分数的加法和减法 1、真分数加减法（1）同分母分数加、减法（分母不变，分子相加减）（2）异分母分数加、减法（通分后再加减）（3）分数加减混合运算：同整数。
第二单元《分数混合运算》2024-2025学年北师大版数学六年级上册单元培优冲关检测卷(全解全析)
2024-2025学年北师大版数学六年级上册单元培优冲关检测卷第二单元《分数混合运算》时间：90分钟满分：100分难度系数：0.37（较难）一．慎重选择（共5小题，满分10分，每小题2分）1．（2分）（2024•江宁区）已知甲、乙、丙三个桶中分别有20升、18升、14升牛奶。
现进行如下操作：先将甲桶中35的牛奶倒入丙桶，再将乙桶中的23平均分给甲桶和丙桶，最后将丙桶中的516倒给甲桶。
这时，丙桶中还有 _____升牛奶。
()A．22 B．24 C．6【思路点拨】先算甲桶倒入丙桶的升数，用乘法计算；再求乙桶倒入丙桶的升数，最后再求丙桶还有的牛奶即可。
【规范解答】解：320125×=（升)211832××1122=×6=（升)1412632++=（升)532(1)16×−113216=×22=（升)答：丙桶中还有22升牛奶。
故选：A。
【考点评析】本题考查分数四则复合应用，本题抓住丙桶中的变化，是解答本题的关键。
2．（2分）（2024•郫都区校级模拟）有两根长短粗细不同的蚊香，短的一根可燃8小时，长的一根的可燃时间是短的一根的12，同时点燃两根蚊香，经过3小时，它们的长短正好相等，未点燃之前，短蚊香比长蚊香短()A．35B．67C．25D．45【思路点拨】根据题意，长的一根的可燃时间是1842×=（小时），根据3小时后两根蚊香的长短相等，求出原来蚊香的比，即可求出未点燃之前，短蚊香比长蚊香短的几分之几。
【规范解答】解：由题意可知：长蚊香的可燃时间是1842×=（小时）， 短蚊香的长度1(13)8×−×=长蚊香的长度1(13)4×−× 短蚊香的长度：长蚊香的长短11(13):(13)2:548=−×−×=所以短蚊香的长度比长蚊香短： (52)5−÷ 35=÷35= 答：未点燃之前，短蚊香比长蚊香短35。
苏科版 八年级数学下册尖子生培优必刷题 专题10.6分式的混合运算大题专练(重难点培优30题)(原卷
【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题10.6分式的混合运算大题专练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．(2023秋•苏州期末）化简：（1）a 2a−1−1a−1；（2）(m −3−7m+3)÷m 2−4m 2m+6．2．(2023•泉山区校级三模）（1）计算(π−3.14)0+(13)−2−(−2)3；（2）化简：(1a+1−1a 2−1)÷a−3a+1． 3．(2023春•六合区校级月考）计算．（1）4a 3b ⋅b 2a 3；（2）1−a−2a ÷a 2−4a 2+a． 4．(2023秋•崇川区校级月考）计算：（1）(π−3)0+(−13)−1−√(−2)2；（2）6a 6b 4÷3a 3b 4+a 2⋅（﹣5a ）；（3）(2y x )−2⋅xy x 2−xy 2xy 2÷2x ； （4）(a −1−2a−1a+1)÷a 2−4a+42+2a5．(2023春•宜兴市校级期中）计算（1）x 2x+2−x +2； （2）x 2−16x+4÷2x−84x ．6．(2023春•梁溪区校级期中）计算：（1）6xy 2÷2y 2x ；（2）2x−1x−1−1x−1； （3）x x 2−4−12x−4； （4）x−y x ÷（x −2xy−y 2x） 7．(2023•徐州）计算：（1）（﹣1）2022+|√3−3|﹣（13）﹣1+√9； （2）（1+2x ）÷x 2+4x+4x 2． 8．(2023春•溧阳市期中）计算：（1）a 2bc ⋅(−bc 2a )； （2）a−2a+3×2a+6a 2−4； （3）a 22a−4−2a−2； （4）(4x−2−x +2)÷(x−4x−2)． 9．(2023•兴化市开学）（1）计算：（√3）2﹣（π−√5）0−√27−|√3−2|；（2）化简：ba 2−b 2÷（1−a a+b ）． 10．(2023春•滨湖区校级期中）化简：（1）b 2−27a 3÷2b 9a ⋅3ab b 4； （2）4x 22x−3+93−2x ； （3）m 2m+2−m +2．11．(2023春•东海县期末）计算：（1）a 2bc ⋅(−bc 2a )； （2）a 22a−4−2a−2． 12．(2023春•丹阳市期末）化简：（1）2xx 2−4−1x−2；（2）(1−1a )÷a 2−2a+1a 2−1．13．(2023春•常州期末）计算：（1）8x 3÷32x 2； （2）a−c a−b −c−b b−a． 14．(2023春•溧阳市期末）化简：（1）（−m n 2）•n m； （2）a a−1÷（a 2a 2−1−a a+1）．15．(2023秋•环翠区校级月考）分式计算：（1）3x 2y ⋅512ab 2÷(−5a 4b )； （2）(−a 2bc )3⋅(−c 2a 2)2÷(−bc a )4； （3）a+31−a ÷a 2+3aa 2−2a+1； （4）(ab −b 2)÷a 2−b 2a+b． 16．(2023秋•张店区校级月考）分式的计算：（1）(1x−1−1x 2−1)÷x 2−x x 2−2x+1； （2）2x−6x−2÷(5x−2−x −2)．17．(2023春•南关区校级月考）计算：（1）x x 2−1⋅x+1x 2； （2）(a+b)2ab −a 2+b 2ab． 18．(2023秋•和平区校级期末）计算：（1）(−4m 3n 3t )2÷n mt（2）x 2−4x 2−4x+4÷x+2x+1−x x−219．(2023春•罗湖区校级期末）计算（1）3x (x−3)2−x 3−x （2）1x+1+1x−1−x 2+1x 2−1x −1x−120．(2023春•南阳月考）化简：（1）（a ﹣1−4a−1a+1）÷a 2−8a+16a+1； （2）（x+2x 2−2x −x−1x 2−4x+4）÷x−4x ． 21．(2023秋•青龙县期中）计算：（1）a 2a−b +b 2a−b −2ab a−b ；（2）（1−1a+1）÷a a 2+2a+1． 22．(2023春•沈北新区期末）化简：（1）（x 2﹣4y 2）÷2y+x xy •1x(2y−x)； （2）2x x 2−4−1x−2．23．(2023•九龙坡区校级开学）分式化简：（1）16−x 2x 2+4x+4÷x 2x+4⋅x+2x+4； （2）1a+1−3−aa 2−6a+9÷a 2+a a−3． 24．(2023秋•寻甸县期末）计算与化简（1）32m−n −2m−n(2m−n)2；（2）（a +2−5a−2）÷3−a 2a−4． 25．(2023秋•沂水县期末）化简：（1）x x−1+3x−11−x 2； （2）（2m m−1−m m+1）÷m m 2−1． 26．(2023秋•天津期末）计算：（1）（﹣3xy ）÷2y 23x •（y x）2； （2）（x x+y −2y x+y ）÷x−2y xy •（1x +1y ）． 27．(2023春•沙坪坝区校级月考）计算：（1）2y−x x−y +y y−x +x x−y ；28．(2023秋•沙坪坝区校级期末）计算：（1）（a +b ）2+a （a ﹣2b ）；（2）(1−x x+2)÷x 2−4x+4x 2−4． 29．(2023秋•荔湾区期末）计算：（1）a−1a−b −1+b b−a ；（2）（4−a 2a−1+a ）÷a 2−16a−1． 30．(2023秋•永年区期末）上课时老师在黑板上书写了一个分式的正确化简结果，随后用手掌盖住了一部分，形式如下： •y 2x 2−xy −y 2−x 2x 2−2xy+y 2=x x−y（1）聪明的你请求出盖住部分化简后的结果；（2）当x ＝2时，y 等于何值时，原分式的值为5．【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题10.6分式的混合运算大题专练（重难点培优30题） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．(2023秋•苏州期末）化简：（1）a 2a−1−1a−1；（2）(m −3−7m+3)÷m 2−4m 2m+6．【分析】（1）根据分式的减法法则进行计算，再化成最简分式即可；（2）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则进行计算即可．【解答】解：（1）原式=a 2−1a−1=(a+1)(a−1)a−1 ＝a +1；（2）原式＝[(m−3)(m+3)m+3−7m+3]•2(m+3)m(m−4) =m 2−9−7m+3•2(m+3)m(m−4)=(m+4)(m−4)m+3•2(m+3)m(m−4)=2(m+4)m=2m+8m ． 2．(2023•泉山区校级三模）（1）计算(π−3.14)0+(13)−2−(−2)3；（2）化简：(1a+1−1a 2−1)÷a−3a+1． 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂和有理数的乘方计算即可；（2）先算括号内的式子，再计算括号外的除法即可．【解答】解：（1）(π−3.14)0+(13)−2−(−2)3＝1+9﹣（﹣8）＝1+9+8＝18；（2）(1a+1−1a 2−1)÷a−3a+1 =a−1−1(a+1)(a−1)•a+1a−3=a−2(a−1)(a−3)=a−2a 2−4a+3． 3．(2023春•六合区校级月考）计算． （1）4a 3b ⋅b 2a 3；（2）1−a−2a ÷a 2−4a 2+a． 【分析】（1）根据分式的乘法运算即可求出答案．（2）根据分式的乘除运算以及加减运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）原式=4ab 6a 3b =23a 2． （2）原式=1−a−2a ×a 2+a a 2−4 =1−a−2a ×a(a+1)(a+2)(a−2)=1−a+1a+2=a+2a+2−a+1a+2=1a+2． 4．(2023秋•崇川区校级月考）计算：（1）(π−3)0+(−13)−1−√(−2)2；（2）6a 6b 4÷3a 3b 4+a 2⋅（﹣5a ）；（3）(2y x )−2⋅xy x 2−xy 2xy 2÷2x； （4）(a −1−2a−1a+1)÷a 2−4a+42+2a 【分析】（1）利用零指数幂，负指数幂和算术平方根的性质进行计算即可；（2）先利用整式的除法法则，乘法法则进行计算，然后再进行合并即可；（3）先分别利用负指数幂，分式的乘方，分式的乘法法则，除法法则进行计算，然后再进行减法运算；（4）先算括号内的减法，然后再将括号外分式的分子分母进行因式分解，将除法化为乘法再进行约分，最后化为最简分式即可．【解答】解：（1）(π−3)0+(−13)−1−√(−2)2＝1+（﹣3）﹣2＝﹣4；（2）6a 6b 4÷3a 3b 4+a 2⋅（﹣5a ）＝2a 3﹣5a 3＝﹣3a 3；（3）(2y x )−2⋅xy x 2−xy 2xy 2÷2x =x 24y 2⋅xy x 2−xy 2xy 2⋅x 2=x 4y −x 4y＝0；（4）(a −1−2a−1a+1)÷a 2−4a+42+2a=(a+1)(a−1)−(2a−1)a+1÷(a−2)22(a+1) =a(a−2)a+1⋅2(a+1)(a−2)2 =2a a−2． 5．(2023春•宜兴市校级期中）计算（1）x 2x+2−x +2； （2）x 2−16x+4÷2x−84x ．【分析】（1）先通分再加减即可；（2）先因式分解，再根据除法法则计算即可．【解答】解：（1）x 2x+2−x +2 =x 2x+2−x 2+2x x+2+2x+4x+2 =4x+2；（2）x 2−16x+4÷2x−84x =(x+4)(x−4)x+4•4x 2(x−4)＝2x ．6．(2023春•梁溪区校级期中）计算：（1）6xy 2÷2y 2x ； （2）2x−1x−1−1x−1； （3）x x 2−4−12x−4； （4）x−y x ÷（x −2xy−y 2x） 【分析】（1）把除法转为乘法，再约分即可；（2）利用分式的减法法则进行运算即可；（3）先通分，再进行运算即可；（4）先通分，把能分解的进行分解，除法转为乘法，再约分即可．【解答】解：（1）6xy 2÷2y 2x=6xy 2⋅x 2y 2 ＝3x 2；（2）2x−1x−1−1x−1 =2x−1−1x−1=2(x−1)x−1＝2；（3）x x 2−4−12x−4 =2x 2(x−2)(x+2)−x+22(x−2)(x+2) =x−22(x−2)(x+2)=12(x+2)=12x+4；（4）x−y x ÷（x −2xy−y 2x ） =x−y x ÷x 2−2xy+y 2x =x−y x ⋅x(x−y)2 =1x−y ．7．(2023•徐州）计算：（1）（﹣1）2022+|√3−3|﹣（13）﹣1+√9； （2）（1+2x ）÷x 2+4x+4x 2． 【分析】（1）根据有理数的乘方、绝对值和负整数指数幂可以解答本题；（2）先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．【解答】解：（1）（﹣1）2022+|√3−3|﹣（13）﹣1+√9 ＝1+3−√3−3+3＝4−√3；（2）（1+2x ）÷x 2+4x+4x 2=x+2x •x 2(x+2)2=x x+2．8．(2023春•溧阳市期中）计算：（1）a 2bc ⋅(−bc 2a )； （2）a−2a+3×2a+6a 2−4； （3）a 22a−4−2a−2；（4）(4x−2−x +2)÷(x−4x−2)．【分析】（1）根据分式的约分可以解答本题；（2）先对分式的分子分母分解因式，再约分即可；（3）先通分，然后再分解因式，最后约分即可；（4）先对括号内的式子通分，然后计算括号外的除法即可．【解答】解：（1）a 2bc ⋅(−bc 2a )=−a 2； （2）a−2a+3×2a+6a 2−4=a−2a+3•2(a+3)(a+2)(a−2) =2a+2；（3）a 22a−4−2a−2=a 2−42(a−2)=(a+2)(a−2)2(a−2)=a+22；（4）(4x−2−x +2)÷(x−4x−2) =4−(x−2)(x−2)x−2•x−2x−4=4−x 2+4x−4x−4=−x(x−4)x−4 ＝﹣x ．9．(2023•兴化市开学）（1）计算：（√3）2﹣（π−√5）0−√27−|√3−2|；（2）化简：ba 2−b 2÷（1−a a+b）． 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先利用异分母分式加减法计算括号里，再算括号外，即可解答．【解答】解：（1）原式＝3﹣1﹣3√3−2+√3＝﹣2√3；（2）原式=b (a+b)(a−b)÷(a+b−a a+b ) =b (a+b)(a−b)⋅a+b b=1a−b． 10．(2023春•滨湖区校级期中）化简： （1）b 2−27a 3÷2b 9a ⋅3ab b 4； （2）4x 22x−3+93−2x ； （3）m 2m+2−m +2．【分析】（1）先把除法转化为乘法，然后约分化简即可；（2）把第二个分母变形后根据同分母分式的加减法法则计算；（3）先通分，然后根据同分母分式的加减法法则计算．【解答】解：（1）原式=b 2−27a 3⋅9a 2b ⋅3ab b 4 =−12ab 2；（2）原式=4x 22x−3−92x−3=4x 2−92x−3=(2x−3)(2x+3)2x−3＝2x +3； （3）原式=m 2m+2−(m −2)=m 2m+2−m 2−4m+2=m 2−m 2+4m+2=4m+2． 11．(2023春•东海县期末）计算：（1）a 2bc ⋅(−bc 2a )； （2）a 22a−4−2a−2． 【分析】（1）根据分式的乘法运算即可求出答案．（2）根据分式的加减运算即可求出答案．【解答】解：（1）原式=−a 2．（2）原式=a 22(a−2)−42(a−2)=a 2−42(a−2) =(a−2)(a+2)2(a−2)=a+22．12．(2023春•丹阳市期末）化简：（1）2xx 2−4−1x−2；（2）(1−1a )÷a 2−2a+1a 2−1． 【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：（1）原式=2x (x+2)(x−2)−x+2(x+2)(x−2)=2x−(x+2)(x+2)(x−2)=2x−x−2(x+2)(x−2)=x−2(x+2)(x−2)=1x+2；（2）原式=a−1a ÷(a−1)2(a+1)(a−1) =a−1a •(a+1)(a−1)(a−1)2=a+1a ．13．(2023春•常州期末）计算：（1）8x 3÷32x 2； （2）a−c a−b −c−b b−a． 【分析】（1）根据分式的除法运算进行化简即可求出答案．（2）根据分式的加减运算进行化简即可求出答案．【解答】解：（1）原式=8x 3⋅x 232 =14x． （2）原式=a−c+b−c a−b =a+b a−b ． 14．(2023春•溧阳市期末）化简：（1）（−m n 2）•n m； （2）a a−1÷（a 2a 2−1−a a+1）．【分析】（1）根据分式的乘法计算即可；（2）先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．【解答】解：（1）（−m n 2）•n m ＝﹣（m n 2•n m ） =−1n ；（2）a a−1÷（a 2a 2−1−a a+1） =a a−1÷a 2−a(a−1)(a+1)(a−1)=a a−1⋅(a+1)(a−1)a 2−a 2+a=a a−1⋅(a+1)(a−1)a ＝a +1．15．(2023秋•环翠区校级月考）分式计算：（1）3x 2y ⋅512ab 2÷(−5a 4b )； （2）(−a 2b c )3⋅(−c 2a 2)2÷(−bc a )4； （3）a+31−a ÷a 2+3aa 2−2a+1； （4）(ab −b 2)÷a 2−b 2a+b ．【分析】（1）按照从左到右的顺序，进行计算即可解答；（2）先算乘方，再算乘除，即可解答；（3）先把除法转化为乘法，进行计算即可解答；（4）先把除法转化为乘法，进行计算即可解答．【解答】解：（1）3x 2y ⋅512ab 2÷(−5a 4b ) =15x 2y12ab 2•（−4b 5a ） =−x 2y a 2b； （2）(−a 2b c )3⋅(−c 2a 2)2÷(−bc a )4； =−a 6b 3c 3•c 4a 4÷b 4c 4a 4 =−a 6b 3c 3•c 4a 4•a 4b 4c 4 =−a 6c 3b； （3）a+31−a ÷a 2+3aa 2−2a+1=a+31−a •(a−1)2a(a+3)=1−a a ；（4）(ab −b 2)÷a 2−b 2a+b ＝b （a ﹣b ）•a+b (a+b)(a−b)＝b ．16．(2023秋•张店区校级月考）分式的计算：（1）(1x−1−1x 2−1)÷x 2−x x 2−2x+1； （2）2x−6x−2÷(5x−2−x −2)．【分析】（1）分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．（2）分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）原式=x+1−1(x−1)(x+1)•(x−1)2x(x−1)=x (x−1)(x+1)•x−1x=1x+1．（2）原式=2(x−3)x−2÷5−(x+2)(x−2)(x−2) =2(x−3)x−2•x−29−x 2=−2(x−3)(x+3)(x−3) =−2x+3． 17．(2023春•南关区校级月考）计算： （1）x x 2−1⋅x+1x 2； （2）(a+b)2ab −a 2+b 2ab． 【分析】（1）先分解因式，然后再约分．（2）同分母相减，分母不变，分子相减即可求出答案．【解答】解：（1）原式=x (x+1)(x−1)•x+1x 2=1x(x−1)． （2）原式=a 2+2ab+b 2−a 2−b 2ab =2ab ab=2． 18．(2023秋•和平区校级期末）计算：（1）(−4m 3n 3t )2÷n mt（2）x 2−4x 2−4x+4÷x+2x+1−x x−2【分析】（1）先计算乘方，再计算除法即可；（2）先按分式除法法则计算，再按分式减法法则计算即可．【解答】解：（1）原式=16m 6n 29t 2÷n mt=16m 6n 29t 2×mt n =16m 7n 9t； （2）原式=(x+2)(x−2)(x−2)2−x+1x+2−x x−2 =x+1x−2−x x−2=1x−2． 19．(2023春•罗湖区校级期末）计算（1）3x (x−3)2−x 3−x （2）1x+1+1x−1−x 2+1x 2−1（3）（x+1x 2−1+x x−1）÷x+1x 2−2x+1【分析】（1）直接进行通分运算进而得出答案；（2）直接进行通分运算进而得出答案；（3）直接利用分式的性质化简，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）3x (x−3)2−x 3−x =3x (x−3)2+x(x−3)(x−3)2 =x 2(x−3)2；（2）1x+1+1x−1−x 2+1x 2−1=x−1x 2−1+x+1x 2−1−x 2+1x 2−1=−x 2+2x−1(x+1)(x−1)=−(x−1)2(x+1)(x−1)=−x−1x+1；（3）（x+1x 2−1+x x−1）÷x+1x 2−2x+1 =1+x x−1•(x−1)2x+1＝x ﹣1．20．(2023春•南阳月考）化简：（1）（a ﹣1−4a−1a+1）÷a 2−8a+16a+1； （2）（x+2x 2−2x −x−1x 2−4x+4）÷x−4x ． 【分析】（1）先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法即可；（2）先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法即可．【解答】解：（1）原式=(a−1)(a+1)−(4a−1)a+1•a+1(a−4)2=a 2−1−4a+1a+1=a 2−4a a+1•a+1(a−4)2 =a(a−4)a+1•a+1(a−4)2=a a−4；（2）原式＝[x+2x(x−2)−x−1(x−2)2]•x x−4 =(x+2)(x−2)−x(x−1)x(x−2)2•x x−4 =x 2−4−x 2+x x(x−2)2 =x−4x(x−2)2⋅x x−4 =1(x−2)2 =1x 2−4x+4． 21．(2023秋•青龙县期中）计算： （1）a 2a−b +b 2a−b −2ab a−b； （2）（1−1a+1）÷a a 2+2a+1． 【分析】（1）根据同分母分式加减法则进行计算；（2）先通分计算括号内的减法，再把除法转化为乘法，约分计算便可．【解答】解：（1）a 2a−b +b 2a−b −2ab a−b=a 2+b 2−2ab a−b=(a−b)2a−b ＝a ﹣b ；（2）（1−1a+1）÷aa 2+2a+1 =a a+1×(a+1)2a ＝a +1．22．(2023春•沈北新区期末）化简：（1）（x 2﹣4y 2）÷2y+x xy •1x(2y−x)； （2）2xx 2−4−1x−2．【分析】（1）先算小括号里面的，然后再算括号外面的；（2）先通分，然后按同分母分式加减法法则进行计算求解．【解答】解：（1）原式＝（x +2y ）（x ﹣2y ）•xy 2y+x ⋅1x(2y−x) ＝﹣y ；（2）原式=2x (x+2)(x−2)−x+2(x+2)(x−2)=2x−x−2(x+2)(x−2) =1x+2． 23．(2023•九龙坡区校级开学）分式化简： （1）16−x 2x 2+4x+4÷x 2x+4⋅x+2x+4； （2）1a+1−3−aa 2−6a+9÷a 2+a a−3． 【分析】（1）根据分式的乘除法可以解答本题；（2）根据分式的除法和减法可以解答本题．【解答】解：（1）16−x 2x 2+4x+4÷x 2x+4⋅x+2x+4 =(4+x)(4−x)(x+2)2⋅2(x+2)x ⋅x+2x+4 =2(4−x)x=8−2x x ；（2）1a+1−3−aa 2−6a+9÷a 2+a a−3=1a+1−3−a (a−3)2⋅a−3a(a+1) =1a+1+1a(a+1) =a+1a(a+1)=1a ．24．(2023秋•寻甸县期末）计算与化简（1）32m−n −2m−n (2m−n)2； （2）（a +2−5a−2）÷3−a 2a−4．【分析】（1）先约分，再根据分式的减法法则进行计算即可；（2）先算括号内的加减，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出答案即可．【解答】解：（1）原式=32m−n −12m−n=3−12m−n=22m−n ；（2）原式=(a+2)(a−2)−5a−2÷−(a−3)2(a−2) =a 2−9a−2•2(a−2)−(a−3) =(a+3)(a−3)a−2•2(a−2)−(a−3)＝﹣2（a +3）＝﹣2a ﹣6．25．(2023秋•沂水县期末）化简：（1）x x−1+3x−11−x 2； （2）（2m m−1−m m+1）÷m m 2−1． 【分析】（1）先通分，再根据同分母分式相加法则求出答案即可；（2）先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法即可．【解答】解：（1）x x−1+3x−11−x 2 =x(x+1)(x+1)(x−1)−3x−1(x+1)(x−1)=x 2+x−3x+1(x+1)(x−1)=x 2−2x+1(x+1)(x−1)=(x−1)2(x+1)(x−1) =x−1x+1； （2）（2m m−1−m m+1）÷m m 2−1 =2m(m+1)−m(m−1)(m+1)(m−1)•(m+1)(m−1)m =m 2+3m (m+1)(m−1)•(m+1)(m−1)m =m(m+3)(m+1)(m−1)•(m+1)(m−1)m＝m +3．26．(2023秋•天津期末）计算：（1）（﹣3xy ）÷2y 23x •（y x）2； （2）（x x+y −2y x+y ）÷x−2y xy •（1x +1y ）． 【分析】（1）先算乘方，把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则求出答案即可；（2）先算括号内的加减，再把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则求出答案即可．【解答】解：（1）原式＝（﹣3xy ）÷2y 23x •y 2x 2 ＝（﹣3xy ）•3x 2y 2•y 2x 2=−9y 2；（2）原式=x−2y x+y ÷x−2y xy •x+y xy=x−2y x+y •xy x−2y •x+y xy ＝1．27．(2023春•沙坪坝区校级月考）计算：（1）2y−x x−y +y y−x +x x−y ；（2）（x +1−8x−1）÷x 3−9x x 2−2x+1． 【分析】（1）先变形为同分母分式的加减运算，再根据法则计算即可；（2）先计算括号内分式的减法、将除式的分子、分母因式分解，继而将除法转化为乘法，然后约分即可．【解答】解：（1）原式=2y−x x−y −y x−y +x x−y =2y−x−y+x x−y=y x−y ；（2）原式＝（x 2−1x−1−8x−1）÷x(x+3)(x−3)(x−1)2=(x+3)(x−3)x−1•(x−1)2x(x+3)(x−3)=x−1x ．28．(2023秋•沙坪坝区校级期末）计算：（1）（a +b ）2+a （a ﹣2b ）；（2）(1−x x+2)÷x 2−4x+4x 2−4． 【分析】（1）根据完全平方公式．单项式乘多项式可以解答本题；（2）先算括号内的减法，然后计算括号外的除法即可．【解答】解：（1）（a +b ）2+a （a ﹣2b ）；＝a 2+2ab +b 2+a 2﹣2ab＝2a 2+b 2；（2）(1−x x+2)÷x 2−4x+4x 2−4=x+2−x x+2×(x+2)(x−2)(x−2)2 =2x−2． 29．(2023秋•荔湾区期末）计算： （1）a−1a−b −1+b b−a ；（2）（4−a 2a−1+a ）÷a 2−16a−1． 【分析】（1）原式变形后，利用同分母分式的加法法则计算即可求出值；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：（1）原式=a−1a−b +1+b a−b=a+b a−b；（2）原式=4−a2+a2−aa−1•a−1(a+4)(a−4)=−a−4a−1•a−1 (a+4)(a−4)=−1a+4．30．(2023秋•永年区期末）上课时老师在黑板上书写了一个分式的正确化简结果，随后用手掌盖住了一部分，形式如下：•y2x2−xy−y2−x2x2−2xy+y2=xx−y（1）聪明的你请求出盖住部分化简后的结果；（2）当x＝2时，y等于何值时，原分式的值为5．【分析】（1）根据被减数、减数、差及因数与积的关系，化简分式求出盖住的部分即可；（2）根据x＝2时分式的值是5，得关于y的方程，求解即可．【解答】解：（1）∵（xx−y +y2−x2x2−2xy+y2）÷y2x2−xy＝[xx−y +(y+x)(y−x)(x−y)2]×x(x−y)y2=−y x−y ×x(x−y)y2=−x y∴盖住部分化简后的结果为−x y；（2）∵x＝2时，原分式的值为5，即22−y=5，∴10﹣5y＝2解得y=8 5经检验，y=85是原方程的解．所以当x＝2，y=85时，原分式的值为5．。
六年级下册数学培优分数、小数和繁分数的混合运算
3
原式 2.4 2 6 5 8 5 4
2
=2.4×(2-1.5)×8
=2.4×0.5×8
=9.6
例4：计算。
7.2 0.85 4.2 10000 0.84 3.4 5.4 10000
先将分子部分、分母部 分中的所有因数变成整 数，再约分计算。
分子分母要同时乘多少呢？
45
原式＝7285 42 ＝ 5
4
3
可以把小数化成分数，也可以把分数 化成小数，怎样计算更简便？
例1：计算。
5
3 4
4.5 (20%
1) 3
原式＝5 3－4 1 （1＋1） 4 2 53
3
＝5 3－ 9
84
4 2 15 5
＝5 3－2 2 45
＝3 7 20
原式＝5 3－4.5（1＋1）
4
53
＝5
3
0.3
－4.5
8
Hale Waihona Puke 415＝5 3－2.4 4
84 34 54 3
2
23
例5：计算。 (0.6 5 2 0.5 1.2) 10
21 7
7
原式
0.2
0.6
5
2.51.2
7
21 7 10
7
1 3 7 7 7 10
2
4 7 7 10
5
2 5
在有分数和小数的混合运算里，可 以把分数化成小数，也可以把小数 化成分数，怎么简便就怎么转化。 要注意的是小数也可以和分数直接 约分，就是别忘了约分的结果是个 小数。
＝5.75－2.4
＝3.35
运算技巧：
在有分数和小数的混合运算里，可以把分 数化成小数，也可以把小数化成分数，怎么简 便就怎么转化。要注意的是小数也可以和分数 直接约分，就是别忘了约分的结果是个小数。
北师大版数学六年级上册第二单元《分数混合运算》单元测试卷(培优卷)(1)
六年级上册数学单元测试－第二单元分数混合运算（培优卷）一、选择题（满分16分）1. 修路队修一条300m长的公路，第一天修了全长的14，第二天修了余下的13（）。
A. 第一天修得多B. 第二天修得多C. 两天修得同样多【答案】C【解析】【分析】第一天修了全长的14，则修了300×14＝75（米），余下300－75＝225（米）。
第二天修了余下的13，则第二天修了225×13＝75（米）。
两天修得同样多。
【详解】第一天：300×14＝75（米）第二天：300－75＝225（米）225×13＝75（米）两天都修了75米，两天修得同样多。
故答案为：C【点睛】求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。
要注意题目中两个分数的单位“1”不同。
2. 某学校男生人数比女生人数多14，那么男生人数是全校人数的（）。
A. 54B.49C.59【答案】C 【解析】【分析】把女生人数看作单位“1”，则男生人数是（1＋14），用男生人数÷全校人数即可。
【详解】（1＋14）÷（1＋14＋1）＝54÷94＝5 9故选择：C【点睛】此题考查了求一个数是另一个数的几分之几，找准单位“1”，把男生、女生人数都表示出来是解题关键。
3. 一件衣服先提价13，再降价13，现价与原价相比（）。
A. 现价低B. 原价低C. 一样D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】先把衣服的原价看作单位“1”，提价后是（1＋13），再把提价后看作单位“1”降价后是（1＋13）×（1－13），与原价比较即可。
【详解】由分析可知：（1＋13）×（1－13）＝43×23＝8 989＜1，现价比原价低，也就是现价低。
故选择：A。
【点睛】此题主要考查分数四则混合运算，注意单位“1”的变化。
4. 根据算式10×（1－45）－45编题，下面正确的是（）。
A. 仓库有10t粮食，第一次运走45t，第二次运走45t，求还剩多少吨B. 仓库有10t粮食，第一次运走45，第二次运走45t，求还剩多少吨C. 仓库有10t粮食，第一次运走45t，第二次运走剩下的45，求还剩多少吨D. 仓库有10t粮食，第一次运走45，第二次运走剩下的45，求还剩多少吨【答案】B 【解析】【分析】仓库有10吨粮食，第一次运走45，列式应该是10×（1－45），得到第一次运走后剩下的吨数，所以这里就剩下两个正确选项，分别是B和D，算式中直接减4 5，那说明45是个具体的数量，也就是45吨，所以只能选B。
《分数混合运算》应用题培优专题
分数混合运算（应用题专题）一、分数应用题主要讨论的是以下三者之间的关系：分率：表示一个数是另一个数的几分之几，这几分之几通常称为分率。
标准量：解答分数应用题时，通常把题目中作为单位“ 1”的那个数，称为标准量。
比较量：解答分数应用题时，通常把题目中同标准量比较的那个数，称为比较量。
二、题型分类1、求一个数的几分之几是多少。
这类问题特点是已知一个看作单位“ 1”的数，求它的几分之几是多少，解这类应用题用乘 法。
即反映的是整体与部分之间关系的应用题，基本的数量关系是：标准量×分率=分率的对应的比较量。
（1）求一个数的几分之几是多少： 标准量×（分率） =是多少 几几（3）求比一个数多几分之几是多少： 标准量×（ 1 +几几）（分率） =是多少几 几（5）求比一个数少几分之几是多少： 标准量×（ 1 - 几几）（分率） =是多少 2、求一个数是另一个数的几分之几。
这类问题特点是已知两个数量， 比较它们之间的倍数关系， 解这类应用题用除法。
基本的数 量关系是：比较量÷标准量=分率。
（1）求一个数是另一个数的几分之几 : 比较量÷标准量=分率（几分之几） 。
（2）求一个数比另一个数多几分之几： 相差量÷标准量=分率（多几分之几）。
（3）求一个数比另一个数少几分之几： 相差量÷标准量=分率（少几分之几）。
3、已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
（4）求比一个数少几分之几少多少： 标准量× （分率） =少多少（2）求比一个数多几分之几多多少： 标准量× （分率） =多多少几 几这类问题特点是已知一个数的几分之几是多少的数量，求单位“1”的量，解这类应用题用除法。
基本的数量关系是：分率对应的比较量÷分率=标准量。
（1）已知一个数的几分之几是多少，求这个数 : 是多少（分率对应的比较量）÷几几（分率）=标准量。
上海市六年级(上)数学同步讲义 第10讲(培优)分数与小数的思则混合运算(解析版)
分数、小数的四则混合运算内容分析分数、小数的四则混合运算是六年级数学上学期第二章第2节中的内容．分数、小数的四则运算对于培养同学们的计算能力起着十分重要的作用，要想掌握好分数、小数的四则混合运算：一要牢记分数、小数的基本运算法则：基本运算法则是运算的基础；二要掌握分数与小数的互化：分数与小数的互化在它们的四则运算中是十分重要的一环，我们需要根据题目的需要将分数化成小数或将小数化成分数；三要有意识地观查并灵活地分析题目的特征，充分利用乘法分配律等技巧进行速算和巧算．知识结构模块一：分数、小数的混合运算知识精讲1、混合运算的一般原则（1）加减混合运算时，只需将题目中的数同时化成小数或分数后再运算；但当分数不能化成有限小数时，则应同时化成分数后再运算．（2）乘除运算中，一般将除法先转化为乘法，小数转化为分数，然后遵循先约分再运算的原则进行计算．（3）一般的运算顺序：先乘除，后加减；若有括号，则先算括号内．【例1】计算：（1）3160.7421⨯⨯；（2）820.8253÷÷；（3）30.37534÷⨯；（4）790.81910⨯÷．【难度】★【答案】（1）25；（2）35；（3）332；（4）710.【解析】分数与小数乘除法混合运算，一般要求学生将小数化为分数进行运算.【总结】考查分数与小数乘除混合运算.计算：（1）12150.35234⨯-÷；（2）315.2 4.625585⨯+⨯．【答案】（1）8942；（2）26.【解析】值得一提的是第（2）小题可以巧算：31355.2+4.6255 5.2(4) 5.25268588⨯⨯=⨯+=⨯=.【总结】考查分数与小数的四则混合运算，注意可以简便运算的时候要简便运算.【例2】计算：（1）51.20.712⎛⎫-+⎪⎝⎭；（2）120.7523⎛⎫--⎪⎝⎭；（3）2120.153⎛⎫⨯+⎪⎝⎭；（4）510.7534⎛⎫÷-⎪⎝⎭．【答案】（1）112；（2）512；（3）495；（4）103.【解析】需要学生熟练掌握小数化分数的方法，并且注意结果的最简性，运算结果是假分数的可以化为带分数，也可保留假分数.例题解析【总结】考查分数与小数四则混合运算.【例3】下列运算过程中，正确的是（）A．22121133232⎛⎫÷+=+÷⎪⎝⎭B．732237÷⨯=C．33633751375136⎛⎫÷÷=⨯⨯⎪⎝⎭D．33213153157515721521⎛⎫+÷=⨯+⨯⎪⎝⎭【答案】D【解析】A选项，错误原因在于除法没有分配律，而D选项将2115÷化为1521⨯就可以利用乘法分配律，所以计算正确，B选项因为运算顺序出错，C选项的错因是去括号法则不清楚正确的解法是336336 ()51375137÷÷=÷⨯.【总结】考查学生对运算顺序及去括号法则的掌握.【例4】甲数是1403，乙数比甲数多它的211，乙数是________．【答案】乙数是14324733或.【解析】列式：1121212113143 404040133113113113+⨯=⨯=⨯=.【总结】考查学生对“比一个数多几分之几”的理解运用.【例5】比215米多2.5分米是______米．【答案】1.65米.【解析】首先，注意统一题目中的单位为米，列式：210.25 1.40.25 1.655+=+=米.【总结】考查“比一个数多几分之几（带单位）”的理解运用.【例6】某数的2倍与153的差是4.25，求这个数．【答案】115 24.【解析】设这个数为x，125 4.253x-=，解得11524x=.【总结】考查列方程解文字题及分数小数混合运算.【例7】六（2）班组织去苏州春游，上午7:30从学校坐大巴出发，用了56个小时到达目的地，中午利用了0.5个小时吃了午饭，下午回上海时用了45分钟，在17:15回到学校，则他们实际游玩的时间是多少小时？【答案】实际游玩时间273小时.【解析】上午7:30到下午17:15历时9小时45分即394小时，减去来回的乘车时间和午餐时间，列式：351329746243---=小时.【总结】考查分数与小数混合运算的应用.【例8】计算：（1）2344 1.42523⎛⎫÷-⨯-⎪⎝⎭；（2）116418.430.9425153⨯-÷+⨯．【答案】（1）2；（2）27 10.【解析】（1）原式22272=5353⨯-⨯2227()355=⨯-233=⨯2=；（2）原式8411615109104254310=⨯-⨯+⨯21123105=-+212430101010=-+2710=【总结】考查分数与小数的四则混合运算，以及对运算定律的运用. 【例9】计算：（1）7133.25 1.280.2512516⎛⎫⨯⨯÷⨯⎪⎝⎭；（2）3242.49.66 1.5435÷-⨯+⨯．【答案】（1）1；（2）7.【解析】需要学生熟练掌握分数与小数互化，以及分数与小数四则混合运算法则. 【总结】考查分数与小数混合运算法则.【例10】 计算：35221311111573918⎛⎫⎛⎫+⨯÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】372.【解析】解：原式1812351119573918⎛⎫⎛⎫=+⨯÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18635335318=⨯÷18623=⨯372=． 【总结】本题主要考查分数的四则运算.【例11】 计算：()1911.560.70.66 4.9213⎡⎤⨯÷⨯-⨯⎢⎥⎣⎦．【难度】★★★ 【答案】21500. 【解析】原式3193149221192510=⨯⨯⨯⨯21.500= 【小结】本题主要考查分数与小数的混合运算.【例12】 计算：3116.521 2.750.751843⎛⎫⎛⎫-÷-÷-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★★★ 【答案】1.【解析】原式131933342284443⎛⎫=-÷÷-⨯ ⎪⎝⎭334418311=⨯⨯-1=．【小结】本题主要考查分数与小数的混合运算.【例13】 规定：()12.518a b a b ⎛⎫*=--- ⎪⎝⎭，试计算：135 3.5416⎛⎫** ⎪⎝⎭．【难度】★★★ 【答案】2716. 【解析】由题意，先计算3131513.5(3.5 2.5)(1)1168161616*=---=-=，再计算11111317275(5 2.5)(1)2416481641616*=---=-=．【总结】本题主要考查学生对新运算公式的理解及运用.1、常见的分数与小数的互化在分数与小数的混合运算中，要非常熟练的掌握一些简单的分数和小数之间的互化，做到一看便知，从而有效地提高运算的简便性和正确性．如：10.52=，10.25=，10.110=，10.0520=，10.0425=，10.0250=， 10.254=，30.754=，10.1258=，30.3758=，50.6258=，70.8758=． 2、凑整的思想（1）加法凑整：若几个数相加的和是一个整数，那么可将这几个数作为一组进行计算，如：30.2514+=；减法亦然． （2）乘法凑整：若几个数相乘的积是一个整数，那么可将这几个数作为一组进行计算，如：0.2541⨯=；除法亦然． 3、乘法分配律的逆运用乘法分配律：()a b c a c b c +⨯=⨯+⨯，将等号的左边和右边调换位置后得到： ()a c b c a b c ⨯+⨯=+⨯．模块二：分数、小数的速算与巧算知识精讲这一运用，在速算和巧算中是很常用也很重要的方法，例如：29290.90.90.90.911111111⎛⎫⨯+⨯=+⨯= ⎪⎝⎭．【例14】 2514.926 2.08420.1251778⎛⎫⎛⎫+++⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】54.【解析】原式＝2511(4.92 2.0864)(21)183547788+++⨯-+=⨯=.【总结】考查分数与小数的混合运算的巧算.【例15】 计算：34123.913 6.0962 1.125+1 1.5 6.047783⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯-÷-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】20.【解析】原式＝341133(3.91 6.0936)(21)() 6.04201020778822+++⨯-+-⨯=⨯+=.【总结】考查分数与小数混合运算的巧算. 【例16】 计算：49105050⨯． 【答案】549.【解析】法一：原式＝4949(10)501050505495050+⨯=⨯+⨯=；法二：原式＝11(11)5011505055015495050-⨯=⨯-⨯=-=． 【总结】本题主要考查分拆技巧在分数运算中的巧妙运用.例题解析【例17】 计算：33111.78.41110102⎛⎫-⨯÷- ⎪⎝⎭．【答案】0.1.【解析】原式＝(11.78.4 1.3) 1.30.511.7 1.38.40.598.90.1-⨯÷-=÷--=-=. 【总结】本题主要考查分数与小数的四则混合运算.【例18】 计算：31710000.675+22 6.25849⎡⎤⎛⎫⨯-⨯÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【答案】49.【解析】原式＝9251254(10000.3)6(300)48149494425⨯+⨯÷=+⨯=+=. 【总结】本题主要考查分母是8和分母是4的分数与小数的互化．【例19】 ()1123.320.75561128.744⎛⎫⨯-+⨯++⨯ ⎪⎝⎭．【答案】135. 【解析】原式＝23.3 1.2556 1.25 1.2528.7 1.25(23.35628.7) 1.25108135⨯+⨯+⨯=⨯++=⨯=. 【总结】本题主要考查“提取公因式”的运用.【例20】 31931310.728713115⎛⎫⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭．【答案】36. 【解析】原式＝10402071434020143()()8852367131110513115⨯-⨯⨯=-⨯=-=. 【小结】本题主要考查分数与小数混合运算的巧算.【例21】 计算：223.63143.9655⨯+⨯．【难度】★★★ 【答案】394. 【解析】原式3.631.4(31.412.5) 6.4 3.631.431.4 6.412.5 6.431.4(3.6 6.4)12.5 6.431480394=⨯++⨯=⨯+⨯+⨯=⨯++⨯=+= 这题巧算方法比较独特，需要自己去构造公因数，当然，学生也可以直接运算，计算量也不算大，可以拓展下这种巧算方法.【总结】本题主要考查分数与小数混合运算的巧算.【例22】 1111111111111111112468103579⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【难度】★★★ 【答案】1110. 【解析】原式3579112468=2468103579⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯3254769811=()()2345678910⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1110=． 【总结】考查分数运算中的巧算，互为倒数的两数乘积为1.【习题1】 13与15的差乘以285，再除以4.2，商是______． 【答案】415. 【解析】列式112242104()8 4.23551554215-⨯÷=⨯⨯=. 【总结】本题主要考查对文字题的理解，准确列式计算.随堂检测【习题2】计算：312.1517.85 204+-+．【答案】19.9.【解析】原式＝0.15 2.150.2517.8519.9+-+=. 【总结】本题主要考查分数与小数混合运算.【习题3】下列算式中正确的是（）A．1111 1111111 3232⨯÷⨯=B．2112111 364364⎛⎫÷⨯=÷⨯=⎪⎝⎭C．99 139491 1616÷-÷=D．32322 7.75237.7523841741717⎛⎫-+=-+=⎪⎝⎭【答案】C【解析】A选项应该等于11911224⨯=，B选项去括号没变号，D选项也是去括号没变号.【总结】本题主要考查学生对混合运算的顺序及添括号去括号的理解应用.【习题4】221 161210.2352 -⨯+÷．【答案】32.4.【解析】原式＝5121610.20.516420.432.4 35-⨯+÷=-+=.【总结】本题主要考查分数与小数混合基础运算.【习题5】解方程：53 12.81164x-=．【答案】 1.26x=.【解析】5512.811.75 1.05 1.2666x x x =-==，，.【总结】结合方程考查分数和小数的混合运算.【习题6】 计算：1115160.0125387.51466571615⨯+⨯÷⨯-÷⨯． 【难度】★★★ 【答案】59225. 【解析】原式＝1175161622590.0125 3.2+140.0414140.0472151599225⨯⨯⨯⨯-=+-=+=. 【总结】本题运算量比较大，需要学生分数和小数互化熟练，沉着冷静，运算细心.【习题7】 一个饲养小组养了一些白兔和灰兔，其中灰兔有120只，白兔比灰兔的56少10只．这个小组一共养了多少只兔子？如果灰兔比白兔的56少10只，结果又如何？【难度】★★★【答案】（1）210只；（2）276只. 【解析】（1）列式：5120120102106+⨯-=只；（2）列式：5(12010)1202766+÷+=只；其中第（2）小问用方程解学生会更好理解，设白兔为x 只，5101206x -=，解得156x =，156120276+=只.【总结】本题主要考查分数运算的应用，需要学生区分“已知量的几分之几和未知量的几分之几”.【作业1】 已知154的17是a ，172减去7.25的差是b ，则a 与b 的关系是（ ） A ．a b >B ．a b =C ．a b <D ．a b ≠【答案】A 【解析】113111577474244a b =⨯==-=；，所以a b >. 【总结】本题主要考查分数与小数的混合运算.【作业2】计算：1140.5104125⎛⎫⨯+-⨯⨯ ⎪⎝⎭． 【答案】12. 【解析】原式＝6(2102)=125+-⨯. 【总结】本题主要考查分数与小数基础混合运算.【作业3】计算：242212922 6.2 5.82295995920⎛⎫⨯+⨯-⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭． 【答案】1. 【解析】原式＝292092(0.8 6.2 5.80.2)11920920⨯+--⨯=⨯⨯=. 【总结】本题主要考查分数与小数混合运算的巧算.【作业4】 把一根长79米的绳子分成三段，要求第二段长是第一段长的2.5倍，第三段长是第一段长的3.5倍，那么第一段长______米．【答案】19米. 课后作业【解析】设第一段长x 米，列方程7712.5 3.57999x x x x x ++===；；. 【总结】本题主要考查利用分数与小数的混合运算解决实际问题.【作业5】 计算：320150.3751949 3.75148⨯-⨯+⨯． 【答案】309144或77. 【解析】原式=3333330920151949140(20151949140)206888884⨯-⨯+⨯=⨯-+=⨯=. 【总结】本题主要考查分数与小数混合运算，在计算过程中，逆用了乘法分配律使复杂计算变得简单.【作业6】 香菇生产专业户老王用3184千克的新鲜香菇可烘制成干香菇558千克，那么1.6吨新鲜香菇可烘制成干香菇多少千克？【难度】★★★【答案】480千克. 【解析】先求每千克鲜菇可以制多少千克干菇：5345435188487510÷=⨯=千克； 再计算1.6吨鲜菇可以制多少千克干菇：3160048010⨯=千克. 【总结】本题主要考查分数的乘除运算，计算时注意单位的统一.【作业7】 计算：141.28.111953.7 1.94⨯+⨯+⨯． 【难度】★★★【答案】537.5.【解析】原式＝41.28.1119.25(41.212.5) 1.9⨯+⨯++⨯(8.1 1.9)41.2119.2512.5 1.9=+⨯+⨯+⨯119.25 1.25(118)412+⨯+⨯+=412(9.25 1.25)11 1.258=++⨯+⨯1010.511412++⨯= 1.225415=+537.5=.【总结】本题主要考查分数与小数混合运算，需要对某一项进行拆分，从而达到简便运算的目的，切忌对本题进行死算.。
分式混合运算培优学案,附练习题含参考答案
分式混合运算学案知识梳理1.在进行分式的运算前，要先把分式的分子和分母因式分解．分式的乘除要约分，加减要通分，最后的结果要化成最简分式或整式．2.运算顺序：先乘除、后加减，有括号先算括号.例1：混合运算：412222x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭． 【过程书写】2244122241622422(4)(4)14x x x x x x x x x x x x x x ---=-÷----=-÷----=-⋅-+-=-+解：原式例2：先化简(1)211x x x x x x+⎡⎤+÷⎢⎥--⎣⎦，然后在22x -≤≤的范围内选取一个你认为合适的整数x 代入求值．【过程书写】2221122112x x x x x x xx x x x x++--=⋅--=⋅-=-解：原式 ∵22x -≤≤，且x 为整数∴使原式有意义的x 的值为-2，-1或2当x =2时，原式=-2练习题1. 分式的混合运算：（1）242222x x x x x⎛⎫++÷ ⎪--⎝⎭； （2）2111122x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭；（3）24142a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭； （4）2344111x x x x x -+⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭；（5）222112x x x x x ⎛⎫-+÷+ ⎪-⎝⎭； （6）11-+a a 221a a a -÷-+a 1．2. 化简求值：（1）先化简，再求值：22112111x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，其中4x =．（2）先化简，再求值：2222211b a ab b a a ab a a b ⎛⎫-+⎛⎫÷++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中11a b ==，．（3）先化简分式221221x x x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭，然后从13x -≤≤中选取一个你认为合适的整数x 代入求值．（4）先化简分式3423332a a a a a a a +-+⎛⎫-÷⋅ ⎪+++⎝⎭，然后从不等式组 25<324a a --⎧⎨⎩≤的解集中选取一个你认为符合题意的a 代入求值．3. 化简：22111a a ab a ab--÷⋅+，并选取一组你喜欢的整数a ，b 代入求值．小刚计算这一题的过程如下：22(1)(1)1111(1)(1)1a a a ab a aba a ab a a ab ab+--=÷⋅++-=⨯⋅+-=解：原式①②③当a =1，b =1时，原式=1． ④ 以上过程有两处错误，第一次出错在第______步（填写序号），原因：_____________________________________________；还有第_______步出错（填写序号），原因：___________________________________________________．请你写出此题的正确解答过程．4. 课堂上，王老师出了这样一道题：已知2015x =-，求代数式22213111x x x x x -+-⎛⎫÷+ ⎪-+⎝⎭的值． 小明觉得直接代入计算太复杂了，同学小刚帮他解决了问题，并解释说：“结果与x 无关”．解答过程如下：2(1)13(1)(1)1111112(1)12_________x x x x x x x x x x x x -++-=÷+-+-=÷+-+=⋅+-=原式①②③④当2015x =-时，12=原式． （1）从原式到步骤①，用到的数学知识有_______________；（2）步骤②中空白处的代数式应为_____________________；（3）从步骤③到步骤④，用到的数学知识有_____________．5. 有两个熟练工人甲和乙，已知甲每小时能制作a 个零件，乙每小时能制作b个零件．现要赶制一批零件，如果甲单独完成需要m 小时，那么甲、乙两人同时工作，可比甲单独完成提前_______________小时．6. 若把分式x y x y+-中的x 和y 都扩大为原来的m 倍，则分式的值（ ） A ．扩大为原来的m 倍 B ．不变C ．缩小为原来的1mD ．不能确定7. 若把分式2x y xy+中的x 和y 都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A ．扩大为原来的3倍 B ．不变C ．缩小为原来的13D ．缩小为原来的168. 已知53m n =，则222m m n m n m n m n +-=+--__________．9. 已知34(1)(2)12x A B x x x x -=+----，则A =______，B =______． 10. 计算：（1）22221244x y x y x y x xy y ---÷+++； （2）211121a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭；（3）22221a a b a ab a b ⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭； （4）2286911y y y y y y ⎛⎫-+--÷ ⎪-+⎝⎭；（5）2221122a ab b a b b a -+⎛⎫÷- ⎪-⎝⎭； （6）24421x x x x -+⎛⎫÷- ⎪⎝⎭；（7）2234221121x x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭；（8）352242x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭；（9）253263x x x x --⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭； （10）211(1)111x x x ⎛⎫--- ⎪-+⎝⎭；（11）22221113x y x y x y x xy x y ⎛⎫⎛⎫--⋅÷-- ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭．11.化简求值：（1）先化简，再求值：2121122x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，其中1x =．（2）先化简，再求值：2222225321x y x x y y x x y xy ⎛⎫++÷ ⎪---⎝⎭，其中x =y =（3）先化简22212211211x x x xx x x x ++-⎛⎫+÷+ ⎪--+-⎝⎭，然后在22x -≤≤的范围内选取一个合适的整数x 代入求值．（4）已知222111x x xA x x ++=---．①化简A ；②当x 满足不等式组1030x x -⎧⎨-<⎩≥，且x 为整数时，求A 的值．12.不改变分式2132113x yx -+的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（） A ．263x y x -+ B ．218326x yx -+C ．2331x y x -+D ．218323x yx -+13.把分式32a bab -中的分子、分母的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（）A ．不变B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．缩小为原来的1214.把分式34a b ab-中a ，b 的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A ．不变 B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．缩小为原来的1215.把分式222xy x y +中x ，y 的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A ．不变B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．缩小为原来的1216.已知47(2)(3)23x A B x x x x +=+-+-+，则A =_______，B =_______． 【参考答案】1. （1）2x （2）4x （3）2a a +（4）22x x +-（5）11x +（6）21(1)a -- 2. （1）原式，当4x =时，原式（2）原式1ab=-，当11a b ==，时，原式1=- （3）原式12x =--，当x =3时，原式1=- （4）原式=a +3，当0a =时，原式3=3. ③，约分出错④，a 的取值不能为1，当a =1时，原分式无意义正确的解答过程略 4. （1）分解因式，通分，分式的基本性质（2）221x x -+ （3）约分，分式的基本性质5. bm a b+ 6. B41x =+=7. C8. 41169. 1，210. （1）（2）（3）21a（4）（5）（6） （7）（8）（9）（10）（11） 11. （1）原式11x =+，当1x =时，原式=（2）原式=3xy，当x =y =-时，原式=3（3）原式241x x -=+，当x =2时，原式=0 （4）①11x -；②1 12. B13. A14. D15. A16. 3，1 y x y -+1a -22(1)(27)(1)(3)y y y y y y +----2ab 2x -+11x x -+126x -+124x -+23x -+y x y -+。
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解题技巧：
根据一个数比另一个数多几分之几（或少几分之几）可知：“比”字后面的量已知，即单位“1”已知，根据分数乘法的意义，这样的题计算时用乘法。
（1）先求出多的几分之几具体是多少，然后再用已知数加上多的部分。
（2）已知数是1倍，用1加上未知数比已知数多的几分之几，就可以求出未知数是已知数的几分之几。
例：一堆货物共有320吨，第一天运走它的4
1，第二天运走余下的3
1，还剩多少吨没有运走？
解：方法一：320⨯（1-4
1
）⨯（1-3
1）=320⨯
43⨯32
=160 （ 两个单位“1”：一堆货物和余下的货物） 方法二：320⨯【1-41
-（1-41）⨯31】=320⨯2
1=160 （单位“1”都是一堆货物） 练习：
1、爸爸买回10块巧克力，给小红5
2，其余的留给小丁，留给小丁多少块？
2、黄金周期间，北山公园第一天门票收入为8.4万元，第二天比第一天增加12
1，这两天的门票收入共多少万元？
3、煤场有煤1200吨，第一天运走总数的31，第二天运走总数的4
1，两天一共运走多少吨？
例 一根绳子80米，第一次用去全长的10
3
，第二次用去全长一半，第二次比第一次多用了多少米？
例 水果店里梨子比苹果少51，橘子比梨多6
1，苹果有150千克，橘子有多少千克？
例 某商店有450米布，第一天卖出总数的92，第二天又卖出余下的7
1，这时还剩下多少米布没卖？ 练习：
1、一台电视机现在售价2400元，比原来降低了5
1，原来每台售价多少元？
2、小刚现在的体重是52千克，比原来增加了
26
1
，小刚原来体重多少千克？
方程解决问题：
例 小强2岁时，他的父亲32岁，小强的年龄是父亲的5
3的那一年，问他父亲当时多大岁数？
解：设小强那年x 岁，那么小强的年龄为5
3x X-5
3x=32-2
练习：
1、光明小学六年级有学生960人，比五年级人数少
7
1，四年级人数比五年级人
数多
8
1，四年级人数有多少人？
2、粮店运来大米和面粉共280袋，其中面粉的袋数比大米少
9
4，运来的大米和面粉各有多少袋？
附加题：
一项工程，甲队单独完成需40天，若乙先做10天，余下的工程由甲、乙两队合作，又需20天完成。
如果乙队单独完成此项工程，则需要多少天？
例题：
列式计算
(1) 占全部的
4
5？千米
40千米
八月
比八月份多
1
4
60吨
九月份：
(2)
？吨
练习：看图列式计算
1、 桃树 360棵 比桃树少4
1
梨树 ？棵 120幅
2、人物画： 比人物画多5
2 风景画： ？幅 X 只 3、鸡：
比鸡少4
1 鸭：
450只 4、 第一次用去52 第二次用去8
3
还剩180千克 一堆煤x 千克
课后练习：
1、学校开展植树活动，六年级植树45棵，五年级植树棵树比六年级少3
1
，五年级植树多少棵？
2、某玩具厂生产玩具1800件，超过计划的81
，超额生产多少件？
3、一辆汽车从甲地驶往乙地，第一天行了全程的4
1，第二天行了全程的3
1，这时离乙地还有140千米，甲乙两地相距多少千米？
4、丰泽小学六年级有女生84人，男生比女生多41，六年级人数占全校总人数的5
1。
全校有多少人？
5、修一条公路，甲单独修要15天完成，乙单独修要10天完成。
现有甲乙两人合修3天后，余下的有乙单独完成还需要多少天？。