§1 测地曲率与测地线
曲面上的测地线
Kd k ds ( ) 2
g i G G i 1
(Gauss-Bonnet公式)
其中 i是G的第i个内角的弧度数 .
华东理工大学《微分几何》电子课件(§2.6 面面上的测地线) pliu@
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引理： 若ds du Gdv , 则 dv k g ds d arctan G ( G )u dv (p171习题13) du 证明： 由于坐标网正交 , F 0, 由Liouville公式 d 1 ln E 1 ln G kg cos sin , ds 2 G v 2 E u 1 1 1 知 k g ds d Gu sin ds d Gu sin ds 2G 2 EG dv 1 du 1 sin , (P149) 又 cos cos , ds ds G E
2 k i j i j d u d u d u d u d u k r 2 ij n rk Lij ds ds d s ds k ds i, j i, j i j d 2 uk k du du 从而 gkl 2 ij 0 ( l 1, 2) d s ds k i, j ds
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一、曲面曲线的测地曲率
k 为(C )在P点的曲率向量. 称 r 称曲率向量在 上的投影k g为(C )在P点的测地曲率.
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测地曲率的性质
k g r k k (n ) k ( ) n k n k cos( ) k sin . 2
高斯曲率、法曲率、测地曲率的关系
高斯曲率、法曲率、测地曲率的关系
高斯曲率、法曲率和测地曲率是描述曲面几何性质的重要概念，它们之间存在着密切的关系。
首先，我们来看高斯曲率。
高斯曲率是描述曲面曲率的一个重
要指标，它表示了曲面在某一点处的曲率大小。
具体而言，高斯曲
率可以通过曲面上的测地线的角度变化来描述。
高斯曲率可以用于
判断曲面的性质，比如在高斯曲率为正的点附近，曲面呈现出“凸”的性质，而在高斯曲率为负的点附近，曲面呈现出“凹”的性质。
接下来是法曲率。
法曲率是描述曲面上曲线弯曲程度的一个概念。
在曲面上的任意一点，都存在无数个方向，而法曲率就是描述
了曲面在某一点上沿着某一方向的曲线的弯曲程度。
法曲率与曲面
的法向量和曲线的曲率之间存在着密切的联系。
最后是测地曲率。
测地曲率描述了曲面上的测地线的弯曲程度。
测地线是曲面上的一种特殊的曲线，沿着这样的曲线运动的物体在
没有外力作用下会保持匀速直线运动。
测地曲率可以用来描述曲面
的内禀几何性质，比如在测地曲率为零的曲面上，测地线是直线。
这三个概念之间的关系可以通过曲面的基本方程来描述。
具体而言，高斯曲率、法曲率和测地曲率之间存在着一定的数学关系，可以通过曲面的度量张量和克氏符来表达。
这些关系在微分几何和曲面理论中有着重要的应用，可以帮助我们理解曲面的几何性质和物理特性。
综上所述，高斯曲率、法曲率和测地曲率是描述曲面几何性质的重要概念，它们之间存在着密切的关系，通过这些概念我们可以更深入地理解曲面的几何性质和物理特性。
曲面上曲线的测地曲率向量和测地曲率
曲面上曲线的测地曲率向量的注记邢家省1，张光照2（1.北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191; 2.河南经贸职业学院 技术科学系，郑州 450000)摘 要: 指出了测地曲率向量的几何来源意义，给出了测地曲率计算公式和刘维尔公式的直接推导。
关键词: 测地曲率向量; 测地曲率; 几何意义；刘维尔公式中图分类号: O186. 11 文献标识码: A关于曲面上曲线的测地曲率向量和测地曲率的定义，文献[1-4 ]中采用的是直接给出了表述定义的式子，没有给出导致这种定义的几何意义来源，使人感到过于突然。
我们指出在导出曲面的第二基本形式的几何意义时，蕴涵了测地曲率向量的几何来源和意义，这样就符合人们的认识发现规律，有利于教学理解。
对测地曲率的计算公式和刘维尔公式，我们亦给出了直接的推导过程。
1 测地曲率向量的几何来源在导出曲面的第二基本形式的几何意义时蕴涵了测地曲率向量的几何来源[1,2]。
设曲面∑的参数方程为∆∈=∑),(),,(:v u v u r r 。
如果),(v u r具有二阶连续偏导数，称曲面∑为2C 类曲面。
现在任固定曲面∑上一点(,)P u v ，并设P T 为曲面∑在P 点的切平面。
收稿日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目（11171013）。
作者简介：邢家省（1964--），男，河南泌阳人,博士，北京航空航天大学副教授,研究方向：偏微分方程、微分几何. 张光照（1972- ），男，河南鹿邑人，副教授，硕士，研究方向：数论、数学应用及高职教育.曲线Γ：(),()u u s v v s ==或((),())r r u s v s =是∑上过P 点的一曲线，其中s 是曲线的自然参数。
设Q 是曲线Γ上在P 点邻近的一点，P 和Q 点分别对应自然参数s 和s s +∆，即P 和Q 点的向径分别为(),()r s r s s +∆。
根据泰勒公式，有()()PQ r s s r s =+∆- 21()(())()2r s s r s s ε'''=∆++∆，其中123((,),(,),(,))s s s s s s εεεε=∆∆∆，0lim 0s ε∆→=。
曲面的曲率线、渐近曲线和测地线
而且所在平面沿 和 相切.
在一片只含有椭圆点的曲面上，由于 ，故没有渐近曲线.
在一片只含有双曲点的曲面上，由于 ，故经过每一点有两条渐进线.
在一片只含有抛物点的曲面上，由于 ，故渐进线的微分方程可写成 的形状，因此曲面上只有一簇渐近曲线.
定理2曲面上一条曲线为渐近曲线的充要条件：或者它是一条直线或者它在每一点的密切面与切面叠合（即它的副法线与曲面的法线重合： ）.
推理若两个曲面沿一条线 相切，则在这两个平面上， 或者都是渐进线，或者都不是.
定理3曲面 上一条异于直线的曲线 即是渐进线又是曲率线的充要条件： 为平面曲线.
注意这个定理与定理1的异同，定理3中的曲线不是直线，但条件也略去了 和平面沿 相切这一部分.事实上，由于 既是渐近曲线又是曲率线， 的方向是 的一个主方向，其对应的主曲率为0，因此由定理1， 沿 和平面相切，但定理3中的“异于直线”不能省略.例如直纹二次曲面上的母线是平面的渐近曲线，却不是曲率线.
4 测地线
4.1测地曲率定义
给定一个曲面 ，考虑曲面 是 的自然参数，设 是曲线 上一点， 是 在 上单位切向量， 是 的夹角，那么曲线 在 点的曲率向量 在 的投影为 在 的测地曲率，若用 表示，则
.
测地曲率的几何意义：曲面 上的曲线 ，它在点 的测地线的绝对值等于 在 点切平面上的正投影曲线 的绝对曲率.
2.2曲率线的微分方程
对曲面上一点 的两个方向，如果他们既共轭又正交，则称在 点主方向.
设两个方向是 由于正交性， ，即
,由于共轭性： ，即
,
以上两个条件改写为
＝0.
还可以写成以下形式
，
微分几何26曲面上的测地线
i
d 2u ds2
i
ri
i, j
dui ds
du j ds
rij
k
d 2uk ds2
rk
k
d 2uk ( ds2
i, j
dui ds
du j ds
ikj
)rk
i, j
Lij
dui ds
du j ds
n
kg (
i
dui ds
ri ,
k
(
d 2uk ds2
i, j
dui ds
角为下面 给，出则一dd个rs简单一 点ruE的c形os式 。 设rGv曲s线in的 切r方u dd向us 与 ruv-线ddvs所成的
du 1 cos , dv 1 sin ,
ds E
ds G
d 2u ds2
d (cos
E
d
)
d
ds
d (cos
E du
)
du ds
d (cos
E dv
)
dv ds
(
d 2u1 ds2
n)
(r1
r2
)
i1j
i, j r1 r2
g
dui ds
du j ds
)](r1,
r2
,
n)
1 g
(r12
r22
(r1
r2
)
2
)
1 (EG F 2) g g
kg
du1 d 2u2 g[( ds ( ds2
i, j
i2j
dui ds
du j ) ( du2 ds ds
kg
g [ du
d 2v
dv
微分几何中的测地线与测地曲率-教案
微分几何中的测地线与测地曲率-教案1引言1.1微分几何的起源与发展1.1.1微分几何起源于17世纪，以牛顿和莱布尼茨的微积分为基础。
1.1.219世纪，高斯、黎曼等数学家进一步发展了微分几何，引入了曲率等概念。
1.1.320世纪，微分几何与广义相对论结合，成为现代物理学的重要工具。
1.1.4微分几何在计算机图形学、学等领域也有广泛应用。
1.2测地线与测地曲率的基本概念1.2.1测地线是曲面上两点间长度最短的路径，类似于欧几里得空间中的直线。
1.2.2测地曲率是描述曲面弯曲程度的量，它与曲面上一点的切平面和曲面的夹角有关。
1.2.3测地线与测地曲率是微分几何中的重要概念，对于理解曲面的性质和几何结构至关重要。
1.2.4测地线与测地曲率在理论物理、工程学等领域有广泛的应用。
1.3教学目标与意义1.3.1通过本课程的学习，使学生掌握测地线与测地曲率的基本概念和计算方法。
1.3.2培养学生运用微分几何知识解决实际问题的能力，提高学生的几何直观和空间想象力。
1.3.3深化学生对曲面几何性质的理解，为后续学习高级微分几何打下基础。
1.3.4培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，提高学生的数学素养。
2知识点讲解2.1测地线的定义与性质2.1.1测地线是曲面上两点间长度最短的路径，可以通过变分法求得。
2.1.2测地线具有一些特殊的性质，如它们在切平面内的方向是相互垂直的。
2.1.3测地线与曲率有关，曲率越大，测地线越弯曲。
2.1.4测地线在几何学中有许多应用，如描述曲面上的最短路径问题。
2.2测地曲率的计算与性质2.2.1测地曲率是描述曲面弯曲程度的量，可以通过计算曲面上的曲率张量得到。
2.2.2测地曲率与曲面上的测地线有关，测地线越弯曲，测地曲率越大。
2.2.3测地曲率可以用来判断曲面的几何性质，如球面上的测地曲率恒为常数。
2.2.4测地曲率在物理学中有重要应用，如描述时空的弯曲。
2.3测地线与测地曲率的应用2.3.1测地线可以用来描述曲面上的最短路径问题，如地球表面的导航问题。
15 测地线
微分几何Differential Geometry 第15 讲测地线飞机飞行路线两点之间，直线段最短！飞机沿直线飞行吗？在球体上,两点之间有比线段更短的大圆弧段全球航线图问题：一般曲面上两点间又以什么曲线的弧长为最短呢？从曲线的测地曲率讲起局部讲:曲面上的测地线.111222(),:(,)((),u u s S r r u u s u u s ⎧==Γ⎨=⎩给定曲面及曲面上一条曲线：是).Γ曲线弧长参数123,{();(),(),()},P r s e s e s e s ∀∈ΓΓ设是沿曲线的一组活动标架13231()(),(),.e s r s e n s e e e ===⨯其中θΓP 其运动公式为123213312()()()()g n g g n g e s r s k e k e e s k e e e s k e e ττ⎧==+⎪⎪=-+⎨⎪=--⎪⎩Frenet {();T,N,B},r s 标架:N B T 1e =3e n =2e r 122=,=,g k e e e P r 〈〉〈〉Γ定义1测地曲：曲线在率点的32,g e e τ=-〈〉测地挠率：.112233()0()()0()0()()g n g g n g e s k k e s e s k e s k e s e s ττ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭12,.d De e s =〈〉3,cos ,n k r k e θ=〈〉=法曲率gk1e T =3e n=2e N B θΓP 2,N,T g k r e k n =〈〉=〈⨯〉(N,,T)k n =(,T,N)k n =,B k n =〈〉πcos()sin .2k k θθ=±=±曲面上直线的测地曲率为零.222,,.g n g n k k k k k k =+的关系：测地曲率向量：2212d d d (())(())()d d d i j kT T k g g ij k k ij u u u r k k e e s r s s s s u ∂====Γ+∂∑∑测地曲率：1222212122,,d d d d d d d d ()().d d d d d d d d i j i j g ij ij i j i j u u u u u u u u k g s s s s s s s s ⎡⎤=+Γ-+Γ⎢⎥⎣⎦∑∑Γ1e n2e d 1ln 1ln cos sin .d 22g E G k s v uG E θθθ∂∂=-+∂∂12,,u v r r e e E G==取曲面的正交标架11d ,d ,r e E u ω=〈〉=由定义可知22()(,),I d d ;(),u u s u v S E u G v v v s u θ=⎧=+Γ⎨=⎩ΓΓ设是曲面的正交参数是曲面上一条弧长参数曲线定理.设与线的夹角为则2的测地曲率为证明22d ,d ,r e G v ω=〈〉=2112()()d ,d d ,u v E G e e u v G E ω=〈〉=-2e θ1e 1,e θΓΓ由于与的夹角为故沿取112T cos sin ,e e e θθ==+212sin cos ,e e e θθ=-+112T cos sin ,e e e θθ==+d d 11cos sin ,d d u v u v u v r r r r s s E G θθ=+=+d cos ,d d sin .d u E s v G s θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12,d g De k e s =〈〉221121d cos ,sin ,d d d De De e e s s sθθθ=+〈〉-〈〉21()()d d u v E G u v G E ω=-21d d d s s ωθ=+d 1ln 1ln cos sin .d 22E G s v uG E θθθ∂∂=-+∂∂测地线为曲面上测地曲率恒为定义零3测地线的曲线.0.g k ⇔≡测地线测地曲率向量：2212d d d (())(())()d d d i j k T T k g g ij k k ij u u u r k k e e s r s s s s u ∂====Γ+∂∑∑121212:(,),((),())((),())S r r u u r r u s u s u s u s ==设曲面曲面上弧长参数曲线是测地线当且仅当满足方程组21212,122222,1d d d +=0d d d d d d +=0d d d i j ij i j i j ij i j u u u s s s u u u ss s ==⎧Γ⎪⎪⎨⎪Γ⎪⎩∑∑，，测地线方程组.d 1ln 1ln cos sin ,d 22d cos d sin ,.d d E G s v u G E u v s s E Gθθθθθ∂∂⎧=-⎪∂∂⎪⎨⎪==⎪⎩测地线方正交参数下程可写做测地线的存在唯一性,,() ,(0),'(0).p P S v T S P r s P v r P r v ∈∀∈==任给曲面上一点单位切向量 则存在唯一经点的测地线 ，在点与相切即定理4,ΓΓ曲面上非直线的正则曲线是测地线当且仅当沿着曲线的主法向量与曲面的法向命题5量平行.证明0,0,=0=π,g k k θθ≠=又所以或//N.n ⇒sin ,=(N,),g k k n θθ=±∠由定义知//N,=0π,0,.g n k θ=若则或者故可得所以曲线是测地线,事实上,大圆的主法线过球心因而与球面的法线重合.球面上的大圆一定是例1测地线.定理等价于求测地线方程在初值条件下的解.1212:,,S S S S σγσγ→设之间的一个等距变换是曲面的测地线则是曲面的.定理6测地线测地线的短程性圆柱面上的测地线是平行圆与例2圆柱螺线.,平面的测地线是直线,因此圆柱面的测地线为直线在等距变换下的像即:圆柱面上的平行圆和圆柱螺线., ,.P Q S P Q ΓΓ是曲面上的任意两点，是连接的最短线，定则7是测地线理 ,.曲面上联结两点的最短线是测地线但曲面上联结两点的测地线有可能不注是最短线记小结1e T =3e n =2e ΓP 13231()(),(),.e s r s e n s e e e ===⨯其中1221.=,=,g P k e e r e 〉Γ〈〉〈测曲线在点的地曲率：32,g e e τ=-〈〉测地挠率：.2.()刘维尔公式：正交参数下d 1ln 1ln cos sin .d 22g E G k s v uG E θθθ∂∂=-+∂∂3.0g k =测地线：曲面上测地曲率的曲线内蕴量4.等距测地线是不变量. ,, ,,.5.P Q P Q 测地线局部短程性充在曲面的邻域内任给两点则连接的所有线段中以测地线分的弧长为最短小感谢大家的聆听！。
广义相对论与黎曼几何系列之十：测地线和曲率张量
物理学讲堂·45卷(2016年)2期图1平行移动(a)平面上平行移动一圈；(b)球面上平行移动一圈图2在纬度α的圆上以及在赤道上切矢量的平行移动有所不同首先以平面和球面为例，再重温《广义相对论与黎曼几何系列之九：二维曲面上的平行移动和曲率》一文中介绍的平行移动。
图1是在平面和球面上分别作平行移动的例子：女孩从点1到点2再到点3，一直到点7，作平行移动一圈后回到点1(1和7是同一点)。
所谓“平行移动”的意思是说，她在移动的时候，尽可能保持身体(或是她的脸)相对于身体的中心线没有旋转。
这样，当她经过1，2，3……回到1的时候，她认为她应该和原来出发时面对着同样的方向。
她的想法是正确的，如果她是在平面上移动的话(图1(a))。
但是，假如她是在球面上移动的话，她将发现她面朝的方向可能不一样了！图1(b)中红色箭头所指示的便是她在球面上每个位置时面对的方向。
从图中可见，出发时她的脸朝左，回来时却是脸朝右。
平行移动的概念不仅可以被用来定义曲面的曲率，也可以被用来定义测地线。
测地线是欧几里德几何中“直线”概念在黎曼几何中的推广。
从整体来说，欧氏几何中的直线，是两点之间最短的连线，就局部而言，可以用“切矢量方向不改变”来定义它。
将后面一条的说法稍加改动，便可以直接推广到黎曼几何中：“如果一条曲线的切矢量关于曲线自己是平行移动的，则该曲线为测地线。
”在《广义相对论与黎曼几何系列之八：平行移动和协变微分》一文中，曾经给出矢量V 平行移动时在列维—齐维塔联络意义下的逆变分量坐标表达式：d V j /d s +Γjnp V n d x p /d s =0。
根据上述测地线的定义，如果将其中的V j 用切矢量的分量(d x j /d s )代替的话，便可得到用克里斯托费尔符号表示的测地线的方程：再以球面为例，我们可以利用上一节中采取的方法来研究切矢量的平行移动。
一般来说，沿着球面上纬度为α的圆的平行移动等效于在一个锥面“帽子”上的平行移动。
3.2 测地曲率测地线
131
Meusnier 定理后知道, τ 亦为 C 关于柱面 Σ 的法曲率向量, 但是曲线 C 又可看成柱 面上过 P 点相应于方向 α 的法截线. 因此 τ 就是 C 的曲率向量. 现在定义测地曲率. 对(2.2)式两边关于 α 求内积得到 τ · α = 0, 而 τ 又在切平面 TP 上, 故 τ 与 n 也正交, 因此 τ 记 τ = kg (n × α), 称 kg 为曲线 C 在 P 点处的 测地曲率, 于是 |kg | = |τ |, 且
j i d2 uk k du du = 0, (k = 1, 2) + Γ ij ds2 ds ds 因此, 曲面上测地线的存在性等价于微分方程组(2.9)的解的存在性.
kg = 0 ⇐⇒
方程组(2.9)是以 u1 (s), u2 (s) 为因变量, 以 s 为自变量的二阶常微分方程组, 由常 微分方程的理论知道, 如果我们给定初始条件 ui (s0 ) = ui 0, dui (s0 ) = ds dui ds , i = 1, 2
§3.2 测地曲率 测地线
3.2.1 测地 曲率向 量 测地曲率
设曲面 S 的方程为 r = r (u1 , u2 ), C 是 S 上过 P (u1 , u2 ) 的一条曲线, 参数方程是 ui = ui (s) , 其中 s 是弧长参数. 曲线 C 的切向量为 α= dr dui = ri , ds ds
有唯一解 v = v (u), 它确定了曲面上唯一一条测地线. 【例 2】 试确定球面上的测地线. 【解】 kn =
1 ±R ,
θ = θ(u),
设 C 是半径为 R 的球面上的大圆(弧), 则熟知 C 的曲率 k =
1 R,
法曲率
于是 C 的测地曲率
微分几何中的测地线-教案
教案微分几何中的测地线-教案1引言1.1微分几何的基本概念1.1.1微分几何的定义：研究曲线、曲面和更高维流形的性质和结构的数学分支。
1.1.2微分几何的历史：起源于17世纪，牛顿和莱布尼茨的微积分为微分几何的发展奠定了基础。
1.1.3微分几何的应用：在理论物理、工程学、计算机图形学等领域有广泛的应用。
1.2测地线的概念1.2.1测地线的定义：在曲面上，连接两点的最短路径。
1.2.2测地线的重要性：在几何学和物理学中，测地线扮演着关键角色，如广义相对论中的自由落体路径。
1.2.3测地线的应用：在导航、地球物理学和天体物理学等领域有实际应用。
1.3教案的目的和结构1.3.1教案目的：深入理解微分几何中测地线的概念、性质和应用。
1.3.2教案结构：本教案分为十个章节，包括引言、知识点讲解、教学内容等。
1.3.3教案的使用：适用于大学数学系微分几何课程的教学和学习。
2知识点讲解2.1曲率和测地线2.1.1曲率的定义：描述曲线或曲面弯曲程度的量。
2.1.2测地线与曲率的关系：在曲率非零的曲面上，测地线是曲率最小的路径。
2.1.3曲率的计算：使用微分几何中的公式和方法计算特定曲线或曲面的曲率。
2.2测地线的性质2.2.1测地线的局部性质：在曲面上任一点附近，测地线是直线。
2.2.2测地线的全局性质：在闭合曲面上的测地线可能形成闭合回路。
2.2.3测地线的唯一性：在给定起始点和方向的情况下，测地线是唯一的。
2.3测地线的应用2.3.1在地球物理学中的应用：用于测量地球表面的距离和导航。
2.3.2在天体物理学中的应用：用于描述天体运动的路径。
2.3.3在理论物理中的应用：在广义相对论中，测地线描述了物体在重力场中的运动。
3教学内容3.1微分几何基础3.1.1曲线和曲面的基本概念：介绍曲线和曲面的定义、性质和分类。
3.1.2微分形式和积分：讲解微分形式的概念，以及其在曲线和曲面上的积分方法。
3.1.3曲率和挠率：详细讲解曲率和挠率的定义、计算和应用。
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第六章曲面的内蕴几何初步本章将对曲面的内蕴几何展开进一步讨论．前面已经知道，曲面的第一基本形式确定了曲面的度量性质；同时，对于确定曲面的局部弯曲性质而言，曲面的Gauss曲率以及曲面上的曲线的测地曲率都是重要的内蕴几何量，它们衡量了几何对象的内在弯曲程度，这种内在弯曲在本质上依赖于曲面的度量性质．对于内蕴性质的细致讨论，将会为抽象理论提供可靠的直观基础，便于用自然和合理的方式引进新的几何空间概念并深入理解较为抽象的几何空间．在本章的学习过程中，应该注意体会什么是空间的基本要素．§1测地曲率与测地线在第四章中已经知道，曲面上的曲线的测地曲率是曲面的内蕴几何量，并且是平面曲线相对曲率的推广．下面对此进行进一步的讨论．一．测地曲率的Liouville公式平面曲线相对曲率可以利用切向角关于弧长的导数而确定；类似地，曲面上的曲线的测地曲率也可以利用适当的切向角来加以刻画．在正交网下考虑．设曲面S: r=r(u1, u2) 的参数网正交，考虑其上的弧长s参数化曲线C: u i=u i(s) 的测地曲率．为此，取自然标架场 {r; r1, r2, n} 所对应的单位正交右手标架场 {r; ξ1, ξ2, n} ，其中ξ1=r1|r1|=r1g11=r1E，ξ2=r2|r2|=r2g22=r2G，g12=F≡ 0 ．沿曲线C可写T=r i d u id s=ξ1g11d u1d s+ξ2g22d u2d s=ξ1 cosψ+ξ2 sinψ，其中夹角函数ψ=ψ(s) 在曲线C局部总可取到连续可微的单值支，满足(1.1)cosψ=g11|(u1(s), u2(s))d u1 d s，sinψ=g22|(u1(s), u2(s))d u2 d s．故由测地曲率定义式出发进行推导可得κg=T'(s)•[n(u1(s), u2(s))⨯T(s)] = [n(u1(s), u2(s))⨯T(s)]•T'(s)= (ξ2 cosψ-ξ1 sinψ)•dd s (ξ1 cosψ+ξ2 sinψ)= (ξ2 cosψ-ξ1 sinψ)•[dξ1 d s cosψ+dξ2 d s sinψ+ (ξ2 cosψ-ξ1 sinψ ) dψ d s]=dψd s+ξ2•dξ1d s cos2ψ-ξ1•dξ2d s sin2ψ=dψd s+ξ2•dξ1d s=dψd s+r2g22•dd s⎝⎛⎭⎫r1g11=dψd s+r2g11g22•d r1d s=dψd s+r2•r1ig11g22d u id s；而易知r2•r12=r2•r21= (g22)12 =G12 ，r2•r11=-r21•r1=-(g11)22 =-E22 ，故进一步有(1.2)κg=dψd s+1EG⎝⎛⎭⎫-E22d u1d s+G12d u2d s=dψd s+⎝⎛⎭⎪⎫-(E )2Gd u1d s+(G )1Ed u2d s，或写为(1.3)κg=dψd s+1EG⎝⎛⎭⎪⎫-E22cosψE+G12sinψG=dψd s+-(E )2 cosψ+ (G )1 sinψEG=dψd s+⎝⎛⎭⎪⎫-12G∂ln E∂u2cosψ+12E∂ln G∂u1sinψ=dψd s+⎝⎛⎭⎪⎫-1G∂ln E∂u2cosψ+1E∂ln G∂u1sinψ．公式(1.2) 或(1.3) 式称为正交网下的Liouville公式，它揭示出曲面上曲线的测地曲率与曲线在曲面上由(1.1) 式所确定的连续可微切向角函数ψ=ψ(s) 的关系，在欧氏平面Descartes直角坐标系下即为曲线相对曲率与切向角的关系式．二．测地线基本概念定义1若曲面S上的曲线C的测地曲率向量恒等于零，即曲线C的测地曲率κg≡ 0 ，则称C为S的一条测地线．注记1①测地线是内蕴几何体．②测地线具有明确的外在几何意义，即：曲线C为曲面S上的测地线当且仅当曲线C的曲率向量处处垂直于曲面S的切平面．特别当曲面S 上的曲线C无逗留点时，C为S上的测地线的充要条件为N≡±n．③曲面上的直线一定是曲面上的测地线．曲面上的测地线若同时为渐近曲线，则一定是直线．旋转面的经线是其上的测地线．例 1 曲面上的运动质点的轨迹若质点被垂直于曲面的外力约束在正则曲面上作惯性滑动，摩擦系数为零，则质点运动轨迹一定是曲面上的测地线．□曲面S: r(u1, u2) 上测地线的微分方程可以以不同的方式表示．外在形式可写为C: (T'(s), n(u1(s), u2(s)), T(s)) ≡0 或(r'(s),r"(s), n(u1(s), u2(s))) ≡0 ，或等价变形为一般参数t下的形式(d r d t , d2rd t2 , n)≡ 0 ．测地线微分方程的常见内在形式分别为以下两种，一者为测地线弧长参数下关于曲面一般参数 (u1, u2) 的形式(1.4)C: d2u ld s2+Γi l jd u id sd u jd s= 0 , l= 1, 2;g ij d u id sd u jd s= 1 ;另一者为关于曲面正交网 (u1, u2) 的Liouville形式(1.5)C: dψd s+⎝⎛⎭⎪⎫-1G∂ln E∂u2cosψ+1E∂ln G∂u1sinψ= 0 ;cosψ=E d u1d s，sinψ=Gd u2d s．利用内在形式常微分方程组的解的唯一连续性理论，可证下述结论．定理1（测地线存在唯一性定理） 给定正则曲面 S : r (u 1, u 2) 之上任意一点 P 0(u 01, u 02) ，则存在点 P 0 的某个邻域 ∑0⊂S ，使得在 ∑0 内从点 P 0 出发沿指定单位切向 T 0∈T P 0 存在唯一一条测地线 C : r (u 1(s ), u 2(s )) 满足⎝⎛⎭⎫r i d u id s | s = s 0 = T 0 ，u i (s 0) = u 0i , i = 1, 2 ． 该定理的唯一性，强调了两条测地线若相切则必然重合．该定理的证明只要注意到下面的引理便容易得到．引理1 (1.4) 式第一式的满足初始条件 ⎝⎛⎭⎫g ij d u i d s d u j d s | s = s 0 = 1 的唯一解一定适合适定条件(1.4) 式第二式．证明 对于 (1.4) 式第一式的解函数有d d s ⎝⎛⎭⎫g ij d u i d s d u j d s = (g ij )l d u l d s d u i d s d u j d s + g ij d 2u i d s 2 d u j d s + g ij d u i d s d 2u jd s 2= (g ij )l d u l d s d u i d s d u j d s + g ij ⎝⎛⎭⎫ -Γl i m d u l d s d u m d s d u j d s + g ij d u i d s ⎝⎛⎭⎫ -Γl j m d u l d s d u m d s = (g ij )l d u l d s d u i d s d u j d s - Γljm d u l d s d u m d s d u j d s - Γlim d u l d s d u m d s d u id s= [(g ij )l - Γlji - Γlij ] d u l d s d u i d s d u jd s= 1 2 {2(g ij )l - [(g ji )l + (g lj )i - (g li )j ] - [(g ij )l + (g li )j - (g lj )i ]} d u l d s d u i d s d u jd s ≡ 0 ，此即 g ij d u i d s d u jd s取常值，故得结论． □ 关于测地线的内蕴确定方式，一般可以考虑两种．一种是求解对应的测地线内在形式的微分方程；其中在正交网下的测地线对应于Liouville 形式下的一阶常微分方程组 (1.5) 阶数较低，而当联络系数较为简单时测地线所对应的二阶常微分方程组 (1.4) 也有可能较易求解．另一种是利用测地线的内蕴属性，在一些特殊曲面上考虑测地线时，利用等距对应进行考虑；其前提是已经或容易了解等距对应曲面的测地线行为．前一种解法通常依赖于微分方程组的求解技巧；后一种解法通常依赖于几何直观能力．在下例中采用后一种解法是非常方便和有效的，同时也可以推广到一般可展曲面之上．例2 确定圆柱面上的测地线全体．解 将圆柱面局部等距对应于平面，使圆柱面的经纬网对应于平面的正交直线网．平面上的测地线全体是平面上的直线全体，可以划分为对应于圆柱面直纹的一族平行直线，以及与该族平行直线处处相交成非平凡定角的直线全体．于是，利用局部等距不变量和等距不变性可知，圆柱面上的测地线全体可以划分为两族，一族是直纹，另一族是与直纹处处相交成定角的曲线全体——圆柱螺线全体和纬圆全体． □三．弧长的第一变分公式与局部短程线同考察面积变分一样，为了考察曲面上的曲线段的形变对于其长度的影响，可以利用变分法进行一般化的讨论．本段将讨论较为简单的情形，对应的几何直观可以参照弦的振动．考虑曲面 S : r = r (u 1, u 2) 上的具有固定端点 A (u 1(a ), u 2(a )) 和 B (u 1(b ), u 2(b )) 的连续可微单参数 β 正则曲线段族C β : r : [a , b ]→S ⊂E 3s →r (u 1(s , β), u 2(s , β)) ,u i (a , β) = u i (a ) , u i (b , β) = u i (b ) , i = 1, 2 ，β∈(-ε, ε) ，其中 s 是 C 0 的弧长参数（未必是 C β 的弧长参数），ε 是某个正数．记C = C 0: r = r (u 1(s , 0), u 2(s , 0)) ，通常称曲线段族 { C β | β∈(-ε, ε)} 是曲线段 C 的具有固定端点的一个变分族．为考虑曲线段 C 的弧长变分，记曲线段 C 的单位切向为 T (s ) ，记曲线段 C β 的弧长为图6-1(1.6) L (β) = L (C β) = ⎰b a∂r ∂s • ∂r ∂s d s ； 则有算式L '(β) = ⎰b a ∂ ∂β∂r ∂s • ∂r ∂s d s = ⎰b a ∂r ∂s • ∂2r ∂β ∂s ∂r ∂s • ∂r ∂s d s = ⎰b a ∂r ∂s • ∂2r ∂s ∂β ∂r ∂s • ∂r ∂sd s ， (1.7) L '(0) = ⎰b a T • ⎝⎛⎭⎫∂∂s ∂r ∂β|β = 0 d s = ⎰b a T •d d s ⎝⎛⎭⎫∂r ∂β|β = 0 d s ． 记曲面 S 的沿曲线 C 的切向量场 v = ∂r ∂β|β = 0 ，通常称之为变分向量场．取曲面 S 的沿曲线 C 的单位法向 n = n (u 1(s , 0), u 2(s , 0)) = n (s ) ，则变分向量场可分解为v (s ) = l (s )T (s ) + h (s )n (s )⨯T (s ) ，l (a ) = l (b ) = h (a ) = h (b ) = 0 ， 其中系数函数是连续可微的．此时，(1.7) 式改写为(1.8) L '(0) = ⎰b a T • d v d sd s = ⎰ba T •( l 'T + h 'n ⨯T + l T ' + h n '⨯T + h n ⨯T ') d s= ⎰b a [ l '+ h (T , n , T ')] d s = l (b ) - l (a ) - ⎰b a h κg d s= - ⎰b a h κg d s ．公式 (1.8) 称为曲面上具有固定端点的曲线段的弧长的第一变分公式．由此可见，弧长的第一变分 L '(0) 由测地曲率 κg 和变分向量场 v 的垂直分量 h 确定，并且用以直接得到下列定理和推论．定理2 设曲面 S 上的连续可微单参数 β 正则曲线段族 { C β | β∈(-ε, ε)} 是测地线段 C 的具有固定端点的一个变分族，则 C 的弧长在该变分族中取逗留值．推论2 若曲面 S 上连接两点的曲线段 C 的弧长在所有连接这两点的曲线段的弧长值中达到最小值，则 C 必为测地线段．即：局部最短线一定是测地线．另一方面，在上述曲面S上，若指定连接两点A(u1(a), u2(a)) 和B(u1(b), u2(b)) 的弧长s参数化曲线段C: u i=u i(s) , i= 1, 2 ，并且指定连续可微函数h(s) 满足h(a) =h(b) = 0 ，则一定存在曲线段族 { Cβ|β∈(-ε, ε)} 是曲线段C 的一个固定端点的变分族，使变分向量场v(s) =h(s)n(s)⨯T(s) ；此种变分通常称为垂直变分．所指定的垂直变分可构造如下：分解h(s)n(s)⨯T(s) =v i(s)r i(s) ，作u i(s, β) =u i(s) +βv i(s) , i= 1, 2 ，则∂r ∂β|β= 0=r i∂u i∂β|β= 0=h(s)n(s)⨯T(s) ．由此可以得到定理2的逆定理，并综合为测地线段的一个特征．定理3曲面S上的正则曲线段C是测地线段的一个充要条件为：对其任何具有固定端点的变分族，C的弧长在该变分族中总取逗留值．证明只需证明充分性．已知连接两点A和B的弧长s参数化曲线段C: u i=u i(s) , s∈[a, b] , i= 1, 2 ，取连续可微函数h(s) =κg(s) sin2(s-a)πb-a作为垂直变分的变分向量场的分量函数，则弧长的第一变分L'(0) =-⎰b a hκg d s=-⎰b a (κg)2 sin2(s-a)πb-ad s= 0 ．注意到被积函数连续并保号，只能处处为零，故κg≡ 0 ，C是测地线．□根据测地线的定义，曲面上的测地线按照测地曲率衡量内蕴弯曲时是“直”的．根据弧长的第一变分公式及其相应定理进一步可见，曲面上的两点之间的最短线只能由测地线实现．因此有理由认为，测地线在曲面内蕴几何中的地位，应该相当于直线在平面几何中的地位．本章后续内容将不断支持这种看法．习题⒈设两张正则曲面S和S* 沿曲面S上的测地线C相切．试证：曲线C也是曲面S*上的测地线．⒉对球面，若其上圆周的半径等于球面的半径则称之为大圆周．试证：球面的测地线全体就是大圆周全体．⒊设曲面S上的测地线C无逗留点．试证：①若C是曲率线，则C也是平面曲线；②若C是平面曲线，则C也是曲率线．⒋设曲面S上的测地线都分别为平面曲线．试证S全脐．⒌已知下列曲面r(u, v) 的第一基本形式Ⅰ；试求其弧长参数化测地线．①Ⅰ=v (d u2+ d v2) ；②Ⅰ=c2v2 (d u2+ d v2) ，其中c= const. ∈ℝ．⒍设正则曲面S上存在两族测地线构成相交为定角的坐标曲线网．试证：①S上存在正交网使上述一族测地线为一族坐标曲线；②S局部等距对应于平面．⒎在E3直角坐标系O-xyz下，设光滑函数f(x , y , z) 的梯度向量处处非零．试证：由方程f(x , y , z) = 0 所确定的正则曲面的测地线微分方程为f x f y f zdx dy dzd2x d2y d2z= 0 ．⒏设正则曲面S上的正则曲线C无逗留点，并且曲线C的从切平面族的包络即为S．试证：C是S上的测地线．⒐已知正则曲面S: r(u1, u2) 上的弧长参数化曲线C: r(s)=r(u1(s), u2(s)) ，曲面的单位法向沿曲线C记为n(s)=n(u1(s), u2(s)) ，考虑曲线C上的单位正交右手标架 {r(s);e1(s), e2(s), e3(s)} = {r(s); T(s), n(s)⨯T(s), n(s)} ．称τg=-e2 (s)•e3'(s) 为S上沿曲线C 的测地挠率函数．①列出标架 {r(s); e1(s), e2(s), e3(s)} 的运动公式；②试证：沿曲线C，测地挠率τg=-Ωil g lj d u kd sd u id s (r j, r k, n) ；③试证：测地挠率为S上的关于点和切方向的函数，并且沿曲线C有τg=1g11g22-g122(d u2d s)2-d u1d sd u2d s(d u1d s)2g11g12g22Ω11Ω12Ω22；④试证：曲线C成为S上的曲率线的充要条件是沿C的测地挠率恒为零．⒑设无逗留点曲线C: u i=u i(s) 为曲面S: r(u1, u2) 上的弧长参数化曲线，以τ和τg分别为其挠率函数和测地挠率函数．试证：沿曲线C，①若C为测地线，则τg=τ；②若C为渐近曲线，则τg=τ．⒒设曲面S: r(u1, u2) 的坐标曲线构成正交曲率线网，对应有主曲率函数κ1和κ2．在S的任意固定点P取切向a= (ξ1cosθ+ξ2sinθ) ∈T P，其中ξ1和ξ2分别为κ1和κ2所对应的单位主方向向量．试证：在点P沿切向a，测地挠率τg(P, θ) =12 [κ2(P) -κ1(P)] sin 2θ=12ddθκn(P, θ) ．⒓在曲面上试证：κn2+τg2- 2Hκn+K= 0 ．。