测地线方程求解
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爱因斯坦的测地线方程
爱因斯坦的测地线方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：爱因斯坦的测地线方程是广义相对论的一个重要概念，它描述了时空中物质粒子运动的轨迹。
爱因斯坦在其相对论理论中提出了测地线方程，并通过这一方程推导出了引力场方程，从而揭示了引力的本质。
测地线，又称为测地曲线，是时空中物体或光线运动的轨迹。
在经典物理学中，测地线通常指的是在弱引力场下的运动轨迹。
在相对论物理学中，受到引力场影响的测地线通常指的是在强引力场下的运动轨迹，这个运动轨迹是由时空的几何性质决定的。
爱因斯坦在他的相对论中提出了一个重要的概念，即质量（或能量）引起了时空的弯曲。
这种弯曲导致了物体在重力场中运动时所遵循的轨迹，在数学上可以用测地线方程来描述。
爱因斯坦的测地线方程可以用来描述物体在时空中的运动轨迹。
这个方程的基本形式如下：\[ \frac{d^2x^{\mu}}{d\tau^2} +\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta} \frac{dx^{\alpha}}{d\tau}\frac{dx^{\beta}}{d\tau} = 0 \]\(x^{\mu}\) 表示时空的坐标，\(\tau\) 表示固有时间，\(\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}\) 表示联络系数。
测地线方程的意义在于描述了质点在引力场中受力的情况，进而确定了质点的运动轨迹。
通过解析测地线方程，我们可以了解物体在引力场中的运动规律，预测物体的轨迹和速度。
测地线方程不仅仅在广义相对论中具有重要意义，它还在现代天文学、宇宙学和引力波物理学等领域中发挥着重要作用。
通过测地线方程，我们可以研究星系、恒星、行星和引力波等天体运动的规律，深化对宇宙结构和演化的理解。
爱因斯坦的测地线方程是相对论物理学中的一个重要概念，它揭示了引力场中物体运动的规律，深化了人们对时空几何和引力场的理解。
通过研究测地线方程，我们不仅能够深入了解宇宙的奥秘，还能够推动科学技术的发展和人类认知的进步。
第七章 测地线与测地坐标
g g g
n
kN ⋅ kN = (τ + k n n) 2 ⇒ k 2 =| τ |2 + k n = k g + k n .
2 2 2
以下给出计算测地曲率 k ： 因
2 g
τ = k g n × T ⇒ k g = ( n × T ) ⋅τ = ( n × T ) ⋅ (
dT dT . − k n n )( n × T ) ⋅ ds ds
§2.17
测地曲率
设 c 为 S 上以弧长为参数的一条曲线， 我 们已得到 c 的切向量的曲率向量
dα = kβ = τ + k n n ds i j d 2u k k du du ) rk : τ = ( 2 + Γij ds ds ds
5
为 c 的曲率 kβ 在切平面上的投影向量。 当τ ≡ 0 时，因 r , r 线性无关
(g ij ) 是正定的，也是可逆的，所以有 = g = g jk d k
ij i
2
(g ij ) ( g ij ) = I
2.自然标架的运动方程
dr = ridu i k r r + cij n = Γ ij ij k j = n D r + Di n i j i
cij = bij Di = 0 D ij = -bjk g ki = -b i j
1 ih g Γi jk = 2 ∂g jh ∂g hk ∂g ij ∂u k + ∂u i - ∂u h
§2.15 曲面的唯一性定理、 曲面的基本方 程、曲面的存在性定理
定理 : 设S 1 ,S 2是定义在同一个参数区域
上的两个正则参数曲面， 若在每一点， 两个曲面有相同的第一和第二基本形式， 则这两个曲面在一个刚体运动下彼此重合。
n
kN ⋅ kN = (τ + k n n) 2 ⇒ k 2 =| τ |2 + k n = k g + k n .
2 2 2
以下给出计算测地曲率 k ： 因
2 g
τ = k g n × T ⇒ k g = ( n × T ) ⋅τ = ( n × T ) ⋅ (
dT dT . − k n n )( n × T ) ⋅ ds ds
§2.17
测地曲率
设 c 为 S 上以弧长为参数的一条曲线， 我 们已得到 c 的切向量的曲率向量
dα = kβ = τ + k n n ds i j d 2u k k du du ) rk : τ = ( 2 + Γij ds ds ds
5
为 c 的曲率 kβ 在切平面上的投影向量。 当τ ≡ 0 时，因 r , r 线性无关
(g ij ) 是正定的，也是可逆的，所以有 = g = g jk d k
ij i
2
(g ij ) ( g ij ) = I
2.自然标架的运动方程
dr = ridu i k r r + cij n = Γ ij ij k j = n D r + Di n i j i
cij = bij Di = 0 D ij = -bjk g ki = -b i j
1 ih g Γi jk = 2 ∂g jh ∂g hk ∂g ij ∂u k + ∂u i - ∂u h
§2.15 曲面的唯一性定理、 曲面的基本方 程、曲面的存在性定理
定理 : 设S 1 ,S 2是定义在同一个参数区域
上的两个正则参数曲面， 若在每一点， 两个曲面有相同的第一和第二基本形式， 则这两个曲面在一个刚体运动下彼此重合。
【最新精选】第二章伪球面、常高斯曲率曲面
第二章曲面论伪球面一、曳物线(tractrix)从曲线C上某一动点P的切线与某一定直线l的交点Q到点P的线段长恒为定值,则称曲线C为曳物线(tractrix)。
直线l为其渐近线。
我们首先定义O x z平面上的曳物线如下：定义如果曲线C上任意一点P 的切线与z轴的交点Q到点P的线段长恒为定值a,则称曲线C为曳物线。
z轴称为曳物线的渐近线。
下面我们来推导曳物线的方程，设它的方程为()z z x = 。
曲线上一点(,)P x z 处的切线方程为 ()()Z z z x X x '-=-，切线z 轴的交点为(0,())Q z z x x '-， 因为||PQ a =，所以 222(())x z x x a '+=，由此得出()z x x'=±，dz dx x =± ， 令sin x a t =， 则2cos 1sin cos sin sin a t t dz a tdt a dt a t t -=±⋅=±1(sin )sin a t dt t =±-21(sin )2tan cos 22a t dt t t =±-，于是(ln tan cos )2t z a t =±+ 。
因此，Oxz 平面上以z 轴为渐近线的曳物线方程是sin (ln tan cos )2x a t t z a t =⎧⎪⎨=±+⎪⎩ 。
二、 伪球面由曳物线绕其渐近线旋转而形成的回转曲面叫做伪球面。
这种曲 面的全曲率在每一点都是常数且是负的。
位于此曲面上的直线与平行公设不一致。
因而构造这种曲面的可能性为非欧几何学提供了相对相容性的证明。
曳物线绕其渐近线旋转一周而得到的曲面。
1868年意大利数学家贝尔特拉米首先提出伪球面可作为实现双曲几何的模型，从而促使非欧几何得到普遍承认。
如果把上述曳物线z 轴旋转， 所得的旋转曲面称为伪球面，它的参数表示是sin cos ,sin sin ,(ln tan cos ).2x a t y a t t z a t θθ=⎧⎪⎪=⎨⎪=±+⎪⎩对旋转曲面(()cos ,()sin ,())r x t x t z t θθ=， 第一基本形式是22222()()[(())(())]()x t d x t z t dt θ''I =++， 高斯曲率是222[()()()()]()()[(())(())]x t z t x t z t z t K x t x t z t '''''''-=''+。
圆柱面上测地线的几种求解方法
, .
.
析 法 更 具 直 观 且不 失 一 般性 为求解 旋 转 曲面 上 测 地 线 提 供 了 一 种模式
1
微 分 方 程 求解 法
r
设圆柱 面方 程为 则 第 一 基 本量 为
一 {人e o
s v
,
R
s
io
v
,
u
}
(1
.
1)
E 二 1 ; F 一 。; G 二 澎
由测 地 线 的 微分 方 程 组
I
点就 将脱 离 测 地 线
。
这与
C
为测 地线 的假 设 不 符
。
由
此 可知为 求出 点
I
。
点关 键 在 于 确定 切平 面 T
T
上 使入 厄;梁在 分布 载荷 作 用 下具 有 挠度 为零 的
为求 解 方 便选择 切平 面
与入 百直线平 行
图
4
.
3
图
4
2
求 冗石 梁 上 挠度 为零 的点 由图
z
二 sin (
下+ 了不石
d )
.
1。 )式 第 一 式得
.
y ~
s 十d a
b
为积 分常 数
6
月
林大钧 国 柱 面 上 测地 线 的 几种求解 方 法
:
:
由此 得 以 弧 长
为参 数的测 地线 方 程
’
1 =一
L之
{
’
’一
“
竺
`
S ln
尸 气V
尸
a
+ “’
’ ,
(1
.
14 )
一
l
.
析 法 更 具 直 观 且不 失 一 般性 为求解 旋 转 曲面 上 测 地 线 提 供 了 一 种模式
1
微 分 方 程 求解 法
r
设圆柱 面方 程为 则 第 一 基 本量 为
一 {人e o
s v
,
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,
u
}
(1
.
1)
E 二 1 ; F 一 。; G 二 澎
由测 地 线 的 微分 方 程 组
I
点就 将脱 离 测 地 线
。
这与
C
为测 地线 的假 设 不 符
。
由
此 可知为 求出 点
I
。
点关 键 在 于 确定 切平 面 T
T
上 使入 厄;梁在 分布 载荷 作 用 下具 有 挠度 为零 的
为求 解 方 便选择 切平 面
与入 百直线平 行
图
4
.
3
图
4
2
求 冗石 梁 上 挠度 为零 的点 由图
z
二 sin (
下+ 了不石
d )
.
1。 )式 第 一 式得
.
y ~
s 十d a
b
为积 分常 数
6
月
林大钧 国 柱 面 上 测地 线 的 几种求解 方 法
:
:
由此 得 以 弧 长
为参 数的测 地线 方 程
’
1 =一
L之
{
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’一
“
竺
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尸 气V
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+ “’
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(1
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14 )
一
l
广义相对论之6v3_测地线方程与联络的计算页PPT文档
37
在RGTC.nb里面包含有详细的指导和大量的例子
RGTC软件包的符号约定如下（与本人课件的约定一致）：
38
OperatorPLT.nb是RGTC定义函数的 输入面板
NPsymbolPLT.nb是Newman-Penrose 符号和算符的输入面板
39
from_RWmetric_to_connection(RGTC).nb之一 定义坐标参数 定义度规
47
用diffgeo计算RW度规的联络
48
diffgeo.m是一个可以从度规出发计算联络、黎曼曲率张量等 的Mathematica程序包 下载地址： /~headrick/Mathematica/index.html
diffgeoManual.nb
diffgeo的作者是 Matthew Headrick (Ph.D. in Physics at Harvard Univ., 2019) Asso. Prof. at Brandeis Univ., 2019--
40
from_RWmetric_to_connection(RGTC).nb之二 定义简化的规则
41
from_RWmetric_to_connection(RGTC).nb之三 用 RGtensors[度规,坐标] 算出所有东西
42
from_RWmetric_to_connection(RGTC).nb之四
34
将下载的zip压缩包解压之后，可将RGTC目录放到如下路径：
RGTC目录 里面有 三个nb文件 和一个m文件
35
RGTC目录也可放到 Mathematica 的 $Path 命令显示的 任何一个目录下：
例如，上一页ppt说明所放置的路径就是划线的这个路径。
在RGTC.nb里面包含有详细的指导和大量的例子
RGTC软件包的符号约定如下（与本人课件的约定一致）：
38
OperatorPLT.nb是RGTC定义函数的 输入面板
NPsymbolPLT.nb是Newman-Penrose 符号和算符的输入面板
39
from_RWmetric_to_connection(RGTC).nb之一 定义坐标参数 定义度规
47
用diffgeo计算RW度规的联络
48
diffgeo.m是一个可以从度规出发计算联络、黎曼曲率张量等 的Mathematica程序包 下载地址： /~headrick/Mathematica/index.html
diffgeoManual.nb
diffgeo的作者是 Matthew Headrick (Ph.D. in Physics at Harvard Univ., 2019) Asso. Prof. at Brandeis Univ., 2019--
40
from_RWmetric_to_connection(RGTC).nb之二 定义简化的规则
41
from_RWmetric_to_connection(RGTC).nb之三 用 RGtensors[度规,坐标] 算出所有东西
42
from_RWmetric_to_connection(RGTC).nb之四
34
将下载的zip压缩包解压之后，可将RGTC目录放到如下路径：
RGTC目录 里面有 三个nb文件 和一个m文件
35
RGTC目录也可放到 Mathematica 的 $Path 命令显示的 任何一个目录下：
例如，上一页ppt说明所放置的路径就是划线的这个路径。
微分几何§6曲面上的测地线
生物学中的测地线
在生物学中，细胞的运动轨迹和神经元的传导路径可以被描述为测地线，研究测地线有助于理解生物体的行为和 生理机制。
THANKS
感谢观看
定义
01
在高维空间中，测地线是连接两点之间长度最短的曲线，其长
度由曲面的几何性质决定。
性质
02
高维空间的测地线具有类似于平面曲线的一些性质，如曲率、
挠率和弧长等。
应用
03
在物理学和工程学中，高维空间的测地线被广泛应用于最小化
能量、时间等物理量的计算。
弯曲空间中的测地线
定义
在弯曲空间中，测地线是连接两点之间长度最短的曲线，但曲率 不再是常数。
微分几何§6曲面上 的测地线
目录
• 测地线的定义与性质 • 曲面上的测地线方程 • 曲面上的测地线的应用 • 曲面上的测地线的扩展 • 曲面上的测地线的几何意义 • 曲面上的测地线的展望
01
测地线的定义与性质
测地线的定义
测地线是曲面上的最短路径，即连接两点间的曲线段长度最短。
测地线是曲面描述
在地球表面，由于地球的曲率，两点之间的直线距离并不是最短的路径。相反， 测地线，即地球表面的大圆弧，是两点之间最短的路径。这对于航海、航空和通 信等领域具有重要意义。
航天器轨道设计
总结词
航天器轨道设计经常利用曲面上的测 地线概念。
详细描述
在航天领域，为了节省燃料和时间， 航天器通常沿着测地线轨道飞行。这 是因为测地线是两点之间“几乎最短 ”的路径，同时考虑到地球的引力作 用和其他天体的影响。
04
测地线是曲面上的一种 特殊曲线，其长度等于 曲面上两点之间的直线 距离。
测地线的分类
01
根据曲面的不同类型，测地线可 以分为欧氏空间中的测地线和非 欧氏空间中的测地线。
在生物学中，细胞的运动轨迹和神经元的传导路径可以被描述为测地线，研究测地线有助于理解生物体的行为和 生理机制。
THANKS
感谢观看
定义
01
在高维空间中，测地线是连接两点之间长度最短的曲线，其长
度由曲面的几何性质决定。
性质
02
高维空间的测地线具有类似于平面曲线的一些性质，如曲率、
挠率和弧长等。
应用
03
在物理学和工程学中，高维空间的测地线被广泛应用于最小化
能量、时间等物理量的计算。
弯曲空间中的测地线
定义
在弯曲空间中，测地线是连接两点之间长度最短的曲线，但曲率 不再是常数。
微分几何§6曲面上 的测地线
目录
• 测地线的定义与性质 • 曲面上的测地线方程 • 曲面上的测地线的应用 • 曲面上的测地线的扩展 • 曲面上的测地线的几何意义 • 曲面上的测地线的展望
01
测地线的定义与性质
测地线的定义
测地线是曲面上的最短路径，即连接两点间的曲线段长度最短。
测地线是曲面描述
在地球表面，由于地球的曲率，两点之间的直线距离并不是最短的路径。相反， 测地线，即地球表面的大圆弧，是两点之间最短的路径。这对于航海、航空和通 信等领域具有重要意义。
航天器轨道设计
总结词
航天器轨道设计经常利用曲面上的测 地线概念。
详细描述
在航天领域，为了节省燃料和时间， 航天器通常沿着测地线轨道飞行。这 是因为测地线是两点之间“几乎最短 ”的路径，同时考虑到地球的引力作 用和其他天体的影响。
04
测地线是曲面上的一种 特殊曲线，其长度等于 曲面上两点之间的直线 距离。
测地线的分类
01
根据曲面的不同类型，测地线可 以分为欧氏空间中的测地线和非 欧氏空间中的测地线。
测地曲率和测地线
α β d 2 uγ γ du du kg e2 = + Γ αβ ds 2 rγ ds ds
因此 k g ≡ 0 的充分必要条件是
α β d 2 uγ γ du du + Γ = 0, αβ ds 2 ds ds
γ = 1, 2
（1 ）
这就是测地线所满足的微分方程组。 若引进新的未知函数 v ，则方程组（ 1）便降阶成为一阶常微分方程组：
因此
du 2 du 2 r1 ⋅ (n × r2 ) = − | r1 × r2 | ， ds ds du1 du 1 | r1 × r2 | ， r2 ⋅ ( n × r1 ) = ds ds
kg =| r1 × r2 | ⋅{ −
α β du1 d 2 u 2 2 du du + Γ } αβ 2 ds ds ds ds
=C 作为曲面 S 上的曲线的法曲率 kn = S 上与 C 相切的法截线 C 的法曲率 = C 作为平面π上的曲线的相对曲率， 上面的最后一个等式是由于第四章§ 2 定理 1。 现在我们要讨论测地曲率的另一个性质，它是法曲率所不具有的。 定理 ２ 证明 曲面上任意一条曲线的测地曲率在曲面作保长变换时是不变的。 由于曲线 S 上的曲线 C 的参数方程是
其中 θ 是曲线的次法向量和曲面的法向量的夹角，由此可见 ， k g = 0 的条件是 k = 0 或者
~
~ π ~ ~ cos θ = 0 。若 k ≡ 0 ，则该曲线是直线，若 k ≠ 0 ，则 cosθ ≡ 0 ，于是 θ ≡ ，即曲线的 2
主法向量是曲面的法向量。 现在我们考虑测地线的微分方程。由§1 的（ 5 ）式并且参看定理 2 的证明可知
（12）
设 u-曲线、 v-曲线的单位切向量分别记为 α 1 和 α 2 ，于是
因此 k g ≡ 0 的充分必要条件是
α β d 2 uγ γ du du + Γ = 0, αβ ds 2 ds ds
γ = 1, 2
（1 ）
这就是测地线所满足的微分方程组。 若引进新的未知函数 v ，则方程组（ 1）便降阶成为一阶常微分方程组：
因此
du 2 du 2 r1 ⋅ (n × r2 ) = − | r1 × r2 | ， ds ds du1 du 1 | r1 × r2 | ， r2 ⋅ ( n × r1 ) = ds ds
kg =| r1 × r2 | ⋅{ −
α β du1 d 2 u 2 2 du du + Γ } αβ 2 ds ds ds ds
=C 作为曲面 S 上的曲线的法曲率 kn = S 上与 C 相切的法截线 C 的法曲率 = C 作为平面π上的曲线的相对曲率， 上面的最后一个等式是由于第四章§ 2 定理 1。 现在我们要讨论测地曲率的另一个性质，它是法曲率所不具有的。 定理 ２ 证明 曲面上任意一条曲线的测地曲率在曲面作保长变换时是不变的。 由于曲线 S 上的曲线 C 的参数方程是
其中 θ 是曲线的次法向量和曲面的法向量的夹角，由此可见 ， k g = 0 的条件是 k = 0 或者
~
~ π ~ ~ cos θ = 0 。若 k ≡ 0 ，则该曲线是直线，若 k ≠ 0 ，则 cosθ ≡ 0 ，于是 θ ≡ ，即曲线的 2
主法向量是曲面的法向量。 现在我们考虑测地线的微分方程。由§1 的（ 5 ）式并且参看定理 2 的证明可知
（12）
设 u-曲线、 v-曲线的单位切向量分别记为 α 1 和 α 2 ，于是
广义相对论之6v3_测地线方程与联络的计算
57
diffgeo程序包作者Headrick对曲率张量的约定
58
59
关于上页(*)式的另一简单证明：
可见， 先上1再下3的黎曼张量的顺序 = 先下3再上1的黎曼张量的逆序
60
Ricci张量在两种约定下相同！
61
可以将diffgeo.m拷贝一份到AutoLoad目录之下，以后调用这个程序包就只须
28
例：RW度规的联络计算之五
29
例：RW度规的联络计算之六
30
例：RW度规的联络计算之七
31
例：RW度规的联络计算之八
32
用RGTC计算RW度规的联络
33
可以用RGTC软件包从度规出发计算联络、黎曼曲率张量等 RGTC (Riemannian Geometry & Tensor Calculus @ Mathematica)
diffgeo的作者是 Matthew Headrick (Ph.D. in Physics at Harvard Univ., 2003) Asso. Prof. at Brandeis Univ., 2015-49
在C:\Program Files\Wolfram Research\Mathematica\8.0\AddOns\AutoLoad目录下
用 GUdd 显示联络 还可看它的矩阵形式： • 以前两个指标为行、 列显示矩阵元素； • 矩阵元素是列向量， 用第三个指标标记。
43
from_RWmetric_to_connection(RGTC).nb之五
显示联络的分量：
注意：Mathematica的RGTC包的时空指标是1,2,3,4 即Mathematica每个指标数字减去1，才是GR通常约定的0,1,2,3
微分几何 §6 曲面上的测地线
这个公式称为刘维尔公式。
6.2. 曲面上的测地线 曲面上的一条曲线，如果它的一点处的测地曲率为 零，则称为测地线。 显然曲面上的直线是测地线 命题1 曲面上非直线的曲线是测地线的充要条件 是 除了曲率为零的点以外，曲线的主法线重合于曲面的法 线。
因为 .. k g r k （，n，） k n k sin k
E G 1, F 0, Eu Ev Gu Gv 0
代入测地线的方程得
d ds
du ds
0, const .
cos , dv ds sin , du dv cot const
u av b
即是平面上的直线。
测地线的存在性 命题2 过曲面上任一点，给定一个曲面的切方向， 则存在唯一一条测地线切于此方向。 由测地线的微分方程
d 2v ds 2 cos d G ds
v
Gu 2G 2
sin 2
Gu 2G EG
u
cos sin
代入上页公式有
d E cos G sin k ds 2G E 2G E
g
d 1 ln E 1 ln G cos cos ds 2 G v 2 E u
Kd k ds a 2 ,
k g G G i 1 i
其中是曲线多边形的第个角。 这是三角形三内角和是1800的推广
七. 常高斯曲率的曲面 在曲面 S : r r u , v 上建立半测地坐标网 则曲面的第一基本形式可以化简为：
d s d u G u , v d v .
.
..
du i du j ds ds ds ds
3.2 测地曲率测地线
131
Meusnier 定理后知道, τ 亦为 C 关于柱面 Σ 的法曲率向量, 但是曲线 C 又可看成柱 面上过 P 点相应于方向 α 的法截线. 因此 τ 就是 C 的曲率向量. 现在定义测地曲率. 对(2.2)式两边关于 α 求内积得到 τ · α = 0, 而 τ 又在切平面 TP 上, 故 τ 与 n 也正交, 因此 τ 记 τ = kg (n × α), 称 kg 为曲线 C 在 P 点处的 测地曲率, 于是 |kg | = |τ |, 且
j i d2 uk k du du = 0, (k = 1, 2) + Γ ij ds2 ds ds 因此, 曲面上测地线的存在性等价于微分方程组(2.9)的解的存在性.
kg = 0 ⇐⇒
方程组(2.9)是以 u1 (s), u2 (s) 为因变量, 以 s 为自变量的二阶常微分方程组, 由常 微分方程的理论知道, 如果我们给定初始条件 ui (s0 ) = ui 0, dui (s0 ) = ds dui ds , i = 1, 2
§3.2 测地曲率 测地线
3.2.1 测地 曲率向 量 测地曲率
设曲面 S 的方程为 r = r (u1 , u2 ), C 是 S 上过 P (u1 , u2 ) 的一条曲线, 参数方程是 ui = ui (s) , 其中 s 是弧长参数. 曲线 C 的切向量为 α= dr dui = ri , ds ds
有唯一解 v = v (u), 它确定了曲面上唯一一条测地线. 【例 2】 试确定球面上的测地线. 【解】 kn =
1 ±R ,
θ = θ(u),
设 C 是半径为 R 的球面上的大圆(弧), 则熟知 C 的曲率 k =
1 R,
法曲率
于是 C 的测地曲率
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黎曼法坐标
• 黎曼法坐标：标准正交基＋测地线 • 构成了P点处的一个LIF • 1. 因为是标准正交基，在P点处 • 2. 由测地线方程，在P点处 • 对所有单位矢量n成立，由克氏符号与度规
关系 • 例8.8
自由下落系FFF
• 更进一步，在足够短时间内，一个足够小 的自由下落实验室内，惯性运动
• 最接近牛顿和狭义相对论力学的惯性系 • 例如太空站、无拖曳卫星、矿井 • 沿一条测地线上所有点的克氏符号＝0 • =沿一条测地线上所有点的一个LIF • 但是仅在定义FFF的测地线上克氏符号为零
第9点：对称性=》守恒律 守恒量、运动常数
第10点：用Killing矢量 表达时空对称性
对称性给出守恒律
• 度规中不出现的坐标－循环坐标（可遗 ignorable）－拉氏量中不出现的坐标，
• 平移变换x->x+Const不改变度规 • Killing矢量，在任一方程！
– 不依赖坐标系——矢量表征对称性
• 一个对称性意味着沿着一条测地线有一个 守恒量，由拉格朗日方程，计算直接由测 地线方程也可
• 常常写成为动量形式
第11点：利用运动常数
零测地线
• 5.5节，平直时空运动方程t=r, • 四速度定义 • 仿射参数定义，常常就是t，at+b也是,但是t的非线性函数不是 • 仿射变换：线性＋平移 • 零测地线－弯曲时空u*u=0，一个方程不足以确定四个未知函数 • 1。等效原理：在LIF中应该是平直时空的零测地线方程 • 2。在任意坐标系中成立 • 因此，弯曲时空零测地线方程用仿射参数（此即仿射参数定义）表达，
• 初始条件：初始位置和初始四速度，定解
第六点：测地线方程求解 降阶
求解测地线方程－对称性和守恒律
• 任意度规下都有一个天然的初积分－－四 速度归一化，即线元
– 自由度 – 习题8.6
• 类似牛顿力学，守恒律给出运动方程的初 积分（运动常数），降阶到一阶常微分
第7点：测地线方程求解 循环坐标
第8点：对称性=变换不变性
构造自由下落系
• 和牛顿和狭义相对论中惯性系的构造类似 • 1.选择沿某一条测地线运动的自由测试粒子 • 2.沿着测地线的固有时为时间坐标，测试粒子的位
置为空间坐标的原点(像构造黎曼法坐标一样，以 这个粒子（观者）的标准坐标基为坐标基，沿这 条测地线方向的单位矢量n=(1,0,0,0)=u,t=tau*n) • 3.在某个固有时时刻，定位三个陀螺仪在三个正交 方向上 • 4.在以后的时刻，用陀螺仪确定的方向构造空间坐 标，三个空间坐标标架不转动，像构造黎曼法坐 标一样赋予坐标x^i=s*n^i，
• 2、课中哪点你觉得最不清楚？或有最大问题？ • 3、不清楚的原因是
– 讲课不够清楚？ – 缺少提问的机会？ – 你事先没有准备？ – 缺乏课堂讨论？ – 其他？
第五点：测地线方程求解 初始条件
测地线方程
• 二阶常微分方程，对比牛顿和狭义相对论 惯性运动方程
• 一组4个，相互耦合，二阶常微分方程组， 求解出4个x(tau)函数
课程安排
• 复习内容：测地线方程 • 新内容：测地线方程求解 • 下次课：续、Schwarzschild情况 • 调查表
复习、回顾、总结 重点
为什么3个重复指标是错误的？
• 对照
学习内容
测地线内容
• 第零：测地线的意义是什么？ • 第一：怎么得到测地线方程？ • 第二：如何求解测地线方程？ • 第三：得到后如何利用测地线解？
反省3问题
• 1、这部分你是否学到了什么？或者你认为最有用 的是什么？
– 如果不是，请问哪些你没学到？ – 如果不确定，请解释原因。
• 2、课中哪点你觉得最不清楚？或有最大问题？ • 3、不清楚的原因是
– 讲课不够清楚？ – 缺少提问的机会？ –目标：类似三维牛顿方程
第四点：仿射联络or克氏符
名称由来 LIF条件2
对称性 曲线坐标
LIF的第二个条件的运动学意义
• LIF中，度规的一阶导数＝0，＝》LIF中， 所有克氏符号＝0，＝》自由粒子运动方程 为平直时空中的
反省3问题
• 1、这部分你是否学到了什么？或者你认为最有用 的是什么？
– 如果不是，请问哪些你没学到？ – 如果不确定，请解释原因。
第一点（不要求掌握） 怎么得到测地线方程？
第1种：局域直线 第2种：弧长稳定值
第2种途径：变分原理
示范：运用指标法则书写公式
仿射参数
• 拉氏量=常数，但对路径x(τ)依赖
– 路径参数τ – 要利用到常数这一点！——仿射参数！
• 若不是仿射参数
第二点：测地线方程 协变形式
第三点：测地线方程 逆变形式
类似于类时测地线方程，类空测地线方程tau->s • t是仿射参数，则at+b也是
利用测地线构造LIF的坐标系
• 1.在时空中任意一点P！ • 2.选取一组标准正交基，例如某个观者在P处的
实验室的标准正交基，这样就保证了LIF条件一 • 3.取从P点出发的某个方向上一个单位矢量n，在
n的方向发出一条测地线，类空x=sn,类时x=tn,类 零x=lambda*n • 4.在P点处的所有方向上重复3 • 5.这个坐标系唯一地标记了距离P点足够近(测地 线没有交叉，否则同一点有不同坐标值)的这些时 空点