正式稿二分法求方程的根演示文稿
二分法求解方程PPT优秀课件
算法的特点
有穷性 确定性 可行性
算法的描述
一般有下列三种描述方法 1）自然语言 2）框图语言——流程图 3）程序语言
基本语句
输入输出语句 赋值语句 条件语句 循环语句
算法学习的意义
有利于培养学生的思维能力 有利于培养学生理性精神和实践能力 有利于学生理解构造性数学
ab 2
循环语句
repeat If f (a b） 0
2
then 跳出repeat 循环; else if f(a) f (a b） 0
2
then b:= a b
2
else a:=
ab 2
until b-a < ε ;
说明
选择一个适当的语言实现上述步骤， 标准并未对这一点进行要求。
ab
输出 2
.
输入、输出语句
输入ε ；
输出 a b . 2
a:=-1; b:=5;
赋值语句
条件语句
If
f (a b） 0 2
then 跳出repeat 循环; else if f(a) f (a b） 0
2
then b:= a b
2
else a:=
循环结构的算法
输出1000以内所有能被 3和5整除的正整数。
循环结构的三个要素 1）循环变量 2）循环体 3）循环终止条件
循环结构的算法
循环结构比较困难的是，决定循环结束 的条件，我们通常都是用变量表示循环 结束的条件，一般有两种情况：
一是，用循环变量表示循环的次数； 二是，用循环变量表示精度或其他的量。
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
用二分法求方程的根
⽤⼆分法求⽅程的根总时间限制: 1000ms 内存限制: 65536kB题⽬链接：/function1/4/描述⽤⼆分法求下⾯⽅程在(-10, 10)之间的⼀个根。
2x3- 4x2+ 3x- 6 = 0输⼊⼀个⼩于1的⾮负实数e，它的值表⽰所能允许的误差输出⼀个实数，其值为求得的⼀个根，要求精确到⼩数点后8位。
若该区间上没有根，则输出“No Solution”样例输⼊样例输出2.00000000提⽰对于⼀个连续函数f(x)，若f(a)*f(b) <= 0，则f(x)在区间[a, b]内⾄少有⼀个根。
特别的，对于⼀个单调的连续函数，上述定理得逆定理也成⽴若[a, b]上有根，则可进⼀步考察根是否在 [a, (a+b)/2]内，或者在[(a+b)/2, b]内。
若b-a <= e 则可终⽌迭代，并认为(a+b)/2是⼀个近似解，将它输出请使⽤double类型！1 #include<stdio.h>2 #include<math.h>3double f(double x);4double fun(double a,double b,double e);5int main()6 {7double e,x1,x2,x;8 x1=-10;x2=10;9 scanf("%lf",&e);10 x=fun(x1,x2,e);11 printf("%.8lf\n",x);12return0;13 }14double f(double x)15 {16double y;17 y=2*x*x*x-4*x*x+3*x-6;18return y;19 }20double fun(double a,double b,double e)21 {22double fa,fb,fc,c;23 fa=f(a);24 fb=f(b);25 c=(a+b)/2;26while(fabs(b-a)>e)27 {28 fc=f(c);29if(fc==0)30 {31break;32 }33else if(fc*fa<0)34 {35 b=c;36 fb=fc;37 }38else39 {40 a=c;41 fa=fc;42 }43 c=(a+b)/2;44 }45return c;46 }这个题⽬要⽤while语句实现才可以通过。
实验7二分法求方程的根
实验7二分法求方程的根实验7 二分法求方程的根一、问题：求324100x x +-=于区间[1,2]内的一个实根，且要求精确到0.001 二、算法：第一步：计算);(),(21b f y a f y ←←第二步：计算)(),(5.0000x f y b a x ←+←，若00ε<="" ，则输出0x="">否则转第三步; 第三步：若010<="" ，则置;,020y="">第四步; 第四步：若1ε>-a b 则转第二步;否则,输出0x 结束.三、练习编写程序或函数实现上以上区间的近似解，要求记录迭代次数。
函数或程序为：结果为：迭代次数为：四、逐步搜索法求方程根的存在区间在给定的区间[,]a b上判定根的大致分布，从区间左端点a出发，按某个预定的步长h一步一步地向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，并记录所有的根的存在区间。
用你编写的程序搜索问题中[0,5]的根的存在区间，步长要求为0.1 h函数为：根的存在区间为：五、综合练习（选做）用逐步搜索法找到根的存在区间，并用二分法求出在该区间上方程根的近似解。
附：分组名单星期二下午5-6节第1组组长：陈絮莹缪妃何贵堂刘钰马倩第2组组长：李杰玉黎筱惠雷霞肖娴林碧珍朱元正第3组组长：陈静苏小丽李郑何淑楠田冬秀曾敬军第4组组长：杨欣王雪梅徐莉萍石小芳雷敏唐嘉第5组组长：杨佳悦郭滢李媛媛何可陈思露第6组组长：王钰琪寇玠杨丹熊晨曦周丹第7组组长：姚瑶高倩倩金杨周海宁杨琴第8组组长：雷芳陈艳王玉娇余非张雪王海燕星期三下午5-6节第9组组长：刘超慧王玉利秦佳丽张青梅廖婷程思远第10组组长：杨琴冯康欣黄宜纯田晓东郑美艳第11组组长：黄倩肖雪梅舒玉秀杨阳黄倩宋亚超第12组组长：乔欢曹人月万袁源刘学勤师小诚沈金勇第13组组长：张全兴程德超冯啸魏丹李茜罗凤菊第14组组长：张洋何婷婷刘云丹彭英萍马静第15组组长：杨丽王书琪袁杰宋慧玲杨璐萍李琳玲星期三下午7-8节第16组组长：李欢蒋书丽康斯梦王菊花李芝琴第17组组长：杨梅郑雨来李维刘玉兰羊玲第18组组长：左艳君古月黄文凤杨娟胡洲黄川第19组组长：吴星谭婷张欢向巧钱强陈虹弟第20组组长：曾大超胡敏马树述罗玉婷第21组组长：石章波拉吉石明岳榆川金小刚张泽松第22组组长：贾孙鹏袁鹏颜冬芹陈诚张博第23组组长：李自强黄金辉彭琦岳琪李宾李闯第24组组长：王文媛林小渝刘燕严英何思敏穆芦芸。
二分法求方程的根
【例5.21】二分法求方程的根。
求方程x3+4x2+x+1=0在[-5，5]之间的近似根，误差为10-4。
若函数有实根，则函数的曲线应和x轴有交点，在根附近的左右区间内，函数的值的符号应当相反。
利用这一原理，逐步缩小区间的范围，保持在区间的两个端点处函数值的符号相反，就可以逐步逼近函数的根。
设f (x)在[a, b]上连续，且f (a) f (b)<0, 找使f (x)=0的点。
如图5-7-2所示。
图5-7-2 二分法示意图二分法的步骤如下：①取区间[a, b]中点x=(a+b)/2。
②若f (x)=0, 即(a+b)/2为方程的根。
③否则，若f (x)与f (a)同号，则变区间为[x，b]；异号，则变区间为[a，x]。
④重复①~③各步，直到取到近似根为止。
#include "stdio.h"#include "math.h"main(){ float a,b,x;float fa,fb,fx;a=-5;b=5;fa=a*a*a+4*a*a+a+1;fb=b*b*b+4*b*b+b+1;do{ x=(a+b)/2;fx=x*x*x+4*x*x+x+1;if(fa*fx<0){ b=x;fb=b*b*b+4*b*b+b+1;}else{ a=x;fa=a*a*a+4*a*a+a+1;}}while(fabs(fa-fb)>1e-4);printf("x=%f\n",(a+b)/2);printf("f(%f)=%f",(a+b)/2,fa);}运行结果：x=-3.806303f(-3.806303)=-0.000059经过多次迭代，当x= -3.806 303时，f(x)的结果为-0.000 059已经接近0，误差小于10- 4数量级。
读者可进行简单的改写，输出每一次的迭代结果。
二分法求方程的实根
二分法求方程的实根一：实验目的 通过编程实现二分法，并利用所编程序求函数x e x y --=3在(0,1)的近似解,然后比较和计算器所求的结果，从理性和实践上认识两种计算方法。
二：基本原理连续函数的零点定理1、假定f(x)在区间（x ，y ）上连续 ， 先找到a 、b 属于区间（x ，y ），使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f[(a+b)/2]。
2、假设f(a)<0,f(b)>0,a<b①令a a =1,()11121,b a x b b +==,如果f(x)=0，该点就是零点。
如果0)()(1<x f a f ，则新的有根区间为[][]x a b a ,,122=；否则[][]122,,b x b a =。
此时有[][]2211,,b a b a ⊃，且()112221a b a b -=-。
对区间[]22,b a 重复上述做法多步有[][][][] n n b a b a b a b a ,,,,332211⊃⊃⊃且()a b a b n n n -=--121（式1）记*x 为0)(=x f 的根，我们有[]n n b a x ,*∈，即),3,2,1(* =≤≤n b x a n n 由（式1）及夹逼定理有:*lim lim x b a n n n n ==∞→∞→,实际计算时，当ε<-)(n n a b 时，取)(21*n n b a x +≈作为所求根近似值。
三：实验步骤1:建立如下函数文件f.m ：Function f=f(x)f=x e x --32:通过如下框图编写二分法程序：erfen.m开始输入f,a,b,delta计算fa,fb,fa*fbfa*fb>0计算最多二分次数max1计算c=(a+b)/2, fcfc=0fb*fc>0b=c,a=a a=c,b=b|a-b|<=0.0005结束是否是否是否是否(3)、在Matlab 命令窗口键入：[c,err,yc]=bisect(‘f ’,0,1,0.005)(4)、得出结果，并与计算器所得结果比较分析误差。
高校工程数学二分法求方程根教学课件
x0的右侧；这时令a1=x0，b1=b；
否则x*必在x0的左侧，这时 取a1=a，b1=x0；这样得到新
的有根区间(a1,b1)，其长度
仅为(a,b)的一半(见图)。
二分法原理/步骤
对压缩了的有根区间(a1,b1)又可施行同样的手续，即 用中点x1=(a1+b1)/2将区间(a1,b1)再分为两半，然后通 过根的扫描判定所求的根在x1的哪一侧，从而又确定 一个新的有根区间(a2,b2)，其长度是(a1,b1)的一半。 如此反复二分下去，便可得到一系列有根区间： (a,b),(a1,b1),(a2,b2),…,(ak,bk),… 其中每个区间都是前一个区间的一半， 因此区间(ak,bk)的长度
误差 分析：
因为：
1 1 x xk bk ak k 1 b a 2 2
*
所以实际计算时，只要二分足够多次，便有 里，ε为预定精度。
x * x k 。这
对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数 k ：
ba ε k 1 2 k
l gb a l g ε 1
bk–ak=(b–a)/2k
二分法原理
显然，如果二分过程无限地继续下去，这些区间 最终必收缩于一点x*，该点x*就是所求的根。
每次二分后，设取有根区间(ak,bk)的中点
xk=(ak+bk)/2 作为所求根的近似值，在二分过程中可以获得一 个近似根的序列 x0, x1, x2, …, xk, … 该序列必以根x*为极限。
§2.2 二分法求方程根
思路：二分法的基本思想 就是逐步对分区间，经过对 根的搜索，将有根区间的长度缩小到充分小，从而求出 满足精度的根 的近似值。
二分法步骤
二分法求方程的根
用二分法求方程 f(x)=0的根 x*的近似值 xk 的步骤
步骤1.若对于a<b, 有f(a)f(b)<0, 则在(a, b)内f(x)=0至少有一个根.
步骤2. 取a,
b的中点
x1
a
2
b
,
计算
f
x1
步骤3. 若f x1 0,则x1是f(x)=0的根, 停止计算,
运行后输出结果x*=x1.
若f a f x1 0,则在(a, x1 )内f(x)=0至少有一个根. 取a1=a, b1=x1; 若f a f x1 0, 则取a1=x1, b1=b;
用二分法求方程 f(x)=0的根 x*的近似值 xk 的步骤
步骤1.若对于a<b, 有f(a)f(b)<0, 则在(a, b)内f(x)=0至少有一个根.
for k=1: max1+1 a;ya=fun(a); b;yb=fun(b); x=(a+b)/2; yx=fun(x); wuca=abs(b-a)/2; k=k-1; [k,a,b,x,wuca,ya,yb,yx] if yx==0 a=x; b=x; elseif yb*yx>0 b=x;yb=yx; else a=x; ya=yx; end if b-a< abtol , return, end end k=max1; x; wuca; yx=fun(x);
步骤2.取a, b的中点
x1
ab, 2
计算
f
x1
步骤3. 若 f x1 0, 则x1是f(x)=0的根, 停止计算,
运行后输出结果x*=x1.
若 f a f x1 0, 则在(a, x1 )内f(x)=0至少有一个根. 取a1=a, b1=x1;
用二分法求方程课件
二分法的基本思想
二分法的基本思想是通过不断将搜索区间一分为二，并根据 函数值在左右端点的符号来判断根所在的子区间，从而逐步 逼近根的近似值。
在每次迭代过程中，选取当前搜索区间的中点，并根据函数 值在该点的正负来判断根所在的子区间，然后舍弃非根所在 的子区间，继续在剩余的子区间上重复该过程，直到达到预 设的精度要求。
定的鲁棒性。
缺点
收敛速度慢
二分法的收敛速度取决于初始区间的 大小和方程的性质，对于一些复杂的 方程，可能需要多次迭代才能得到精 确解。
需要判断根的存在性
对初始区间选择敏感
二分法的收敛速度和精度与初始区间 的选择密切相关，如果初始区间选择 不当，可能会影响最终的求解结果。
在使用二分法之前，需要先判断方程 是否在给定的区间内有根，否则可能 无法收敛。
复杂的非线性方程时具有一定的优势。
END
THANKS
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计算中点
在初始区间内选择一个中点，通常是区间的中点。 中点的计算是二分法求解方程的关键步骤之一，需要精确计算中点的坐标。
判断中点处的函数值
判断中点处的函数值是二分法求解方程的重要步骤，根据 函数值的不同情况，可以决定下一步的行动。
如果函数值异号，说明解在区间内，继续进行下一步；如 果函数值同号，说明解不在区间内，需要重新选择初始区 间或调整中点位置。
PART 05
二分法的改进和变种
变种方法一：插值二分法
总结词
通过插值多项式来逼近方程的根，从而提高二分法的收敛速度。
详细描述
插值二分法是在二分法的基础上，利用插值多项式来逼近方程的根。通过构造插值多项式，可以更精 确地估计方程的根的位置，从而加快二分法的收敛速度。
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区间长度： ba
0.5
2 2.75
0.512
(22..55 , 22.7.755 )
0.25
Hale Waihona Puke 3 2.6250.215
(2.5, 2.625)
0.125
4 2.5625
0.066
由于|2.5625-2.5|=0.0625<0.1
所以方程的近似解为:
(2.5, 2.5625)
0.0625
f (x) ln x 2x 6
f (1.375) 0, f (1.5) 0 x0 (1.375,1.5), f (1.375) 0, f (1.4375) 0 x0 (1.375,1.4375),
|1.375 1.4375 | 0.0625 0.1, x 1.4375
练习
1.用二分法求方程log3 x x 3的近似根时,
新知探究
零点存在定理 如果函数f(x)在区间[a,b]上
的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那 么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在 c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
函数f(x)＝lnx＋2x－6＝0在区间(2，3) 内有一个零点
想一想？
二分法的理论依据是什么？ 把区间一分为二，那零点在哪一半呢 零点存在定理
问题4：
次数
1
给定精确度 0.1，求f x ln x 2x 6零点在2，3
近似值初. 始区间（2，3）且 f (2) 0, f (3) 0
ab 2
2.5
f (a b) 2
-0.084
取a
取b
(22.5.5,33)
f (x) ln x 2x 6
给这种
方法起
个名字
吧
2
2.5
2.625 2.75
3
二分法
啥叫二分法？
概念形成
二分法的定义：
对于在区间a,b上连续不断且f (a) f (b) 0的函数
y f (x), 通过不断的把函数f (x)的零点所在区间
一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点
，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
y
y 7 3x
y 2x
f (0) 0, f (2) 0 x0 (0, 2) f (1) 0, f (2) 0 x0 (1, 2) f (1) 0, f (1.5) 0 x0 (1,1.5),
02
x
f (1.25) 0, f (1.5) 0 x0 (1.25,1.5)
问题:如何找出这个零点？
新知探究
我们先来看一张照片
我怎么能 得到呢
你说规定 多少次？
游戏规则： 给出一件商品，请你猜出它的准确价格，我们给的
提示只有“高了”和“低了”。给出的商品价格在 (0,100)之间的整数，如果你能在规定的次数之内猜中 价格，这件商品就是你的了。
新知探究 问题1
例题：函数f(x)＝lnx＋2x－6＝0 在区间(2，3)内有一个零点 如何找出这个零点？
这个游戏能提供求函数零点的思路吗？
思路：用区间两个端点的中点， 将区间一分为二……
新知探究
函数f(x)＝lnx＋2x－6＝0在区间 (2，3)内有一个零点，怎样求？
如果能够将零点的范围尽量缩小, 那么在一定精确度的要求下,我们 可以得到零点的近似值.
我要说
我要问
新知探究
二分法
问题3：你有进一步缩小函数零点的范围的方法吗？ 思路：用区间两个端点的中点，将区间一分为二……
x 2.5625或2.5
2.5
2 2.562
2.75 3 2.65
探究归纳
给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：
1.确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε；
2.求区间(a,b)的中点c； 定区间，找中点， 3.计算f(c)；中值计算两边看；零点落在异号间， （1）若f(c)=0，则c就是函数的零点；区间长度缩一半；
§ 3.1.2 用二分法求 方程的近似解
知识回顾
零点概念：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实 数x叫做函数y=f(x)的零点.
等价关系:
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x) 的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
零点存在定理:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的 图象是连续不断的一条曲线，并 且f(a)·f(b)<0，那么，函数 y=f(x)在区间(a,b) 内有零点， 即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，
先确定零点的范围；再用二分法去求方程的近似解
列表
x
0
1 23 45 6
7
8
f x 2x 3x 7 -6 -2 3 10 21 40 75 142
273
概实念拓践展探实究践探究
例2、利用计算器，求方程 2x 3x 7 0 的近似解
（精确度 0.1）
解: 记函数 f (x) 2x 3x 7
正式稿二分法求方程的根演示文稿
优选正式稿二分法求方程的根
练习：
上节回忆
函数 f (x) x3 x 1在下列哪个区间内
有零点?
( C)
A.(1,0) B.(1,2) C.(0,1) D.(2,3)
思考：如何得到一个更小的区间，使得零 点还在里面，从而得到零点的近似值， 如何缩小零点所在的区间？
口诀
定区间，找中点， 中值计算两边看； 零点落在异号间， 区间长度缩一半； 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
概念拓展 实践探究
例题11.下：列函数的图像中，其中不能用二分法求解其零点的
是（ C ）
y
y
y
y
0
x
0
x
0
A
B
c
x
0
x
D
注意：二分法仅对函数的变号零点适用，对函数的 不变号零点不适用.
例题2:借助计算器或计算机用二分法求方 程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）.
（2）若f(a)·f(c)<0，则令b= c（此时零点x0∈(a, c) );
（3）若f(c)·f(b)<0，则令a= c（此时零点x0∈( c, b) ). 4.判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)； 否则重复步骤2~4．
周而复始怎么办? 精确度上来判断.
反思小结 体会收获
可以取的初始区间是：
( D)
A.-1,0 B.0,1C.1,2 D.2,3
2: 下列函数的图象与x轴均有交点,其中不 能用二分法求其零点的是
(C)
y
y
y
y
x
x
x
x
0
0
0
0
A
B
C
D
四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论
练习2:
下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能