第二讲 初等数列
初等代数研究__第5章_数列
初等代数研究__第5章_数列第5章数列数列是一种按照一定规律排列的数的集合，通常用${a_n}$表示，其中$n$为索引号，表示数列中第$n$个数。
数列可以用于描述各种变化的规律，比如数学、物理、计算机科学等领域。
数列的常见类型包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
1.等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间差值相等的数列。
其中公差$d$表示每一项与前一项之间的差值大小。
通项公式：$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_n$表示第$n$个数，$a_1$表示第一个数，$d$表示公差。
等差数列的求和公式：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，其中$S_n$表示前$n$项的和。
2.等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间比值相等的数列。
其中公比$r$表示相邻两项之间的比值大小。
通项公式：$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$，其中$a_n$表示第$n$个数，$a_1$表示第一个数，$r$表示公比。
等比数列的求和公式：当$，r，<1$时，$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$；当$，r，>1$时，$S_n = \frac{a_1(r^n-1)}{r-1}$。
3.斐波那契数列斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。
通项公式：$a_n=a_{(n-1)}+a_{(n-2)}$，其中$a_n$表示第$n$个数。
斐波那契数列是一个非常有趣的数列，它在自然界和人类生活中都有广泛的应用，比如兔子繁殖问题、植物生长问题等。
除了这些常见的数列类型，还有一些其他的特殊数列，比如等差等比混合数列、等差等比多项式数列等，它们在一些特定的问题中也有重要的应用。
数列的研究可以帮助我们更好地理解和分析各种规律和变化，同时也是数学研究的基础之一、通过数列的研究，我们可以推导出一些重要的定理和公式，进一步应用到其他数学问题的求解中。
在实际问题中，数列可以用于描述各种变化的规律，比如金融领域的利率变化、人口增长、物体的运动等。
数列ppt课件
等差数列的求和公式
总结词
等差数列的求和公式是用来计算数列 中所有项的和的数学公式。
详细描述
等差数列的求和公式是 S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)，其中 S_n 表示前 n 项的和，a_1 表示首项，d 表示公差， n 表示项数。这个公式可以帮助我们快 速计算出等差数列中所有项的和。
03 等比数列
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其中任意项与它的前一项的比值都相等。
详细描述
等比数列是一种有序的数字排列，其中任意一项与它的前一项的比值都等于同一个常数。这个常数被称为公比， 通常用字母q表示。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示数列中每一项的数学表达式。
04 数列的极限与收敛
数列的极限定义
极限的定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$ 趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个
常数$a$，则称$a$为数列${ a_{n}}$的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性 等性质。
极限的运算性质
极限具有可加性、可乘性、可分离 性等运算性质。
收敛数列的性质
在经济学中的应用
在经济学中，很多问题也可以转化为求和问题，例如计算总收益、总成本等。而求和问题 同样可以转化为数列的极限问题。因此，数列的极限和收敛的概念在经济学中也有着广泛 的应用。
05 数列的级数
级数的定义与分类
要点一
定义
级数是无穷数列的和，可分为数项级数和函数项级数。
要点二
分类
根据项的正负和收敛性，级数可分为正项级数、负项级数 、交错级数等。
正项级数的审敛法
(完整版)高考数列公式总结
第四份：数学必修五第二章《初等数列》公式总结一、基本知识点总结aregoodfor 2、常用结论归纳ooso 1.{}{}1-21-2=nnnnnnnn TSbanbaTS项和，那么有的前、分别为等差数列、设2.常见的数列前n项和公式3.)8()6()5()4()2(=1+2•11an）（则4.构造法求数列通项公式（数量众多，此处仅为举例）(1)构造等比数列：形如的数列，可设，其中，那么qpaann+=1+)+(=+1+kapkann1-=pqk是公比为q的等比数列；举例，，则，则{}kan+1+2=1+nnaa1=,1=,2=kqp)1+(2=1+1+nnaa为公比为2的等比数列.{}1+na(2)构造等差数列：形如的数列，可以等式左右两边同时除以得，nnnpqpaa•+=1+np qpapannnn+=1-1+故，故数列是公差为q的等差数列.qpapannnn=-1-1+nnpad A l {}表示数列S n 1+2 5.累加法与累乘法举例：（1）累加法：左边加左边，右边加右边，最后把左右相同部分消除.举例：已知数列满足，求数列的通项公式。
{}n a 11211n n a a n a +=++=，{}n a （2）举例：。
数列的极限知识点归纳总结
数列的极限知识点归纳总结数列的极限是高中数学中重要的概念之一，它在解析几何、微积分等数学领域中起着重要的作用。
本文将对数列的极限进行知识点归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、定义和概念1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一组数的集合。
数列可以用公式表示，常用的表示方式为{an}或{an}∞n=1。
2. 数列的极限定义：对于数列{an}，如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有|an - a| < ε，那么称数列{an}的极限为a。
3. 数列的收敛和发散：如果数列{an}存在极限，称该数列收敛；否则，称该数列发散。
二、极限的性质1. 极限唯一性：如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。
2. 有界性：对于收敛数列{an}，存在一个正数M，使得对于任意的n，有|an| ≤ M。
3. 夹逼定理：如果{an} ≤ {bn} ≤ {cn}，并且lim an = lim cn = a，那么lim bn = a。
4. 四则运算法则：若数列{an}和{bn}收敛，并且lim an = a，lim bn = b，则有以下运算结果：- lim(an ± bn) = a ± b- lim(an · bn) = a · b- lim(an / bn) = a / b (b ≠ 0)三、重要的数列极限1. 常数数列：对于常数c，数列{an} = c（n为正整数）的极限为c。
2. 等差数列：对于等差数列{an} = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，极限为lim an = a1。
3. 等比数列：对于等比数列{an} = a1 · q^(n - 1)，其中a1为首项，q为公比，当|q| < 1时，极限为lim an = 0；当|q| > 1时，极限不存在。
4. 幂函数数列：对于幂函数数列{an} = n^p，其中p为实数，当p >0时，极限为正无穷大；当p < 0时，极限为0。
高中数学高考数列公式总结
第四份：数学必修五第二章《初等数列》公式总结比较项目等差数列 等比数列补充定义自第一项起， 之后的每一项都 与前一项相减为定值的数列 自第一项起， 之后的每一项都与前一项相比为定值的数列等比数列公差可以为0， 等比数列每一项与公比均不可为0通项公式 ）（项和，则为前为公差则为首项，2≥-=)1-(+=1-11n S S a n S d n a a d a n n n n n）（项和，则为前为公比则为首项，2≥-=•=1-1-11n S S a n S q a a q a n n n n n n增减性质 ，递增数列；＞常数数列；，递减数列；＜0,0=0d d d，递增数列；＜＜，＜，摆动数列；＜，递增数列；＞，＞，递减数列＞，＜常数数列，，递减数列，＜＜，＞100010.10,1=1001111q a q q a q a q q a中项公式mn m n n a a a BA GB G A +-+=2,2+=推广那么为等差数列，、、设数m n m n n a a a AB AB G B G A +-2•=0±=），推广＞（那么为等比数列，、、设数求和公式 nd a n d d n n na a a n S n n )2-(+2=2)1-(+=2)+(=1211)1≠(-1-=-1)-1(=),1=(=111q q qa a q q a S q na S n n n n性质1.{}{}1-21-2=n n n nnnnnT S b an b a T S 项和，那么有的前、分别为等差数列、设2.常见的数列前n 项和公式3.裂项相消法的运用公式：)tan tan -1)(-tan(=tan -tan )8(!-)!1+(=!•7......................lg -)+lg(=+lg )6()-+(1=++1)5()2+)(1+(1-)1+(121=)2+)(1+(1)4()+1-1(=)+()3.(....................).........1-1(21=•1)2(,+1-+1-=)+)(+(=1)+)(+(=1+1-1=1+1-1+1-1-1+...+41-31+31-21+21-1=)1+(1+)1-(1+...+4•31+3•21+2•11,1+1-1)1+(1,1+1-1=)1+(1=2+1+βαβαβαn n n n n k n nkn n k n k k n n n n n n n n n k n n k A k n n A a a d a a CAn B An B C k C An B An k a C An B An ka n n n n n n n n n n n n n n S n n n a n n n n n n n n 三角函数形式：）阶乘数列：（对数形式：根式数列：）（三重分式：分式数列：等差数列：继而求和）（）（的数列裂项公式：到形如受此启发：我们可以得则裂项为方法是项和的前举例：求数列4.构造法求数列通项公式（数量众多， 此处仅为举例） (1)构造等比数列：形如qpa a n n +=1+的数列， 可设)+(=+1+k a p k a n n ， 其中1-=p qk ， 那么{}k a n +是公比为q 的等比数列；举例1+2=1+n n a a ， 1=,1=,2=k q p ， 则)1+(2=1+1+n n a a ， 则{}1+na 为公比为2的等比数列. (2)构造等差数列：形如n n n p q pa a •+=1+的数列， 可以等式左右两边同时除以n p 得q p a p a n nn n +=1-1+，故q p a p a n n n n =-1-1+， 故数列nnp a 是公差为q 的等差数列.5.累加法与累乘法举例：（2）累乘法：每个是式子都写出来， 全部乘起来， 最后把相同的消除.举例：已知数列{}n a 满足11(2)n n a n n a +=+≥， 求该数列通项公式13222122![(1)43].2n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯=L L 每个都写出来， 依次乘起来得到：（1）累加法：左边加左边， 右边加右边， 最后把左右相同部分消除. 举例：已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，， 求数列{}n a 的通项公式。
02初等函数及数列极限的概念
通常所说的反双曲余弦函数即指此主支。
类似于上面的作法, 可以得到 arth x , arcth x , arsech x , arcsch x 的表达式.
第二章 极限
本章学习要求：
了解数列极限的概念， 会用《 N》语言描述数列的 极限。正确理解 和 N 的含义。
双曲余弦函数的 定义域为 (, )
双曲余弦函数 在(, 0)内单调减少 在[0, )内单调增加
双曲余弦函数是偶函数
y
y = cth x
1
O y = th x
x
1
双曲正切、双曲余切的图形
双曲正切函数 定义域为 (, )
双曲正切函数 是单调增加的且有界
| th x | 1
4
x1 x
1 2
1 2n
,
有界 (可取 M 1 ). 2
(2) { (1)n1}: 1, 1, 1, 1,, (1)n1,
x2n
–1
0
x 2 n 1
x
1
{(1)n1}不单调, 但有界 (可取 M 1 ).
(3)
1
(1)n n
:
x3
••
•
(••x•2n•-•1••(•••
*
•••)•
x2n
••• •••)•
•
x4
•
1 103
1 102n
1
0
1
1
102n
y y f (x) M
yM
I (
O
) x
M y M
数列的有界性的定义
若 M 0, 使得 | xn | M , n N 成立, 则称数列{xn} 有界. 否则称{xn} 是无界的.
初等数学研究第二讲
2、有理数的顺序
3、有理数运算与有理数域 1)、有理数的加法、乘法和减法 定义、运算律与整数相同 2）、有理数的除法
3）、有理数域 因为有理数集Q含有0和单位元1，而且Q对 于加减乘除（除数不为0）四种运算都封闭， 且Q的加法和乘法都满足交换律和结合律， 还满足乘法对加法的分配律，所以Q是一个 数域。
2、近似值精确程度的衡量
1）、绝对误差和绝对误差界 A a a、 A a a A a b、
2）相对误差与相对误差界
3）有效数字和可靠数字
定理：具有n个有效（可靠）数位的近似值， 其相对误差界不受小数点所在位置的影响
3、近似数四则运算的经验法则
第二讲
一 整数环
（一）整数概念： 1、减法的定义：设A是一个非空数集，a, b A 使得 b x a 如果存在 x A
x 为a减去b的差
2、负数的定义：对于任意自然数 n 有一个新数 n 和 它对应 n (n) (n) n 0 3、绝对值的定义：
（二） 整数运算与整数环 1、加法法则 1）、同号两数相加，绝对值相加，并取原号 2）、异号两数相加，绝对值相减，并取绝对 值大的符号 3）、一个数和零相加
4）、运算比较性质 定理（运算比较性质） 设 a, b Q, 则有
(1)a b a b 0 (2)a b a b 0
(3)a b a b 0
4、有理数集的性质
二、近似计算
1、近似计算几种方法 1）去尾法 2）进一法3）四舍五入法（优点 a误差产生的误差比前两种方法的绝对误差 小；b产生的误差可相互抵消）
2、乘法法则 1）、同号两数相乘，绝对值相乘，积取正号 2）、异号两数相乘，绝对值相乘，积取负号 3）、任何数和零相乘等于零 加法和乘法满足交换律和分配律 定理：在整数集中，两数差是唯一存在的。
初数数学中的数列公式详解
初数数学中的数列公式详解数列是数学中的一个重要概念，它由一系列有序的数所构成。
数列可以通过数列公式来表示，并且在初等数学中，数列公式是一个重要的学习内容。
本文将对初数数学中的数列公式进行详细解析，帮助读者更好地理解和应用数列公式。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差都保持相等的数列。
等差数列的一般形式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列的数列公式主要有以下几种：1. 首项和公差已知，求第n项根据数列公式an = a1 + (n-1)d，当首项a1和公差d已知时，我们可以通过代入n的值来求得第n项的值。
2. 首项和项数已知，求公差当首项a1和项数n已知时，我们可以通过将数列公式变形为d = (an - a1) / (n-1)来求得公差d的值。
3. 首项和末项已知，求项数当首项a1和末项an已知时，我们可以通过将数列公式变形为n = (an - a1) / d + 1来求得项数n的值。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都保持相等的数列。
等比数列的一般形式可以表示为：an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
等比数列的数列公式有以下几种常见形式：1. 首项和公比已知，求第n项当首项a1和公比r已知时，我们可以通过代入n的值来求得第n项的值。
2. 首项和项数已知，求公比当首项a1和项数n已知时，我们可以通过将数列公式变形为r = an / a1^(n-1)来求得公比r的值。
3. 首项和末项已知，求项数当首项a1和末项an已知时，我们可以通过将数列公式变形为n = log(r, an / a1) + 1来求得项数n的值。
其中，log(r, x)表示以r为底x的对数。
三、斐波那契数列斐波那契数列是一个非常特殊的数列，它的每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的数列公式可以表示为：Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F1 = 1，F2 = 1。
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暑期课堂讲义
第2讲初等数列
2.1引入
小朋友你们可知道数学天才高斯小时候的故事吗？
高斯念小学的时候，有一次老师在教完加法后，因为老师想要休息，所以便出了一道题目要同学们算算看，题目是：
1+2+3+···+98+99+100=?
老师心里正想，这下子小朋友一定要算到下课了吧！正要找借口出去时，却被高斯叫住了！原来呀，高斯已经算出来了。
小朋友你可知道他是如何算出来的吗？
高斯告诉大家他是如何算出的：把1加至100与100加至1排成两排相加，也就是说：
1+2+3+···+98+99+100
100+99+98+···+3+2+1
=101+101+101+···+101+101+101
共100项
,结果就是5050。
共有一百个101相加，但算式重复了两次，所以等式就等于10100
2
在数学中，大部分的数列都毫无规律可言，更别谈求出它们的和了。
今天我们要介绍的数列都是数学中最基础的数列。
2.2数列找规律
1.顺（逆）等差数列：后一个数减去前一个数的差相等（或前一个数减去后一个数的差相等）
1,3,5,...,2n−1,2n+1, (1)
10,8,6,...,12−2n,10−2n, (2)
2.跳跃数列：即单数序号的数与双数序号的数分别形成规律。
8,15,10,13,12,11,14,9, (3)
这里8,10,12,14成规律，15,13,11,9成规律。
想一想,能不能让更多不同序号的数分别形成规律？比如说3个，4个，或更多？
3.质数数列，即将所有的质数放在一起形成一个数列。
什么是质数？是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。
2,3,5,7,11,13,17,19, (4)
4.平方数列或立方数列：由有序的数的平方或者立方构成的数，如
1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...,即12,22,32,42,52,62,72,82,92,102, (5)
1,8,27,64,125,...,即13,23,33,43,53, (6)
5.斐波那契数列：即任意连续两个数字之和等于第三个数字
1,1,2,3,5,8,13,21,34, (7)
拓展知识：斐波那契数列又因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。
如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下。
两个月后，生下一对小兔对数共有两对三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对……
依此类推我们可以得到下表：
经过月数01234567891011···
幼仔对数1011235813213455···
经过月数01123581321345589···
经过月数1123581321345589144···
6.等比数列：前项与后项之间构成比例关系。
2,4,8,16,32,64, (8)
3,9,27,81,243,729, (9)
式（8）中从第二项开始每一项都是前一项的2倍，式（9）中则是3倍。
2.3等差数列
等差数列是常见数列的一种。
定理1如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
等差数列相关公式：‘
定义数列a n,首项为a1，第n项为a n,项数为d,则
公式1通项公式：第几项=首项+（项数-1）×公差，即
a n=a1+(n−1)×d(1)公式2项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1，即
n=(a n−a1)÷d+1(2)公式3求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2，即
a1+a2+a3+···+a n=(a1+a n)×n÷2(3)
2.4例题
例1在数列1×2,2×3,3×4,···,99×100中，第6个数是.
例2找规律填数：100,81,64,49,,,,9.
例3198,297,396,,.
例45243,2435,4352,.
例52,4,6,10,16,,,.
例6求193+187+181+···+103的值.
例739个连续奇数的和是1989，其中最大的一个奇数是多少？
例8在1-200这200个数中能被9整除的数的和是多少？
例9南昌市举行数学竞赛.比赛前规定，前15名可以获奖，比赛结果第一名1人；第二名并列2人；第三名并列3人；……；第十五名并列15人，用最简便方法计算出获得奇数名次奖项一共有多少人？
例10江西艺术剧院有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？
2.5练习
1.根据规律填数
(a)3,20,5,40,7,80,,.
(b)1,3,6,10,,,.
(c)2,3,5,8,,21,,.
(d)2,3,5,7,,13,,19.
(e)2,5,11,23,,95.
(f)987,877,767,,.
2.计算：2+4+6+···+98+100=.
3.在1-100这100个自然数中所有不能被9整除的奇数的和是多少？
4.若干个小朋友围成8圈，一圈套一圈，从外向内各圈人数依次减少4人.如果最内圈有32人，那么一共
有多少个小朋友？
5.九个连续偶数的和比其中最小的数多232，这九个数中最大的数是多少？
6.在等差数列1949,1950,1951,···,2019中，所有的奇数之和比偶数之和多多少？。