平行线角平分线构造等腰三角形专题
平行线角平分线构造等腰三角形专题
龙文教育个性化辅导教案讲义任教科目：授课题目：年级：任课教师：授课对象：武汉龙文个性化教育常青二校区教研组组长签字：教学主任签名：日期：武汉龙文教育学科辅导讲义教学流程及授课详案一由课本例题引入1 近几年中考题往往由平行线，角平分线来推证同一三角形两个角相等，从而推证两边相等。
或者由其中两个条件推证另一个条件例 (1)AD是 ABC的外角平分线，（2）AD // BC （3）求证： ABC是等腰三角形分析讨论想一想能不能由（1）（3）证明（2）或者（2）（3）证明（1）？变式（2012京门）已知：如图7－9，在ΔABC中，CE是角平分线，EG∥BC，交AC边于F，交∠ACB的外角（∠ACD）的平分线于G，探究线段EF 与FG的数量关系并证明你的结论．EFCBAD2试一试1、 （2011）如图,AC 和BD 相交于O ，且AB ∥DC ，OA=OB, 求证：OC=OD.2．（2012）如图，△ABC 中，AM ，CM 分别是角平分线，过M 作DE ∥AC 求证：AD+CE=DE 3．（2012）如图，∠AOB=30°，OC 平分∠AOB ，CD ⊥OA 于D ，CE ∥AO 交OB 于E CE=20cm ，求CD 的长。
4．（2012）如图，△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，则图中等腰三角形的个数（ ）（A ）1个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个5（2012北京）、如右图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF 等于（ ）Ａ．5 Ｂ．4 C ． 3D ．2ODCBAAEB CD 第16题例2（2012浙江）．（8分）如图， AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠A=120°，∠C=60°，AB=CD=4cm ，求四边形ABCD 的周长．[来源:Z*xx*]三 课堂小结1 当题目中有角平分线时，可通过构造等腰三角形或全等三角形来寻找解题思路，或利用角平分线性质去证线段相等：要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法： （1）、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。
平行四边形——常用模型(二) 平行线、角平分线和等腰三角形.doc
平行四边形——常用模型（二）平行线、角平分线和等腰三角形
“三兄弟”——平行线、角平分线和等腰三角形经常会在平行四边形这一章进行运用，是必须要熟练掌握的模型，作为组合类辅助线，看见其二，还要想到构造另外一个，考察最多的是平行线+角平分线，延长法构造等腰三角形.
下面让我们一起来研究下：
一、平行线+角平分线
如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，则AB=BE.
∵AD∥BC
∴∠EAD=∠BEA
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠EAD
∴∠BAE=∠BEA
∴AB=BE
二、角平分线+等腰三角形
如图，AE平分∠BAD，AB=BE，则AD∥BC.
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠EAD
∵AB=BE
∴∠BEA=∠BAE
∴∠BEA=∠EAD
∴AD∥BC
三、平行线+等腰三角形
如图，AD∥BC，AB=BE，则AE平分∠BAD.
∵AD∥BC
∴∠BEA=∠EAD
∵AB=BE
∴∠BAE=∠BEA
∴∠BAE=∠EAD
∴AE平分∠BAD
四、平行线+角平分线（辅助线）
延长法（延长角平分线）构造等腰三角形
如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，则
延长CE交AB于点F，
易得：△ACF是等腰三角形.
结语：
平行线，角平分线，等腰三角形就像三兄弟，他们形影不离，题目中出现其中二个，要想到另外一个，如果没有，可以通过添加辅助线得到另外一个。
只有熟练掌握了，我们才能提高做题效率。
练习：。
模型平行线角平分线等腰三角形三者知二推一
模型“平行线”、“角平分线”、“等腰三角形”三者知二推一【几何模型】“角平分线”、“平行线”、“等腰三角形”三者知其二必推出其一。
初中数学学习难在几何题没有思路当然了，有了思路就感觉简单了，那么为什么没有思路？关键是没有掌握几何证明题的本质，他是一个推理过程，就是具备什么条件，一定会具有一个结论。
往往对推理过程不熟练，思考不到条件下结论存在性，挖空心思也写不出步骤。
这就需要训练做题，思考总结出具备什么条件会有什么结论，做题时直奔主题，不用再思考了，日积月累，书到渠成，再解决几何问题就不难了。
在△ABC中，∠BAC=α[定值]，BC=a[定值]，可得“定弦定角”模型，找隐圆；【例题】：挖掘定角与定线背景内涵，思考最值问题第25题初审可知第三问考查定角定中线模型（附尺规作图）及解法；联想到定角定高模型（参考题:2020年沈河一模第25题）；最后小编原创题考查定角定角平分线。
【思维教练3】—“知识储备”前文已更新：倍长中线，构造“定弦定角”模型，找到隐圆求解。
亦可构造等边三角形转化线段，得：“共顶点的两个等边三角形”；其中，方法二：根据“垂线段最短”得：CK≤CG，则CK的最大值为2√(3)，CM+CN=EF+EN=FN；【你看出思路了吗】小编原创试题“考查定角定角平分线”，1．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AD平分∠BAC．若∠B O C＝120°，则∠C AD的度数为．2．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径．若∠BCA＝50°，则∠AD B的度数为．3．已知圆锥的底面半径为1cm，高为cm，则它的侧面展开图的面积为cm²．4．如图，AB是半圆O的直径．弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离为．5．如图，在⊙O中，点A在弧BC上．若∠B O C＝100°，则∠BA C的度数为．▱ABCD的6．如图，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径是．7．如图，已知锐角△ABC内外接于半径为2的⊙O．若OD⊥BC于点D，∠BAC＝60°，则OD＝．8．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径．若∠BAD＝40°，则∠AC B的度数为．9．已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则该圆锥的侧面展开图的面积为．10．已知圆锥的底面圆半径为3，侧面面积为12，则该圆锥的母线长为．11．在⊙O中，若弦BC垂直平分半径O A，则弦BC所对的圆周角等于．12．如图，已知AB是⊙O的直径．P A切⊙O于点A，线段P O交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝36°，则∠B＝．13．用一个圆心角为90°，半径为20 cm的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径是．14．已知圆锥的底面圆半径为2.5，母线长为9，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数为．15．如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为点O，分别以点A、C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留）16．如图，在△A BC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．若以A C所在直线为轴，把△A BC旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面面积是．17．如图，在△A BC中，若∠A CB＝45°，A B＝6．则△A BC的面面积的最大值是．18．如图，在扇形△AO B中，OA＝O B＝2，∠AO B＝90°，点C为弧A B上一点．∠AO C＝30°，连接BC，过点C作OA的垂线交OA于点D，则图中阴影部分的面积为．19．如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠AD B＝18°，则这个正多边形的边数为．20．如图，在半径为6的⊙O中．若∠AO B＝60°，则图中阴影部分的面积为．21．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形制作一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则此圆锥的底面圆半径是．3一．圆典型基本模型图模型1图形：⑴如图，A B是⊙O的直径，点C、E是⊙O上的两点．基本结论有：①A C平分∠B AE是；②A D⊥CD；③CD是⊙O的切线；三个论断，知二推一．⑵⑶⑷⑸⑹④⑤⑥如图，A B是⊙O的直径，点C、E是⊙O上的两点．20．如图，在半径为6的⊙O中．若∠AO B＝60°，则图中阴影部分的面积为．接圆的直径．若∠BCA＝50°，则∠AD B的度数为．∠A BACDB O＝90°，2．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，△ABC的顶点A、B、C均在格点上，AB与网格交于点D．AD的长为；OP．AB2A2B，A′B′OP．AB2A2B，A′B′OP．AB2A2B，A′B′（2）点P是边AC上一点，当△APD∽△ABC时，仅用无刻度的直尺确定点P的位置，简单说明作图方法（不要求证明）．≌≌≌1．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点O、点A在格点上，⊙O的半径为3，点B、点C在⊙O上．½∥⅓⅔¼°²³ⁿ∵∴⑥⑦½∥⅓⅔¼°²³ⁿ∵∴⑥⑦½∥⅓⅔¼°²³ⁿ∵∴⑥⑦´＇´＇´＇（1）若∠⊥CAO＝90°，ADAC的长为；①②③B．②④①②③B．②④（2）若∠BAO＝60°，仅用无刻度的直尺确定点B的位置，简单说明作图方法．⊙O上．2．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，△ABC的顶点A、B、C均在格点上，AB与格交于点D．（2）点P是边AC上一点，当△APD∽△ABC时，仅用无刻度的直尺确定点P的位置，简单说明作图方法（不要求证明）．过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP．AB2A2B，BD＝n•BF，沿A→B→C→D→A方向运动到点A 处停止．过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB∏于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，cm BD＝n•BF，沿A→B→C→①②⑤①②⑤①②⑤精选试题解析（1）。
专题12 构造等腰三角形的常用方法(原卷版)
专题12 构造等腰三角形的常用方法（原卷版）类型一作一腰的平行线构造等腰三角形1．如图，△ABC中，AB＝AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD＝CF，连接DE交BC于E．求证：DE＝EF．2．（2020秋•义马市期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，点P为边AB上一点（不与点A、点B重合），PM⊥BC，垂足为M，交BD于点N．请猜想PN与BM之间的数量关系，并证明．3．（2020秋•九龙坡区期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC边于点D，点E是BC边的中点，线段EF∥AD交线段AB于点G，交线段CA的延长线于点F．（1）若CF＝6，AG＝2，求AC的长；（2）求证：BG＝CF．类型二利用角平分线+垂线构造等腰三角形4．（2021春•万柏林区校级月考）如图，△ABC的面积为6cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，则△PBC的面积是cm2．5．（2021秋•上杭县期中）已知：如图，DE平分∠AEB，∠B＝∠EAC，ED⊥AD于D．求证：AD平分∠BAC．类型三利用截长补短法构造等腰三角形6．（2021秋•拱墅区期中）如图，AD是△ABC的高，且AB+BD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C的度数为．7．（2020秋•绵阳期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB+BD＝DC，求∠C的度数．8．（2023春•雨城区校级期中）已知△ABC中，AB＝AC，BE平分∠ABC交边AC于E．（1）如图（1），当∠BAC＝108°时，证明：BC＝AB+CE；（2）如图（2），当∠BAC＝100°时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于BC，若有请写出结论并完成证明．类型四利用倍角关系构造等腰三角形9．（2020秋•南岗区月考）如图，AD平分∠BAC，∠ABC＝3∠C，BE⊥AD垂足为E，AB＝8，BE＝2.5，则AC＝．10．已知E为△ABC内部一点，AE延长线交边BC于点D，连接BE、CE，∠BED＝∠BAC＝2∠DEC，如图，若AC＝AB，求证：BE＝2AE．类型五作底边的平行线构造等腰三角形12．如图，等边△ABC中，D在边AC延长线上一点，延长BC至E，使CE＝AD，DG⊥BC于G，求证：BG＝EG．13．（2012秋•五河县期末）如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC边于D．（1）求证：PD＝DQ；（2）若△ABC的边长为1，求DE的长．类型六构造等边三角形15．（华容区校级期中）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，D，E分别为AC，AB上的点，∠DBC＝60°，∠ECB＝50°，则∠BDE＝．16．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝40°，P为三角形内的一点，且∠PCA＝20°，∠P AB＝20°，求∠PBC的度数．。
角平分线与平行线结合的等腰三角形问题Word版
角平分线与平行线构造等腰三角形问题基本图形1已知： AB∥CD, （1）CE平分∠ACD交AB于E.问⊿ACE是什么特殊三角形？（2）反过来，若AC＝AE,问CE是∠ACD的平分线吗?基本图形2已知：△ABC,AB＝AC,（1）AE是外角∠BAD的平分线.问AE与BC平行吗？（2）若AE∥BC，问∠DAE＝∠BAE吗？（3）若AE是外角∠BAD的平分线，且AE∥BC，AB＝AC吗？问题举例1.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形。
2．（2016•泰安）如图，在□ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．63．如图，CD、BD平分∠BCA及∠ABC，EF过D点且EF∥BC，AB＝8，AC＝6 。
则△AEF的周长是______ 4.（2013泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC 交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2B．4C．4 D．85.（2013菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=3CE时，EP+BP= ．6.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边C D上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．47.已知：□ABCD,BE平分∠ABC, CF平分∠BCD,BE、CF分别交AD于E、F，BE与CF交于点G．(1)求证：BE⊥CF．(2)若AB=5，BC=8，求EF的长．8.（2013•张家界）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.求证：OE=OF；9.（2013泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；10.已知：△ABC，AB＝AC，AE是外角∠BAD的平分线，点D为BC的中点，DE∥AC交AE于E,连接BE.求证：四边形AEBD是矩形. 11.（2017.岱岳区）如图，已知一次函数y=23x-3与反比例函数y=xk的图象相交于点A（4，n），与X 轴相交于点B.（1）求反比例函数的表达式；（2）将线段AB沿X轴向右平移5个单位到DC，设DC与双曲线交于点E，求点E到x轴的距离.。
角平分线等腰三角形平行线课件
02
等腰三角形的基本性质
等腰三角形的定义
等腰三角形是两边相等的三角形。 等腰三角形两底角相等。
等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一。
等腰三角形的性质
两个底角相等，且每个底角的大 小为（180° - 顶角度数）/ 2。
顶角与底角的大小关系为：顶角 > 底角。
等腰三角形的中线、高线和角平 分线三线合一。
等腰三角形的判定
如果一个三角形有两边相等，则它是 等腰三角形。
如果一个三角形的中线、高线和角平 分线三线合一，则它是等腰三角形。
如果一个三角形有两个底角相等，则 它是等腰三角形。
03
平行线的基本性质
平行线的定义
平行线的定义
在同一平面内，两条永不相交的直线称为平行线。
平行线的表示方法
用符号“//”表示两条直线平行。
判定2
内错角相等则两直线平行 。如果∠3=∠4，则 AB//CD。
判定3
同旁内角互补则两直线平 行。如果∠5+∠6=180°， 则AB//CD。
04
角平分线等腰三角形和平行线的综合应 用
角平分线与等腰三角形的综合应用
总结词
利用角平分线性质和等腰三角形性质，解决几何问题。
详细描述
在几何问题中，常常需要综合运用角平分线性质和等腰三角形性质。角平分线性质指出，角平分线将相对边分成 两段相等的线段，而等腰三角形性质则说明等腰三角形两底角相等且对应的两腰相等。通过结合这两个性质，可 以解决一些复杂的几何问题，例如求角度、证明线段相等或进
性质1
同位角相等。当两条直线 被第三条直线所截，同位 角相等，即∠1=∠2。
性质2
内错角相等。当两条直线 被第三条直线所截，内错 角相等，即∠3=∠4。
八年级数学人教版(上册)小专题(七)角平分线+平行线→等腰三角形
(2)如图 2，AB＞AC，BD 平分∠ABC，CD 平分△ABC 的外角 ∠ACG，过点 D 作 DE∥BC，分别交 AB，AC 于点 E，F，则 EF 与 BE，CF 之间有何关系？写出你的结论，并加以证明.
解： BE－CF＝EF. 证明：∵BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACG， ∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠DCG. ∵DE∥BC，
第十三章 轴对称
小专题(七) 角平分线＋平行线→等腰三角形
模型展示 常见的“角平分线＋平行线→等腰三角形”模型有以下两种：
(1)如图 1，BC 平分∠ABD，AC∥BD，AC＝3，则 AB＝ 3 . (2)如图 2，AE∥BC，AE 平分∠DAC，则△ABC 是等腰 三角形.
模型应用 (1)如图 3，在△ABC 中，BE 是角平分线，DE∥BC 交 AB 于点 D．若 DE＝7，AD＝5，则 AB＝ 12 .
∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠DCG.
∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠DCG. ∴BE＝DE，CF＝DF. 又∵ED－DF＝EF，∴BE－CF＝EF.
(3)如图 3，BD，CD 分别平分△ABC 的外角∠GBC 和∠HCB， 过点 D 作 DE∥BC，分别交 BG，CH 于点 E，F，则 EF 与 BE，CF 之间存在怎样的关系？直接写出你的结论.
(2)如图 4，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 F， 过点 F 作 DE∥BC，分别交 AB，AC 于点 D，E.若 AB＝12，AC ＝18，BC＝24，则△ADE 的周长为 30 .
1.(2021·淄博)如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，过点 D 作 DE∥BC 交 AB 于点 E.
(1)求证：BE＝DE. 证明：∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD． ∵DE∥BC，
等腰三角形八大几何模型与九类题型(模型梳理与题型分类讲解)(人教版)(学生版)25学年八年级数学上册
专题13.15等腰三角形八大几何模型与九类题型（模型梳理与题型分类讲解）第一部分【模型归纳与题型目录】模型1:角平分线+平行线→等腰三角形AB AC DCB ACB CDAB =⇒⎭⎬⎫∠=∠//模型2:角平分线+垂线→等腰三角形AB AC CAD BAD BCAD ABC =⇒⎭⎬⎫∠=∠⊥∆中，在模型3:三角形一个外角等于其中一个内角2倍⇔等腰三角形ABAC B DAC ABC DAC ABC =⇒∠=∠∆∠∆2外角，为中，在模型4:直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形CE CD CBD ABD AB CH ACB ABC =⇒⎭⎬⎫∠=∠⊥=∠∆,900中，在模型5:等边三角形中含定角问题60=∠⇒=∆AFE CE BD AC BC E D ABC 上的两个动点、是、中，在等边模型6:等边三角形中含“手拉手”AEBD AE BD DCE ABC =⇒∆∆、中，连接和等边在等边模型7:倍半角+角平分线→等腰三角形DC DB CBD ABD ACB ABC ACB ABC =⇒⎭⎬⎫∠=∠∠=∠=∠∆2900中，在模型8:倍长中线构造等腰三角形题型目录【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形 (3)【题型2】角平分线+垂线（中线）→等腰三角形 (4)【题型3】三角形一个外角等于其中一个内角2倍⇔等腰三角形 (4)【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形 (5)【题型5】等边三角形中含定角问题 (6)【题型6】等边三角形中含“手拉手” (7)【题型7】倍半角+角平分线→等腰三角形 (8)【题型8】倍长中线构造等腰三角形 (9)【题型9】拓展延伸 (9)第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形【例1】（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在ABC V 中，AD 平分BAC ∠，AD BD ⊥于点D ，DE AC ∥交AB 于点E ，若8AB =，则DE =．【变式1】（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在ABC V 中，AD 平分CAB ∠，ED AB ∥．若ED CD =，15EAD ∠=︒，则ADB ∠等于（）A ．75︒B ．60︒C ．45︒D ．90︒【变式2】（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，在ABC V 中，ACB ∠的平分线交AB 于点E ，CF 平分ACD ∠，且EF BC ∥交AC 于点G ，若5cm CG =，则EF =cm ．【题型2】角平分线+垂线→等腰三角形【例2】（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在ABC V 中，CD 平分ACB ∠，CD BD ⊥，垂足为D ，180A CBD ∠+∠=︒，若5BD =，则AB 的长为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【变式1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D 为ABC V 内一点，CD 平分ACB ∠，BE CD ⊥，垂足为D ，交AC 于点E ，A ABE ∠=∠，11AC =，7BC =，则BD 的长为（）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【变式2】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，CE 平分ACB ∠且CE DB ⊥于E ，DAB DBA ∠=∠，若14AC =，CDB △的周长为20，则DB 的长为．【题型3】三角形一个外角等于其中一个内角2倍⇔等腰三角形【例3】（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在1ABA △中，1AB A B =，20B ∠=︒．在1A B 上取一点C ，延长1AA 到点2A ，使121A A AC =，连结2A C ；在2A C 上取一点D ，延长12AA 到点3A ，使232A A A D =，连结3A D ；……，按此操作进行下去，在以点5A 为顶角顶点的等腰三角形的底角的度数为（）A ．20︒B ．10︒C ．5︒D ．2.5︒【变式1】（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在ABC V 中，BD BC =，AE AC =，100ACB ∠=︒，则DCE ∠的大小为．【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在ABC V 中，AB AC =，36A ∠= ，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，DE AB ∥交BC 于点E ，EF BD ∥交CD 于点F ，则图中等腰三角形共有（）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形【例4】（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在ABC V 中，90BAC ∠=︒，30C ∠=︒，高AD 与角平分线BE 相交于点F ．（1）求证：AEF △是等边三角形；（2）若2AE =，求AD 的长度．【变式1】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的高，AE 是BAC ∠的角平分线，AE 与CD 交于点F ，求证：CEF △是等腰三角形．【变式2】（22-23八年级下·湖南永州·期末）如图，ABC V 中，90BAC AD BC ABC ∠=︒⊥∠，，的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②AEF AFE ∠=∠；③EBC C ∠=∠；④AG EF ⊥；⑤AB GB =．正确结论有（）个.A ．2B ．3C ．4D ．5【题型5】等边三角形中含定角问题【例5】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，等边ABC V 中，=AD CE ，BD 和AE 相交于F ，BG AE ⊥垂足为G ，求FBG ∠的度数．【变式1】（23-24八年级下·河南郑州·期末）已知：如图，点D ，E 分别是等边三角形ABC 的两边AB AC ，上的点，且=AD CE .（1）求证：ADC CEB △≌△；（2）求BPC ∠的度数.【变式2】（2024·浙江杭州·二模）如图，ABC V 是等边三角形，D ，E 分别是AC ，BC 边上的点，且=AD CE ，连接BD ，AE 相交于点F ，则下列说法正确的是（）①ABD CAE ≌ ；②60BFE ∠=︒；A ．①B ．②C ．①②D ．都错【题型6】等边三角形中含“手拉手”【例6】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，A 、C 、B 三点共线，DAC △与EBC 都是等边三角形，AE BD 、相交于点P ，且分别与CD CE 、交于点M ，N ．（1）求证：ACE DCBV V ≌（2）求APD ∠的度数【变式1】（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，,ABC CDE △△都是等边三角形，将CDE 绕点C 旋转，使得点,,A D E 在同一直线上，连接BE ．若1,4BE AE ==，则CE 的长是．【变式2】（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，ABC V 和ADC △都是等边三角形，点E ，F 分别在边BC 和CD 上，且60EAF ∠=︒，若AEF △的周长最小时，则BAE ∠的大小是．【题型7】倍半角→等腰三角形【例7】（22-23八年级上·北京·期中）如图，在ABC V 中，90ABC ∠=︒，D 为AB 上一个动点．（1）已知2A BCD ∠=∠，求证：2AD AC AB +=．下面是两位同学分享的思路：小快同学：从求证目标出发，倍长AB 到E ，即2AE AB =，又AE AD DE =+，则只需证DE AC =．小乐同学：从已知条件角的关系出发，发现若将BCD △关于直线BC 对称得到BCF V ，则可证ACF △为等腰三角形．请你选择一种思路，完成证明（2）已知AB BD AC +=，ACD α∠=，请直接写出A ∠的大小（用含α式子表示）．【变式1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，ABC V 中，2C B ∠=∠，,AD AE 分别为ABC V 的高，角平分线，下列四个结论：①AC CD BD +=；②AC CD AB +=；③AC CE AB +=；④2B DAE ∠=∠．其中所有正确结论的序号是．【题型8】倍长中线构造等腰三角形模型【例8】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，A 是ABC 的中线，E 是A 上一点，BE 交AC 于F ，若EF AF =，8BE =，5CF =，则EF 的长度为（）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．3【变式】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在ABC V 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE AC =，BE 的延长线交AC 于点F ，若60ACB ∠=︒，44DAC ∠=︒，则求FBC ∠的度数为．第三部分【拓展延伸】【题型9】拓展延伸【例1】（23-24八年级上·北京·期末）如图，ABC V 中，BF CF 、分别平分ABC ∠和ACB ∠，过点F 作DE BC ∥交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①DFB DBF ∠=∠；②EFC 为等腰三角形；③ADE V 的周长等于BFC △的周长；④1902BFC A ∠∠=+ ．其中正确的是【例2】（23-24八年级上·上海普陀·期末）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系．如图1，已知在ABC V 中，BD 是ABC V 的角平分线，AE 是ABC V 的中线，AE BD ⊥，垂足为点F ．（1）根据图1，写出ABC V 中小普同学所发现的结论，并给出证明；【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究：（2）在如图1中，“线垂”三角形ABC 是否可以是直角三角形？如果可以，求DBC ∠的度数；如果不可以，请说明理由；（3）已知线段MN ，是否存在一点P ，使得以MN 为一边的“线垂”三角形PMN 为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规做出PMN ∠为“分角”的“线垂”等腰三角形PMN （不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点P ），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由．。
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龙文教育
个性化辅导教案讲义任教科目：
授课题目：
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武汉龙文个性化教育
常青二校区
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武汉龙文教育学科辅导讲义
教学流程及授课详案
一由课本例题引入
1 近几年中考题往往由平行线，角平分线来推证同一三角形两个角相等，从而推证两边相等。
或者由其中两个条件推证另一个条件
例 (1)AD是 ABC的外角平分线，（2）AD // BC （3）求证： ABC是等腰三角形分析讨论想一想能不能由（1）（3）证明（2）或者（2）（3）证明（1）？
变式（2012京门）已知：如图7－9，在ΔABC中，CE是角平分线，EG
∥BC，交AC边于F，交∠ACB的外角（∠ACD）的平分线于G，探究线段EF 与FG的数量关系并证明你的结论．
E
F
C
B
A
D
2试一试
1、 （2011）如图,AC 和BD 相交于O ，且AB ∥DC ，OA=OB, 求证：OC=OD.
2．（2012）如图，△ABC 中，AM ，CM 分别是角平分线，过M 作DE ∥AC 求证：AD+CE=DE 3．（2012）如图，∠AOB=30°，OC 平分∠AOB ，CD ⊥OA 于D ，CE ∥AO 交OB 于E CE=20cm ，求CD 的长。
4．（2012）如图，△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，则图中等腰三角形的个数（ ）
（A ）1个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个
5（2012北京）、如右图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF 等于（ ）
Ａ．5 Ｂ．4 C ． 3
D ．2
O
D
C
B
A
A
E
B C
D 第16题
例2（2012浙江）．（8分）如图， AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠A=120°，∠C=60°，AB=CD=4cm ，
求四边形ABCD 的周长．[来源:Z*xx*]
三 课堂小结
1 当题目中有角平分线时，可通过构造等腰三角形或全等三角形来寻找解题思路，或利用角平分线性质去证线段相等
：要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法： （1）、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。
（割） （2）、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。
（补）
例题5、如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分
∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，求证AB=AC+BD
当题目中有角平分线时，可通过构造等腰三角形或全等三角形来寻找解题思路，或利用角平分线性质去证线段相等 例题6、已知∠B=∠E=90°，CE=CB ，AB ∥CD. 求证：△ADC 是等腰三角形
A C
E B D
例题7、已知：如图，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，DB=DC ， 求证：EB=FC
四 走进中考考场
．1（2012广东）如图，等边△ABC 的三条角平分线相交于点O ，过点O 作 EF ∥BC ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，则图中的等腰△有（ * ）。
个
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
2如图（2012四川），过线段AB 的两个端点作射线AM ，BN ，使AM ∥BN ，请按以下
步骤画图并回答．
（1）画∠MAB 、∠NBA 的平分线交于点E ，∠AEB 是什么角？
（2）过点E 任作一线段交AM 于点D ，交BN 于点C ．观察线段DE 、CE ，有什么
发现？请证明你的猜想．
（3）试猜想AD ，BC 与AB 有什么数量关系？
A F
E
C B
O
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