弹塑性力学与有限元-材料非线性问题和几何非线性问题
弹塑性有限元法
当变形体同时存在大的弹性和塑性变形时，必 须采用弹塑性力学进行分析，相应的有弹塑性 有限元法，其较一般弹性有限元复杂得多。
1、塑性区中应力与应变之间为非线性关系，非线性问 题求解 — 增量法；
2、应力与应变关系不是一一对应的，加载与卸载关系 不同，必须判断是加载还是卸载状态；
3、多种材料硬化模型产生不同的有限元计算公式；
K u Q 非线性方程组
方程组
求解
与ij 有关
与ij 有关
u tt u t uu
和
三、弹塑性有限元处理的技术问题
1、加载增量步长的选定
计算精度与收敛性
加载的增量步长
tt P t P rmin P
增量步终止载荷
初始设定载荷增量
初始载荷 载荷约束因子
2、变形区弹塑性状态的判定
弹塑性变形过程中，变形体内部可能同时存在弹 性区、过渡区、塑性加载区和塑性卸载区等四种不同 状态的区域和单元，计算时必须分别进行处理。
x xy y xy z xy 2
xy
x yz y yz z yz xy yz 2
yz
x y
zx zx
z xy
zx zx
xy zx 2
zx
二、弹塑性有限元方程
由于 非线性的应力应变关系，只能按照增量法求解。
在小变形条件下，对t到t+Δt时刻的增量步进行 分析。设变形体为各向同性硬化材料、且服从Mises 屈服条件和Prandtl – Reuss方程的本构关系，并设t 时刻的变形条件为：单位体积的体积力为tpi；作用 在边界表面ST上的单位面积力为tTi；任一质点的位
移为tui，应变为tij，应力为tij。现以t时刻的变形为
材料非线性
( ) P( ) f 0 0
其中： 表示载荷变化的量。 dP d d f 0 KT f0 0 d d d d 1 K T ( ) f 0 d 切线矩阵
1 1 m1 m KT ( m ) f0m KT ( m )f m
一、材料弹塑性行为的描述
弹塑性材料进入塑性的特征是当载荷卸去后 存在不可恢复的永久变形，因而在涉及卸载的情 况下，应力和应变之间不再存在一一对应的关系， 这是区别于非线性弹性的基本属性。
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单调加载 对于大多数材料存在屈服应力，应力低于屈服 应力时，材料为弹性，而当应力超出屈服应力时， 材料进入 弹塑性状态。 当应力达到屈服应力后，应力不再增加，而材料 变形可以继续增加—理想弹塑性材料。
第六章 材料非线性问题的有限元法
1
第一节
引言
线弹性力学基本方程的特点： 几何方程的位移和应变的关系是线性的； 物理方程的应力和应变的关系是线性的； 建立于变形前的平衡方程也是线性的。 几何非线性问题 结构的变形使体系的受力状态发生显著变化， 以致于不能用变形前的平衡方程分析，且位移和应 变的关系不是线性的。
K ( ) f 0
增量法 载荷分为若干步： f 0 , f1 , f 2 , f 3 位移分成若干步： 0 , 1 , 2 , 3 每两步之间增长量为增量。 增量解法的一般做法是： 假设第m步的载荷 f m 和位移 m ； 让载荷增加 f m1 ( f m f ) ，再求解 m1( m )。 如果每一步的增量 f 足够小，解的收敛性 可以得到保证
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NmR-N方法求解非线性方程组时，收敛速度 较慢，特别是对于结构分析时载荷趋近极限载荷或突 然变软的情况下，收敛速度会很慢。为了加速收敛， 可以采用一些方法，比较常用和有效的是Aitken法。 该方法每隔一次迭代进行一次加速。
土木工程中的非线性问题概述
土木工程中的非线性问题概述张俊（空军工程大学机场建筑工程系，陕西西安710038）摘要：从四个方面对土木工程中的非线性问题进行了概述，分别是钢筋混凝土方面、地球科学方面、基础学科方面和其他相关方面。
钢筋混凝土中非线性包括材料非线性、几何非线性、双重非线性和结构非线性、钢筋混凝土破坏过程分析、结构内力分析、节点处理以及长期荷载分析等方面；地球科学中包括地震等自然灾害孕育过程、灾变临界条件及成灾规律等方面，尤其是地震科学中；基础学科中包括分形力学等方面。
关键词：土木工程；非线性；钢筋混凝土；地球科学中图分类号：U416文献标识码：A1 引言非线性科学是当代自然科学前沿理论，不仅自身发展迅猛，而且对其它学科也产生了极为深远的影响.国家科委已将《非线性科学》列为攀登计划项目。
在北大、南大、复旦等大学中已成立了非线性科学研究中心，非线性科学作为研究生课程己在部分院校讲授，中国科技大学还在本科生中专门开设了“非线性科学班”。
材料力学和结构力学是建立在小变形假设基础上，不考虑物体位置和形态的变化，用变形前的形态建立平衡条件，进行线性近似化可实际上在某些情沉下是不恰当的，不符合精度要求。
线性只是局部的，非线性才是自然界的最为木质的特征。
非线性科学是研究自然界和人类社会中非线性现象共性的基础学科，本文仅对其在土木工程及相关领域中的应用问题进行论述。
主要从四个方面对土木工程中的非线性问题进行了概述，分别是钢筋混凝土方面、地球科学方面、基础学科方面和其他相关方面。
2钢筋混凝土方面2.1 四种非线性包括材料非线性、几何非线性、双重非线性和结构非线性。
1 材料非线性。
材料的非线性是指材料的应为-应变不成线性比例。
材料非线性问题有非线性弹性问题和非线性弹塑性问题之分。
这两种主要区别是在加载历史上，后者是材料超过屈服极限后呈现出的非线性，常见于各种结构的弹塑性分析。
在简单加载过程中的非线性阶段两者并无木质区别，但卸载过程，前者是可逆过程;后者是不可逆的，将出现残余变形。
第四章 土木工程中的几何非线性问题
通过初时构型上的微元体定义的应力称为Kirchhoff应力，用 表示； 通过现时构型的微元体定义的应力称为现时（Updated）Kirchhoff 应力， 用 表示。
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非线性有限元
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Euler应力张量:τij
在大变形问题中，是用从变形后的物体内截取的微元体来建立平衡方程及与之相 等效的虚功原理的。因此首先在变形后的物体内截取出的微元体上定义应力张量， 称为Euler应力张量； 此应力张量有明确的含义，即代表真实的应力张量。是现 时位形和变形相关的真实应力。
Case-1
同乘以时间增量
增量形式 …
Case-2
可以证明，这两个率都与转动无关
Jaumann 应力率
旋转率
现时Green应变的线性部分
可以证明，这两个率都与转动无关
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非线性有限元
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三种本构关系间的关系
对于实际的大变形问题，上述三种本构关系并不等价。可以证明，弹性 材料是一种特殊的次弹性材料，超弹性材料是一种特殊的弹性材料。
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应力是借助于微元体来定义的，但在大变形分析中，必须注意 微元体所在的构型。
与应变类似，连续介质力学理论具有严格的应力定义和多 种不同的应力概念。这里也只介绍后面将要用到的几种。
Euler应力：
从当前构型中取出微元体，在其上定义的应力称为Euler应力，用 表示。Euler应力代表物体的真实应力。然而，当前构型是待求的未知构型， 因而，有必要通过已知构型上的微元体再对应力进行描述。
Kirchhoff应力（增量）和Green应变（增量）。 优点：参考构型不发生变化，本构关系与虚功方程描述形式简单。
非线性有限元分析报告
非线性有限元分析1 概述在科学技术领域内，对于许多力学问题和物理问题，人们已经得到了它们所应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的定解条件（边界条件）。
但能够用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单，并且几何形状相当规则的问题。
对于大多数工程实际问题，由于方程的某些特征的非线性性质，或由于求解区域的几何形状比较复杂，则不能得到解析的答案。
这类问题的解决通常有两种途径。
一是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得到问题在简化状态下的解答。
但是这种方法只是在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致误差很大甚至是错误的解答。
因此人们多年来一直在致力于寻找和发展另一种求解途径和方法——数值解法。
特别是五十多年来，随着电子计算机的飞速发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。
已经发展的数值分析方法可以分为两大类。
一类以有限差分法为代表，主要特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。
其具体解法是将求解区域划分为网格，然后在网格的结点上用差分方程来近似微分方程，当采用较多结点时，近似解的精度可以得到改善。
但是当用于求解几何形状复杂的问题时，有限差分法的精度将降低，甚至发生困难。
另一类数值分析方法是首先建立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分提法，然后再建立近似解法并求解。
如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分提法可以归结为某个泛函的变分，相应的近似解法实际上就是求解泛函的驻值问题。
诸如里兹法，配点法，最小二乘法，伽辽金法，力矩法等都属于这一类方法。
但此类方法也只能局限于几何形状规则的问题，原因在于它们都是在整个求解区域上假设近似函数，因此，对于几何形状复杂的问题，不可能建立合乎要求的近似函数。
1960年，R.W.CLOUGH发表了有限单元法的第一篇文献“The Finite Element Method in Plane Stress Analysis”，这同时也标志着有限单元法（FEM）的问世。
弧长法——弹塑性力学及有限元
Pm1
m 1
c ( )[( ) 2um ]
2 T 2 1
tg 1(K1 ) Tm
m
1 a um m
1
2 1
2 2
1 (K1 ) R Tm
1 1 (K1 ) Pm Tm
m m a m
am
a
5 增量弧长法
4)由 R 和 Pm 求
i 2 m
i 1
i m
i i m m
5 增量弧长法
1 1 ( ) 21
i i i 2 m i i i 21i u m m 2
i i i 2 m
i
2
i m
i
2
i
2
i
2
i i i i 2 u m 2m m (m ) 0
i i
2
(1 1 1 )( ) 2 (1
非线性代数方程组的数值解法
5 增量弧长法
用迭代法或增量法进行极限分析时，在极值点附近往往可能 不收敛。这时可用增量弧长法来解决。
5 增量弧长法
• 弧长法是一种用于得到不稳定(KT 0)或负刚度矩阵 (KT < 0)问题的数值稳定解的方法。
ri 弧长半径
F
ri
收敛子步
ri ri
ri 平衡路径 u
5 增量弧长法
i 2 i a(m ) 2b m c 0
式中系数为
T a 1 (1i )( 1i )
i T i i b m (1i )[( 2 ) um ]
c (2 )[(2 ) 2u ]
i T i i m
上述式子是从简单情况推出的，如果除 外 均理解为矩阵，即为一般情况的弧长法方程。
有限元方法中材料非线性计算综述
6
(non-associated flow)。关联流动中使用了屈服函数 作为流动势 。关 联流动用来描述由位错诱发的塑性流动， ABAQUS® 中除铸铁外的一般金属与 Cam-Clay 土力学模型采用了关联流动的格式。非关联流动在处理摩擦型塑性流 动方面比关联流动更好，Mohr-Coulomb 和 Drucker-Prager 等模型使用了非关联 流动。关联流动集成的刚度矩阵 K ep 是对称矩阵，在材料不出现软化现象的时候
, H 0
(3)
5
其中 H H1 , H 2 , 为后继屈服条件中的内变量，表征了材料的强化、粘性等各种 复杂性质，其表达形式也可以非常复杂。塑性力学中常用的 Tressca 屈服准则和 Mises 屈服准则是 的两种特殊形式。Mises 屈服准则的应用较多一些，其屈 服与金属拉伸试验结果吻合得更好，而且其函数形式比较光滑。 Mises 屈服准则为：
2
Newton-Raphson 方法要求在给定 u 的时候计算的切线刚度 K ep ， K ep f int u u 。
K ep 与材料的状态有关， K ep 的计算将在后文中提及，现在假定在给定 u 的情况下 K ep 已经算出。
(a) Newton-Raphson 法 图1
(b) Quasi-Newton 法
K ep 还是正定的，容易求解。而非关联流动集成的刚度矩阵是不对称的，容易导
致求解失败。 除了以上与率不相关的塑性流动外， 粘塑性计算中需要定义率相关的流动法 则，粘性流动率 通常是与应力相关的。常见的粘塑性流动法则有： Bingham 模型：
k , Mises 0 Mises Mises 0 0,
3
非线性理论与方法
工程中的非线性理论与方法Ref：1.冯康等编，数值计算方法，国防版。
2.何君毅，工程结构非线性问题的数值解法，国防工业版。
3.王德人编，非线性方程组解法与最优化方法，高教版4.李岳生编，数值逼近，人民教育出版社。
绪论一．非线性问题的广泛性工程中的非线性问题是普遍存在的。
严格地讲，工程中几乎绝大多数复杂问题都具有非线性本质或呈现出非线性现象，仅是在一定的条件之下，我们可将其理想化或简化为线性问题。
因此，曾有学者认为：在物质世界中，无论是宇观、宏观和微观，都是由一定层次结构和功能的非线性系统构成的，也即自然界和现实生活中几乎所有系统都是非线性的。
事实上，正是由于非线性的存在和作用，才孕育出大自然的五彩缤纷、万千气象和人类社会的风云变幻，人类思维的错综差异。
1.数学中的非线性问题：1）.代数插值2）.曲线曲面拟合3）.非线性回归4）.高次代数方程和超越方程5）.非线性方程组6）.非线性常微分方程（组）7）.非线性偏微分方程（初值、边值）8）.非线性规划（无约束、约束）。
2.机械与结构工程中的非线性问题：1）.柔性可变结构的计算（柔索计算）2）.材料非线性问题（弹塑性力学，塑性力学，蠕变力学）3）.复合材料力学4）.几何非线性问题（大变形问题，屈曲问题）5）.边界（接触）非线性6）.非线性动力学（定则振动，随机振动）柔性多体系统动力学7）.非线性系统控制问题8）.传热学中的非线性问题9）.流体力学和空气动力学中非线性问题等等二．非线性问题（系统）的特点尽管工程中的非线性问题涉及到许多学科，内容不尽相同。
但它们都具有如下非线性问题的共同特点：1.系统最终的控制方程均为非线性方程（代数、常微分、偏微分）2.线性迭加原理在整体上不成立，最多只在只局部近似成立例如：基于线性迭加原理的力法方程，杜哈美积分（卷积），振型迭加法等等，在整体上均不成立。
对于非线性问题应用线性问题中的这些求解方法将导致不真实甚至不合理的结果。
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《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
➢ 塑性力学的基本法则 (i) Prager运动硬化法则 规定加载曲面中心的移动是在表征现时应力状态的应力点的法线方向。
Prager运动法则一般说只能应用于九维应力空间。
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
(3)按单元内各个积分点计算D的预测值
1)计算屈服函数值
，然后区分三种情况
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材料非线性问题和几何非线性问题
材料非线性问题
➢ 弹塑性增量分析数值方法中的几个问题 弹塑性状态的决定和本构关系的积分 (i)
(ii) 若
，则该积分点为由弹性
进入塑性的过渡情况，计算比例因子m。
（iii）若
二． 应力的度量
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
二． 应力的度量
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 大变形情况下的本构关系
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 大变形情况下的本构关系
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材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 大变形条件下的应变和应力的度量 一． 应变的度量
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材料非线性问题和几何非线性问题
几何非线性问题
➢ 大变形条件下的应变和应力的度量 二． 应力的度量 在大变形问题中，是从变形后的物体中截取出微元体建立平衡方 程和与之相等效的虚功原理，所以应从变形后的物体内截取单元 体定义应力张量－－欧拉应力张量，tτij
➢ 大变形情况下的本构关系
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材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 大变形情况下的本构关系
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材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 几何非线性问题分析的有限元法表达格式
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材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 几何非线性问题分析的有限元法表达格式
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➢ 弹塑性增量的应力应变关系
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材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
➢ 弹塑性问题的增量方程 将载荷分成若干个增量，然后对于每一载荷增量，将弹塑性方程 线性化。假设对于时刻t的解已经求得，要求解t+Δt时刻的解。
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材料非线性问题和几何非线性问题
材料非线性问题
如令M=1或M=0，混合硬化法则就分别蜕化为各向同性硬化法则和运 动硬化法则运动硬化法则。
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材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
➢ 塑性力学的基本法则 4．加载、卸载准则
(i) 对于理想弹塑性材料，此情况是塑性加载。 (ii) 对于硬化材料，此情况是中性变载。
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材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
➢ 材料弹塑性本构关系 材料弹塑性行为的描述 1．单调加载
2．反向加载
3．循环加载
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材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
➢ 塑性力学的基本法则 1．初始屈服条件
(1) V．Mises条件
其中
有
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材料非线性问题和几何非线性问题
几何非线性问题
➢ 引言 ➢ 大变形条件下的应变和应力分量 ➢ 大变形条件下的本构关系 ➢ 几何非线性问题的表达格式 ➢ 有限元求解方程及解法
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材料非线性问题和几何非线性问题 几何非线性问题
➢ 引言
问题的类型： 大位移、小应变问题 大应变问题
令m=0
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材料非线性问题和几何非线性问题
作业：有一钢开孔板，其形状如下图所示，各尺寸a=1.6m ，b=0.8m ， r=0.05m，板厚 t=0.01m。设钢材的弹性模量为206Gpa ，屈服应力为235Mpa ，泊松比0.31 。 1、选取适当的单元利用ANSYS进行建模，并说明采用的单元、材料类型。 2、假设钢材为线性强化的弹塑性材料，其屈后刚度为弹性模量的1/10。对钢板进行位移 控制的往复加载。共有四级荷载，每一级先由ux=0 正向加载至位移为uxn ，再卸载并反向 加载至-uxn，最后回到ux=0, 完成一级的加载循环，四级荷载的位移值 uxn分别为0.5mm， 1.0mm，1.5mm，2.0mm。利用双线性随动强化和双线性等向强化两种模型进行分析并 绘制力-位移曲线。
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弹塑性力学与有限元 —材料非线性问题和几何非线性问题
材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题 几何非线性问题
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材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
➢非线性方程组的数值解法 ➢材料弹塑性本构关系 ➢弹塑性增量有限元分析 ➢弹塑性增量分析数值方法中的几个问题
如果应变是用变形前的坐标表示的 Green应变张量，则需要定义与之对 应的关于变形前位形的应力张量。
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材料非线性问题和几何非线性问题 几何非线性问题
二． 应力的度量
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材料非线性问题和几何非线性问题
二． 应力的度量
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 弹塑性问题的增量方程 它们应满足的方程和边界条件是
应力应变关系应通过积分求得
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材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
➢ 增量有限元格式 首先建立增量形式的虚位移原理如下：
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➢ 增量有限元格式 基于增量形式虚位移原理有限元表达格式
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材料非线性问题和几何非线性问题
几何非线性问题
➢ 引言 几何非线性问题： 板、壳等薄壁结构在一定载荷作用下，尽管应变很小，甚至未超过 弹性极限，但是位移较大。这时必须考虑变形对平衡的影响，即平 衡条件必须建立在变形后的位形上，同时应变表达式应包括位移的 二次项——平衡方程和几何条件都是非线性的； 金属成型材料在受载时都可能出现很大的应变，这时除了采用非线 性的平衡方程和几何关系外，还需要引入相应的应力应变关系。
材料非线性问题
➢ 弹塑性增量分析数值方法中的几个问题 非线性方程组的求解方案 1．欧拉法及其改进 2．变刚度迭代(N-R迭代) 迭代步骤： (1) 形成方程组 (2) 求解方程组，得到本次迭代的位移增量修正量
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
材料非线性问题
➢弹塑性增量分析数值方法中的几个问题 (3) 计算各单元应变增量和应力增量修正量
➢ 塑性力学的基本法则 (ii) Zeigler修正运动硬化法则 规定加载曲面沿联结其中心和现时应力点的向量方向移动。
在九维应力空间，以及在包括三个正应力，或不包括任何正应力的 应力子空间，这两种法则是完全相同的。
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材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
➢ 塑性力学的基本法则 (3) 混合硬化法则
材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 几何非线性问题分析的有限元法表达格式
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材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 几何非线性问题分析的有限元法表达格式 • 完全拉格朗日格式
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材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 几何非线性问题分析的有限元法表达格式 • 更新拉格朗日格式
材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
➢ 塑性力学的基本法则 (2)Tresca条件
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材料非线性问题和几何非线性问题
材料非线性问题
➢ 塑性力学的基本法则 2．流动法则 可从塑性势导出流动法则
对于关联塑性情况，流动法则表示为 3．硬化法则
(1) 各向同性硬化法则 (2) 运动硬化法则
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材料非线性问题和几何非线性问题
几何非线性问题
➢ 引言 在几何非线性问题的有限单元法中，通常采用增量分析方法。 增量分析方法一般采用两种表达格式： 完全的Lagrange格式：静力学和运动学变量总是参考初始位形， 即整个分析过程中参考位形保持不变。 更新的Lagrange格式：静力学和运动学变量参考于每一载荷或时 间步长开始时的位形，即在分析过程中参考位形不断在更新。
材料非线性问题和几何非线性问题
材料非线性问题
➢ 弹塑性增量的应力应变关系 1. 建立弹塑性增量的应力应变关系需遵循的原则 (1) 一致性条件 (2) 流动法则 (3) 弹性应力应变关系 2. 各向同性硬化材料的应力应变关系 以各向同性硬化材料为例
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材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
(4) 根据收敛准则检验解是否满足收敛要求
3. 常刚度迭代(mN-R迭代)
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材料非线性问题和几何非线性问题
材料非线性问题
➢弹塑性增量分析数值方法中的几个问题 弹塑性状态的决定和本构关系的积分 决定弹塑性状态的一般算法步骤: (1)利用几何关系计算应变增量 (2)按弹性关系计算应力增量的预测值以及应力的预测值
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材料非线性问题和几何非线性问题
材料非线性问题
➢ 弹塑性增量有限元分析 每一增量步包含下列三个算法步骤： 1．线性化弹塑性本构关系，并形成增量有限元方程。 2．求解有限元方程。 3．积分本构方程决定新的应力状态，检查平衡条件，并决定 是否进行新的迭代。
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