§2 指数映射与测地坐标系

此，取切平面 TP 点 P 作为原点的单位正交标架 {P; η1, η2} ，记 v = ρ (η1cosψ + η2sinψ) = yiηi , ρ = |v | = (y1)2 + (y2)2 ，
则 (y1, y2) 为 TP 的直角坐标系，(ρ, ψ) 为 TP 的相应极坐标系．
引理 1 若曲面 S: r = r(u1, u2) 上的两族坐标曲线在点 P 单位正交，令
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作者：王幼宁
G
=
(−
ρ
sinψ
,
ρ
cosψ)(g*ij)2×2
⎛− ρ sinψ ⎝ ρ cosψ
⎞ ⎠
= [g*11 sin2ψ + g*22 cos2ψ − 2 g*12 sinψ cosψ ] ρ 2 ． 记 f(ρ, ψ) = g*11 sin2ψ + g*22 cos2ψ − 2 g*12 sinψ cosψ ，则
g11(ρ, ψ0) = 1 ．
由此，注意到 ψ0 的任意性，有 (2.5) g11(ρ, ψ) ≡ 1 ，Γ1i1(ρ, ψ) ≡ 0 ； 从而有 (g11)i ≡ 0 ，(r11)•ri = Γ1k1rk •ri = 0 ，进而
(g12)1 = (r1•r2)1 = r11•r2 + r1•r21 = r1•r12 =
lim
ρ→0
f(ρ, ψ) = 1 ，lim
ρ→0
fρ(ρ, ψ) = 0 ．
于是，当 ρ→0 时，有
G=
f ρ →0 ，( G)ρ =
f
+
fρ
ρ 2f
→1 ．
□
注记 测地ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ坐标系性质当 ρ→0 时用无穷小表示则写为
(2.9)
G = ρ + ρ O(ρ 2) = ρ + O(ρ 3) ．
定义 2 在曲面 S 上的以 P 为原点的测地极坐标系 (ρ, ψ) 下，设正数 ρ0 使 0 < ρ ≤ ρ0 时 (ρ, ψ) 为正则参数．称 ψ 坐标曲线 ρ = ρ0 为 S 上的以 P 为（圆）心、以 ρ0 为半径的测地圆周，记为 S1(P, ρ0) ；称开区域 D(P, ρ0) = {r(ρ, ψ)∈S | ρ < ρ0 } 为 S 上的以 P 为（圆）心、以 ρ0 为半径的测地 （开）圆盘；称闭区域⎯D(P, ρ0) = {r(ρ, ψ)∈S | ρ ≤ ρ0 } 为 S 上的以 P 为 （圆）心、以 ρ0 为半径的测地闭圆盘；亦称 ρ0 为上述测地圆周或测地圆 盘的测地半径．
fρ = (g*11)ρ sin2ψ + (g*22)ρ cos2ψ − 2(g*12)ρ sinψ cosψ = [(g*11)1cosψ + (g*11)2sinψ ]sin2ψ + [(g*22)1cosψ + (g*22)2sinψ ]cos2ψ
− 2[(g*12)1cosψ + (g*12)2sinψ ]sinψ cosψ ； 故由法坐标系性质可知
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作者：王幼宁
三．测地极坐标系性质
同理，从直观上看，曲面上的测地极坐标系在局部近似于“欧氏平面
上的极坐标系”． 在曲面 S 上任取单位切向 a = η1cosψ0 + η2sinψ0 = y0iηi ∈TP ，在测地极
坐标系 (ρ, ψ) 下，测地射线 CP,a 的弧长 s 参数化方程直接写为 ψ = ψ0 = const. , ρ = s , s > 0 ．
定义 1 上述引理及其推论中所确定的曲面 S 上的参数系 (y1, y2) 称为 S 上的以 P 为原点、以 η1, η2 为初始标架的（局部）法坐标系，相应参数 系 (ρ, ψ) 称为 S 上的以 P 为原点（或极点）、以 η1 为极轴的（局部）测地 极坐标系．
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作者：王幼宁
例 2 ① 在欧氏平面上，法坐标系就是直角坐标系；测地极坐标系 就是极坐标系．
(2.2)
{ Γjik(y01s, y02s) y0j y0k = 0 ， gjk(y01s, y02s) y0j y0k = 1 ．
在法坐标系原点 P(0, 0) 处，由法坐标系构造过程可见坐标曲线在该点处具
有单位正交自然切向，即 gjk(0, 0) = δjk ；进一步，在 (2.2) 式中令 s→0 ，并 注意到 (y01, y02) 的任意性便可见
四．测地凸域 下面进一步考虑最短线的局部存在范围．
定义 3 在曲面 S 上给定开区域 U ．若对 U 上的任意两点 P、Q ，存 在以之为端点的唯一一条测地线段 CPQ ，使 CPQ 成为在 S 上连接两点 P、 Q 的最短连线段，并且使 CPQ⊂U ，则称区域 U 为 S 上的一个测地凸域．
例 3 ① 在欧氏平面上，测地凸域就是凸域． ② 球面上的测地凸域，最大者为开半球面． ③ 在圆柱面上，测地圆盘为测地凸域的充要条件为其测地半径小于 圆柱面正截圆周周长的四分之一． □
≥ ∫L0 |ρ ′(s)|ds ≥ ∫L0 ρ ′(s)ds = ρ0 ． 上式右端等于从 P 点出发而到达 Q 点的测地射线段的长度；且当等号成立 时，ρ ′(s) ≡ 1 , ψ ′(s) ≡ 0 ，CPQ 也只能是测地射线段． □
曲面内蕴几何与平面几何的局部差异，在一点邻近可以通过测地圆周 和测地圆盘的行为而做出反映，并且可用该点处的 Gauss 曲率来刻画（参 见习题 1）．
② 圆柱面上固定一点处的指数映射，将切平面上从切点出发的射线 映射成半条直纹或半条圆柱螺线或者纬圆周及其正向延长线． □
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作者：王幼宁
根据常微分方程组的唯一连续性理论，从固定一点出发的测地线作为
方程组 (1.4) 的解，连续可微依赖于初始切向的取值．因此，指数映射 expP 可定义在切平面 TP 上的点 P 的某个邻域内，并且在该邻域内成为连续可 微映射．为了深入了解指数映射的性质，需要考察相应的解析表达式．为
作者：王幼宁
第六章 曲面的内蕴几何初步
§2 指数映射与测地坐标系
测地线在内蕴几何中的重要性，还体现在特殊坐标系的构造之上．可 以想象，就像在欧氏平面上取坐标曲线为直线会带来某些方便一样，曲面 的一部分甚或全部坐标曲线若由测地线构成，则有助于对于内蕴性质的有 效刻划以及对于内蕴几何量的简化或突出表示．本节的中心内容，就是揭 示如何在曲面上引进一般的内蕴坐标系．
推论 1（Gauss 引理） 曲面 S 上从 P 点出发的测地射线总正交于以 P 为心的测地圆周．
推论 2（测地线局部最短性） 在曲面 S 上的以 P 为原点的测地极坐 标系 (ρ, ψ) 下，在 S 上连接原点 P 和测地圆周 S1(P, ρ0) 上任一点 Q 的最短 连线是存在的，并且恰为从 P 点出发而到达 Q 点的测地射线段．
射
expP(s
v |v|
)
=
r(u1(s),
u2(s))
∈CP,v⊂S
，
即像点 Qs = r(u1(s), u2(s)) 是 CP,v 上从 P 点出发而经过弧长 s 所到达的点． 由此定义映射
expP: V⊂TP → S v →expP(v) ，
则此映射称为曲面 S 上点 P 处的指数映射．
例 1 ① 球面上的北极点处的指数映射，将北极切平面上从北极出 发的射线映射成经线及其正向延长线．
ηi = ri|P ，视指数映射expP: y = (y1, y2) → r(u1(y1, y2), u2(y1, y2)) ，则
| ∂ui
∂yj
y = (0, 0)
= δij , i, j = 1, 2 ．
证明（想法：借助于Taylor展开，将 ui 用 yj 表示） 观察下列三点：
① 对于 v∈TP−{0} ，测地线 CP,v 的微分方程由 (1.4) 式给出，其在点
定理 2（测地极坐标系性质） 一基本形式形为 (2.7) Ⅰ= dρ 2 + G(ρ, ψ) dψ2 ， 其中系数 G 满足性质
曲面 S 在测地极坐标系 (ρ, ψ) 下的第
(2.8)
lim
ρ→0
G = 0 ，lim (
ρ→0
G)ρ = 1 ．
证明 (2.5) 和 (2.6) 两式已经说明 (2.7) 式成立．为证 (2.8) 式，取法坐 标系 (y1, y2) 使 Ⅰ = g*ij(y1, y2) dyi dyj ，则
{ Γjik(0, 0) = 0 ， gjk(0, 0) = δjk ．
将联络系数与第一基本形式系数的偏导数相互表出，上式等价化为
(2.3)
{(gij)k(0, 0) = 0 ， gjk(0, 0) = δjk ．
至此所得的结论可以总结成下列定理．
定理 1（法坐标系性质） 曲面 S 在法坐标系 (y1, y2) 下的第一基本形 式系数满足性质 (2.3) ，或写为 (2.4) gij(y1, y2) = δij + O((y1)2 + (y2)2) ．
② 球面上以北极点为原点的法坐标系，在去掉南极的球面上是正则 参数系；以北极点为原点的测地极坐标系，在去掉两极的球面上是局部正 则参数系．
③ 圆柱面上固定一点处的法坐标系，在去掉对径直纹的区域上是正 则参数系． □
二．法坐标系性质
从直观上感觉，曲面上的法坐标系在局部近似于“欧氏平面上的直角
坐标系”．
(g11)2 2
≡0，
此即 g12 = g12(ψ) ．进一步，
| | lim
ρ→0
|rψ|
=
lim
ρ→0
−ρ
sinψ
∂r ∂y1
+
ρ
cosψ
∂r ∂y2
=0，
从而
g12(ψ)
=
lim
ρ→0
g12(ψ)
=
lim