弹塑性力学的非线性有限元

本构方程
（1）增量本构关系，是无穷小应力增量与应变增量的关系。
（2）加载步中的荷载增量是有限值，应力和应变增量也为有限值。
（3）必须对增量本构关系在加载步内积分，确定有限应变增量ij 与有限应力增量ij的关系
m1
m1
ij
dij
C ep ijkl
d
kl
m
m
其中
C ep ijkl
切线模量为
C ep ijkl
塑性力学问题的有限元方法
增量方法 增量迭代方法
塑性力学问题的提法
增量理论： 应力全量和应变全量不单值对应，取决于历史，且是非线性
边值问题的特点： 物体内的应力应变分布取决于：
（1）边界上荷载和位移的最终值（2）达到最终值的路径 求解方法：
（1）通常将荷载分成若干个增量，从初始状态开始，沿着给定的 加载路径，将荷载增量逐步施加
S
Q
控制方程改写成
[B]T {}dQ = {F}+ m{F} m{P} Q
不平衡节点力
(m{}) = m{F} m{P(m{})} 最终的增量求解方程
[K]{u}== {F}+(m{u})
增量法
每一个荷载增量步，解一次线性方程组，其实质就是以分段线性来近似 非线性。
将求解的位移增量、应变增量和应力增量叠加到上一步的位移、应变和 应力中去
Cijkl
Cijmn
f mn
f pq
C pqkl
h
f ij
C ijkl
f kl
ij
C
ep ijkl
kl
其中代表第m+1加载步中间的某一状态。 Euler近似方法：是使用增量加载前切线模量
C C ep m ep
ijkl
ijkl
弹塑性切线刚度的推导
dij
C
ijkl
d
e kl
Cijkl
边界条件
ni( mij +ij) = m X j X j mui +ui = m ui ui
两点说明：
在力边界S上 在位移边界Su上
（1）除本构方程外上述其他方程及边界条件都是线性的。 （2）若mui、mij和mij已精确满足m加载步末的所有方程和边界条件
则可以从中消去它们，得到只有增量的一组方程
方法 有限元控制方程用位移表示为 (m+1{u}) = m+1{P(m+1{u}) m+1{F} = 0 m+1{u}= m{u}+{u}， m+1{}= m{}+{} 问题归结为求m+1{u}，使得不平衡力为零，即(m+1{u})=0。
取上一步末的位移作为下一步的初值，m+1{u}(0) = m{u}， 不平衡力一般不为零，(m+1{u}(0))0， 通过迭代方法逐步消除不平衡力使之为零。 在有限元分析中广泛应用三种Newton迭代法。
，
有限元控制方程
，
[B]T m1 {}dQ [N ]T m1 {X }d [N ]T m1 {X }dQ
Q
S
Q
m+1{P}= m+1{F}
m+1 加载步末的节点力平衡
m1{P} [B]T m1{}dQ Q
m+1{F} [N ]T m1 {X }d [N ]T m1 {X }dQ
在求解过程中，它们不一定能精确满足方程和边界条件
将它们保留下来，可减小累积误差
增量有限元格式
对于m+1加载步末，假想它发生虚位移(ui)，虚应变是 (ij ))
m1 ij ij dQ＝ m1 X i ui d m1 X i ui dQ
Q
S
Q
（1）将单元内的位移增量表示成节点位移增量的插值形式 {u}=[N]{u}e
Newton-Raphson迭代方法
假设在（m+1）步，第（i-1）次迭代近似值m+1{u}(i-1)已经得到。 使用Taylor级数将Ψ(m+1{u})在m+1{u}(i-1)处展开，并忽略高次项
( m1{u}(i1) )
( m1{u} m1 {u}(i1) ) 0
{u} m1{u}(i1)
关键的问题是如何选定[K] 的值 增量法的主要优缺点：
（1）优点：它适用于各种类型的非线性状态， （2）缺点：计算效率不高。当要求足够精度的解答，必须采用足够小的 荷载增量，这导致较大的计算量。
P u
增量迭代法
思路： 将加载步内的荷载增量适当加大，在每个加载步内进行若干次迭代
目的： 为了提高计算效率
{}
{} {u}
dQ
[B]T [D]ep
Q
[B]dQ m1 k i1
m 1{u}(i 1)
d kl
d
p kl
d
1 h
f ij
d ij
dij
Cijkl dkl
d f kl
d
f ij
Cijkl dkl
h
f ij
Cijkl
f kl
d ij
C
ep ijkl
d
kl
C ep ijkl
Cijkl
Cijmn
f mn
f pq
C pqkl
h
f ij
Cijkl
f kl
与弹性刚度张量具有相同的对称性
（2）对于每一步荷载增量，求解物体内应力和应变的增量， （3）“积分”（累计）得到最终的应力和应变。
具体求解步骤
第m增量加载步末 体积力是mXi， 力边界S上的面力是，位移边界Su上的位移是 物体内的位移mui、应变mij和应力mij均已求出
在第m+1增量加载步，给定增量的荷载和位移
体积力是
m+1Xi= mXi +Xi
其中
P
{u}(i) m1 {P}(i1) (m1) {F} 0
{u} m1{u}(i1)
{u}(=m+1{u} m+1{u}(i-1)
m1{P}(i1) m1 {P( m1{u}(i1) )} [B]T m1 {}i1 dQ Q
P
{u} m1{u}(i1)
[B]T
Q
{}
（2）几何关系的矩阵形式 {}=[B]{u}e
{}={x，y，z，xy，yz，zx}T （3）本构方程式的矩阵形式为
｛｝= [D]ep{}
{}={x，y，z，x，y，yz，zx}T
f
f
x
f y
，
f f f
z xy yz
T
f
zx
D ep
De
De f f T De h f T De ，f
力边界S上的面力是 m1 X i mX i X i
位移边界Su上的位移是
u m1 i
m
ui
ui
求m+1增量加载步物体内引起的位移增量u i和应力增量ij
用增量表示的求解方程
平衡方程
mij,i +ij,i+mXj+Xj=0
几何方程
1
1
mij +ij = 2 (mui,j+muj,i) + 2 (ui,j+uj,i)