【材料力学课件】小挠度曲线微分方程
工程力学-材料力学第六章弯曲变形
3、梁的刚度条件为： 、梁的刚度条件为： 解得
Fl 3 l ≤ 48EI z 500
500 Fl 2 500 × 35 ×103 × 4 2 Iz ≥ = = 2.92 × 10 −5 m 4 48 E 48 × 200 × 109
由型钢表中查得， 工字钢的弯曲截面系数Wz＝ 由型钢表中查得，22a工字钢的弯曲截面系数 ＝3.09×l0-4m3 ，惯性 工字钢的弯曲截面系数 × 可见．选择.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。 工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。 矩Iz=3.40×10-5m4，可见．选择 × 工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求
解： 1、作出梁的弯矩图 、
得： M max
Fl 35 × 103 × 4 = = = 35 ×103 N ⋅ m 4 4
35 ×103 = = 2.19 × 10 − 4 m 3 160 × 106
2、根据弯曲正应力强度条件，要求 、根据弯曲正应力强度条件， NhomakorabeaM图 图
Fl / 4
Wz ≥
M max
[σ ]
§6–4 用叠加法求梁的变形
从上节可知， 从上节可知 ， 梁的转角和挠度都与梁上的荷载成线性关 于是，可以用叠加法来计算梁的变形。 系 。于是 ， 可以用叠加法来计算梁的变形。 几个荷载共同作 用下梁任意横截面上的变形， 用下梁任意横截面上的变形， 等于每个荷载单独作用时该截 面的变形的叠加。 面的变形的叠加。 即梁在几个荷载同时作用时，其任一截面处的转角或挠 即梁在几个荷载同时作用时 ， 度等于各个荷载分别单独作用时梁在该截面处的转角或挠度 的代数和。 的代数和。 梁在简单荷载作用下的转角和挠度可从表中查得。 梁在简单荷载作用下的转角和挠度可从表中查得。
材料力学-弯曲变形
二、叠加法求梁的变形 梁的刚度校核
1. 叠加法求梁的变形
当梁上同时受几种荷载作用时，我们可用叠加法来计算 梁的变形。其方法是：先分别计算每一种荷载单独作用时所 引起的 梁的变形（挠度或转角），然后求出各种荷载作用下 变形的代数和，即得到这些荷载共同作用下的变形。一般工 程中要找的是特定截面的变形（最大挠度和最大转角）。我 们将一些简单荷载作用下梁变形的计算公式列成教材中表81，以供选用。
2
式(8-2)再积分一次得：
y
1 EI
M( x)dxdx
Cx
D 8
3
式(8-2)、(8-3)为转角方程和挠曲线方程。式中常数C、D
可由边界条件确定。
图8-1a 图8-1b
（图8-1a）的边界条件为：
x 0, yA 0; x l, yB 0
（图8-1b）的边界条件为：
x 0, yA 0;
ql 3 24EI
, B
ql 3 24EI
转角 A 为负值，表明A截面绕中性轴作顺时针方向转动； 转角 B 为负值，表明B截面绕中性轴作逆时针方向转动。
例2：试计算图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求 ymax
例2图
设：a>b
解：（一）分段建立弯矩方程和挠曲线近似微分方程并积分二次
AC 段 (0 x1 a)
C1a D1 C2a D2 将 C1 C2, D1 0 代入上式得：D1 D2 0
将 D2
0 代入式e得：C2
Pbl 6
P(l a)3 6l
化简后得：
C1
C2
Pb 6l
(l 2
b
2)
（三） 列出转角方程和挠曲线方程：将C1,C2, D1, D2代入式 a,b,c,d得：
材料力学-梁的挠度ppt课件
(1)
dx
6
§7-2 梁的挠曲线近似微分方程
一、挠曲线近似微分方程
x M>0 f (x) 0 f
1 M z (x)
(1)
EI z
1
f (1
(x) f 2)
3 2
小变形
f (x)
M<0
f
f (x) 0
x
f ( x) M z ( x) EI z
EIf (x) ( (M (x))dx)dx C1x C2
2.位移边界条件
P
A
C
B
D
P
8
支点位移条件：
fA 0 fB 0
连续条件： fC fC
fD 0 D 0
或写成 fC 左 fC 右
光滑条件： 讨论：
C C
或写成 C 左 C 右
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条
件）确定。
④优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。 9
[例1] 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解： 建立坐标系并写出弯矩方程
连续光滑条件：
当x x l时，y y ，
1
2
1
2
1
2
代入以上积分公式中，解得：
C1
Fl 2 12EI
，C2
5Fl 2 6EI
，D1
0，D2
Fl 3 4EI
第9章 薄板的小挠度弯曲问题及经典解法ppt课件
（9-1）
由物理方程（7-12），有：
x y
xy
1 E 1 E
(
( 2 (1
x
y
E
)
y x xy
) )
（9-2）
即薄板小挠度弯曲问题的物理方程和薄板平面应力问题的物理方程相同。
， （3）薄板中面内各点都没有平行于中面的位移
(u)z0 0 (v)z0 0
（9-3）
x
u x
、y
v y
D4w q
D Ed 3 12(1 2 )
（9-8） （9-9）
称为薄板的弯曲刚度，它的量纲是：L2MT-2
方程（9-8）称为薄板的弹性曲面微分方程。是薄板弯曲问题的基本 微分方程。具体求解时要考虑（板边上）薄板侧面的边界条件。
§9-3 薄板横截面上的内力及应力
一般情况下，很难使应力分量精确满足边界条件，应用圣维南原 理，应使应力组成的内力整体地满足边界条件。
1. 夹支椭圆板
设有椭圆形薄板，图9-6，其边界 方程是
x2 a2
y2 b2
1 0
试取挠度的表达式为
（a）
wmax22
y2 b2
2
1
（b）
图9-6
由式（b）及式（a）可见，在薄板的边界上有w = 0 ，同时也有
w x4am2 xax22
y2 b2
10
w y4am2 yax22
y2
b2
10
为了式（b）能满足边界条件，薄板的边界必须是夹支边。 将式（b）代入弹性曲面微分方程（9-8），得
d M x 1 E 2 x 2 w 2 y 2 w 2 d 2 d 2 z 2 d z 1 ( 1 E 2 32 ) x 2 w 2 y 2 w 2
刘鸿文材料力学第五版课件
Fl 2 2 Fl 2 5Fl 2 = + = 2 EI EI 2 EI
（顺时针） 顺时针）
北京交通大学工程力学研究所
柯燎亮
§6-3 用叠加法求弯曲变形-例4 用叠加法求弯曲变形由叠加原理求图示弯曲刚度为EI的外伸梁 截面的挠度和转角以 由叠加原理求图示弯曲刚度为 的外伸梁C截面的挠度和转角以 的外伸梁 截面的挠度。 及D截面的挠度。 截面的挠度
qa(2a ) qa(2a ) wD1 = θ B1 = − 48EI 16 EI 截面的挠度和B截面右端的转角为 图d中D截面的挠度和 截面右端的转角为： 中 截面的挠度和 截面右端的转角为：
3 2
wD 2
2qa =− 16 EI
4
θ B2
qa 3 = 3EI
柯燎亮
北京交通大学工程力学研究所
§6-3 用叠加法求弯曲变形-例4 用叠加法求弯曲变形将相应的位移进行叠加，即得： 将相应的位移进行叠加，即得：
q B
(θ B )q
θ A = (θ A)q + (θ A)Me
Mel ql =( + ) ( 24EI 3EI
3
(wC )q
l
) Me
B
(θ B ) M e
θB = (θB)q + (θB)Me A (c) (θ A ) C (wC )M ql 3 Mel ( ) = − + l 24EI 6EI 北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮
qa 4 wCq = 8EI
θ Cq
qa 3 = 6 EI
柯燎亮
北京交通大学工程力学研究所
§6-3 用叠加法求弯曲变形-例4 用叠加法求弯曲变形原外伸梁C端的挠度和转角也可按叠加原理求得， 原外伸梁 端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即： 端的挠度和转角也可按叠加原理求得
第十三章薄板的小挠度弯曲问题及其经典解法ppt
而是对边简支对边为任意边界的矩形薄 板
怎样选取挠度函数呢
q(x,y)
边界条件 对边简支 对边任意 矩形 荷载条件 任意横向 优点 思路明确 适用面较Navier略宽 缺点 确定边条更加复杂的薄板仍力不从心
一 边界条件
支）
任意边界（固支或自由或简 任意边界（固支或自由或简
二 选取w(x,y)
原则 1.满足部分边条 x=const 2.含有待定系数（为y的函数）
，导致 实际
实际
，导致
不符合 不符合
3.若圆板中心有集中力p作用或有支撑则 应保留 项
0
§13-10 圆形板 轴对称问题算例
序 算例 号 1
2
3
4
载荷 解答
定解条件 特解
序 算例 号 5 6
7
8
载荷 解答
无均 布载 荷 无均 布载 荷
上 下
定解条件 特解
§13-11 圆形薄板在 静水压力下的弯曲
件 三个自由边则要提出两个角点条件
角点条件类型 （1）若B点有支撑 （2）若B点有支撑沉陷 （3）若B点无支撑 （4）若B点有集中力
2.角点力能否与弯曲内力 叠加？ 3.角点力能否与 叠加？ 4.自由边扭矩转换为等效横向剪力与 合
并为
5.写出下列板的边界条件
O
bz
a
写出x=a边界条件
C x 及B点和C点角点条件
4． 关于q，单位（力*长度 ），沿着 z方向为正
t
q z 2 zdz
面力
t2
体力
板壳力学
12
§13-3 薄板应力和内 力相互关系
复习
薄板弹性曲面微分方程
一.应力 内力
(13-12)
河海大学-材料力学-课件-力学-第六章-挠度
2、转角：梁的截面绕中性轴转过的角度θ。
小变形时，θ≈tgθ=w’(x)——转角方程。顺时针 为正。
§6-2 梁的挠曲线近似微分方程
1
w
( x )
1 w2
3 2
1 M(x)
<<1
( x) EI z
w M x
EI z
O
x
O
x
M
M
w
M<0
w” > 0
当F作 用 于 梁 中 点C时 ，wmax wc。
当F右移至B点时，b 0，x0 0.577l。
wmax的 位 置 距 梁 中 点 仅 0.077l。
令
b2 0,
wmax
Fbl 2 9 3 EI
0.0642 Fbl 2 。 EI
wc
Fbl 2 16 EI
0.0625 Fbl 2 。 EI
ql
qx 2
θA
M(x) x
wmax θB
Bx
l
2
2w
2o 梁的挠曲线微分方程为
EIw ql x qx2
2
2
积 分 EIw ql x2 qx3 C 2 2 23
ql x3 qx4
EIw
Cx D
2 23 234
边界条件Βιβλιοθήκη qx0: w0 xl: w0
w
xl
Fl 2 2 EI
Fl 3 wmax w xl 3EI
F
Bx
θmax
wmax
l
例2：一简支梁受均布荷载作用，求梁的转角方程 和挠度方程，并确定最大挠度和A、B截面的转角。
材料力学-梁的挠度 PPT
最大挠度及最大转角
max(a)
Pa2 2EI
a
P
L
x
fmax f(L)6PE2aI3La
f
[例3] 试用积分法求图示梁的挠曲线方程和转角方程，并
求C截面挠度和A截面转角。设梁的抗弯刚度EI为常数。
解：1．外力分析：求支座约束反力。 研究梁ABC，受力分析如图，列平衡方程：
m F yA R R A B R l B FF 1 .5 0 l0 R R B A 1 .0 5.F 5F
二、结构形式叠加（逐段刚化法）
2.位移边界条件
P
A
C
B
D
P
支点位移条件：
fA 0 fB 0
连续条件： fC fC
光滑条件： 讨论：
C
C
fD 0 D 0
或写 fC 左成 fC 右
或 写 C 左 成C 右
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条
件）确定。
④优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。
[例1] 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解：
P L
建立坐标系并写出弯矩方程
x
x
M (x)P(xL)
f
写出微分方程并积分
应用位移边界条件求积分常数
E f I M (x ) P (L x ) EfI1 2P(Lx)2C1
大家有疑问的，可以询问和交
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
EfI (x) M (x)
§7-3 积分法计算梁的位移
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【材料力学课件】小挠度曲线微分方程小挠度曲线微分方程
忽略剪力对变形的影响，梁平面弯曲的曲率公式
为:
(a) 式(a)表明梁轴线上任一点的曲率与该点处
横截面上的弯矩成正比，而与该截面的抗弯刚
度成反比。
如图7-2所示。
而梁轴线上任一点的曲率与挠曲线方程之间
存在下列关系:
(b) 将上式代入式(a)，得到
(c)
小挠度条件下，，式(c)可简化为:
(d)
在图7-3所示的坐标系中，正弯矩对应
着的正值(图7-3a)，负弯矩对应
着的负值(图7-3b)，故式(d)
左边的符号取正值
(7-1) 式(7-1)称为小挠度曲线微分方程，简称小挠度微分方程。
显然，小挠度微分方程仅适用于线弹性范围内的平面弯曲问题。
用积分法求梁的位移
将式(7-1)分别对x 积分一次和二次，便得到梁的转角方程和挠度方程:
(a)
(b)
其中C、D为积分常数，由边界条件和连续条件确定。
对于载荷无突变的情形，梁上的弯矩可以用一个函数来描述，则式(a)和(b)中将仅有两个积分常数，由梁的边界条件(即支座对梁的挠度和转角提供的限制)确定。
两种典型的边界条件如图7-4所示。
对于载荷有突变(集中力、集中力偶、分布载荷间断等)的情况，弯矩方程需要分段描述。
对式(a)和(b)必须分段积分，每增加一段就多出两个积分常数。
由于梁
的挠度曲线为一连续光滑曲线，在分段点处，相邻两段的挠度和转角值必须对应相等。
于是每增加一段就多提供两个确定积分常数的条件，这就是连续条件。
【例7-1】悬臂梁受力如图7-5所示.求梁的转角方程和挠度方程,并确定最大转角
和最大挠度。
【解】首先建立如图所示之坐标系.因为在范围内无载荷突变,故梁全长上的弯矩方程为
(a)
挠度曲线微分方程为
(b)
将上式积分一次,得
图7-5
(c)
再积分一次,得
(d) 利用约束条件,可确定上述方程中的积分常数C、D。
对于固定端截面，其转角和挠度均为零，即
将其代入方程(c)和(d)，解得
C=0, D=0
于是该梁的转角方程和挠度方程分别为
(e)
(f)
挠曲线的形状如图7-5中虚线所示。
与均发生在自由端处,由式(e)、(f)求得即
即
所得的为负值,说明截面B作顺时针方向转动;为负值,说明截面B的挠度向下。
【例7-2】简支梁在左端支座处承受集中力偶作用,如图7-6所示.求梁的转角方程和挠度方程,并确定和。
【解】建立坐标系,并写出梁的弯矩方程
可以发现,它与上例中梁的弯矩方程
完全相同,因此在的范围
内,梁的挠度曲线微分方程及其积分
也必然相同.于是有
图7-6 (a)
(b)
所不同的是,二者的约束条件不同。
因而,积分常数与上例也有所区别。
本例中，A、B两处分别为铰支座和辊轴支座，两处的挠度均为零，但截面的转角不为零。
于是有
将其代入(a)、(b)二式，解得
,, ,,,
于是，得到梁的转角方程和挠度方程分别为
(c)
(d)
挠曲线的大致形状如图7-6中的虚线所示.
将和分别代入式(c),便得到A、B两支座处截面的转角分别为
故=,发生在A支座处。
为求最大挠度，可令,由此解得,此即最大挠度截面的位置.将其代入式(d),求得
而梁跨度中点的挠度为
比较最大挠度和跨中挠度,可以看出,两者的位置相差,而两者挠度值仅相差3%。
故工程中为简化计算，常以跨中挠度代替最大挠度。
比较上面两例中的梁，不难发现，因二者的受力(弯矩)和抗弯刚度都完全相同，故它们的挠曲线形状也相同，但由于约束条件不同，二者挠曲线的最终位置便不完全相同。
这是因为弯矩和抗弯刚度只决定了挠度曲线的形状，而梁的位移还要取决于梁的约束条件。
约束条件对挠曲线的影响是通过积分常数体现的。
【例7-3】简支梁AB受力如图7-7所示(图中a > b)。
求梁的转角方程和挠度方程，并确定挠度的最大值。
【解】梁的支座反力及所选
坐标系均示于图中。
由于集中力
加在两支座之间，弯矩方程在
AC、CB两段中互不相同，所以应
分段建立挠度曲线微分方程。
图7-7 AC段
(a)
CB段
(b)
将上述(a)、(b)式积分后得
(c)
(d)
(e)
(f)
确定四个积分常数(、、、)需要四个边界条件。
在支座A和B处可提供的约束条件为
(g) 在弹性范围内加载时，梁的挠曲线是一条连续光滑的曲线。
因此，在AC 和CB段的分段处
，两段的挠度与转角必须对应相等，即
(h)
此即连续条件。
将(g)和(h)式代入(c)、(d)、(e)、(f)各式，求得
于是梁AC和CB段的转角和挠度曲线方程分别为
(i)
(j)
(k)
(l)
为求,令(由于假设a>b,可以判断出将发生在AC段内),解得
(m)
将值代入式(k)得
由式(m)可以看出,当载荷P无限靠近支座B时,即b时,则
这说明,即使在这种极限情况下,梁最大挠度的所在位置仍与梁的中点非常接近.因此可以近似地用梁中点处的挠度来代替梁的实际最大挠度。
以代入式(k),求得梁中点处的挠度为
以代替所引起的误差不超过3%。
若载荷P作用在跨度中点，即,则有
顺便指出,对式(b)积分时,没将的括号打开,而直接对积分。
这样，在利用连续条件时，可以得到，，使计算过程得以简化。