【弹塑性力学】变分原讲义理及有限元
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弹塑性力学与有限元-弹塑性应力-应变关系
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
卸载
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
(a) 理想塑性材料
加载和卸载准则
(b) 强化材料
《弹塑性力学与有限元》
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
g f1 1 2 2k 0 (AB面)
C
g f2 1 3 2k 0 (BC面)
f2 0
B
对AB面
d1p
d1
f1
1
d1
f1 0 A
d
p 2
d1
f1
2
d1
d1p : d2p : d3p d1 : 1 : 0
d3p
因为有
f
ij
J 2
ij
J 2 sij
sij
2
J2 k 0 y
故理想塑性材料与Mises条件相关 连的流动法则为：
dipj sijd
0
1
x
3
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
上式表明应变增量张量与应力偏张量成比例，也可以写成 ➢ Mises屈服条件的流动法则：
d p d p d p d p d p d p
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元 —弹塑性应力-应变关系
弹塑性应力-应变关系
弹塑性问题变分法
稳定材料： d d 2 0， 2 0 d d
对稳定材料（非软化），Drucker公设: （1）在加载过程中，应力增量所做的功恒为正。 即： d ij de ij 0 。 （2）在加载与卸载的整个闭合循环过程中，应 力增量所做的净功恒为非负。即：
0 ij
那么： a (
e
(
ij
d
ij
b e ij
a e ij
ij de ij
e
ij
d
ij
b e ij
a e ij
ij
a ij ) de ij 0
第二节 弹塑性全量理论的最小余能原理
极值路径
第二节 弹塑性全量理论的最小余能原理
Drucker公设
根据Drucker公设，对稳定材料（非软 化），加载路径中或应力循环中的净功非负。
~ 与 Ec
(a)
~
业已证明：应力空间中的极值路径与加载面 的变化规律有关。 等向强化材料：应力极值路径为比例加载路径。 随动强化材料：应力极值路径为与加载面正交路径。
(a)
~
ij
(c)
~ Ec
~ min 矛盾，则 E c
(a)
max 得证。
理想塑性材料：应力极值路径为弹性路径。
第二节 弹塑性全量理论的最小余能原理
与等效应变
i
3 ' ' eij eij 2
m 之间有幂函数关系 i A i ；
（3）外载按比例增长。 说明：前两条近似满足偏差不大，第三条为基 本要求。有些工程问题与比例加载相差不大。
2
第0节
全量理论与增量理论
全量理论
对稳定材料（非软化），Drucker公设: （1）在加载过程中，应力增量所做的功恒为正。 即： d ij de ij 0 。 （2）在加载与卸载的整个闭合循环过程中，应 力增量所做的净功恒为非负。即：
0 ij
那么： a (
e
(
ij
d
ij
b e ij
a e ij
ij de ij
e
ij
d
ij
b e ij
a e ij
ij
a ij ) de ij 0
第二节 弹塑性全量理论的最小余能原理
极值路径
第二节 弹塑性全量理论的最小余能原理
Drucker公设
根据Drucker公设，对稳定材料（非软 化），加载路径中或应力循环中的净功非负。
~ 与 Ec
(a)
~
业已证明：应力空间中的极值路径与加载面 的变化规律有关。 等向强化材料：应力极值路径为比例加载路径。 随动强化材料：应力极值路径为与加载面正交路径。
(a)
~
ij
(c)
~ Ec
~ min 矛盾，则 E c
(a)
max 得证。
理想塑性材料：应力极值路径为弹性路径。
第二节 弹塑性全量理论的最小余能原理
与等效应变
i
3 ' ' eij eij 2
m 之间有幂函数关系 i A i ；
（3）外载按比例增长。 说明：前两条近似满足偏差不大，第三条为基 本要求。有些工程问题与比例加载相差不大。
2
第0节
全量理论与增量理论
全量理论
塑性理论及有限元PPT学习教案
E
O
p e
f
F
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> s 以后的点都可
以看成是重新加载时的
屈服 点 。 以 B点 为 例 ， b
C
若卸载则-ε关系为弹性
B
。卸载后再加载，只要
< B点，关系仍为弹
s p
A’ A
性。一旦超过B点， -ε
呈非线性关系，即B点
也是弹塑性变形的交界 O 点，视作继续屈服点。
一般有 s< B，这一现
s E1
o
Є
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理想刚塑性应力应变关系模型
s
o
Є
第31页/共62页
• 应力状态与应变状态的进一步研究
• 前面我们已经阐明了有关应力与应变的 基本知识，为了今后论证问题的方便， 需要进一步补充相关知识
• 正八面体上的应力
在塑性理论中研究物体产生的塑性变 形条件时，除了用到最大 切应力外，还用到正八面体上的切应 力。正八面体的面就是通 过空间一点而和三个主平面夹角相等 的平面。取主平面为坐标 面，满足上述条件的八个面构成如图 所示的正八面体。
o
Є
式中，B为常数，n可取0—0.1之间的任意数，一般由实际 的应力—应变曲线拟合而定
第27页/共62页
线弹性幂指数硬化应力应变关系模型
EЄ
s
s BЄ n s
o
Є
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刚塑性幂指数硬化应力应变关系模型
s BЄ n
o
Є
第29页/共62页
线性强化刚塑性应力应变关系模型
p e
（称为包辛格效应）。表明材料的后续 f 屈服性质不仅与它所经历的塑性变形有
F
弹塑性力学问题的变分原理与变分法
若选取梁的挠度函数 w 为
w
n1
an
sin
n
l
x
所取挠度函数满足问题的位移边界条件，因此，w为几何可能的。
一阶变分
虚位移
w
n1
an
sin
n
l
x
总虚功
W
P w
xa
P
an sin
n1
n a
l
2020/10/30
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第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法
基于位移的变分原理——虚位移原理
基于位移的变分原理——虚位移原理
3）在位移变分方程中，外力是实际的体力 X i 和面力 X i，而应力 则可以是真实的应力，也可以是静力可能的应力。因为在上述证明中， 对应力 ij，只要求它满足平衡微分方程和静力边界条件。
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第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法
基于位移的变分原理——虚位移原理
V
V
( Xi ij, j ) uidV ij ui, jdV
V
V
散度定理
ij, j X i 0 （平衡状态）
以及有
ij ui, j
ij
(
1 2
ui,
j
1 2
u
j ,i
)
ijij
W ijijdV U V
原理得证。
2020/10/30
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第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法
(v x
u ) y
yz
y
( w)
z
( v)
( w y
v
)
z
zx
x
(
w)
z
弹塑性有限元分析
自行证明！
3）塑性变形时体积不变，即塑性应变增量的偏量部分就等于塑 性应变增量，即 p p
deij d ij
2016/9/23
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塑性本构关系（3/6）
Levy-Mises增量（流动）理论（续）
4）应力主轴与应变增量主轴重合； 5）应力偏量与对应的应变增量成正比，如引入比例因子 d ，则
ij
（非关联流动）
ij
非负比例因子，与 塑性势的量纲有关
垂直于等势面。称为 塑性流动法则。
若屈服函数 f 是连续可微的，则可取 f 做为势函数。
（关联流动）
d ijp f d ij
i
1 2 2 2 2 2 2 12 23 31 11 22 22 33 33 11 6 2 3 2 2 2 2 2 2 S11 S22 S33 2 S12 S23 S31 2
1950年前后：展开了塑性增量理论和塑性全量理论 的辩论，促使对两种理论从根本上进行探讨。 1970年代：随着有限元方法的提出和快速发展，关 于塑性本构关系的研究十分活跃。主要从宏观与微 观结合的角度，从不可逆过程热力学以及从理性力 学等方面进行研究，例如无屈服面理论等。
其它：1）在强化规律方面，除等向强化模型外， 普拉格（Prager）提出随动强化等模型；2）在实 验分析方面，运用光塑性法、云纹法、散斑干涉法 等能测量大变形的手段。等等。
第二章 弹塑性有限元分析
目的：以弹塑性问题为例，介绍材料（物理）非线性问 题）的有限元方法。 特点：与线性有限元方法比较，本构关系不再符合线弹 性的Hooke定律 内容：
引言 单轴试验下材料的弹塑性性态 屈服条件、屈服面与屈服函数 塑性本构关系 弹塑性问题的有限元解法
弹塑性力学讲义变分法24页PPT
弹塑性力学讲义变分法
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工Βιβλιοθήκη 总是说 工具不 好)。•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
谢谢！
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工Βιβλιοθήκη 总是说 工具不 好)。•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
谢谢！
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
弹塑性力学第11章—变分原理及其应用
b
类似可得各阶泛函的变分为
δ J = ∫ δ k Fdx
k a
b
11.1 基本概念
（4）变分法
0 的自变函数 y ( x )，定义
在满足约束条件的容许函数中，求使泛函 J ( y ( x ) ) 取极值
ΔJ = J ( y ( x ) ) − J ( y 0 ( x ) )
J ( y 0 ( x ) ) 为极小值
δE k + δU = δW
11.1 基本概念 对于静力平衡问题，则有
δU = δW
因此，在静力变形计算时，弹性体应变能等于外力做功储存 在变形体中的能量。 弹性体内应变能的计算公式如下
U = ∫ U 0 dV
V
其中U 0是应变能密度
U 0 = ∫ σ ij dε ij
0
ε ij
在一维应力状态下，应变能密度等 于应力－应变关系曲线下方的阴影部分 面积。对线弹性材料，则有 1 U 0 = σ ijε ij 2
1 上式简写为 δε ij = (δ ui , j + δ u j ,i ) 2
虚位移还要满足位移边界条件
δu = 0 δv = 0 δ w = 0
（在Su上）
简写为 δ ui = 0
11.1 基本概念 由静力可能状态出发，我们可以得到虚应力的概念。所谓 虚应力，是指某一静力可能的应力状态变化到无限临近的另一 静力可能的应力状态，期间发生的微小应力变化，记作
1 ′ = σ ij ε ij U0 2
∂U 0 = σ ij ∂ε ij
′ U0
O
dεx
′ εx
εx
应变能密度和余能密度的一阶导数分别为
′ ∂U 0 = ε ij ∂σ ij
类似可得各阶泛函的变分为
δ J = ∫ δ k Fdx
k a
b
11.1 基本概念
（4）变分法
0 的自变函数 y ( x )，定义
在满足约束条件的容许函数中，求使泛函 J ( y ( x ) ) 取极值
ΔJ = J ( y ( x ) ) − J ( y 0 ( x ) )
J ( y 0 ( x ) ) 为极小值
δE k + δU = δW
11.1 基本概念 对于静力平衡问题，则有
δU = δW
因此，在静力变形计算时，弹性体应变能等于外力做功储存 在变形体中的能量。 弹性体内应变能的计算公式如下
U = ∫ U 0 dV
V
其中U 0是应变能密度
U 0 = ∫ σ ij dε ij
0
ε ij
在一维应力状态下，应变能密度等 于应力－应变关系曲线下方的阴影部分 面积。对线弹性材料，则有 1 U 0 = σ ijε ij 2
1 上式简写为 δε ij = (δ ui , j + δ u j ,i ) 2
虚位移还要满足位移边界条件
δu = 0 δv = 0 δ w = 0
（在Su上）
简写为 δ ui = 0
11.1 基本概念 由静力可能状态出发，我们可以得到虚应力的概念。所谓 虚应力，是指某一静力可能的应力状态变化到无限临近的另一 静力可能的应力状态，期间发生的微小应力变化，记作
1 ′ = σ ij ε ij U0 2
∂U 0 = σ ij ∂ε ij
′ U0
O
dεx
′ εx
εx
应变能密度和余能密度的一阶导数分别为
′ ∂U 0 = ε ij ∂σ ij
李同林 弹塑性力学 第十章 变分法
0
dxdydz
x
x y y z z xy xy yz yz zx zx dxdydz
（3—36）
弹性应变比能为：
U0
1 2 2 2 2 2 2 e 2 2 ( x y z ) ( xy yz zx ) 2
§10—2 力学变分原理的基本概念
能量转化与守恒定律，是自然界最基本的运动规律之一，在弹塑性变形运动 中也不例外。 当可变形固体在受外力作用而变形时，外力与内力都将作功。 对于弹性体，由于变形的可逆性，外力对其相应的位移所作的功（实功） ， 在数值上就等于积蓄在物体内的应变能（实应变能） ，当外力撤除时，这种应变 能将全部转换为其它形式的能量——实功原理。 这一概念在第三章中已经作过介 绍。 上述能量方法不仅适用于线弹性力学（如在材料力学、结构力学中） ，而且 还可用于非线性弹性力学， 以至对于塑性力学问题（只需将应变能的概念改为耗 散能，或者形变功的概念。 ） 。 能量方法由于其与坐标选择无关等特点（见本书§8—7）应用极为广泛，更 由于它与数学工具——变分法的结合而导出了虚功原理， 使得用数学分析的方法 来解决力学问题的理论得到重大发展而更趋完善。 在理论力学中：
前者称为几何法（矢量法） ，后者称为变分法（能量法） 。在 一定条件下它们所讨论的内容可以互相转化， 它们所得到的结果 可以为函数解，两者的解答是等价的（殊途同归） 。 几何法（矢量法）和变分法（能量法）统称为力学分析的解 析法。
矢量法与能量法在应用上各有特点，一般说来：
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（a） 矢量法：
以牛顿定律作为依据，其微分方程的形成是与矢量相联系的；
质点、质点系（刚体）的虚位移原理：质点或质点系（刚体） 在理想约束（不消耗能量）下，处于平衡状态的必要和充分条件 是作用在其上的各力，对于虚位移所作的总虚功为零。