全国高中物理竞赛几何光学专题
高中物理竞赛几何光学测试题(含详细解析)
几何光学测试题1、如图（a ）所示，一细长的圆柱形均匀玻璃棒，其一个端面是平面（垂直于轴线），另一个端面是球面，球心位于轴线上．现有一很细的光束沿平行于轴线方向且很靠近轴线人射．当光从平端面射人棒内时，光线从另一端面射出后与轴线的交点到球面的距离为a ；当光线从球形端面射人棒内时，光线在棒内与轴线的交点到球面的距离为b ．试近似地求出玻璃的折射率n 。
2、内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径为R 的黑球，距球心为2R 处有一点光源S ，球心O 和光源S 皆在圆筒轴线上，如图所示．若使点光源向右半边发出的光最后全被黑球吸收，则筒的内半径r 最大为多少？3、如图1中，三棱镜的顶角α为60︒，在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为 30.0cm f =的两个完全相同的凸透镜L 1和 L 2．若在L 1的前焦面上距主光轴下方14.3cm y =处放一单色点光源S ，已知其像S '与S 对该光学系统是左右对称的．试求该三棱镜的折射率．4、如图（a ）所示，两平面镜A 和B 的镜面分别与纸面垂直，两镜面的交线过图中的O 点，两镜面间夹角为︒=15α，今自A 镜面上的C 点处沿与A 镜面夹角︒=30β的方向在纸面内射出一条光线，此光线在两镜面经多次反射后而不再与镜面相遇。
设两镜面足够大，1=CO m 。
试求：（1）上述光线的多次反射中，最后一次反射是发生在哪块镜面上？ （2）光线自C 点出发至最后一次反射，共经历多长的时间？5、有一水平放置的平行平面玻璃板H ，厚3.0 cm ，折射率 1.5n =。
在其下表面下2.0 cm 处有一小物S ；在玻璃扳上方有一薄凸透镜L ，其焦距30cm f =，透镜的主轴与玻璃板面垂直；S 位于透镜的主轴上，如图（a ）所示。
若透镜上方的观察者顺着主轴方向观察到S 的像就在S 处，问透镜与玻璃板上表面的距离为多少?6、望远镜的物镜直径D ＝250cm ，其焦距f ＝160m 。
高中物理竞赛讲义 几何光学
专题十五 几何光学【扩展知识】一、光的独立传播规律当光线从不同方向通过透明媒质中一点时互不影响，不改变频率仍按原方向传播的规律。
二、折射率1．相对折射率：光从1媒质进入2媒质。
2．绝对折射率：任何媒质相对于真空的折射率。
三、发生全反射的临界角：n n n c 1arcsin arcsin12== 四、成像公式若u 为物距，v 为像距，而f 为焦距，则有： 放大率：物长像长==u vm （线放大率） 2⎪⎭⎫ ⎝⎛=u v k （面放大率） 说明：（1）上述公式适用范围：面镜，薄透镜。
（2）适用条件：近轴光线；镜的两侧光学媒质相同。
（3）符号规定：“实正、虚负”的原则。
五、球面镜的焦距可以证明，球面镜的焦距f 等于球面半径R 的一半。
且凹透镜的焦距为正值，凸透镜的焦距为负值。
六、光具组成像七、透镜成像的作图法1．利用三条特殊光线2．利用副光轴【典型例题】例题1：（第一届全国物理竞赛题）如图所示，凸透镜L 的主轴与x 轴重合，光心O 就是坐标原点，凸透镜的焦距为10cm 。
有一平面镜M 放在y =-2cm 、x >0的位置，眼睛从平面镜反射的光中看到发光点A的像位于A2处，A2的坐标见图。
（1）求出此发光点A的位置。
（2）写出用作图法确定A的位置的步骤并作图。
例题2：（第六届全国物理竞赛题）在焦距为f的会聚薄透镜L的主光轴上放置一发光圆锥面，如图所示。
圆锥的中心轴线与主光轴重合，锥的顶点位于焦点F，锥高等于2f，锥的母线与其中心轴线的夹角等于α，求圆锥面的像。
例题3：（第九届全国物理竞赛决赛题）在很高的圆柱形容器的上口平放一个焦距为90mm 凸透镜，在透镜下方中轴线上距透镜100mm处平放一个圆面形光源，如图所示。
（1）光源产生一个半径为45mm的实像，求此实像的位置。
（2）若往容器中注水，水面高于光源10mm，求此时像的位置。
（3）继续注水，注满容器但又恰好不碰上透镜，求此时像的大小。
例题4：（第十一届全国物理竞赛题）照相机镜头L前2.28m处的物体被清晰地成像在镜头后面12.0cm处的照相胶片P上，两面平行的玻璃平板插入镜头与胶片之间，与光轴垂直，位置如图所示。
全国中学生物理竞赛真题汇编---光学 参考答案
全国中学生物理竞赛真题汇编---光学 参考答案1．参考解答由于光学系统是左右对称的，物、像又是左右对称的，光路一定是左右对称的。
该光线在棱镜中的部分与光轴平行。
由S 射向1L 光心的光线的光路图如图预解19-5所示。
由对称性可知12i r = ①21i r = ②由几何关系得 1260r i α+==︒ ③ 由图可见11i r β=+ ④又从1FSO ∆的边角关系得tan /y f β= ⑤代入数值得arctan(14.3/30.0)25.49β==︒ ⑥由②、③、④与⑥式得130r =︒，155.49i =︒ 根据折射定律，求得11sin 1.65sin i n r == ⑦ 评分标准：本题20分1. 图预解19-5的光路图4分。
未说明这是两个左右对称性的结果只给2分。
2. ①、②、③、④式各给2分，⑤式给3分，⑥式给1分，⑦式给4分。
2．把酒杯放平，分析成像问题。
图11．未斟酒时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n 1和n 0＝1。
在图1中，P 为画片中心，由P 发出经过球心C 的光线PO 经过顶点不变方向进入空气中；由P 发出的与PO 成α 角的另一光线PA 在A 处折射。
设A 处入射角为i ，折射角为r ，半径CA 与PO 的夹角为θ ，由折射定律和几何关系可得n 1sin i ＝n 0sin r （1） θ ＝i +α （2）在△PAC 中，由正弦定理，有sin sin R PCiα= （3） 考虑近轴光线成像，α、i 、r 都是小角度，则有1n r i n =（4） Ri PCα=（5） 由（2）、（4）、（5）式、n 0、n l 、R 的数值及 4.8PC PO CO =-=cm 可得θ ＝1.31i （6） r ＝1.56i （7）由（6）、（7）式有r ＞θ （8）由上式及图1可知，折射线将与PO 延长线相交于P '，P ' 即为P 点的实像．画面将成实像于P ' 处。
高中物理竞赛专题 光学
n0 n1 sin 1 nx sin x nA sin A
3
n0 n1 sin 1 nx sin x nA sin A
P点光线的方向由x 决定:
sin
x
n0 nx
1 1 4qx
Y
nx n0 1 4qx
a
P点光线的切线斜率 kp : k p tan x
1 4qx
并按照
n ny 渐n1变1， n2为2 y距2 轴线a处的折射率， 为
常数，包裹层折射率也为n2 。光纤置于空气中，取Ox轴沿光纤轴
线方向，O为光纤端点的中心。假设 一束单色光从O点以入射角θi
进入光纤，入射面为xOy :
（亚洲奥赛04年题）
1）求出光线在光纤里的轨迹方程 y=f(x)；
2）求出光可以在光纤纤芯中传播的最大入射角θiM；
x a14
4) qi ＝qiM时光信号沿光纤的传输速度（= x1/τ）
c
pan12
n12 n22
1
sin 2 qi
2n12
x1 ap
n12 sin 2 q
n12 n22
y
sin qiM n12 n22
vM
2cn2 n12 n22
qi O
n2
a
x1
n1
x
15
二、几何光学成像
单球面折射成像公式－－阿贝不变式：
✓ 第一个交点坐标
y
x1 ap
n12 sin 2 q
n12 n22
O
n0 n2
x1
ax n1
n2 12
✓通过一线段元 ds 时间为 dt ds n ds vc
线段元 ds dx2 dy2 1 y'2 dx
高中物理竞赛几何光学
第07部分 几何光学§1 三大定律一、直线传播：1、条件：同一种均匀介质2、日食原理：3、月食原理：二、反射：1、反射定律：共面、分居两侧、等角2、平面镜成像：等大、等距、对称的虚像作图法：定律法、对称法 3、反射视场：三、折射：1、折射定律：共面、分居两侧、斯涅尔公式：21sin sin θθ为定值 2、折射率：描述介质对光线偏折程度的物理量。
从真空射入介质：定义式：21sin sin θθ=n ；决定式：vcn = 从介质1射入介质2：2211sin sin θθn n =；2211v n v n = 介质1对介质2的相对折射率：12122112sin sin v v n n n ===θθ 四、费马原理：1、光程l ：n n v s v s v s t +++=K 2211；n n nn s n s n s n v cs v csv cs ct K K ++=+++=22112211 在均匀介质中，光程等于光的几何路程s 与物质的折射率的乘积：ns l =；在不均匀介质中，取元光程s n l i ∆⋅=∆，总光程为s n l Ni iN ∆=∑=∞→1lim光程这光在介质中走过的路程折算成真空中走过的路程。
2、费马原理：在指定的两点之间光实际传播的路径是：光程取极值的路径。
在大部分情况下，此极值为最小值，但有时为最大值，有时为恒定值。
3、用原理解释直进、反射、折射：（1）直进：在均匀介质里传播，因为给定两点间直线路径最短，所以光沿直线传播。
（2）反射：（3）折射：214页五、全反射：1、光密介质、光疏介质：两种介质相比较，折射率较大的介质叫光密介质，折射率较小的介质叫光疏介质2、定义：当光线从光密介质射到光疏介质的界面上时，若入射角大于临界角，则折射光线消失，只产生反射的现象叫全反射3、条件：⑴光从光密介质射向光疏介质；⑵入射角大于或等于临界角．两条件必须同时存在，才发生全反射。
物理竞赛试题与解答（光学）
几何光学7．证明：光线相继经过几个平行分介面的多层介质时，出射光线的方向只与入射方向及两边的折射率有关，与中间各层介质无关。
证：因为界面都是平行的，所以光线在同一层介质中上界面的折射角相等。
如图所示，由折射定律有1212sin sin i n n i = 1312323sin sin sin i n n i n n i ==……………..1111sin sin sin i n n i n n i kk k k k ==--由此可见，最后出射光线的方向只与当初入射方向及两边介质的折射率有关。
8．顶角α很小的棱镜称为光楔。
证明光楔使垂直入射的光线产生偏向角()αδ1-=n ，其中是光楔的折射率。
证明：由于光线垂直入射，帮光线在第一个界面不发生折射。
仅在第二个界面有折射如图，根据折射定律22'sin sin i i n =以及几何关系α=2i ，故 2'sin sin i n =α当α很小时，有22''sin ,sin i i ≈≈αα则上式可写成2'i n =α所以偏向角为()αααδ1'22-=-=-=n n i i这个近似公式，在干涉、衍射、偏振中经常要用到。
9.如图1所示，两个顶角分别为0160=ϕ和0230=ϕ的棱镜胶合在一起（090=∠BCD ）。
折射率有下式给出： 2111λb a n += 2222λb a n +=其中 1.11=a 25110nm b = 3.12=a 242105nm b ⨯=(1)确定使得从任何方向入射的光线在经过AC 面时不发生折射的波长0λ，并求出此情形下的折射率n 1和n 2（2）画出入射角相同的波长为红λ、0λ和蓝λ的三种不同光线的路径； （3）确定组合棱镜的最小偏向角（对于满足（1）中条件的波长）；（4）计算平行于DC 入射且在离开组合棱镜时仍平行于DC 的光线的波长。
φ1φ2n1n2A BDC图1图2λ0解：（1）如果满足)()(0201λλn n = ，则波长为0λ的光线从任何方向入射在AC 面上将不发生折射，所以0λ满足关系式：222211λλb a b a +=+解得 nm a a b b 50021120=--=λ在此情形下折射率为 5.1)()(0201==λλn n（2）对波长比0λ长的红光，n 1和n 2均小于1.5。
高中物理竞赛教程-几何光学
高中物理竞赛 几 何 光 学§1.1 几何光学基础1、光的直线传播：光在同一均匀介质中沿直线传播。
2、光的独立传播：几束光在交错时互不妨碍，仍按原来各自的方向传播。
3、光的反射定律：①反射光线在入射光线和法线所决定平面内；②反射光线和入射光线分居法线两侧；③反射角等于入射角。
4、光的折射定律：①折射光线在入射光线和法线所决定平面内； ②折射光线和入射光线分居法线两侧；③入射角1i 与折射角2i 满足2211sin sin i n i n =；④当光由光密介质向光疏介质中传播，且入射角大于临界角C 时，将发生全面反射现象（折射率为1n 的光密介质对折射率为2n 的光疏介质的临界角12sin n n C =）。
§1.2 光的反射1.2.1、组合平面镜成像：1.组合平面镜 由两个以上的平面镜组成的光学系统叫做组合平面镜，射向组合平面镜的光线往往要在平面镜之间发生多次反射，因而会出现生成复像的现象。
先看一种较简单的现象，两面互相垂直的平面镜（交于O 点）镜间放一点光源S （图1-2-1），S 发出的光线经过两个平面镜反射后形成了1S 、2S 、3S三个虚像。
用几何的方法不难证明：这三个虚像都位于以O 为圆心、OS 为半径的圆上，而且S 和1S 、S 和2S 、1S 和3S 、2S 和3S 之间都以平面镜（或它们的延长线）保持着 对称关系。
用这个方法我们可以容易地确定较复杂的情况中复像的个数和位置。
两面平面镜AO 和BO 成60º角放置（图1-2-2），用上述规律，很容易确定像的位置：①以O 为圆心、OS 为半径作圆；②过S 做AO 和BO 的垂线与圆交于1S 和2S ；③过1S 和2S 作BO 和AO 的垂线与圆交于3S 和4S ；④过3S 和4S 作AO 和BO 的垂线与圆交于5S ，51~S S 便是SS S 2图1-2-13图1-2-2在两平面镜中的5个像。
双镜面反射。
高中物理奥林匹克竞赛专题----几何光学(共38张PPT)
6.1 几何光学基本规律
几何光学：以光的基本实验定律为基础，研究光的 传播和成像规律的一个重要的实用性分支学科。 6.1.1 光的直线传播
光的直线传播定律：光在均匀介质中沿直线传播。 在描述机械波时，我们用波线表示波的传播方向， 这里，我们用光线表示光的传播方向。
6.1.2 反射定律和折射定律 光在传播的过程中遇到两种介质的分界面时，一部分 光改变方向返回原介质传播，这部分光称为反射光。 反射定律：反射光线总是位于入 射面内，且与入射光线分居在法 线的两侧，入射角等于反射角 。
p
p
物点在主光轴上离球面镜无穷远时，入射光线可看做 近轴平行光线，该物点的像点称为球面镜的焦点。 焦点到球面顶点的距离称为焦距，用f 表示，可知
R f 2
球面反射成像公式又可表示为
1 1 1 p p' f
设物体在垂直于主光轴方向上的高度为 高度为 y ,定义：
y' m y
y
，其像的
为球面反射成像横向放大率
由反射定律和几何关系可以证明
y' p' m y p
m0
表示像是倒立的， m 0 表示像是正立的；
m 1 表示成放大像， m 1 表示成缩小像。
6.3.3 球面反射成像作图法 球面镜成像作图法的三条特殊光线 (1) 平行于主光轴的近轴光线，经凹面镜反射后，反 射光线过焦点；经凸面镜反射后，反射光线的反向延 长线过焦点。 (2) 过焦点（延长线过焦点）的光线，经球面镜反射 后，反射光线平行于主光轴。 (3) 过球面曲率中心的光线，经球面镜反射后按原路 返回。
6.1.3 全反射
当光从光密介质入射到光疏介质的界面上，入射角 达到或大于
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若透镜是放置在空气中，则 ，薄透镜的物像位置关系式可以改写为
这时，焦距表示为
而定义薄透镜的光焦度 是
式中为透镜的折射，为透镜前后表面的曲半径．
⑵物像的放大率，若物像空间的折射率相同，薄透镜的垂直放大率是
2、凸透镜焦距为20cm，一点光源以速度40cm/s沿透镜主轴远离透镜，求当点光源距透镜为60cm时像点的移动速度。
解：设某一时刻此点光源成像的物距为 ，像矩为 ，则由透镜成像公式得
即
当点光源由上述位置移动一个很小的距离 时，其成像的物距变为 ，令其对应的像矩移动 ，则其对应的像矩变为 ，又依成像公式有
1．先求凸球面的曲率半径 。平行于主光轴的光线与平面垂直，不发生折射，它在球面上发生折射，交主光轴于 点，如图（a）所示。 点为球面的球心， ，由正弦定理，可得
（1）
由折射定律知
（2）
当 、 很小时， ， ， ，由以上两式得
（3）
所以
（4）
2.凸面镀银后将成为半径为 的凹面镜，如图（b）所示
令 表示物所在位置， 点经平面折射成像 ，根据折射定律可推出
几何光学
【知识点】
1、几何光学的基本定律
⑴光的直线传播定律在各向同性均匀介质中，光沿着直线传播，称为光的直线传播定律。
⑵光的独立传播定律不同发光点发出的光束在空间某点相遇时，彼此互不影响，各光束独立传播，称为光的独立传播定律。
⑶光的折射定律与反射定律入射光线、反射光线和分界面上入射点的法线三者在同一平面内：入射角和反射角的绝对值相等而符号相反，即入射光线和反射光线位于法线的两侧．即
同理，这时轴向放大率表示为
【例题】
1、一抛物线反射镜方程为 ，当受到一束平行于 轴的平行光照射时，其反射光将与 轴相交于何处？如图（a）。
解：这是一个求反射光线的问题，自然需要用到反射定律。但关键是求出光线在镜面的入射点处反射线方程，这显然与入射点有关。
设入射的某一光线在抛物镜上入射点 坐标为 ， ， 应满足 的关系， 点的切线方程为
，
它与抛物线方程 只有一个交点，即方程
判别式
化简后
①
因
由①式求得
②
由图（a）所示，反射光线的斜率为
反射光线方程 。令 ，即得其与 轴相交于
它表明：反射光与 轴的交点和入射点 无关，即平行于抛物线轴线的光线都相交于 这一点，这点成为抛物反射镜的焦点。反之，若在焦点处放一电光源，就可产生平行于轴线的平行光。
①
②
③
④
图1.11.5折射球面近轴区的成像
5、球面成像光路的放大
表述 放大率有如下两种定义形式：
⑴横向放大率 定义像的大小与物的大小之比为横向放大率 ，则
⑵轴向放大率 若沿光轴方向微小物体的尺寸是 ，其相应的像是 ，则 与 的比值称为轴向放大率 ，即
6、薄透镜成像公式
⑴物像位置关系，薄透镜的物像位置关系式可以写为
其中 ，把 的关系代入得
在 点处，由折射定律得
故
又因为已知 ，取 为
得
解得
在平板中任取一点 ，如图（c）所示，该店的折射角为 ，折射率为 ，则
即
由图（c）的几何关系可得
对比 的两条表示式可知 ，这表明在平板内光线的轨迹是以 为半径的圆弧，其轨迹方程为 ，将 ＝1cm、 ＝13cm代入得 ＝5cm。
5、在焦距为20.00cm的薄凸透镜的主轴上离透镜中心30.00cm处有一小发光点 ，一个厚度可以忽略的光楔 （顶角 很小的三棱镜）放在发光点与透镜之间，垂直于主轴，与镜的距离为2.00cm，如图（a）所示。设光楔的折射率 ＝1.5，棒角 ＝0.028rad，在透镜另一侧离透镜中心46.25cm处放一平面镜 ，其反射面向着透镜并垂直于轴。问最后形成的放光点的像相对发光点的位置在何处（只讨论近轴光线，小角度近似适用。在分析计算过程中应作出必要的光路图）？
所以
由于 很小，故有
因此
代入上式得
所以
又由于 很小，故有
故从前式分子中略去 ，便得
由于 和 分别是同一时间内物点和像点的位移，它们分别与各自对应的移动速度成比例，故有
像的移动速度＝ ×物的移动速度
代入数据，即得到本题所求的像的移动速度为10cm/s，其方向是沿主轴向靠拢透镜方向移动。
3、（第十八届全国中学生物理竞赛预赛）一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射，经透镜折射后，会聚于透镜 处，透镜的折射率 。若将此透镜的凸面镀银，物置于平面前12 处，求最后所成象的位置。
入射光线、折射光线和分界面上入射点的法线三者在同一平面内；入射角的正弦与折射角的正弦之比和入射角的大小关系，只与两种介质的折射率有关，有
式中， 、 分别为入射空间介质和折射空间介质的折射率。
⑷全反射定律 当光线是由光密介质向光疏介质入射时，若增大入射角 ，折射角 也相应增大，当入射角 增大到某一数值 时，折射角 时，此时折射光线将沿着介质的分界面略射而出，这时的入射角 称为全反射临界角，其数值为
3、球面实际光线光路计算公式
如图（3）所示，由轴上物点A发出一条光线 ，经折射球面 出射光线 ，满足如下关系
图（3）
①
②
③
④
4、球面近轴光线路计算公式
表述当轴上物点和靠近光轴的轴外物点以很小的孔径角的光束入射到光学系统时，相关角度量值很小，使得这些角度的正弦值（或正切值）近似等于角度的弧度值，符合这个条件的光线十分靠近光轴，通常称为近轴光线，这些光线的区域称为近轴区，研究近轴区内物像关系的光学称为近轴光学或高斯光学，如图(4)所示，在近轴区内，成像光路的计算公式中的角度正弦值用相应弧度值代替，有
（5）
由于这是一个薄透镜， 与凹面镜的距离可认为等于 ，设反射后成像于 ，则由球面镜成像公式可得
（6）
由此可解得 ，可知 位于平面的左方，对平面折射来说， 是一个虚物，经平面折射后，成实像于 点。
Hale Waihona Puke （7）所以 （8）最后所成实像在透镜左方24 cm处。
4、如图（a）所示，给定一块平行平板，厚度为 ，折射率随 变化的规律为
式中 ＝1.2、 ＝13cm，一束光在 点由空气射入平板，并在 点以角 出射。求 点的折射率 和平板的厚度。
解：沿 方向把平板分割成折射率分别为 、 、…、 各薄层，每一薄层的折射率看作均匀，用折射定律和几何关系可得出光线的轨迹方程，进而求得点 所在薄层的折射率和玻璃板厚度 。
如图（b）所示，以折射线代替实际的轨迹，由折射定律得
2、物像概念
表述 相对给定的光学系统，入射的同心光束(或其延长线)的会聚点称为物点，经过光学系统后，若出射光束仍为同心光束，则该出射同心光束(或其延长线)的会聚点称为完善像点，所有物点的集合称为物，每个物点经过光学系统后所成完善像点的集合就是物体经过光学系统后的完善像，通常，物体所在的空间称为物空间，像所在的空间称为像空间．