逻辑函数式
逻辑函数的最简形式
逻辑函数的最简形式
一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。
例如：
在上述多种表达式，与-或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。
因此，在化简逻辑函数时，通常是将逻辑式化简成最简与-或表达式，然后再根据需要转换成其他形式。
究竟应该将函数式变换成什么形式，要视所用门电路的功能类型而定。
在与-或式中，若其中包含的乘积项已经最少，而且每个乘积项中的因子也不能再减少时，则称此与-或式为最简与-或式。
最简“与或”式的标准是：(1)乘积项的个数最少; (2)每一个乘积项中变量的个数最少。
如果只有与非门一种器件，则必须将逻辑函数式变换成全部由与非门组成的逻辑式—与-非式。
前面对与-或式最简形式的定义对其他形式的逻辑式同样也适用，即
函数式中相加的乘积项不能再减少，而且每项中相乘的因子不能再减少时，函数式为最简形式。
化简逻辑函数的目的就是消去多余的乘积项和每个乘积项中多于的因子，以得到逻辑函数式的最简形式。
例1：将逻辑函数化为最简与-非式。
解：首先将Y化成最简与-或式
再根据=Y，并利用公式和定律化为最简与-非式。
逻辑函数及其表示方法(案例分析)
逻辑函数及其表示方法(案例分析)表示一个逻辑函数有多种方法，常用的有：真值表、逻辑函数式、逻辑图等3种。
它们各有特点，有相互联系，还可以相互转换，现介绍如下：1.真值表 真值表时根据给定的逻辑问题，把输入逻辑变量各种可能取值的组合和对应的输出函数值排列成的表格。
它表示了逻辑函数与逻辑变量各种取值之间的一一对应关系。
逻辑函数的真值表具有唯一性。
若两个逻辑函数具有相同的真值表，则两个逻辑函数必然相等。
当逻辑函数有n 个变量时，共有2n 个不同变量取值组合。
在列真值表时，为避免遗漏，变脸取值的组合一般按n 位自然二进制数递增顺序列出。
用真值表表示逻辑函数的优点是直观、明了，可直接看成逻辑函数值和变量取值的关系。
例： 试列出逻辑函数B A AB Y +=的真值表。
解：该逻辑函数有2个输入变量，就有22=4种取值。
把输入变量A 、B 的每种取值情况分别代入B A AB Y +=中，进行逻辑运算，求出逻辑函数值，列入表中，就得到Y 的真值表。
表 1 Y=AB+AB 的真值表2.逻辑函数式 逻辑函数式时用与、或、非等 逻辑运算来表示输入变量和输出函数间因果关系的逻辑函数式。
由真值表直接写出的逻辑式是标准的与-或表达式。
写标准与-或表达式的方法是：(1)把任意一组变量取值中的1代以原变量，0代以反变量，由此得到一组变量的与组合，如A 、B 、C 三个变量的取值为001，则代换后得到变量与组合为C B A 。
(2)把逻辑函数值为1所对应的各变量的与组合进行逻辑加，便得到标准的与-或逻辑式。
3.逻辑图逻辑图是用基本逻辑门和符合逻辑门的逻辑符号组成的对应于某一逻辑功能的电路图。
根据逻辑函数式画逻辑图时，只要把逻辑函数式中各逻辑运算用对应门电路的逻辑符号代替，可以画出和逻辑函数对应的逻辑图。
excel表格逻辑函数公式大全
Excel表格逻辑函数公式大全Excel表格是一种常用的电子表格软件，可以用来处理各种数据和信息。
Excel表格中有很多内置的函数，可以帮助我们进行计算、分析、统计、查找等操作。
其中，逻辑函数是一类非常重要的函数，它们可以根据一定的条件或规则，返回真或假的结果，或者执行不同的操作。
本文将介绍Excel表格中的逻辑函数公式大全，包括以下13个函数：IF：根据条件判断，返回不同的值或执行不同的操作。
IFS：根据多个条件判断，返回与第一个满足条件的值或执行相应的操作。
AND：判断所有参数是否都为真，如果是则返回真，否则返回假。
OR：判断任意一个参数是否为真，如果是则返回真，否则返回假。
NOT：求出一个逻辑值或表达式的相反值，如果为真则返回假，如果为假则返回真。
TRUE：返回逻辑值真。
FALSE：返回逻辑值假。
IFERROR：检查一个表达式是否有错误，如果有则返回指定的值或执行指定的操作，如果没有则返回原表达式的结果。
IFNA：检查一个表达式是否为#N/A错误，如果是则返回指定的值或执行指定的操作，如果不是则返回原表达式的结果。
SWITCH：根据一个表达式的结果，匹配不同的值或执行不同的操作，并返回相应的结果。
XOR：判断所有参数是否有且仅有一个为真，如果是则返回真，否则返回假。
CHOOSE：根据一个索引值，从一组值中选择一个并返回。
ISLOGICAL：检查一个值是否为逻辑值，如果是则返回真，否则返回假。
下面我们将分别介绍这些函数的语法、用法和示例。
IF函数IF函数是最基本也最常用的逻辑函数之一，它可以根据一个条件进行判断，并根据判断结果返回不同的值或执行不同的操作。
IF函数的语法如下：=IF(logical_test,value_if_true,value_if_false)其中，logical_test（必需）：要测试的条件，可以是一个逻辑表达式、单元格引用、数值或文本。
该参数必须能够被转换为逻辑值TRUE或FALSE。
第1章(2课) 逻辑函数常用公式和化简
Y ABC ABC AB C A BC ( ABC ABC ) ( ABC AB C ) ( ABC A BC) AB AC BC
４、消去冗余项法
利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ， 将冗余项ＢＣ消去。
Y ( A, B, C, D) m(1,3,4,6,7,11 ,14,15)
AB CD 00 00 01 11 10 0 1 1 0 01 1 0 1 1 11 0 0 1 1 10 0 0 1
m1 m3
m4
m11
m7
m15
0
m6
m14
（2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或 表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每 一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公 因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。
2、吸收法 （１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。 是另 项 是 Y1 A B A BCD( E F ) A B 多外 的 另 运用摩根定律 余 一 因 外 如 的个 子 一 果 。乘 ， 个 乘 Y2 A B CD ADB A BCD AD B 积则乘积 项这积项 ( A AD) ( B BCD) A B （２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ+Ｂ，消去多余的变量。 因项 的 Y AB C A C D BC D 子 的 反 Y AB A C B C 如 AB C C ( A B) D 是 因 是 果 多子 另 一 AB ( A B )C 余， 一 个 AB C ( A B) D 的则 个 乘 AB ABC AB C AB D 。这 乘 积 AB C 个积项 AB C D
数字电路、圈卡诺图、最大项最小项
逻辑函数表达式的转换
最大项表达式 真值表中每一个对应函数值为0的输入变量实际上就是一个 函数包含的最大项，例如三变量ABC=111，函数F=0，就对应最 大项 M7。如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为0的那些 最大项取出相与，便是函数的最大项表达式。
逻辑函数表达式的转换
例 将函数 F(A, B,C) AC ABC 转换为最大项表达式。
AB C
0
1
00
01
11
10
1
0
0
1
0
1
1
0
ABC ABC BC
ABC ABC BC
逻辑函数化简—卡诺图化简
（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项， 可以合并为一项，并消去2个变量。
AB
C
00
01
11
10
ABC ABC ABC ABC
0
1
1
1
1 (AB AB AB AB)C
① 表达式中的与项最少； ② 在满足①的条件下，每个与项中的变量个数最少。
实现最简与-或式逻辑功能对应的电路所需要的与门最少，并 且与门总的输入引脚最少，因而电路的连线最少。
逻辑函数化简—代数化简
逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定 理和规则来化简逻辑函数。
（1）并项法
利用公式 AB AB A 将两个与项合并成一个与
逻辑函数化简—卡诺图化简
下图显示的是三变量（A、B、C）的卡诺图。格中标出相 应的最小项mi。
三变量的每个最小项有三个相邻的最小项，图中m2有三个 相邻最小项：m0、m3 、m6
AB
C
00 01 11 10
0 m0 m2 m6 m4 1 m1 m3 m7 m5
逻辑函数的三个规则和标准形式
A B C = m2
0
1
1
A B C = m3
1
0
0
A B C = m4
1
0
1
A B C = m5
1
1
0
A B C = m6
1
1
1
A B C = m7
① n 个变量的所有最小项（2n个）之和为1 ；
② 相同变量的任意两个最小项mi 和mj 之积为0（i≠j）； ③ n变量最小项有n 个相邻最小项。
数字电路与逻辑设计
数字电路与逻辑设计
第二章 逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
(2) 最大项表达式 全部由最大项相与而构成的或－与表达式称为最大项表达式，又称为标准或－与式， 或标准和之积式。
最大项表达式的书写形式：
对于逻辑函数：F A B C A B C A B C
可以简写成： 或写成：
F A, B, C M0×M1×M4 F A, B,C M 0，1，4
等式仍成立。 解：
原式左边＝A[B +(C +D )]＝AB +A(C +D ) ＝ AB +AC +AD 原式右边＝AB +A(C +D ) ＝ AB +AC +AD
所以等式仍然成立。
第二章 逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
２．反演规则
设F 是一个逻辑函数表达式，若将其中所有的与、或互换，“0”、“1”互换，原、 反变量互换，长非号（两个或两个以上变量上的非号）不变，这样可得F 的反函数。
第二章 逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
(2) 最小项表达式 全部由最小项相加而构成的与－或表达式称为最小项表达式，又称为标准与－
逻辑函数的公式法化简
=AB + ABC
=AB + C
数字电路与逻辑设计
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厚夜博学
第二章逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
4 .配项法：
利用公式 A + A = 1、A - A = 0、AB + AC = AB + AC + BC，将某一
数字电路与逻辑设计
! !!在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。
例7:化简逻辑函数： L = AD + AD + AB + AC + BD + ABEF + BEF
解：L = A + AB + AC + BD + ABEF + BEF
（利用 A + A = 1 ）
=A + AC + BD + BEF （利用A+AB=A）
乘积项展开为两项，或添加某乘积项，再与其它乘积项进行合并化简。
例 6： L = AB + AC + BCD
=AB + AC + BCD( A + A)
=AB + AC + ABCD + ABCD
=AB + AC
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第二章逻辑函数及其简化
=AC+CD
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逻辑函数的公式法化简 数电课件
，X给某个X逻辑1函数表达式增加适当的多余项，
进而消去原来函数中的某些项，从而达到化简逻辑函数的目的。
例2.3.3 化简逻辑函数
F7 AB BC AB BC
方法1
F7 AB BC AB BC
AB BC AB C C A A BC
3. F3 AB ABC AC
ABC A B C
ABC ABC
A
2. 吸收法
利用吸收律Ⅰ
A A；B或吸收A律Ⅱ
例2.3.2 化简下列逻辑函数。
1. F4 AB AD BE A B AD BE AB
，A消去A多B余的A与项B或因子。
例2.3.4 化简逻辑函数
F8 AD AD AB AC BD ACE BE DE F8 AD AD AB AC BD ACE BE DE
A AB AC BD ACE BE DE A C BD BE DE A C BD BE
§2·3 逻辑函数的公式法化简
一个逻辑函数可以有不同形式的表达式。
Ⅰ. “与或”式 Ⅱ. “或与”式 Ⅲ. “与非—与非”式 Ⅳ. “与或非”式 Ⅴ. “或非—或非”式
F AgB AgC
F A Bg A C
F AgB g AgC F AgB AgC
F AB AC
其次，逻辑函数的最简“与或”式最优先。
二、逻辑函数的公式法化简
1. 合并项法
利用合并律
AB A，B将两 个A与项合并成一项，并消去多余的与项和变量。
例2.3.1 化简下列逻辑函数。
1. F1 ABC ABC AB
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m(1,3,6,7,8ຫໍສະໝຸດ 10,12,14,15)YABCD00 01 11 10
00
11
01
11
11 1
11
10 1
1
Y ABD AD BC
例5： 将Y5=A´C+AC´+B´C+BC´ 化简为最简与或式。
Y BC A
00
01
11 10
2.3.7 逻辑函数描述方法间的转换
1.逻辑函数式与真值表之间的转换 A B C F
00 0 0
(1)、由真值表写出逻辑函数式
00 1 0 01 0 0
01 1 1
10 0 0
10 1 1
11 0 0
11 1 1
输入变量取值为1用原变量表
逻辑函数式：
示;反之，则用反变量表示
• 挑出函数值为1的输入组合A´BC、AB´C、ABC
AB C
Y
00 0
0
00 1
1
01 0
1
01 1
0
10 0
1
10 1
1
11 0
1
11 1
1
2、逻辑函数式与逻辑图之间的转换 (1)、由逻辑函数式画出逻辑图
用逻辑符号代替逻辑式中的运算符号即可。
例题：已知逻辑函数为Y=((AB) ´+B´C) ´，画出逻辑图。
(2)、由逻辑图写出逻辑函数式
从输入端到输出端逐级写出每个逻辑符号对 应的逻辑式即可。
课堂练习： 将下列函数化为最简与或式
Y1(A,B,C,D)=∑ m(0,1,2,3,4,6,8,9,10,11,14) Y2(A,B,C,D)=∑ m(0,1,2,5,8,9,10,12,14) Y3(A,B,C,D)= ∑ m(0,1,4,6,8,9,12,14)
Y1=B´+CD´+A´D´ Y2=B´D´+AD´+B´C´+A´C´D Y3=B´C´+BD´
真值表
波形图
例：
A BC Y 000 0 001 0 010 0 011 1 100 0 101 1 110 1 111 0
将ABC、Y的取值顺序按表中自
上而下的顺序排列（1用高电平代替、 0用低电平代替），即得到波形图。
波形图
真值表
将波形图上不同时间段中A、B、C与Y的取值对应列
表（高电平用1表示、低电平用0表示），即得到真值表。
Y CD AB 00 01 11 10
00 1
1
01
11 1
11
11
10 1 1 1 1
Y3(A,B,C,D)=A´BD+B´D´+AB´+BC
求Y=m(0,1,4,5,9,11,13,14,15)的反函数Y´的最简与或式。
解：由于是求Y´，因此用圈“0”法。
Y CD AB 00 01 11 10
1
01
11
11
11
10 1
1
L BD B' D'
例2：将Y2=Σ (m0 m2 m4 m6 m8 ~ m15 )化简为最简与或式。
YA2BCD00 01 11 10 00 1 0 0 1 01 1 0 0 1 11 1 1 1 1 10 1 1 1 1
例3：用圈 0 法化简Y2。
解：若卡诺图中1的数目远远 大于0的数目，可用圈 0 的方法。
1、化简的依据：逻辑相
邻的最小项可以合并， 并消去因子。
2n个相邻格可消去n个变量
AB CD00 01 11 10
A´B´C´D+A´B´CD=A´B´D
00 m0 m1 m3 m2
A´BC´D+A´BCD=A´BD
01 m4 m5 m7 m6
A´B´D+A´BD=A´ D
11 m12 m13 m15 m14 10 m8 m9 m11 m10
(3) 合并最小项，即将相邻的1方格圈成一组(画一个包围 圈)，每一组含2n个方格，对应每个包围圈写成一个新的 乘积项。
(4) 将所有包围圈对应的乘积项相加。 特别注意：卡诺图中所有的 1 都必须圈到，
不能合并的 1 必须单独画圈。
画包围圈时应遵循的原则：
（1）包围圈内的1格数一定是2n （1、2、4、8、16）个，且包围 圈必须呈矩形（或正方形）。
例：
A BC Y 1 11 1 0 11 0 1 01 0 0 01 1 1 10 0 0 10 0 1 00 1 0 00 0
课堂练习:
P53 2.9、2.15(c)、2.19(b)、2.22
2.9：Y1=A´B´C´+A´BC+AB´C´+ABC Y2=A´B´CD´+A´BC´D’+A´BCD+AB´C´D´+AB´CD+ABC´D
小结
•逻辑函数的五种表示方法：真值表、逻辑表达式、 逻辑图、波形图和卡诺图；关键是相互间的转换。
•熟练掌握卡诺图化简逻辑函数。
作业
P54 2.10(b)、2.15(d)、2.21 、2.28（2、4）
（2）循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。
（3）每个1格至少被圈过一次。同一个1格可以被不同的包围圈重 复包围多次，但新增的包围圈中至少要有一个新的1格。
（4） 一个包围圈内的1格数要尽可能多,包围圈的数目要可能少。
CD
AB
00 01 11 10
00 m0 m1 m3 m2
01 m4 m5 m7 m6
例题：已知逻辑图如下，请写出逻辑式
A AB
ACD
BD D
Y ( AB ACD BD)
3、逻辑函数式与卡诺图之间的转换
卡诺图
逻辑式 方法：只要将卡诺图中有1的位置
上的那些最小项相加即可。
例：
Y ( A, B,C) ABCD ABCD ABCD ABCD
m(0,5,10,15)
4、波形图与真值表之间的转换
+ABCD´ 2.15：Y3=(((AB´) ´+D)(B´+C) ´) ´
2.19(b)：Y(A,B,C,D)= m(2,7,8,10,13) = A´B´CD´+A´BCD+AB´C´D´+AB´CD´+ABC´D
2.22：Y(A,B,C,D) = m(1,3,6,7,9,10,11,14)
2.4.2 卡诺图化简法
例2
正确
F B A'C
错误（圈的面积不够大）
F C'BCD'
正确
F C'BD'
例3
圈错
无误 新（
正
的有
确
格
一 个
）
1
F BD ABC'A'C' D A' BC ACD F ABC'A'C' D A' BC ACD
例4
错误 （多画一个圈）
正确
F BC A' B'C'A'C' D A'CD' F BC A'C' D A' B' D'
00
00
01 11 0 10 0
00 0
答案不唯一
Y´= A´´C+AC´D´+AB´D´=A´C+AC´D+B´CD´
例4：Y(A,B,C,D)=A´B´D+A´BC+AB´D´+ABC+ABC´D´
Y (A, B,C, D) ABD ABC ABD ABC ABCD ABC' D ABCD ABCD ABCD
• 写出函数值为1的输入组合对应的乘积项
•将这些乘积项相加就得到逻辑表达式 F = A´BC+AB´C+ABC
(2)、由逻辑函数式写出真值表
将输入变量取值的所有组合状态（n个输 入变量共有2n种组合）逐一代入逻辑式求出函 数值，列成表即可。
例题：已知逻辑函数Y=A+B´C+A´BC´， 求它对应的真值表。
11 m12 m13 m15 m14
10 m8 m9 m11 m10
例 1 :用卡诺图法化简下列逻辑函数
L( A, B,C , D ) m(0，2，5，7，8，10，13，15)
解：(1) 由L 画出卡诺图
（2）画包围圈合并最小项，得最简与-或表达式
Y CD AB 00 01 11 10
00 1
ABC´D+ABCD+AB´C´D+AB´CD=A D
A´ D+AD = D
由包围圈写出乘积项：将圈内取值不变的变量相与（变 量取值为1用原变量代替，变量取值为0用反变量代替）。
2、化简的步骤
用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下：
(1) 将逻辑函数写成最小项表达式
(2) 按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项， 其对应方格填1，其余方格填0（或不填）。
00 1 1 1
11 1 0 1
Y5=A´C+AB´+BC´
Y A
BC
00
01
11
10
00 1 1 1
11 1 0 1
Y5=A´B+AC´+B´C
上两式的内容不相同，但函数值一定相同。 此例说明，同一逻辑函数的化简结果可能不唯一。
练习：判断正确与错误 例 1
错误（圈的面积不够大）
F B A' B'C
Y2´ = A´D Y2 = A+D´
Y2 = A + D´