线段轴对称性
线段有几条对称轴
线段有几条对称轴？广州市泰安中学 何文一、 线段有几条对称轴很多同学和教师都知道线段是轴对称图形，但线段有几条对称轴，恐怕有部分人会认为只有一条，即线段的垂直平分线。
其实不然。
人教版九年义务教育三年制初级中学教科书《几何》（1998年）第二册第94指出：线段的对称轴是它所在的直线和它的垂直平分线。
即线段有两条对对称轴。
如图1，线段AB 的对称轴分别是线段AB 的中垂线 和过线段AB 的直线 。
图1l 2以线段所在直线为对称轴举例：如图2，△ABC 和△ABC ′关于直线 对称。
其中，线段AC 关于直线 对称的线段A ′C ′就是AC 本身，即AC 关于经过本身的直线对称。
图2B'Bl 2l 1l 1l 1二、 射线是轴对称图形吗 由“线段的一条对称轴是它所在的直线”可以判断，射线也是轴对称图形，它的对称轴就是它所在的直线。
如图3，射线OB 的对称轴是经过它的直线 。
l 1图3可能有人会提出疑问：射线的一端是无限延伸的，如何确定它的对称点？其实，射线上任何一个点的对称点就是这个点本身，射线的一端无限延伸并不影响其对称性，例如抛物线是轴对称图形，两端是无限延伸的；角是轴对称图形，角的两边是射线。
还可以从“角是轴对称图形”来理解射线是轴对称图形。
如图4，把射线OB 看成是零度角∠AOB ，因为∠AOB 的对称轴就是它角平分线所在的直线。
l 1图4A三、 直线是轴对称图形吗 由上面的提示可以知道直线是轴对称图形，它的对称轴有无数条。
如图5，直线AB 的对称轴是直线本身和所有垂直它的直线。
例如，都是直线AB 的对称轴。
B l 1l 4图5l 2l 3A以上是本人的一家之言，如有异议，欢迎各位同行一起讨论和指教。
l 1l 1，l 2，l 3，l 4，。
线段角的轴对称性
2.4线段、角的轴对称性（2）
教学目标
1．探索并证明线段垂直平分线的性质定理的逆定理，会用尺规作线段的垂直平分线；
2．能利用所学知识提出问题并解决实际问题；
3．经历探索线段的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性
教学重点
利用线段的轴对称性探索线段垂直平分线的性质定理的逆定理．
教学难点
灵活运用线段垂直平分线的性质解决实际问题
教学过程
实践探索一
在一张薄纸上画一条线段AB，你能找出与线段AB的端点A、B距离相等的点吗？这样的点有多少个？
实践探索二
如果一个点在一条线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两端的距离相等．反过来，如果一个点到一条线段的两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上吗？
如图2-21（1），若点Q在线段AB上，且QA＝QB，则Q是线段AB的中点，则点Q在线段AB的垂直平分线上.
如图2-21（2），若点Q是线段AB外任意一点，且
QA＝QB，那么点Q在线段AB的垂直平分线上吗？为什么？
通过上述探索，你得到了什么结论？
教师利用几何画板验证线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.。
初中七年级数学教案 线段的轴对称性-说课一等奖
简单的轴对称图形（2）--线段（教案）归纳：1、线段是 图形， 且 它的直线是线段的一条对称轴. （注：了解线段还有一条对称轴是它本身所在的直线。
）2、线段的垂直平分线（简称中垂线）定义： 这条线段的直线.问题5：线段的垂直平分线有什么性质师： 而点P 在线段AB 的垂直平分线上，连结PA 与PB ，PA 与PB 有怎样的关系也就是说：线段AB 的垂直平分线上的一点P 点到线段端点A 点的距离与P 点到线段另一端点B 点的距离相等。
即到线段两端点的距离相等。
（注意：是点到点的距离相等，可以用圆规比一比，为后面画图作铺垫）师：如果我再在上面找两点D 、E,DA 与DB, EA 与EB 分别有什么关系（注意：用圆规比一比，为后面画图作铺垫）师：垂直平分线是一条直线，上面有无数个点，把直线上所有的点都连出来量一遍又不太可能!所以我们需要对它进行证明! 证明：已知：直线l 垂直于AB 于O,AO=BO,点P 是l 上的任意一点，求证：PA=PB.（生板书证明过程，写出依据）方法：1、轴对称性 2、测量 3、证三角形全等。
归纳：线段垂直平分线的性质：线段 线上的点 到线段两 的距离 .这个性质的条件是 ，结论是 . 师：数学中除了文字语言、图形语言，书写过程时经常用到的还符号语言。
几何语言：如图∵ = ， ⊥ ；（或l 是线段AB 的垂直平分线） 点 是l 上的一点，∴ = .注意：这个性质是经常用来说明两条线段相等的依据之一，得到线段相等从而得到角等，我们还学过什么得到线段和角相等的方法（全等），它的过程比全等更简洁，所以非常重要！思考：反过来，如果PA ＝PB ，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上根据上面的结论，完成下面问题。
PlABOP lABO练习1：学习了垂直平分线的性质后，来解决一个问题。
练习2：已知l 是线段AB 的垂直平分线，B,C,D 三点在同一直线上，三角形ACD 的周长为21cm,其中AD=9cm,求线段BD 的长。
线段、角的轴对称性(4)课件.完整版ppt资料
的思路，任选2题写出过程． (3)如下图，直线l1，l2，l3表示三条相交的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，那么可供选择的地址有
〔〕 2、三角形三个内角的平分线交于一点，交点到三条边的距离相等。
角平分线上的点到角的两边距离相等。
角是轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。
点P在线段 AB的垂直平
分线上
4.线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合
5.用直尺和圆规画线段的垂直平分线
角的轴对称性
1.角是轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。
2.角平分线上的点到角的两边距离相等。
点P在角的 平分线上
角平分线上的点到角 的两边距离相等。
PA=PB
3.角的内部到角的两边距离相等的点，在角的平分线上。
PA=PB
角的内部到角的两边距 离相等的点，在角的平分线 上。
点P在角 平分线上
4.角的平分线是角的内部到角两边距离相等的点的集合 5.用直尺和圆规画角的平分线
l2
2.4 线段、角的对称性〔4〕
例1 ：如图，△ABC的两内角∠B、∠C 的角平 分线相交于点P．求证：点P在∠A的角平分线 上．
A
D
E
(2)如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交 点，假设∠PAC=20°，∠PCB=30°，求 ∠PAB的度数．
探究：
(3)如下图，直线l1，l2，l3表示三条相交的公路，现要建
一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，那么
可供选择的地址有〔 〕
A．1处
B．2处
C．3处
D．4处
疑惑：
到三个顶点距离相等的点是三角形三边 的垂直平分线的交点吗？
线段的轴对称性
A B
线段是轴对称图形． 线段是轴对称图形．它有两条 对称轴，分别为:线段的中垂线, 对称轴，分别为:线段的中垂线, 线段本身所在的直线. 线段本身所在的直线.
如图,已知: 如图,已知:直线CD是线段AB的垂直 平分线, 是直线CD上任一点, CD上任一点 平分线,点M是直线CD上任一点,连结 MA、MB,则MA=MB，你能说明理由吗？ MA、MB,则MA=MB，你能说明理由吗？
C M
E
A 0 D B
生活中的数学 如图，在架设电线杆时, 如图，在架设电线杆时,为了确 保它与地面垂直, 保它与地面垂直,一般在它的某一处 用两根同样长的绳子固定在地面上， 用两根同样长的绳子固定在地面上， 只要使底部D上在BC 只要使底部D上在BC A 的中点处, 的中点处,电线杆就 与地面垂直了, 与地面垂直了,你能 说明理由吗？ 说明理由吗？
A D B E G F C
随堂练习
C A 0 D M B
结论
线段的垂直平分线上的点到这条线 线段的垂直平分线上的点到这条线 段两个端点的距离相等． 段两个端点的距离相等．
C A
M B N
0
是线段AB AB的垂直平分线上的点 ∵点M是线段AB的垂直平分线上的点
∴MA=MB
牛刀小试 如图,CD是AB的中垂线, 如图,CD是AB的中垂线,点M是CD右 ,CD 的中垂线 CD右 侧一点,你能判断MA MB的大小吗 MA、 的大小吗? 侧一点,你能判断MA、MB的大小吗?请 说明理由. 说明理由.
∵ MA=MB 在线段AB AB的垂直平分线上 ∴点M在线段AB的垂直平分线上
点P在线 段AB的垂 AB的垂 直平分线 MN上 MN上
第7讲线段与角的轴对称性
142
∴∠C＝∠A＝20°，∠BDC＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣∠A＝70°． 故选：D．
学习，为了追寻更好的自己！
例 3、如图，在△ABC 中，DE 和 DF 分别是边 AB 和 AC 的垂直平分线，且 D 点在 BC 边上，
连接 AD，则∠BAC＝
°．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出 BD＝AD，AD＝CD，求出∠B＝∠BAD，∠C
学习，为了追寻更好的自己！
第七讲 线段与角的轴对称性
一、知识梳理
要点一、线段的轴对称性 （1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. （2）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； （3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理（判定定理）：到线段两个端距离相等的点
在 线段的垂直平分线上． 要点诠释： 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的
பைடு நூலகம்
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理
等知识点，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
【变式 1】如图在△ABC 中 MP，NQ 分别垂直平分 AB、AC，若 BC 的长度为 9，则△APQ
的周长是
．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得出 AP＝BP，AQ＝CQ，求出△APQ 的周长＝BC， 再代入求出即可．
145
学习，为了追寻更好的自己！
【详解】
解：作 OD⊥AB 于 D，OE⊥AC 于 E，OF⊥BC 于 F，连接 OC，
∵点 O 为∠ABC 与∠CAB 的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OE＝OD＝OF，
初中数学《线段、角的轴对称性》教案
初中数学《线段、角的轴对称性》教案教学课题：1.4线段、角的轴对称性(一)教学时刻（日期、课时）：教材分析：学情分析：教学目标：1.经历探究线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特点，进展空间观念；2 .探究并把握线段的垂直平分线的性质；3.了解线段的垂直平分线是具有专门性质的点的集合；4 在“操作---探究----归纳----说理”的过程中学会有条理地摸索和表达，提高演绎推理能力。
探究并把握线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线是具有专门性质的点的集合教学预备《数学学与练》集体备课意见和要紧参考资料页边批注加注名人名言苏州市第二十六中学备课纸第页教学过程一．新课导入问题1：线段是轴对称图形吗？什么缘故？探究活动：活动一对折线段问题1：按要求对折线段后，你发觉折痕与线段有什么关系？问题2：按要求第二次对折线段后，你发觉折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？二．新课讲授结论：1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴；2.线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等(投影)例题：例1P21(投影)这是一道文字描述的几何说理题，对大多数同学来说容易明白得，但不易叙述，因此要做一定的分析，如：你能读明白题目吗？题中已知哪些条件？要说明如何样一个结论？题中的已知条件和要说明的结论能画出图形来表示吗？依照图形你能说明道理吗？活动二用圆规找点问题1：你能用圆规找出一点Q，使AQ＝BQ吗？说出你的方法并画出图形（保留作图痕迹），还能找出符合上述条件的点M吗？问题2：观看点Q、M，与直线l有什么关系？符合上述条件的点你能找出多少个？它们在哪里？结论：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
活动三用直尺和圆规作线段的垂直平分线1.按课本上的方法在书上作出线段的垂直平分线；2.同位可画出不同位置的线段，相互作出线段的垂直平分线加注名人名言苏州市第二十六中学备课纸第页一．巩固练习P23 习题1、2、3二．小结结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合这节课你学到了什么？页边批注加注名人名言板书设计作业设计事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。
2.4.2 线段角的轴对称性(2)
Q
A
B
2.4.2 线段、角的轴对称性（2）
你能用尺规画出任一条已知线段的垂直 平分线吗？如果能，说说你作图的依据．
A
B
2.4.2 线段、角的轴对称性（2）
在直线AB外任取一点C，用刚学的方法作出线段 BC、AC的垂直平分线，你发现了什么？
或
∵PO⊥AB，OA=OB
∴PA＝PB ．
A
1
2 O
B
问题：到一条线段两端距离相等的点有
2.4.2 线段、角的轴对称性（2）
个.
一个点到一条线段的两端的距离相等，那么这个 点在这条线段的垂直平分线上吗？
Q
A
M
B
2.4.2 线段、角的轴对称性（2）
定理 到线段两端的距离相等的点在线段垂直 平分线上．
C
A
B
2.4.2 线段、角的轴对称性（2）
l2
例1 已知：如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平 分线l1，l2相交于点O．求证：点O在BC的垂直平分 线上． A
连结OA、OB、OC． (1)∵ 点O在线段AB的垂直平分线上，
l1
O
l2
OA OB ∴ _________＝__________ 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 (____________________________)． OA OC 同理_________＝__________，
B
C
∴ _________＝__________， (2)过点O作OM⊥ OC BC，则直线OM是线段BC的__________， OB ∴ 由此可知，三角形两边垂直平分线的交点到三角形 点O在线段BC的垂直平分线上．
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线段、角的轴对称性(1)(第1课时)
主备人： 杨秀华 朱爱平 审核人：
预习目标:1.知道线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是它的对称轴. 2.掌握线段垂直平分线的性质.并会用数学语言表述该性质.
重点:在观察操作过程中,体会并理解线段的轴对称性. 难点:线段的轴对称性的应用. 阅读课本18p 内容,按课本进行操作,思考并完成下列问题: 问题1:线段是轴对称图形吗?为什么?
问题2：按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？
问题3：按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？
归纳小结:
线段 (填“是”或“不是”)轴对称图形, 是它的对称轴. 线段的垂直平分线上的点 相等.
数学语言表示:
MN 垂直平分线段AB,点P 在MN 上, PA=PB
理由是:
通过预习,你有哪些困惑和收获:
例1、线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端
的距离相等吗？为什么？
A
B
A
B
拓展 1)你能用圆规找出一个点Q,使AQ=BQ 吗?说出你的方法并画出图形(保留画图痕迹),你还能找出符合上述条件的点M 吗?
(2)观察点Q,M,与直线l 有什么关系?符合上述条件的点你能找多少个?它们在哪里?
归纳小结：到线段两端距离相等的点,在 上. 数学语言：PB PA =
P ∴点在AB 的垂直平分线上
理由是:
例2. 已知：如图，AB=AC=5，BC=4,AB 的垂直平分线分别交AC 、AB 于D 、E ，求△DBC 的周长.
例3.如图，AM=AN,BM=BN.你能说明AB 是MN 的垂直平分线吗?先想一想,然后填空,看下面的说明过程. 因为AM=AN,
所以点A 在线段 的垂直平分线上. 理由是: . 因为BM=BN,
所以点B 在线段 的垂直平分线上. 理由是: . 因为点A 、B 都在线段MN 的垂直平分线上, 所以过点A 、B 的直线l 是线段MN 的垂直平分线.
N
B
线段、角的轴对称性(1)(第2课时)
主备人： 杨秀华 朱爱平 审核人：
预习目标:会用直尺和圆规作线段的垂直平分线.
重点:会作线段的垂直平分线. 难点:线段的轴对称性在实际问题中的应用
回顾旧知:
1. 线段 (填“是”或“不是”)轴对称图形, 是它的对称轴.
2. 如图: MN 垂直平分线段AB,点P 在MN 上,
3. PB PA =
∴PA=PB P ∴点在AB 的垂直平分线上 ( ) ( )
预习新知: 阅读课本19p 内容,按课本进行操作,思考并完成下列问题:
问题1:用直尺和圆规作线段的垂直平分线: （1）作线段MN 、PQ 的垂直平分线：
（2）作AB 、AC 的垂直平分线1l 、2l ，记1l 和2l 的交点为O,点O 在边BC 的垂直平分线上吗?为什么?
问题2:你知道线段的垂直平分线是具有怎样性质的点组成的？
通过预习,你有哪些困惑和收获:
.
N
B
A
B
例1.利用网格线画图:
(1) 在图①中，画线段PQ 的垂直平分线 (2) 在图②中，找一点O,使OA=OB=OC
例2.如图，A 、B 是安达公路l 边上两个新建的居民小区，某镇需在公路边增加一个公共汽车站，这个公共汽车站建在什么位置，才能使两个小区到车站的路程一样远?找出汽车站的位置P,并说明理由。
例3.在一张薄纸上任意画一个锐角三角形ABC,用折纸的方法分别折出边AB 和AC 的垂直
平分线1l 和2l ,
（1）记1l 、2l 的交点为O.点O 在边BC 的垂直平分线上吗? 试说明你的猜想。
你有什么新的发现？你能用你的发现解决下面的实际问题吗？
（2）现有三个村庄A 、B 、C ，现要新建一个水泵站P ，使它到三个村庄的距离相等，应建在何处？（画出点P 的位置）
l
A B B
C
图①
图②
线段、角的轴对称性(1)（第1课时） 达标自测
班级_______ 学号_______ 姓名_______
1．线段是轴对称图形, 是它的对称轴.
2．如图,AD ⊥BC,垂足为D,BD=CD,AB=5,BD=3,ABC 的周长等于
3.如果MA=MB,即点 到线段 两端
的距离相等,根据 ,可得点M 在线段AB 的 。
4.如图,在△ABC 中,点D 在边BC 上,且BC=BD+AD,点D 在线段 的垂直平分线上.
5．如图，已知△ABC 中，BC=4,AB 的垂直平分线交AC 于点D ，若AC=6,则△BCD 的周长=_____________
6.同上题图，△ABC 中AB 的垂直平分线交AC 与点D ，已知AB=7, △BCD 的周长等于11，则△ABC 的周长=___________
7. 同上题图，△ABC 中AB 的垂直平分线交AC 与点D, 已知 ∠A=35°则∠BDC=___________°
8.如图，在△ABC 中，BC 边的垂直平分线DE 交BC 于点D,交AC 于点E, △ABC 的周长为18厘米, △ABE 的周长为10厘米,求BD 的长.
D
B C A (第2题) (第4题)
9.如图,在ABC ∆中，边AB 的垂直平分线交BC 于点E,边AC 的垂直平分线交BC 于点D,
若BC=8,求ADE ∆的周长.
10．如图,AB=AC,DB=DC,F 在AD 的延长线上,试说明BF=CF
E D
A
B
C
线段、角的轴对称性(1)（第2课时）达标自测
班级_______ 学号_______ 姓名_______
1.线段的垂直平分线是的点的集合.
2.若PA=PB,则点P在线段AB的上。
3，则PB= .
3．已知线段AB的垂直平分线上有一点P,若PA=cm
4.到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形 ( )
A.三条中线的交点
B.三边的垂直平分线的交点
C.三条高的交点
D.三条角平分线的交点
5.已知点O是△ABC的两边AB和AC垂直平分线的交点，若OA=5,则下列关系式成立的是
（）
A 、OB=OC=5
B 、OC>5
C 、OB>5 D、OC＜5
6．下列图形中，不是轴对称图形的是 ( )
A.两条相交直线
B.线段
C.有公共端点的两条相等线段
D.有公共端点的两条不相等线段
7.在四边形ABCD中，如果AB=BC,AD=DC,那么四边形ABCD的对角线AC与BD的关系是
8.在△ABC中，AB=AC,BC=5,作AB的垂直平分线交另一腰AC于D,连接BD，如果△BCD的周长是17，则腰长为 ( )
A.12
B.6
C.7
D.5
9.在下图中分别作出点P关于OA、OB的对称点C、D，连结C、D交OA于M，交OB于N,若CD=5厘米，求ΔPMN的周长。
A
· P
B
O
10、①利用网格线画出四边形ABCD 的任意两边的垂直平分线，设它们相交于点O ； ②观察点O 是否在另两边的垂直平分线上。
如果将图中四边形的顶点D 向左平移8格，还能观察到与上面相同的结论吗？
11.任意画一个钝角三角形ABC,如图:
(1)用直尺和圆规分别作两边AB 和AC 的垂直平分线1l 和2l ; (2) 1l 、2l 的交点O 到点B 、C 的距离是否相等？
12.点A 、B 、C 都在方格纸的格点上，请你
再找一个格点D,使点A 、B 、C 、D 组成一个轴对称图形。
B。