等腰三角形中易漏解题
2021年最新中考数学人教版易错专题复习-[第14讲 等腰三角形]必备讲义(教师版)
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第14讲 等腰三角形考点1等腰三角形1．等腰三角形周长为18，其中一边长为4，则其它两边长分别为（ ）A ．4，10B ．7，7C ．4，10或7，7D ．无法确定【分析】由于长为4的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论．【解答】解：当腰为4时，另一腰也为4，则底为18﹣2×4＝10，∵4+4＝8＜10，∴这样的三边不能构成三角形．当底为4时，腰为（18﹣4）÷2＝7，∵0＜7＜7+4＝11，∴以4，7，7为边能构成三角形∴其它两边长分别为7，7．故选：B ．2．若等边三角形ABC 的边长为a ，且三角形内一点P 到各边的距离分别是h a ，h b ，h c ，则h a +h b +h c ＝ ．【分析】本题考查的是等边三角形的性质．分别连接P A 、PB 、PC 将△ABC 分成3个小三角形，再根据等边△ABC 的面积等于三个小三角形的面积之和，就可以得出答案．【解答】解：设△ABC 的为h ，根据等边三角形的性质h ＝32a ， 分别链结P A ，PB ，PC ，将△ABC 分割成△APB 、△APC 、△BPCS △ABC ＝S △APB +S △APC +S △BPC ＝a •（h a +h b +h c ）•12＝12ah 那么，h a +h b +h c =32a 3．如图，△ABC 中，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，MN 经过点O ，与AB ，AC 相交于点M ，N ，且MN ∥BC ．若AB ＝7，AC ＝6，那么△AMN 的周长是 ．【分析】根据BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且MN∥BC，可得出MO＝MB，NO ＝NC，所以三角形AMN的周长是AB+AC．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵AB＝7，AC＝6，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝6+7＝13．故答案为：13．4．如图，△ABC中，AB＝AC，D是底边BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：DE＝DF．（1）下面的证明过程是否正确？若正确，请写出①、②和③的推理根据．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．①在△BDE和△CDF中，∠B＝∠C，∠BED＝∠CFD，BD＝CD，∴△BDE≌△CDF．②∴DE＝DF．③（2）请你再用另法证明此题．【分析】（1）根据等边对等角的性质和全等三角形的判定方法判断解答；（2）连接AD，根据等腰三角形三线合一的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质证明．【解答】（1）解：证明过程正确．推理依据：①等边对等角．②AAS．③全等三角形的对应边相等；（2）证明：连接AD，∵AB＝AC，D是底边BC的中点，∴AD平分∠BAC（三线合一），又∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．精选例题，错中淘金易错一等腰三角形的分情况讨论思想典例1等腰三角形的两条边分别为6和8，则等腰三角形的周长是（）A．20 B．22 C．20或22 D．不确定[易错分析] 腰长没有说是6还是8，需要分类讨论，有的学生易漏一种情况。
14.5等腰三角形的性质易错题1
2012年默认标题-2012年3月15日深圳市菁优网络科技有限公司一、填空题（共30小题）1、（2007•双柏县）等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为_________．2、等腰三角形的对称轴最多有_________条．3、一个等腰三角形周长为5，它的三边长都是整数，则底边长为_________．4、若等腰三角形的三条边长分别为a2+1，a+1，4a﹣3，则a可以取的值为_________．5、在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为_________．6、等腰三角形的两边长为5cm，10cm，则它的周长等于_________cm．7、等腰三角形一个底角为36°，则此等腰三角形顶角为_________度．8、已知等腰三角形的一个角等于100°，则它的顶角是_________．9、一个三角形有两条边相等，周长为18cm，三角形的一边长为4cm，则其他两边长分别为_________cm，_________cm．10、如图，在△ABC中，∠C=25°，AD⊥BC，垂足为D，且AB+BD=CD，则∠BAC的度数是_________度．11、已知AD是等腰△ABC的腰BC上的高，∠DAB=50°，这个三角形的顶角的度数是_________．12、等腰三角形一腰上的高与另一腰所在的直线的夹角为60°，则其顶角为_________．13、在等腰三角形ABC中，若∠A=70°，则∠B=_________．14、如下图，在△ADC中，AD=BD=BC，若∠C=25°，则∠ADB=_________度．15、在△ABC中，AB=AC，BC=10cm，△ABC的周长不＞44cm，则AB的范围为_________．16、等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形一边的一半，则其顶角为_________．17、等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为50°，则顶角的度数为_________．18、如果一个等腰三角形的一个外角为140，那么顶角的度数是_________．19、等腰三角形的一个外角为110°，则底角的度数可能是_________．20、如果一个等腰三角形的一个角等于80°，则该等腰三角形的底角的度数是_________．21、等腰三角形_________，_________，_________互相重合，等腰三角形对称轴最多有_________条．22、等腰三角形的两边长分别是4厘米和9厘米，则周长为_________厘米．23、顶角为60°的等腰三角形，两个底角的平分线相交所成的角是_________°．24、两边分别长4cm和10cm的等腰三角形的周长是_________cm．25、如图，△ABC中，点D在AC上，且AB=AD，∠ABC=∠C+30°，则∠CBD=_________度．26、△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD∥BC，BD=BC，∠DBC=_________．27、若等腰△ABC（AB=AC），能用一刀剪成两个等腰三角形，则∠A=_________．28、如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AC，AB上的点，且BC=BD，AD=DE=EB，则∠A=_________度．29、如图所示，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，把△ADC沿直线AD折过来，点C落在C′处，如果BC′=5，则BC=_________．30、等腰三角形一边上的高等于这边的一半，则它的顶角度数为_________．答案与评分标准一、填空题（共30小题）1、（2007•双柏县）等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为9．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系。
人教版八年级上册数学等腰三角形知识点及对应练习(附参考解析)
等腰三角形一、知识梳理：专题一：等腰三角形概念及性质；等腰三角形的判定.二、考点分类考点一：等腰三角形的概念有两边相等的三角形是等腰三角形。
【类型一】利用等腰三角形的概念求边长或周长【例1】如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是()A．9cm B．12cm C．15cm或12cm D．15cm解析：当腰为3cm时，3＋3＝6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为6cm 时，6－3＜6＜6＋3，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为6＋6＋3＝15(cm)．故选D.方法总结：在解决等腰三角形边长的问题时，如果不明确底和腰时，要进行分类讨论，同时要养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．考点二：等腰三角形的性质1、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．2、解题方法：设辅助未知数法与拼凑法．3、重要的数学思想方法：方程思想、整体思想和转化思想．【类型一】利用“等边对等角”求角度【例2】等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是()A ．65°或50° B．80°或40° C ．65°或80° D．50°或80°解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．【类型二】 利用方程思想求等腰三角形角的度数【例3】 如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，求△ABC 各角的度数．解析：设∠A ＝x ，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．解：设∠A ＝x .∵AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝x .∵BD ＝BC ，∴∠BCD ＝∠BDC ＝∠ABD ＋∠A＝2x .∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠BCD ＝2x .在△ABC 中，∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°，∴x ＋2x＋2x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠A ＝36°，∠ABC ＝∠ACB ＝72°.方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x .① ②【类型三】 利用“等边对等角”的性质进行证明【例4】 如图②，已知△ABC 为等腰三角形，BD 、CE 为底角的平分线，且∠DBC ＝∠F ，求证：EC ∥DF .解析：先由等腰三角形的性质得出∠ABC ＝∠ACB ，根据角平分线定义得到∠DBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠ACB ，那么∠DBC ＝∠ECB ，再由∠DBC ＝∠F ，等量代换得到∠ECB ＝∠F ，于是根据平行线的判定得出EC ∥DF .证明：∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB .又∵BD 、CE 为底角的平分线，∴∠DBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠ACB ，∴∠DBC ＝∠ECB .∵∠DBC ＝∠F ，∴∠ECB ＝∠F ，∴EC ∥DF .方法总结：证明线段的平行关系，主要是通过证明角相等或互补．【类型四】 利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明【例5】 如图①，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC .(1)若AD ＝AE ，求证：BD ＝CE ；(2)若BD ＝CE ，F 为DE 的中点，如图②，求证：AF ⊥BC .解析：(1)过A 作AG ⊥BC 于G ，根据等腰三角形的性质得出BG ＝CG ，DG ＝EG 即可证明；(2)先证BF ＝CF ，再根据等腰三角形的性质证明．证明：(1)如图①，过A 作AG ⊥BC 于G .∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴BG ＝CG ，DG ＝EG ，∴BG－DG ＝CG －EG ，∴BD ＝CE ；(2)∵BD ＝CE ，F 为DE 的中点，∴BD ＋DF ＝CE ＋EF ，∴BF ＝CF .∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC .方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．【类型五】 与等腰三角形的性质有关的探究性问题【例6】 如图①，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，BE 是∠ABC 的平分线，DE⊥BC ，垂足为D .(1)请你写出图中所有的等腰三角形；(2)请你判断AD 与BE 垂直吗？并说明理由．(3)如果BC ＝10，求AB ＋AE 的长．解析：(1)由△ABC 是等腰直角三角形，BE 为角平分线，可证得△ABE ≌△DBE ，即AB ＝BD ，AE ＝DE ，所以△ABD 和△ADE 均为等腰三角形；由∠C ＝45°，ED ⊥DC ，可知△EDC 也符合题意；(2)BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，根据角平分线定理可知△ABE 关于BE 与△DBE对称，可得出BE ⊥AD ；(3)根据(2)，可知△ABE 关于BE 与△DBE 对称，且△DEC 为等腰直角三角形，可推出AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC ＝10.解：(1)△ABC ，△ABD ，△ADE ，△EDC .(2)AD 与BE 垂直．证明：由BE 为∠ABC 的平分线，知∠ABE ＝∠DBE ，∠BAE ＝∠BDE ＝90°，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△DBE ，∴△ABE 沿BE 折叠，一定与△DBE 重合，∴A 、D 是对称点，∴AD ⊥BE .(3)∵BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，EA ⊥AB ，∴AE ＝DE .在Rt △ABE 和Rt △DBE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝DE ，BE ＝BE ，∴Rt △ABE ≌Rt △DBE (HL)，∴AB ＝BD .又∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，∴∠C ＝45°.又∵ED ⊥BC ，∴△DCE 为等腰直角三角形，∴DE ＝DC ，∴AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC＝10.① ②考点三：等腰三角形的判定方法(1)根据定义判定；(2)两个角相等的三角形是等腰三角形．【类型一】 确定等腰三角形的个数 【例7】 如图②，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个解析：共有5个．(1)∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形；(2)∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD的角平分线，∴∠EBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠BCD .∵△ABC 是等腰三角形，∴∠EBC ＝∠ECB ，∴△BCE 是等腰三角形；(3)∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－36°)＝72°.又∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝12∠ABC ＝36°＝∠A ，∴△ABD 是等腰三角形；同理可证△CDE 和△BCD 也是等腰三角形．故选A.方法总结：确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角，然后确定等腰三角形，再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数．【类型二】 在坐标系中确定三角形的个数【例8】 已知平面直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，3)，在y 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6解析：因为△AOP 为等腰三角形，所以可分三类讨论：(1)AO ＝AP (有一个)．此时只要以A 为圆心AO 长为半径画圆，可知圆与y 轴交于O 点和另一个点，另一个点就是点P ；(2)AO＝OP (有两个)．此时只要以O 为圆心AO 长为半径画圆，可知圆与y 轴交于两个点，这两个点就是P 的两种选择；(3)AP ＝OP (一个)．作AO 的中垂线与y 轴有一个交点，该交点就是点P 的最后一种选择．综上所述，共有4个．故选B. 方法总结：解决此类问题的方法主要是线段垂直平分线与辅助圆的灵活运用以及分类讨论时做到不重不漏．【类型三】 判定一个三角形是等腰三角形【例9】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边求得CE＝CF，从而求得△CEF是等腰三角形．证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．【类型四】等腰三角形性质和判定的综合运用【例10】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．解析：(1)根据等边对等角可得∠B＝∠C，利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF.(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .在△BDE 和△CEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CE ，∠B ＝∠C ，BE ＝CF ，∴△BDE ≌△CEF (SAS)，∴DE ＝EF ，∴△DEF 是等腰三角形；(2)解：∵△BDE ≌△CEF ，∴∠BDE ＝∠CEF ，∴∠BED ＋∠CEF ＝∠BED ＋∠BDE .∵∠B ＋∠BDE ＝∠DEF ＋∠CEF ，∴∠B ＝∠DEF .∵∠A ＝50°，AB ＝AC ，∴∠B ＝12×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF ＝65°.方法总结：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．经典例题考点一：等腰三角形的概念【例1】等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长为考点二：等腰三角形的性质【例3】已知等腰△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 边上一点，连接AD ，若△ACD 和△ABD 都是等腰三角形，求∠C 的度数。
等腰三角形常见漏解剖析
等腰三角形常见漏解剖析等腰三角形是八年级上学期的重点内容，除了“三线合一”外，也有多种易漏解题型。
等腰三角形的边分为腰长和底边长，角分为顶角和底角，如果题目中没有明确腰、底或顶角、底角的情况，求其余量时，需要分多种情况。
当然，三角形本身还分锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，这也是需要考虑的情况。
01类型一：已知两边如果题目中已知等腰三角形的两边，而没有明确说明腰或底时，求其周长需要分两种情况进行讨论。
我们在求解时，也需要通过三角形三边之间的关系进行验证，检验其是否构成三角形，若不能构成三角形，那么需要舍去。
例题1：已知一等腰三角形的两边长分别为6cm和13cm，求该三角形的周长分析：分类讨论，利用等腰三角形的性质，以及三角形三边关系确定出第三边的长，然后再求三角形的周长。
解：分两种情况考虑：若6cm为等腰三角形的腰长，则三边分别为6cm，6cm，13cm，6+6＜13，不符合题意，舍去；若13cm为等腰三角形的腰长，则三边分别为6cm，13cm，13cm，符合题意，则三角形的周长为：6+6+13=25cm。
02类型二：已知一内角已知等腰三角形的一个内角，没有明确说是什么角，那么我们需要分两种情况进行讨论，该角可能是顶角，也可能是底角。
例题2：等腰三角形的两个外角的度数比为1：4，求则它底角的度数分析：先设这两个外角等于x，4x，然后分类讨论，①若底角的外角是x；②若顶角的外角是x，再结合三角形内角和定理可求x，从而求解。
解：设这两个外角等于x，4x，①若底角的外角是x，则有2（180°-x）+（180°-4x）=180°，解得x=60°，则底角等于120°，不合题意，舍去．②若顶角的外角是x，则有（180°-x）+2（180°-4x）=180°，解得x=40°，则顶角等于140°，那么底角等于20°．类型三：已知一腰上的中线等腰三角形中一腰上的中线将等腰三角形分成两部分，一部分为腰长+一半的腰长，另外一部分为一半的腰长+底边，因此也需要分两种情况进行讨论。
03-第十三章13.3.1等腰三角形
例3 如图13-3-1-2,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,∠B=30°,连接 AD.若∠BAD=45°,求证:△ACD为等腰三角形.
图13-3-1-2 证明 ∵AB=AC,∠B=30°, ∴∠B=∠C=30°,∴∠BAC=180°-30°-30°=120°, ∵∠BAD=45°,∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=120°-45°=75°,∠ADC=∠B+ ∠BAD=75°,∴∠ADC=∠CAD,∴AC=CD, 即△ACD为等腰三角形.
∵EF∥BC, ∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCD, ∴∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO, ∴BE=OE,CF=OF, ∴EF=OE-OF=BE-CF. 点拨 本题运用平行线性质以及角平分线的定义证明角之间的关系,进 而运用等腰三角形的判定定理(等角对等边)得出线段之间的关系,这是 证几何题中常用的方法.
9.(2018广西桂林中考)如图13-3-1-8,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平
分∠ABC,则图中等腰三角形的个数是
.
答案 3
图13-3-1-8
解析 因为AB=AC,所以△ABC为等腰三角形;因为∠A=36°,所以∠ABC =∠C=72°,因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠DBC=36°,因为∠DBA=∠A =36°,所以△ABD为等腰三角形;又因为∠BDC=∠A+∠ABD=72°,所以 ∠BDC=∠C,所以△BDC为等腰三角形,故答案为3.
题型三 等腰三角形判定与性质的综合应用 例3 如图13-3-1-5所示,已知△ABC中,AB=AC,BD和CE分别是∠ABC和 ∠ACB的平分线,且相交于O点.
图13-3-1-5 (1)试说明△OBC是等腰三角形; (2)连接OA,试判断直线OA与线段BC的关系,并说明理由.
人教版八年级数学上册专题课件5.等腰三角形中易漏解或多解的问题
D E B 图1 C
E D B
A C
图2
若△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为 50°，求底角∠B的大小.
A
解：由于△ABC的形状不确定，故需分类讨论. ① 若△ABC为锐角三角形，则AB的垂直平分线 与AC的交点在射线AC上，如图1，∠AED＝ 50°，则∠A＝90°－50°＝40°，底角∠B ＝(180°－40°)÷2＝70°；
B E D A C
图2
在处理与三角形高线或某边垂直平分线相关的问题时，要注意高线或者垂 足的位置，通常需要分类讨论，画出所有满足条件的图形后分别处理.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方法总结
对于没有明确顶角和底角而求三角形内角的等腰三角形问题，通常需
要分类讨论，同时要注意等腰三角形的底角小于90°，以避免出现多解或
漏解现象.
在等腰三角形的问题中，经常会遇到与高相关的问题，由于高可能在三角 形内部也可能在三角形外部，因而常需要分类讨论解决.
类型三：三角形的形状不明与高结合时没有分类讨论 已知等腰△ABC腰AB上的高CE与另一腰AC的夹角为30°，则其顶角的度数 为___________
等腰三角形中易漏解或多解的问题
在等腰三角形的问题中，如果条件中没有明确底和腰,这类问题通常需要 分类讨论，否则易出现多解或漏解现象.
类型一：求长度时忽略三边关系
17 例：已知等腰三角形的两边长为3和7，则其周长为______.
方法总结
对于没有明确底和腰的等腰三角形问题通常需要分类讨论，同时需要
B D E 图1 C
若△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为 50°，求底角∠B的大小. 解：②若△ABC为钝角三角形，则AB 的垂直平分线与AC的交点在CA的延长 线上，如图2，∠AED＝50°，则 ∠BAC＝∠AED＋∠ADE＝90°＋ 50°＝140°，底角∠B＝(180°－ 综上所述，∠ 140° )÷2＝20° B为70°或20°.
第02讲 等腰三角形中易漏解或多解的问题(拓展提升)(解析版)
思维导图核心考点聚焦1.求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错2.当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错3.求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错4.三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错1.等腰三角形的性质（1（2角的三线合一图形：1.求等腰三角形的周长，要先考虑三角形的三边是否能构成三角形考点剖析【答案】2516或52或4，则216BP BC cm ==，，，图2③如图3，当图3故答案为：9或【解析】如图，∵AB AC BD =，是AC 边上的中线，即AD CD =，∴()()15123||||cm AB AD BC CD AB BC +-+=-=-=，2121527cm AB BC AC AB BC ++=+=+=，若AB BC >，则3cm AB BC -=，又∵227cm AB BC +=，联立方程组:3227AB BC AB BC -=⎧⎨+=⎩,解得：10cm 7cm AB BC ==，，10cm 10cm 7cm 、、三边能够组成三角形；若AB BC <，则3cm BC AB -=，又∵227cm AB BC +=，联立方程组3227BC AB AB BC -=⎧⎨+=⎩,解得：8cm 11cm AB BC ==，，8cm 8cm 11cm 、、三边能够组成三角形；∴三角形的各边长为10cm 10cm 7cm 、、或8cm 8cm 11cm 、、．【变式训练】1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45︒，那么这个三角形的顶角为（）A ．45︒B ．90︒C ．135︒D ．135︒或45︒【答案】D【解析】如图1，三角形是锐角三角形时，∵45ACD ∠=︒，∵45ACD ∠=︒，∴顶角4590135BAC ∠=︒+︒=综上所述，顶角等于45︒或135如图，当CD 在ABC CD AB⊥ 90BAC ACD ∴∠=︒+∠AB AC= 30B C ∴∠=∠=︒故答案为60︒或30︒过关检测【答案】80︒，65︒或【解析】当C ∠是顶角时，∴180C A ∠=︒-∠-∠当C ∠是底角，A ∠是顶角时，∴180652A C ︒-∠∠==当C ∠、A ∠都是底角时，∴50C A ∠=∠=︒；综上，C ∠的度数可能是故答案为：80︒，65︒或7．在平面直角坐标系中，坐标是【答案】()3,0-或(2,0-【解析】根据题意，作图如下，∵()3,0A ，()0,4B ，∴3,4OA OB ==，在Rt AOB △中，22AB OA OB =+以AB 为腰作等腰三角形ABC ，①1BC BA =，则1ABC 是以AB 为腰作等腰三角形，∴()13,0C -；②2AB AC =，则2ABC △是以AB 为腰作等腰三角形，∴AC 2=5，且3OA =，∴2532OC =-=，则()22,0C -；③3AB AC =，则2ABC △是以AB 为腰作等腰三角形，∴35AC =，∴33358OC OA AC =+=+=，则C 综上所述，点C 坐标是()3,0-或(-故答案为：()3,0-或()2,0-或(8,0)8．在ABC △中，110ABC ∠=︒，点腰三角形，则CDB ∠的度数是【答案】40︒或90︒或140︒【解析】如图1中，当CDB ∠如图3中，当90DBC ∠=︒，DA 40CDB A DBA ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：40︒或90︒或140︒．三、解答题9．如图，ABC △中，90C ∠=运动，且速度为每秒2cm ，设运动的时间为(1)当1t =时，求PBC △的面积．(2)当t 为何值时，CP 把ABC △(3)当t 为何值时，BCP △为等腰三角形？【解析】（1）解：当1t =时，PBC ∴△的面积为1BC CP ⨯=故答案为：26cm ．（2）解：ABC 中，∴2AB AC BC =+∵1122AC BC ⨯=∴ 4.8CE =∴226 4.8PE =-∴27.2BP PE ==∴AP AB PB =-=∴82AC AP t +==②如果BC BP =③如果PB PC =∵PB PC =，∴12∠=∠，又∵12A ∠+∠=∠∴3A ∠=∠∴PC PA =，∴PA PB =,即P 在AB 的中点，此时()8513cm CA AP +=+=，132 6.5(t =÷=秒)；综上可知，当3t =秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，BCP 为等腰三角形．10．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图（1），BE 是ABD △的“双等腰线”，AD 、BE 是ABC △的“三等腰线”．(1)请在图（2）中，作出ABC △的“双等腰线”，并标注相等角的度数①70B ∠=︒，35A ∠=︒②81B ∠=︒，27A ∠=︒．(2)直角三角形的______就是它的“双等腰线”(3)已知ABC △中，33C ∠=︒，AD 和DE 分别是ABC △的“三等腰线”，点D 在BC 边上，点E 在AB 边上，且AD DC =，BE DE =，请根据题意写出B ∠度数的所有可能的值______．【详解】（1）解：如图，取CD BC =，则70CDB B ∠=∠=︒，35A ∠=︒ ，703535ACD ∴∠=︒-︒=︒，ACD A ∴∠=∠，AD CD BC ∴==，ADC ∴ 和BCD △是等腰三角形；如图，作AB 的垂直平分线DE ，交AC 于D ，交AB 于E ，连接BD ，AD BD ∴=，27A ABD ∴∠=∠=︒，54CDB ∴∠=︒，81ABC ∠=︒ ，812754CBD BDC ∴∠=︒-︒=︒=∠，CD BC ∴=，ADB ∴ 和BCD △是等腰三角形；（2）直角三角形斜边中线把直角三角形分成两个等腰三角形，故答案为：斜边中线；（3）如图，设B x ∠=，∵33C ∠=︒，AD DC =，∴33C DAC ∠=∠=︒，180114EAD B C DAC x ∠=︒-∠-∠-∠=︒-，∴66ADB ∠=︒∵BE DE =，∴B BDE x ∠=∠=，∴2AED x ∠=，66ADE ADB BDE x ∠=∠-∠=︒-，∵AD 和DE 分别是ABC 的“三等腰线”，∴ADE V 是等腰三角形，当AD DE =时，EAD AED ∠=∠，则1142x x ︒-=，解得38B x ︒==∠；当AD AE =时，ADE AED ∠=∠，则662x x ︒-=，解得22B x ︒==∠；当AE DE =时，EAD ADE ∠=∠，则11466x x ︒-=︒-，无解；综上所述，B ∠度数的所有可能的值为38︒、22︒、66︒、57︒、48︒．故答案为：38︒、22︒．。
初二数学-等腰三角形10道典型题剖析
思路分析：由BD平分∠ABC，
A
易知∠1=∠2， 则设∠1=∠2
=x，由AB=AC可得
1
∠C=∠1+∠2=2x,在△DBC中
2
由三角形内角和定理可列出x B
D C
的方程，求出x．
解：设1 x,
BD平分ABC，
A
1 2 x, AB AC,
1 2
B
D C
C ABC 1 2 2x．
在DBC中，
提示： 本题为文字命题，解题时应分为以下 三个步骤： （1）根据题意作图； （2）写出已知， （3）进行求证．
已知：在ABC中，AB AC, D为底边BC
的中点，DE AB于点E, DF AC于点F．
求证：DE DF．
A
思路分析：由等腰三角形的性质易得
E
F
B C,又BD DC，DE AB, DF AC，
∴∠FBC+∠C+∠FBC=3∠C,
∴∠FBC=∠C, ∴BF=FC, ∴AC-AB=2BE.
例8．如图，△ABD、 △AEC都是等边三角 形，求证： △AFG是等边三角形．
思路分析：利用等边三角 形的性质可推出，边、角 的等量关系，从而易证三 角形全等，进而说明
△AFG是等边三角形．
证明：∵△ABD 和△AED是正三角形， ∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴ ∠CAD=∠BAD+∠CAB=60°+∠CAB, ∠BAE=∠CAE+∠CAB=60°+∠CAB, ∴ ∠CAD=∠BAE, △ADC≌△BAE, ∴ ∠ADF=∠GBA．
70°、40°或55°、55°
引申： 已知等腰三角形的一个角是110°， 求其余两角．
2016中考数学等腰三角形中的常见问题
等腰三角形中的常见问题等腰三角形的知识是整个初中数学教材中的重要内容之一，中考中也作为总要的考点。
在教学中笔者总结了解决等腰三角形相关问题的一些实用的解题思想方法，供大家参考。
等腰三角形的知识内容：1、有两边相等的三角形是等腰三角形。
相等的两条边叫等腰三角形的腰，第三条边叫等腰三角形的底边。
2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等。
（简称“等边对等角”） （2）等腰三角形的顶角平分线垂直于底边，并且平分底边。
（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。
（简称“三线合一”）3、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等。
（简称“等角对等边”） 4、等边三角形：（1）三条边均相等的三角形是等边三角形。
（2）等边三角形的每个角都相等，并且每个角都等于60°。
（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
等腰三角形中常见的结论：1、 等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半；2、 等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于一腰上的高（运用面积法，底边延长线上的点到两腰距离的差等于一腰上的高）；3、 三条线段能构成等腰三角形的条件是：为腰的两条线段（相等的两条线段）的和大于第三条线段。
4、 过角的平分线上的点作一条边的平行线能构成等腰三角形。
以上知识的运用在等腰三角形的学习中占很重要的地位，现举例如下： 例1、等腰三角形的周长为12，且其各边长均为整数，求各边长。
解：设其腰长为x ，则底边长为（12－2x ），由题意得：2122212x xx >-⎧⎨<⎩解得3<x<6 ∵x 为整数 ∴x=4或5∴该等腰三角形的三边长分别为：4、4、4或5、5、2。
例2、（1）等腰三角形的一个角为50°，求另外两个角的度数。
(2) 等腰三角形的一个外角为100°，求该等腰三角形的顶角。
2020年八年级数学上册第十三章易错易混专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题
10．(2019－2020·江夏区期末)在 Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，以△ABC 的一边为边画等腰三角形，使得 它的第三个顶点在△ABC 的其他边上，则可以画出 的不同的等腰三角形最多有( B ) A．9 个 B．7 个 C．6 个 D．5 个
2．某等腰三角形的三边长分别为 x，3，2x－1，则
该三角 或 8 或 5 D．与 x 的取值有关
3．已知等腰三角形中，一腰上的中线将三角形的周 长分成 6 cm 和 10 cm 两部分，求这个三角形的腰长 和底边长． 解：如图，等腰△ABC 中，AB，AC 为腰，CD 为中 线，则 AD＝BD＝ 1 AB＝ 1 AC.
个不同的度数．
7．(2019－2020·庐江县期中)在△ABC 中，AH 是 BC 边上的高．若 CH－BH＝AB，∠ABH＝70°，则∠BAC ＝ 75或35 °.
解析：分以下两种情况讨论：当∠ABC 为锐角时， 过点 A 作 AD＝AB，交 BC 于点 D，如图①所示． ∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABH＝70°，BH＝DH. ∵AB＋BH＝CH，CH＝CD＋DH，∴CD＝AB＝AD. ∴∠C＝ 1 ∠ADB＝35°. ∴∠BAC＝
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1D
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5
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7 75或35
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9C
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10 B
1．(2019－2020·武昌区期中)若等腰三角形的周长为
19 cm，一边长为 7 cm，则腰长为( D )
A．7 cm
B．5 cm
C．7 cm 或 5 cm D．7 cm 或 6 cm
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111 等腰三角形中的易漏解题于等腰三角形的边分腰和底边；角分顶角和底角；因此在已知等腰三角形的边或角在未指明腰和底边或顶角和底角的情况下，求其余未知量时，均须分两种情况进行讨论。
一、已知等腰三角形的两边，在未指明底边和腰时，求其周长须分两种情况进行讨论；最后务必检验每种情况是否满足三角形的三边关系。
例１、已知等腰三角形的两边长为３和4；求其周长。
解：（１）、当腰长为3，底长为4时；有3+3+4=10；其周长为10； （２）、当腰长为4，底长为3时，有4+4+3=11；其周长为11。
∴该等腰三形的周长为10或11。
例２、已知等腰三角形的两边长为３和７；求其周长。
（2005芜湖市中考12题）解：（１）、当腰长为３，底长为７时，有3+3<7；显然不符合三角形的三边关系，组不成三角形； （２）、当腰长为７，底长为３时，有7+7+3=17；其周长为17。
∴该等腰三角形的周长为17。
二、已知等腰三角形的一内角,在未指明顶角和底角时，求其余两角；须分两种情况进行讨论，最后务必检验是否满足三角形的内角和定理。
例３、已知等腰三角形的一内角为70°；求其余两个内角。
解：（１）、当顶角为70°时；其余两底角为55°，55°； （２）、当底角为70°时，其余两角为70°，40°； ∴该等腰三角形其余两角为55°，55°或70°，40°。
例４已知等腰三角形的一内角为95°；求其两个内角。
解：（１）当顶角为95°时，其余两角为42.5°,42.5°；（２）当底角为95°时，两角之和为95°+95°＞180°；不符合三角形的内角和定理。
显然不成立。
∴该三角形的其余两角为42.5°，42.5°。
三、已知等腰三角形的一个外角（未指明顶角还是底角的情况下），应分两种情况进行讨论。
例５已知等腰三角形的一个外角为75°；求其内角。
解：（１）、当顶角的外角为75°时，等腰三角形的三个内角分别为105°，37.5°，37.5°。
(2)、当底角的外角为75°时，则底角为105°，此时有105°+105°＞180°，不符合三角形的内角和定理；因而组不成三角形。
∴该等腰三角形的三个内角为105°，37.5°，37.5°。
例６、已知等腰三角形的一个外角为110°；求其内角。
解：（１）、当顶角的外角为110°时，三角形的三个内角为70°，55°，55°。
（２）、当底角的外角为110°时，等腰三角形的三个内角分别为70°，70°，40°。
∴该等腰三角形的内角为70°，55°，55°或70°，70°，40°。
四、已知等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角，求其内角时；应分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论。
例７、已知等腰ΔABC 腰AB 上的高CD 与另一腰AC 的夹角为 30°，则其顶角的度数为（ ）。
A 、60° B 、120°C 、60°或150°D 、60°或120°（2005临沂市中考题） 解：（１）、如图一：当等腰ΔABC 为锐角三角形时，底角为60°，60°，顶角为60°。
（２）、如图二：当等腰ΔABC 为钝角三角形时，顶角为120°，底角为30°，30°。
∴答案选D说明：当等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为0°时；显然为等腰直角三角形，只有一种情况。
例8、为了美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长为10米的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
（2003黑龙江中考题）分析：此题只给了等腰三角形的一边为10，此边可为底，可为腰，且还须分锐角三角形和钝角三角形加以讨论，否则易漏解。
图一 D C B ADCB A图二222 解：分三种情况，不妨设等腰ΔABC 中，边AB ＝10米，过C 点 作CD ⊥AB ，垂足为D ，ABC1.30,2S AB CD ∆==解得CD ＝6（米）， （1）、如图一，AB 为底时，AD ＝DB ＝5（米），AC ＝CB=（2）、当AB 为腰且三角形为锐角三角形时， AC ＝AB ＝10米，AD8=（米），BD ＝2米，BC=（3）当AB 为腰且三角形为钝角三角形时， AC ＝AB ＝10米，AD8=（米），BC=米。
综上所得：米或10米，10米，五、已知等腰三角形一腰上垂直平分线与另一腰的夹角，求底角时，应分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论。
例9、在ΔABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B 的大小。
解：（１）、如图一：当等腰ΔABC 为锐角三角形时，有∠AED ＝40°，则∠A ＝50°，，∠B ＝65°。
（2）、如图二：当等腰ΔABC 为钝角三角形时，此时∠AED ＝40°，则∠BAC ＝130°，，∠B ＝25°。
综上所述：底角∠B 的大小为65°或25°。
六、以已知线段为腰作等腰三角形时，通常要分以该腰不同顶点为顶角顶点两种情况进行讨论。
例10、在平面直角坐标系中，已知点A （2,1），O 为坐标原点，请你在坐标轴上确定点P ，使得ΔAOP 成为等腰三角形。
在给出的坐标系中把所有这样的点P 都找出来，画上实心点，并在旁边标上P 1，P 2，…P K 。
（有k 个就标到P K 为止，不必写出画法）（2005杭州市中考题）解：（1）、如图一，以O 为顶角顶点，以OA 为腰时，只须以O 为圆心，以OA 为半径作圆，与坐标轴分别交于P 10）P 2（P 3（），P 4（0,），分别连接P 1A ，P 2A ，P 3A ，P 4A ，可得到四个等腰三角形ΔOAP 1，ΔOAP 2，ΔOAP 3，ΔOAP 4ADBCE图二 A C B DE 图一 C图一D ABA CD图二AB图三D C图一图二图三333 （2）、如图二，以A 为顶角顶点，以OA 为腰时，只须以A 为圆心，以AO 为半径作圆，与坐标轴分别交于P 5（4,0），P 6（0,2），分别连接P 5A ，P 6A ，可得到两个等腰三角形ΔOAP 5，ΔOAP 6，（3）、如图三，当OA 为底时，作OA 的中垂线分别与坐标轴相交于P 7（54,0），P 8（0,52）。
显然符合条件的P 点位置有8个。
例11、在正方形ABCD 中，满足ΔPAB ，ΔPBC ，ΔPCD ，ΔPAD 均为等腰三角形的点P 有（ ）个。
A 、6个 B 、7个 C 、8个 D 、9个解：（1）、如图一，当AB ，BC ，CD ，DA 分别为等腰三角形ΔPAB ，ΔPBC ，ΔPCD ，ΔPAD 的底边时，P 点为正方形ABCD 对角线AC ，BD 的交点P 1 。
（2）、如图二，当AB ，CD 分别为ΔPAB 和ΔPCD 的 腰且A 与D 为等腰三角形的顶角顶点而BC 和AD 分别为ΔPBC 和ΔPAD 的底边时；P 点的位置为以A 为 圆心，以AB 为半径的圆弧与线段AD 的中垂线交点P 2和P 3 。
（3）、如图三，当AB ，CD 分别为ΔPAB 和ΔPCD 的 腰且B 与C 为等腰三角形的顶角顶点而BC 和AD 分 别为ΔPBC 和ΔPAD 的底边时；P 点的位置为以B 为 圆心，以BA 为半径的圆弧与线段AD 的中垂线交点 P 4和P 5 。
与（2）和（3）同理如图三、四、五得到以当AD ，BC 分别为ΔPAD 和ΔPBC 的腰而AB 和CD 分别为ΔPBC 和ΔPAD 的底边时；P 点的另外四个位置为P 6，P 7 ，P 8 和P 9 。
答案选D 。
七、在等腰三角形中，若三边的长度中含有字母要分三种情况讨论。
例12、在矩形ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝4cm 。
设P ，Q 分别为BD ，BC 上的动点，在点P 自点D 沿DB 方向作匀速运动的同时，点Q 自点B 沿BC 方向向点C 作匀速运动，移动速度均为1cm/s,设点P ，Q 移动的时间为t(0<t ≤4)。
（1）、写出ΔPBQ 的面积S （cm 2）与时间t(s)之间的函数表达式，当t 为何值时，S 有最大值？最大值是多少？ （2）、当t 为何值时，ΔPBQ 为等腰三角形？（3）、ΔPBQ 能否成为等边三角形？若能，求t 的值，若不能，说明理由？（2006年临沂市中考第26题）DC图一 P 3 P 2 C B D A 图二 C B D A P 9P 8 图五 C B D A P 7 P 6 图四 P 4 C B D A P 5 图三444 解：（1）、如图一，自点P 向BC 引垂线，垂足为M ，则PM ∥DC ，3,45PM BPDC AB BC DC BDBD ∴====∴===Q 当P ，Q 运动t 秒后，DP ＝BQ ＝1.t ＝t,BP=5-t.()253.15355111533515225102851504,t=S .28PBQ t BP DC tPM BD t S BQ PM t t t ∆-⨯-∴===-⎛⎫∴=⨯⨯=⨯=--+ ⎪⎝⎭<≤∴Q 当时，取得最大值，最大值为(2)、若ΔBPQ 为等腰三角形。
①如图二，当PB ＝PQ 时，自点P 向BC 引垂线，垂足为M ， 则有BM ＝MQ ，在RT ΔBMP 中，BP ＝5-t ，t BM BC 4BM=,cos DCB===2BP BD 5∠ 20-4t t 40=,t=.5213∴解得②当BQ ＝BP 时，有t=5-t,解得5t=2③如图三，当BQ ＝PQ 时，自点Q 向BD 引垂线，垂足为N.由Rt ΔBNQ ∽Rt ΔBCD ，得5-tBN BQ t 252==,t=.BC BD 4513∴解得（3）不能。
若ΔPBQ 为等边三角形，则∠PBQ ＝60°，此时tan ∠而这与由已知在矩形ABCD 中，由AB ＝3，BC ＝4得到的结论tan ∠PBQ=34相矛盾；∴ΔPBQ 不能为等边三角形。
图一CDC图三 C图二555 例1、在ΔABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 边上的高，并且AD 2＝BD.DC ，则∠BCA 的度数为＿＿＿＿，（2005年北京市）析解：这类没有给出图形的问题，解决它一般要用分类讨论的思想，否则极易造成漏解。