第2讲 数列专题
高考数学二轮复习第一篇专题四数列第2讲数列求和及简单应用课件理
+2an+1=4S
n+1+3.
可得
a2 n 1
-
an2
+2(an+1- an)=4an+1,即
2(an+1+an)=
a2 n 1
-
an2
= (an+1+an)(an+1-an).
由于 an>0,可得 an+1-an=2.
又 a12 +2a1=4a1+3, 解得 a1=-1(舍去)或 a1=3.
所以{an}是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an=2n+1.
第二个使用累积的方法、第三个可以使用待定系数法化为等比数列(设 an+1+λ =p(an+λ),展开比较系数得出λ);(3)周期数列,通过验证或者推理得出数列的 周期性后得出其通项公式.
热点训练 1:(1)(2018·湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)在数列{an}
中,a1=2, an1 = an +ln(1+ 1 ),则 an 等于( )
n
所以
1 =2（1- 1 + 1 - 1 +…+ 1 -
1
）
S k 1 k
223
n n1
=2(1- 1 ) n 1
= 2n . n 1
答案: 2n n 1
3.(2015·全国Ⅱ卷,理16)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则
Sn=
.
解析:因为 an+1=S n+1-Sn,所以 Sn+1-Sn=Sn+1Sn,
第2讲 数列求和与数列不等式
(2)设
b1＝a1，bbn＋n 1＝an＋1，cn＝
易错 提醒
(1)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一 项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项. (2)将通项公式裂项时，有时候需要调整前面的系数，才能使裂 项前后的式子相等.
跟踪演练2 已知数列{an}是公比q≠1的等比数列，且a4＝27,3a1，2a2， a3成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式；
解 Sn＝－nn－ 2 1，Tn＝2n－1， 代入可得，t·2n－nn2－1－nn＋ 2 1>0，即 t>n22nmax， 令 cn＝n22n， 则 cn＋1－cn＝n2＋n＋112－n22n＝－n2＋2n＋21n＋1>0⇒n≤2，
所以n≤2时，cn＋1>cn；n≥3时cn＋1<cn.
因此，(cn)max＝c3＝98⇒t>98. 即实数 t 的取值范围是98，＋∞.
(2)已知数列{bn}满足bn＝6n－8，其前n项和为Tn，若Sn≥(－1)n·λ·Tn对 任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.
解 因为bn＝6n－8， 所以 Tn＝n－2＋26n－8＝n(3n－5)， 由(1)得 Sn＝n2＋n1·an＝n·2n＋1， 所以2n＋1≥(－1)n·λ·(3n－5)恒成立， 当n为偶数时，2n＋1≥λ·(3n－5)恒成立， 所以 λ≤32nn－＋15min， 设 cn＝32nn－＋15，
2 考点二 裂项相消法
专题2第2讲数列求和及其综合应用-2021届高三高考数学二轮复习课件
【解析】 (1)由(n＋2)a2n＋1－(n＋1)a2n＋anan＋1＝0， 可得[(n＋2)an＋1－(n＋1)an]×(an＋1＋an)＝0 又因为an>0，所以aan＋n 1＝nn＋ ＋12.
又a1＝1，则an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa21·a1 ＝n＋n 1·n－n 1·…·32·1＝n＋2 1.故选B．
q(p≠0,1，q≠0)，第一个使用累加的方法、第二个使用累积的方法、第
三个可以使用待定系数法化为等比数列(设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，展开比较
系数得出λ)．
(3)周期数列，通过验证或者推理得出数列的周期性后得出其通项公
式．
1．(2019·洛阳三模)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln
● (文科)
年份 卷别 Ⅰ卷
2020 Ⅱ卷 Ⅲ卷
题号 16 14 17
考查角度 数列的递推公式的应用，以及数列的 并项求和
等差数列的前n项和 等比数列通项公式基本量的计算，以 及等差数列求和公式的19 Ⅱ卷 Ⅲ卷
题号 14,18
18 6,14
考查角度 等比数列求和；等差数列的通项公式 以及求和 等比数列的通项公式、等差数列的求 和 等比数列的通项公式，等差数列的通 项公式以及求和
第二部分
专题篇•素养提升()
专题二 数列(文理)
第2讲 数列求和及其综合应用(文理)
1 解题策略 • 明方向 2 考点分类 • 析重点 3 易错清零 • 免失误 4 真题回放 • 悟高考 5 预测演练 • 巧押题
● 1．高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消 等方法求数列的前n项和，难度中等偏下．
【解析】 (1)由题意，设an＝a1qn－1(q>0)，
07第一部分 板块二 专题二 数 列 第2讲 数列求和及数列的简单应用(大题)
本课结束
① ②
＝2＋2×411－－22n－1－(2n－1)·2n＋1＝－6＋2n＋2－(2n－1)·2n＋1＝－6＋2n＋1(3－2n)，
∴Tn＝6＋(2n－3)·2n＋1.
2
PART TWO
真题体验 押题预测
真题体验 (2019·全国Ⅰ，文，18)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9＝－a5. (1)若a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解 由(1)知，当an＝5时，Sn＝5n. 当 an＝2n＋1 时，a1＝3，则 Sn＝n3＋22n＋1＝n2＋2n(n∈N*).
热点二 数列的证明问题
判断数列是否为等差或等比数列的策略 (1)将所给的关系式进行变形、转化，以便利用等差数列和等比数列的定义进行 判断； (2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，则只需说明某连续三项(如前三项) 不是等差(等比)数列即可.
＝141－n＋1 1＝4nn＋1.
跟踪演练3 (2019·龙岩模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝3，S6＝36. (1)求数列{an}的通项公式；
解 ∵a2＝3，∴a1＋d＝3， ∵S6＝36，∴6a1＋15d＝36， 则a1＝1，d＝2， ∴an＝2n－1.
(2)若数列{bn}满足bn＝2n·an，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Tn.
板块二 专题二 数 列
内容索引
NEIRONGSUOYIN
热点分类突破 真题押题精练
1
PART ONE
热点一 等差、等比数列基本量的计算 热点二 数列的证明问题 热点三 数列的求和问题
热点一 等差、等比数列基本量的计算
解决有关等差数列、等比数列问题，要立足于两个数列的概念，设出相应基本量， 充分利用通项公式、求和公式、数列的性质确定基本量.解决综合问题的关键在于 审清题目，弄懂来龙去脉，揭示问题的内在联系和隐含条件，形成解题策略.
高中数学课件-第一部分 专题二 第二讲 递推公式、数列求和及综合应用
专题二
第二讲 递推公式、数列求和及综合应用
活用•经典结论 主观题•专项练 客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-13-
类型一
类型二
类型三
[感悟方法]
1．已知 Sn 求 an 的步骤 (1)求出 a1. (2)利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当 n≥2 时 an 的表达式． (3)对 n＝1 时的结果进行检验，看是否符合 n≥2 时 an 的表达 式，如果符合，则可以把数列的通项公式整合；如果不符合，
专题二
第二讲 递推公式、数列求和及综合应用
活用•经典结论
主观题•专项练 客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-3-
4．常用的拆项公式(其中 n∈N*) (1)nn1＋1＝n1－n＋1 1； (2)nn1＋k＝ 1kn1－n＋1 k； (3)2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1；
专题二
专题二
类型一
第二讲 递推公式、数列求和及综合应用
活用•经典结论 主观题•专项练 客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-9-
类型二
类型三
正确写出通项公式(用 n≥2，要验证 n＝1)得 1 分
写出 bn 并正确裂项得 2 分 若 bn 正确，裂项不正确扣 1 分
正确写出求和公式得 2 分
正确写出结论(无论是否合并)得 2 分
所以 an＝2n2－1(n≥2)．(4 分)
又由题设可得 a1＝2，符合上式，
从而{an}的通项公式为 an＝2n2－1.(6 分)
专题二
类型一
第二讲 递推公式、数列求和及综合应用
活用•经典结论 主观题•专项练 客观题·专项练
大学数学(高数微积分)专题三第2讲数列求和及数列综合应用(课堂讲义)
(2)因为bn＝an＋(－1)nln an
＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)
＝2·3n－1＋(－1)n[ln 2＋(n－1)ln 3]
热点分类突破
＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，
所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－
再验证是否可以合并为一个公式．
热点分类突破
(2013·湖南)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan －21n，n∈N*，则：
(1)a3＝________；
(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.
本
讲 栏
解析
∵an＝Sn－Sn－1＝(－1)nan－21n－(－1)n－1an－1＋2n1－1，
本 解 (1)由已知，得当 n≥1 时，
讲
栏 目
an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1
开
关 ＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.
而a1＝2，符合上式， 所以数列{an}的通项公式为 an＝22n－1.
热点分类突破
(2)由 bn＝nan＝n·22n－1 知
本 讲 栏
即na＋n＋11－ann＝1，又a22－a11＝1，
目
开 关
故数列ann是首项为a11＝1，公差为1的等差数列，
所以ann＝1＋(n－1)×1＝n，所以 an＝n2，
所以数列{an}的通项公式为 an＝n2，n∈N*.
热点分类突破
(3)证明 a11＋a12＋a13＋…＋a1n＝1＋14＋312＋412＋…＋n12 <1＋14＋2×1 3＋3×1 4＋…＋nn1－1
2024版高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题2数列第2讲数列求和及其综合应用课件
真题研究·悟高考
1. (2023·全国新高考Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为 d，且 d>1.令 bn ＝n2a＋n n，记 Sn，Tn 分别为数列{an}，{bn}的前 n 项和．
(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.
考点突破·提能力
核心考点1 求数列的通项公式
核 心 知 识·精 归 纳
求数列通项公式的方法 (1)Sn 与 an 的关系：若数列{an}的前 n 项和为 Sn，通项公式为 an，则 an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2. (2)由递推关系式求通项公式：①构造法；②累加法；③累乘法．
角度1：由Sn与an的关系求通项公式
方 法 技 巧·精 提 炼
根据所求的结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化 (1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． (2)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
加 固 训 练·促Байду номын сангаас提 高
1.数列{an}满足：a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2＋(n－1)·2n＋1，n∈N*. 求数列{an}的通项公式．
2. (2023·全国新高考Ⅱ卷){an}为等差数列，bn＝a2na－n，6， n为n为 偶奇 数数 ，， 记 Sn，Tn 分别为数列{an}，{bn}的前 n 项和，S4＝32，T3＝16.
(1)求{an}的通项公式； (2)证明：当n>5时，Tn>Sn.
【解析】 (1)设等差数列{an}的公差为d， 而 bn＝a2na－n，6，n＝n＝2k，2k－1， k∈N*， 则b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6， 于是ST43＝＝44aa11＋＋64dd＝－3122，＝16， 解得 a1＝5，d＝2，an＝a1＋(n－1)d
四年级下册数学讲义-竞赛专题：第二讲-数列与数表(含答案解析)人教版
数列与数表知识概述1、数列：主要包括⑴递增数列(等差数列，等比数列)，等差数列为重点考察对象。
⑵周期数列；例如：1，2，4，7，1，2，4，7，1，2，4，7，…⑶复合数列；例如：1，3，2，6，3，9，4，12，5，15…⑷特殊数列；例如：斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21…2、等差数列通用公式：通项公式：第n项=首项 +（项数– 1）×公差项数公式：项数=（末项–首项）÷公差 + 1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷23、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
4、数表规律给出几个具体的、特殊的图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论。
具体方法和步骤是：⑴通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；⑵猜想符合规律的一般性结论；⑶验证或证明结论是否正确。
在杯赛考试中主要将图形规律与等差数列结合到一起来考察。
（1）在数列3、6、9……，201中共有多少数？ （2）在数列3、6、9……，201和是多少？ （3）如果继续写下去，第201个数是多少？ 【解析】（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式： 项数=（末项-首项）÷公差+1,便可求出。
项数=（201-3）÷3+1=67（2）求和公式=（首项+末项）×项数÷2 =（3+201）×67÷2 = 102×67 =6834（3）根据公式：末项=首项+公差⨯（项数-1）末项=3+3⨯（201-1）=603， 第201个数是603添在图中的三个正方形内的数具有相同的规律，请你根据这个规律， 确定出A= B = C= ；【解析】 第一组 （1+2）×3=9 第二组 （2+3）×4=20 第三组 （3+4）×5=35 由分析得：A=35，B=4，C=5.经过观察与归纳找出数与图的规律。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第2讲 数列专题
【知识梳理】
一、等差数列
1.相关概念
按一定次序排列的一列数称为数列。
数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，a （n+1），…简记为｛a n ｝。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。
最后一个数叫末项。
通项公式：数列的第n 项a n 与项的序数n 之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。
2．等差数列的定义：
如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，我们把这样的数列称之为等差数列。
前后两项的差叫做等差数列的公差，常用字母d 表示。
3．计算等差数列的相关公式：
通项公式：1
(1)n n d a a =+-（n 为正整数） 前项和公式:
1()2n n a a +（n 为正整数）
4.等差中项 如果在a 和b 中间插入一个数A ，使a 、A 、b 成等差数列，那么A 叫做a 和b 的等差中项。
如a 、b 、c 三项成等差数列，则2b=(a+c),这是等差中项的基本性质。
一、 求首项、末项
1、（1）一个等差数列有13项．每一项都比它的前一项大2，并且首项为33，那么末项是多少？
（2）一个等差数列有13项．每一项都比它的前一项小2，并且首项为33，那么末项是多少？
n
2、（1）一个等差数列有10项．每一项都比它的前一项大7，并且末项为125，那么首项是多少？
（2）一个等差数列有10项．每一项都比它的前一项小7，并且末项为125，那么首项是多少？
3、如图所示，有一堆按规律摆放的砖．从上往下数，第1层有1块砖，第2层有3块砖，第3层有5块砖，……．按
照这个规律，第101层有多少块砖？
二、求公差
4、（1）一个等差数列首项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？
（2）一个等差数列第4项项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？
5、墨莫先在黑板上写了一个等差数列，刚写完小高就冲上讲台，擦去了其中的大部分数，只留下第四个数31和第十个数73．这个等差数列的公差是_________，首项是_________．
三、求项数
6、（1）一个等差数列首项为5，末项为93，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？
（2）一个等差数列第3项为50，末项为130，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？
四、等差数列求和
1、计算：（1）36912151821242730
+++++++++；
（2）4137332925211713951
++++++++++．
2、计算：（1）511177783+++++L ；（2）193187181103++++L ．
【例题1】在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？
【练习1】在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？
【例题2】求自然数中被10除余1的所有两位数的和。
【练习2】求不超过500的所有被11整除的自然数的和。
【例题3】计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990)
【例题4】墨莫读一本课外书，第一天读了15页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了36页，刚好把书读完．请问：墨莫一共读了多少天？这本课外书共有多少页？
【练习3】小华把一些珠子放在桌子上的15个盒子里．已知盒子中的珠子数按盒子从左往右的顺序成一个等差数列，并且从左数第8个盒子中有24颗珠子．请问：这15个盒子中一共有多少颗珠子？
【练习4】墨莫为了减肥开始长跑，他第一天跑了600米，以后每天他都比前一天多跑40米，那么前30天里他一共跑了多少米？
第二部分：等比数列
等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都相等，这个数列就叫做等比数列。
前后两项的比值叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
【例题5】一个等比数列的第三项与第四项分别是9与27，求它的第一项？
【练习5】一个等比数列的第三项与第四项的和是24，第一项与第二项的和为6，求第五项？
第三部分特殊数列
1．可将一列数分成两列数，分别找出它们各自的变化规律。
这样的数列我们一般称之为双数列，即相隔的数存在着一定的规律。
比如：3、4、6、6、9、8、( )、( )。
2．一个数列中的数都等于自身项数与项数的乘积，即完全平方数列。
如：1、4、9、16、( )、( )。
3．斐波那契数列，即三个数为一组，每组中前两个数相加的和等于第三个数。
如：1、1、2、3、5、8、13、( )、( )。
4．相邻的两个数十位上的数字有一定的规律，个位上的数字也有一定的规律。
如：12，23，34，( )、( )。
5．其它某种数的排列，如质数的排列：2，3，5，7，11，13，17，( )，( )。
6．运算数列。
有些数列中的数是前面的数通过某种运算得到的。
如2，2，3，5，14，69，（），（）。
【例题7】完成填空：
（1）2，3，5，9，17，（），（）
（2）1，3，4，7，11，（），（）
（3）1，3，7，13，21，（），（）
（4）3，5，3，10，3，15，（），（）
（5）8，3，9，4，10，5，（），（）
（6）2，5，10，17，26，（），（）
【例题8】观察下列由三个数组成的数组：第1组是（1，2，4），第2组是（2，4，8），第3组是（3，6，12），……那么，第2010组中的三个数之和是______.
【课后作业】
1、等差数列：1，5，9，13，……，那么第101项是________．
2、一个等差数列共有10项．每一项都比它的前一项大2，末项为75，那么首项是________．
3、一个等差数列共有10项．每一项都比它的前一项小2，末项为75，那么首项是________．
4、一个等差数列首项为13，第9项为29，这个等差数列的公差为_______．
5、某剧院有25排座位,后一排比前一排多两个座位,最后一排有70个座位.这个剧院一共有多少个座位?
6、计算1+3+5+……+99的值
7、计算2+4+8+16+……+1024的值。