第二讲 数列计算
4.1数列的概念(第二课时)课件(人教版)
初生兔子 成熟兔子 第1月 第2月 第3月
第4月 第5月
兔子总数（对）
1+0=1 0+1=1 1+1=2
1+2=3 2+3=5
斐波那契数列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，...
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12
a3 a2 a1
a4 a3 a2 a5 a4 a3 ......
an an-1 an2
n N * 且n 3 此数列的递推公式
递推公式：如果数列{an}的第1项或前几项已知， 并且数列{an}的第n项an与它的前一 项an－1(或前几项)的关系可以用一 个式子来表示，那么这个式子就叫
做这个数列的递推公式．
an
an1
1
nn 1
n
2，求an
an
2-
1 n
已知数列{an}满足 a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求 an.
an en1
a2 a1 ( 5 ) a3 a2 ( 5 ) a4 a3 ( 5 )
......
an an-1 ( 5 )
n N * 且n 2 此数列的递推公式
意大利数学家斐波那契，提出了一个关于兔子繁殖的问题：
假定在不死的情况下，一对兔子每月可以生下一对 兔子（一雌一雄），初生兔子在第三个月又能生一 对兔子。由一对初生兔子开始，50个月后会有多少 对兔子？
8
A 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln
1＋1 n
，则
an＝(
)
A．2＋ln n
B.2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n
小学四年级奥数第二讲__等差数列
等差数列像1，2，3，…，99，100这样的一串数我们称为“等差数列”，下面介绍有关等差数列的概念。
的概念。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后后项与前项之差后项与前项之差都相等的数称为等差数列，后项与前项之差一项称为末项。
从第一项开始，后项与前项之差都相等的数称为等差数列，称为公差，数列中数的个数称为项数。
称为公差，数列中数的个数称为项数。
等差数列的求和公式为：等差数列的求和公式为：数列和＝（首项＋末项）×项数÷2 项数＝（末项－首项）÷公差＋1 末项＝首项＋公差×（项数－1）[例1]计算1＋2＋3＋ (1999)[例2]求首项是5，公差是3的等差数列的前1999项的和。
项的和。
[例3]计算3＋7＋11＋ (99)[例4]计算（1）2000－3－6－9－…－51－54 （2）（2＋4＋6＋…＋96＋98＋100）－（1＋3＋5＋…＋95＋97＋99）[例5]2000×1999－1999×1998＋1998×1997－1997×1996＋…＋4×3－3×2＋2×1 [例6]在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？练习：1．计算：．计算：（1）1＋2＋3＋…＋76＋77＋78 （2）1＋3＋5＋…＋95＋97＋99 （3）2＋6＋10＋14＋…＋202＋206＋210 （4）4＋7＋10＋…＋292＋295＋298 2．求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
的等差数列的和。
3．求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
项的和。
4．计算：．计算：（1）4000－1－2－3－…－76－77－78 （2）560－557＋554－551＋…＋500－497 （3）204－198＋192－186＋…＋24－18＋12－6 *5．计算：．计算：（1）（1＋3＋5＋...＋1999）－（2＋4＋6＋ (1998)（2）1＋2＋3－4＋5＋6＋7－8＋9＋10＋11－12＋…＋25＋26＋27－28 6. 在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？是这个数列的第几项？7.一个剧院共有25排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多2个座位，第25排有70个座位，这个剧院共有个座位，这个剧院共有 个座位。
第二讲数列的极限
n 1 n n 1
(1) n 0 n ( n 1) 2
证：由于 x n a
(1) n 1 1 1 0 2 2 n 1 n (n 1) (n 1)
第一章第二讲数列的极限
要使 x n a
1 1 成立，只要 n n 1
故对 0 ，取 N [ ] ，当 n N 时，总有
xn 趋近于 a ，即 xn 与 a 之间的距离越来越小，所以我们可以利用 xn a 来刻
画 xn 趋近于某一个数 a . 当 xn a 小于一个很小的数的时候，我们就可以说 xn 与 a 越来越近.
题目：已知数列
n ( 1) n 1 n
（1）
n (1) n 1 与 1 之间的关系？ n
1 2 3 4 , , , , 2 3 4 5
(ⅱ) 2 , 4 , 8 , 16 , (ⅲ) 1 , 1 , 1 , 1 , (ⅳ) s1 , s2 ,, sn , (ⅴ) x1 , x2 ,, xn , 解：(ⅰ) xn
n n 1
当 n 时， xn 趋近于 1
第一章第二讲数列的极限
N ，当 n N 时， | xn
a | 1 都成立
于是 n N 时， xn xn a a xn a a 1 a
第一章第二讲数列的极限 取 M max x1 , x2 , , xN ,1 a ，则数列 xn 中的每一项满足 xn M 故数列 xn 是有界的. 注：根据该定理，若数列 xn 无界，则 xn 一定发散，但若 xn 有界，则 xn 不 一定收敛. 3、极限的保号性：若 lim x n
1 1 n n
所以从第 [ ] 1 项开始后面所有的项与 1 的差的绝对值小于
第二讲 初等数列
暑期课堂讲义第2讲初等数列2.1引入小朋友你们可知道数学天才高斯小时候的故事吗？高斯念小学的时候，有一次老师在教完加法后，因为老师想要休息，所以便出了一道题目要同学们算算看，题目是：1+2+3+···+98+99+100=?老师心里正想，这下子小朋友一定要算到下课了吧！正要找借口出去时，却被高斯叫住了！原来呀，高斯已经算出来了。
小朋友你可知道他是如何算出来的吗？高斯告诉大家他是如何算出的：把1加至100与100加至1排成两排相加，也就是说：1+2+3+···+98+99+100100+99+98+···+3+2+1=101+101+101+···+101+101+101共100项,结果就是5050。
共有一百个101相加，但算式重复了两次，所以等式就等于101002在数学中，大部分的数列都毫无规律可言，更别谈求出它们的和了。
今天我们要介绍的数列都是数学中最基础的数列。
2.2数列找规律1.顺（逆）等差数列：后一个数减去前一个数的差相等（或前一个数减去后一个数的差相等）1,3,5,...,2n−1,2n+1, (1)10,8,6,...,12−2n,10−2n, (2)2.跳跃数列：即单数序号的数与双数序号的数分别形成规律。
8,15,10,13,12,11,14,9, (3)这里8,10,12,14成规律，15,13,11,9成规律。
想一想,能不能让更多不同序号的数分别形成规律？比如说3个，4个，或更多？3.质数数列，即将所有的质数放在一起形成一个数列。
什么是质数？是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。
2,3,5,7,11,13,17,19, (4)4.平方数列或立方数列：由有序的数的平方或者立方构成的数，如1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...,即12,22,32,42,52,62,72,82,92,102, (5)1,8,27,64,125,...,即13,23,33,43,53, (6)5.斐波那契数列：即任意连续两个数字之和等于第三个数字1,1,2,3,5,8,13,21,34, (7)拓展知识：斐波那契数列又因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
4.1第2课时 数列的递推公式及累加、累减、累乘、周期数列的专题 课件
累减法求通项公式
例4
例题解析
累乘法求通项公式 例 5 已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前 5 项，猜想 an，
并加以证明．
例题解析
累乘法求通项公式 例 5 已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前 5 项，猜想 an，
并加以证明． [解] 由 a1＝2，an＋1＝2an 得 a2＝2a1＝2×2＝4＝22， a3＝2a2＝2×4＝8＝23， a4＝2a3＝2×8＝16＝24， a5＝2a4＝2×16＝32＝25， … 猜想 an＝2n(n∈N*)．
例题解析
(2)由 an＝an－1＋nn1－1 得 an－an－1＝nn1－1(n≥2)， 所以 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1 ＝nn1－1＋n－11n－2＋…＋3×1 2＋2×1 1＋1 ＝n－1 1－1n＋n－1 2－n－1 1＋…＋12－13＋1－12＋1＝－1n＋1＋1＝2－ 1n＝2nn－1(n∈N*)．
证明如下： 证法一：(累乘法)
由 a1＝2，an＋1＝2an 得aan－n 1＝aann－－12＝…＝aa32＝aa21＝2， ∴an＝aan－n 1·aann－－12·…·aa32·aa21·a1 ＝2·2·…·2·n2个＝2n(n∈N*)． 证法二：(迭代法) 由 an＋1＝2an 得 an＝2an－1，an－1＝2an－2，…，a3＝2a22·an－2＝22(2an－3)＝23·an－3＝…＝2n－1·a1＝2n(n ∈N*)．
项之和，称为数列{an}的前 n 项和，记作 Sn，即 Sn＝a_1_＋_a_2_＋_…__＋.an
S1
，n＝1
2．an 与 Sn 的关系：an＝ Sn－Sn－1 ，n≥2.
2024届高考数学一轮总复习第四章数列第二讲等差数列及其前n项和课件
(2)解：由已知有 a72＝a4·a9，设等差数列{an}的首项为 x，由(1) 知其公差为 1，
证明：由题意可知，数列{ Sn}的首项为 a1，设等差数列{ Sn} 的公差为 d，
则 d＝ S2－ S1＝ a1＋a2－ a1＝ a1， 所以 Sn＝ S1＋( S2－ S1)＋( S3－ S2)＋…＋( Sn－ Sn－1) ＝ a1＋(n－1) a1＝n a1， 即 Sn＝a1·n2，
所以 an＝aS1n，－nS＝ n－11＝，(2n－1)a1，n≥2， 当 n＝1 时，(2×1－1)a1＝a1， 所以 an＝(2n－1)a1， 所以 an＋1－an＝2a1，所以数列{an}是以 a1 为首项，2a1 为公差 的等差数列.
①当
a1>0，d<0
am≥0， 时，满足am＋1≤0
的项数 m 使得 Sn 取得最
大值为 Sm(当 am＋1＝0 时，Sm＋1 也为最大值)；
a8＋a10＝80，则 a7－12a8＝(
)
A.4
B.6
C.8
D.10
解析：∵a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80， ∴a6＝16，又 a6＋a8＝2a7，∴a7＝21a6＋12a8，即 a7－12a8＝
12a6＝8，故选 C. 答案：C
【题后反思】等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)， 则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列， 公差为2d.
数列的概念(第二)精品PPT教学课件
2020/12/6
5
例一
► 已知数列{ a n } 的第一项是1,以后各项由公式
an
1 1 an1Байду номын сангаас
(n2)
给出。写出这个数列的前五项.
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6
例二
► 已知数列 { a n }
满足 a1 1 ,
an1
2an (nN*) an 2
.
写出这个数列的前五项,归纳其通项公式,并验证是否满 足递推公式.
2020/12/6
1
复习巩固
► 写出下面数列的一个通项公式.
(1). 1 , 9 , 25 , 49 , , 2 46 8
( 2 ). 2 , 5, 2 2 , 11 , ,
(3). 1 1 ,2 2 ,3 3 ,4 4 , , 2345
( 4 ). 7 ,77 ,777 ,7777 , ,
2020/12/6
2
复习巩固
数列{an}的通项公式an为n2 5n4,问 （1）数列中有多少项数为 . 负 （2）n为何值时a， n有最小值，并求出值最小
2020/12/6
3
递推公式
► 观察下面这组数列, ► 1,2,4,8,16,32,64,--------
► 它的通项公式为 an 2n1
这个数列的后一项跟它的前面一项有什么关系呢?
2020/12/6
7
例三
► 已知数列 { a n } 中，
a1 1,
anan1n(n11)(n2)
► 则 { a n } 的通项公式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
2020/12/6
8
例四
► 设{ a n }是首项为１的正项数列，且
小学数学四年级第二讲等差数列
等差数列及其应用大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和。
大家在惊叹佩服之余，仔细想一想，小高斯的聪明和善于观察是不心说，最基本的左面原因却是这100个数所排列的这一组数列，具有极强的规律性。
这种数列的求和有极简便的求和方法。
通过这一讲的学习，你们也不逊色于大数学家“高斯”。
一、什么叫等差数列1）1，2，3，4，5，6，7，8，9，……2）1，3，5，7，9，11，13。
3）3，6，9，12，15，18，21，24，27，……4）100，95，90，85，80，75，70，65，60……5，0。
这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列。
其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：数列1）中，d=2-1=3-2=4-3=5-4=6-5= (1)数列2）中，d=3-1=5-3=7-5=9-7=11-9=13-11=2；数列3）中，d=6-3=9-6=12-9=15-12= (3)数列4）中，d=100-95=95-90=90-85=85-80= (5)二、等差数列的几个常用公式一个数列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，…a n－1，a n，我们一般地，我们把“n”叫这个数列的项数；a4，a5，a6，a7，…叫这个数列的项，例：“a4”表示这个数列的第4项；等差数列中的公差,我们一般用d来表示; s n表示等差数列的前n项的和……根据等差数列的特点，我们得到以下几个等差数列常用公式：等差数列通项公式：a n= a1＋（n－1）d;等差数列首项公式：a1= a n－（n－1）d;等差数列项数公式：n=( a n－a1)÷d＋1;等差数列求和公式：s n=（a1＋a n）×n÷2[例1] 判断下列数列中哪些是等差数列，并说明理由。
1）6，10，14，18，22， (98)2）1，2，1，2，1，2，1，2，1，2， (2)3）19，18，17，16，15，14，13，12，11，10；4）11，11，11，11，11，11，11，11，11，11，11，11；5）1，4，7，10，13，16，19，22，25，28， (3001)通过等差数列的定义进行判断，可知：1）、3）、4）、5）都是等差数列。
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在加、减、乘、除四则运算中除法是最麻烦的一项，即使使用 速算法很多时候也要加上笔算才能更快更准地算出答案。当然， 利用商不变性质有时也能起到很好的效果。
【答案】50
第三部分 课堂检测
【检测 1】计算： （1＋3＋5＋…＋2017）－ （2＋4＋6＋8＋2016）＝（ ）。
【考点】分组计算 【解析】观察两个括号中数的特点，对应两两相减得1，共得1009个 1. 【答案】1009
34 3535 35 3434 【检测 2】计算：
【考点】重码数，提取公因数（逆用乘法分配律）
【答案】48
【例 10】现在定义一种符号△，并满足a△b（a>b）是a 除以b的余数。已知a△4=a△6，那么a的最小值是（ ）
【考点】定义新运算，同余，最小公倍数
【解析】由新运算符号及所给条件知a应该大于6并且除以4和6同余 ，那么当a取4和6的最小公倍数12时，是满足条件的最小值， 除以4和6后都余零。 【答案】12
，所以有4个奇数。 【答案】4
7 77 777 7777 77777 777777 【作业 4】 十位数字是___________.
的和的
【考点】位值原理
【解析】个位加起来42，十位加起来是35，最终十位数字是9
【答案】9
【作业 5】如果a△b表示,例如3△4,那么,当a△5=30时, a= .
三、首位相同，两尾数和等于10的两位数相乘（首同尾十） 十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积，个 位数相乘，得数为后积，没有十位用0补。 例：56 × 54 (5 + 1) × 5 = 30，6 × 4 = 24；即56×54 =3024。 四、两首位和是10，两尾数相同的两位数相乘。（首十尾 同） 两首位相乘，积加上一个尾数，得数作为前积，两尾 数 相乘（即尾数的平方），得数作为后积，没有十位补0。 例：78 × 38 7 × 3 + 8 = 29，8 × 8 = 64；即78 × 38=2964。
Ｃ、加减法——补数的概念与应用 补数的概念：补数是指从10、100、1000……中减去某一数后 所剩下的数。 例如：10减去9等于1，因此9的补数是1，反过来，1的 补数是9。
补数的应用：在速算方法中将很常用到补数。例如求两个 接近100的数的乘法或除数，将看起来复杂的减法运算转为 简单的加法运算等等。
【答案】198
【检测5】计算：
2009 20082008 2008 20092009
【考点】重码数
【解析】观察后直接利用重码数的特点， 2009 2008 10001 2008 2009 10001 0
【答案】0
【检测6】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△ （3△4）的值。
Ｂ、平方速算 一、求11～19 的平方 底数的个位与底数相加，得数为前积，底数的个位乘以 个位相乘，得数为后积，满十前一。 例：17 × 17 17 ＋ 7 = 24，7 × 7 = 49；即17 × 17=289。 参阅乘法速算中的“十位是1 的两位相乘” 二、个位是5 的两位数的平方 十位加1 乘以十位，在得数的后面接上25。 例：35 × 35 （3 + 1）× 3 = 12，5 × 5 = 25；即35 × 35=1225。
三、21～50 的两位数的平方 在这个范围内有四个数字是个关键，在求25～50之间的 两数的平方时，若把它们记住了，就可以很省事了。它们是 ：21 × 21 = 441 22 × 22 = 484 23 × 23 = 529 24 × 24 = 576 求25～50 的两位数的平方，用底数减去25，得数为前积，50 减去底数所得的差的平方作为后积，满百进1，没有十位补0 。 例：37 × 37 37 - 25 = 12，（50 - 37）² = 169 ；即37 × 37 = 1369 。 注意：底数减去25后，要记住在得数的后面留两个位置给十 位和个位。
【解析】男生平均分比整体平均分少3分，女生平均分比整体平均分 多7分，根据移多补少原理，男生与女生的人数比是7:3，所 以总人数50分成10份，男女分别生占7份和3份，人数分别为 35人和15人，男比女多20人。
【答案】20
答题技巧总结：
1、 首先观察，找出题目中的内在规律；
2、 理清题目条件之间的关系，找到对应题型的思路切入点；
【检测10】某同学在4次数学测试中，取得的平均分数是84分，他要使平均分 上升到86分，在下次测验中，他至少要得（ ）分？（按整分计算）
【考点】平均数，移多补少
【解析】前4次测试平均分要提高2分到86分，需要下次考试的分数 比86分至少高 2 4 8 分，这样才能把多出来的8分补给前4 次各2分。
【考点】平均分，移多补少
【解析】英语比93分（91+2=93）多出6分，才能补给其他三科各2分 ，所以英语得99分
【答案】99
【作业 8】上外附小有50名学生参加学而思杯数学竞赛，平均 分是63分，其中参赛男同学平均分为60分，女同学平均分为70 分，那么上外附小参赛男同学比女同学多几人？
【考点】平均分，移多补少
a1 (1 q n ) a1 an q q 1 Sn 1 q 1 q
第二部分 例题精讲
【例 1】计算11、14、17、20、……、95、98这 个等差数列的项数是（ ）
【考点】等差数列求项数
【解析】观察得公差为3，最后一项98比第一项11多87，即29个3， 有29个间隔，30个数。
【解析】观察，把数分拆后提取公因数，得 (35 1) 3535 35 3434 35 101 3535 0 或者直接利用重码数前一项可变换为34 35 101 35 3434 前后两项相同，做差为0. 【答案】0
【检测3】计算： 389＋387＋383＋385＋384＋386 ＋388＝（ ）。
【考点】数列求和
【解析】每层的个数是1,3,6,10,15,21 ，共有56个球。
【答案】56
【例 9】计算：
若a△b=(a+b)/(b-a)，请计算1△2+2△3+3△4+4△5+5△6+6△7=
【考点】定义新运算
【解析】新运算符号表示两数和除以两数差，得
3 5 7 9 11 13 48
Ｄ、除法速算 一、某数除以5、25、125时 1、 被除数 ÷ 5 = 被除数 ÷ (10 ÷ 2) = 被除数 ÷ 10 × 2 = 被除数 × 2 ÷ 10 2ห้องสมุดไป่ตู้ = = 3、 = = 被除数 被除数 被除数 被除数 被除数 被除数 ÷ × × ÷ × × 25 4 ÷100 2 × 2 ÷100 125 8 ÷1000 2 × 2 × 2 ÷1000
【考点】基准数
【解析】选基准数380，得 380 7 9 7 3 5 4 6 8 2660 42 2702
【答案】2702
【检测4】计算： 1÷50＋2÷50＋……＋99÷50＝ （ ）。
【考点】除法的性质
【解析】直接计算 (1 2
99) 50 100 99 50 198
【考点】新运算，多重运算
【解析】两重运算，先按照新运算计算括号3△4 =1，再算6△1=7
【答案】7
【检测7】规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则 x=（ ）
【考点】新运算，多重运算
【解析】两重运算，先算括号4※1=10，再由结果逆推，x※10=7， 得x=9
【答案】9
【检测8】有一个数学运算符号 ，使下列算式成立： 2 4 8,5 3 13,3 5 11,9 7 25, 求7 3 ？
【考点】新运算，找规律
【解析】观察数的规律，第一个数的2倍加上第二个数得到结果，所 以 7 3 7 2 3 17
【答案】17
(90 20 2) 20 90 0.1 89.9 分
【例 12】某学生算六个数的平均数，最后一步应 除以6，但是他将“÷”错写成“×”，于是得错 误分析1800，那么，正确分析是__________。
【考点】平均数的概念，还原逆推
【解析】6个数的和是300，由平均数的数量关系式求得平均数就是 50
3、 在运算过程尽可能利用平常练习的速算技巧，与时间赛跑。
Ａ、乘法速算 一、十位数是1的两位数相乘（十几×十几） 乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，乘数的个位与 被乘数的个位相乘，得数为后积，满十前一。 例：15×17 15 + 7 = 22，5 × 7 = 35；即15×17 = 255。 二、十位相同个位不同的两位数相乘（首同尾不同） 被乘数加上乘数个位，和与十位数相乘，积作为前积， 个位数与个位数相乘作为后积加上去。 例：43 × 46 （43 + 6）× 4 = 196，3 × 6 = 18；即43×46=1978。
【答案】345000000
6 4444 2222 3333 5555 【作业 3】巧算： 中有 （ ）个数字是奇数。
【考点】提取公因数
的得数
【解析】多位数计算，提取公因数，再利用9999凑整，
1111 1111 (48 15) 1111 1111 63 7777 9999 77762223
【例 11】某小组有10人，他们的数学成绩分别是：87、91、 94、88、93、91、89、87、92、86，求这个组的平均成绩？
【考点】平均数，基准数
【解析】10个成绩都接近90，可采用基准数算法，总分是 90 20 3 1 4 2 3 1 1 3 2 4 90 20 2 那么平均成绩= 【答案】89.9