弹塑性力学概述

塑性增量本构的基本理论姓名：学号：摘要：本文从理论基础的角度讨论弹塑性增量本构模型的基本理论：首先给出弹塑性本构模型研究的基本假设；然后谈论弹塑性本构模型的三个基本组成部分（屈服面、硬化规律和塑性流动法则）。

关键字：本构关系；塑性；屈服面；硬化规律；塑性流动法则1 引言尽管弹塑性理论的研究己有一百多年，但随着电子计算机和各种数值方法的快速发展，对弹塑性本构关系模型的不断深入认识，使得解决复杂应力条件、加载历史和边界条件下的塑性力学问题成为可能。

现在复杂应力条件下塑性本构关系的研究，已成为当务之急。

弹塑性本构模型大都是在整理和分析试验资料的基础上，综合运用弹性、塑性理论建立起来的。

在采用有限元法对工程塑性问题进行数值分析时，关键问题就是选择恰当的弹塑性本构模型，因此，弹塑性材料本构模型的研究就显得十分重要【1】。

本文从理论基础的角度讨论弹塑性增量本构模型的基本理论：首先给出弹塑性本构模型研究的基本假设；然后谈论弹塑性本构模型的三个基本组成部分（屈服面、硬化规律和塑性流动法则）。

2基本假设建立弹塑性材料的本构方程时，应尽量反映塑性材料的主要特性。

由于弹塑性变形的现象十分复杂，因此在研究弹塑性本构关系时必须作一些假设【1】。

研究弹塑性本构关系理论的基本假设一般有以下几点:(1）连续性假设：弹塑性体是一种密实的连续介质并在整个变形过程中保持连续性。

(2）小变形假设：在小变形（变形和物体尺寸相比可以忽略不计）情况下，应变和位移导数间的几何关系是线性的。

但对于大变形情况，必须考虑几何关系中的二阶或高阶非线性项。

(3）均匀性假设:物体在不同点处的力学性质处处相同。

实际上金属材料都可以看作是均匀的。

对于混凝土、玻璃钢等非均质材料，如果不细究其不同组份分界面的局部应力，可以釆用在足够大的材料上测得的等效弹塑性参数来简化成均匀材料。

（4）仅考虑等温过程中的应变率无关材料，即忽略了应变率大小(或粘弹性效应)对变形规律的影响。

这时任何与时间呈单调递增关系的参数都可取作为变形过程的时间参数。

由此得到的本构关系将会有相当的简化。

（5） Drucker假设和Ilyushin假设(在流动法则中将详细讨论这两个假设)。

3弹塑性本构模型的基本理论弹塑性本构模型是根据弹性理论、塑性理论等发展建立起来的【1】。

在塑性变形过程中总应变为两部分一部分是弹性应变和一部分是塑性应变。

其中弹性应变可由广义Hooke 定律计算。

塑性状态下的本构关系目前存在着两种理论：一种理论认为塑性状态下的应力-应变仍是应力分量和应变分量之间的关系，这种理论称为全量理论或形变理论；另一种理论认为塑性状态下的应力-应变关系应该是增量之间的关系，称为增量理论或流动理论【2，3，4】。

由于材料的塑性变形具有不可恢复性，在本质上是一个与加载历史有关的过程，所以一般情况下其应力-应变关系用增量形式描述更为合理。

因此塑性应变一般用塑性增量理论计算。

应用塑性增量理论计算塑性应变一般需要弹塑性材料的屈服面与后继屈服面、流动法则和硬化规律三个基本组成部分，对服从非关联流动规则的材料，还需要弹塑性材料的塑性势面【5】。

下面将讨论弹塑性增量理论的三个组成部分。

3．1 屈服面和后继屈服面及几个常用的屈服条件一般地，材料在外载荷作用下的响应与荷载的大小有直接的关系。

当外载足够小时，材料表现为线弹性，当外载继续增加，应力大小超过弹性极限，应力应变关系则不再是理想弹性状态，而材料的某一点或某些点应力状态开始进入塑性状态。

判断材料开始进入塑性状态的条件或准则称为屈服条件或屈服准则。

根据不同的可能应力路径所进行的试验，可以得出从弹性状态进入塑性状态的各个屈服应力，在应力空间中将这些屈服应力点连接起来就形成了一个区分弹性和塑性的分界面，即称为屈服面【6】。

在继续加载条件下材料从一种塑性状态到达另一种塑性状态，将形成系列的后继屈服面。

材料在简单加载作用下，屈服条件定义为材料的弹性极限，可以由简单试验直接确定；而多数工程中的材料处于复杂载荷作用下，屈服面与后继屈服面的形状一般不能通过试验求得，不同的本构模型有各自不同形状的屈服面，且屈服准则或屈服函数的具体形式取决于材料的力学特性。

因此关于材料在复杂应力状态下的屈服面与后继屈服面(或屈服准则)的确定具有理论和实践意义，一方面它表征了材料从弹性状态过渡到塑性状态的开始，确定开始塑性变形时应力的大小和状态，另一方面，它确定了材料复杂应力状态下的后继屈服极限范围，它是塑性理论分析的重要基础，并应用于各种实际工程结构的设计与施工。

屈服面与后继屈服面的数学表达式称为屈服函数。

关于材料的屈服面和屈服函数，已研究了上百年，提出的各种表达式不下几十种之多。

在应力空间中它一般可以表示成下式：图1 屈服面在主应力空间示意图(,)0ij f σξ= （1）这表示它是应力空问中的一个超曲面。

若不考虑应力主轴旋转的情况下可在主应力空间中表示，则为：123(,,,)0f σσσξ= （2） 如果屈服与静水压力无关，则表示为：12(,)0f J J = （3） 在应变空间中可用下式表示屈服函数(,)0Pi j i j F εε= （4）常用的屈服条件有：Tresca 屈服条件(1894年)、Mises 屈服条件(1913年)、Coulomb 屈服条件(广义Trcsca 条件)、Drucker-Prager 屈服条件(广义Mises 条件)、双剪屈服准则。

（1）Tresca 屈服条件【5】Tresca 认为，在最大剪应力达到极限时材料进入屈服，在123σσσ≥≥的假设下Tresca 屈服条件表示为：13max 12k σστ-== （5）或者： 1320k σσ--=（6）（2）Mises 屈服条件【5】Mises 克服Tresca 屈服面具有角点的缺陷(即不考虑中间主应力的影响)提出了Tresca 屈服条件：222J k =或2220J k -= （7） 将2J 写成展开形式，则有：()()()()222222211222233331112233121606k σσσσσσσσσ⎡⎤-+-+-+++-=⎣⎦ （8）（3）Coulomb 屈服条件（广义Tresca 条件）【6】认为屈服与静水压力有关，则材料屈服曲面方程为：()123,,0f I J J = （9）与式(9)相吻合的是Coulomb 准则，由土力学可知：0n t g c τσϕ+-= （10） 式中: τ——土的抗剪强度n σ——τ作用面上的正应力c ——粘聚力（4）Ducker-Prager 屈服条件(广义Mises 条件) 【6】D-P 为了改进Coulomb 屈服条件在角点处描述塑性流动的困难，于1952年提出光滑屈服曲面模型，为一圆锥。

在n 平面中为圆，其屈服表达式为：10f I k α=-= （11） 其中，α和k 与ϕ和c 有关（5）双剪屈服准则【7】1932年Schmidt R 提出最大偏应力屈服准则，与后来我国学者俞茂宏提出的双剪屈服准则相吻合。

最大偏应力屈服准则表示为()1233m a x ,,s s s k = （12）其中，3k 可以由简单拉伸实验确定323s k σ= （13） 式（12）可以等效地表示为：11232213331232()232()232()2s s s s s s σσσσσσσσσσσσ=-+=±⎧⎪=-+=±⎨⎪=-+=±⎩ （14） 双剪应力屈服条件叙述为：当两个较大的主剪应力绝对值之和达到某一极限值时，材料开始屈服。

假设123σσσ≥≥，几个主剪应力绝对值的表达式为：12122σστ-= 13132σστ-= 23232σστ-= （15）因此，双剪屈服准则可以表示为：2313121122312132331223,2,2s s when when σσττσσττσσττσσττ+⎧+=-=≥⎪⎪⎨+⎪+=-=≤⎪⎩ （16）3．2弹塑性材料的硬化规律有些材料开始屈服后就产生塑性流动，变形无限制的发展，以致破坏。

这是一种理想弹塑性状态，不存在硬化，在加载状态时，理想弹塑性材料屈服面的形状、大小和位置都是固定的。

硬化材料在加载过程中随着应力状态和加载路径的变化，后继屈服面(也称为加载曲面)的形状、大小和中心的位置都可能变化。

用来规定材料进入塑性变形后的后继屈服面在应力空间中变化的规律称为硬化规律【6】。

当内变量改变时，屈服面也将随之发生变化，不同的内变量对应着不同的后继屈服面。

严格地讲，后继屈服面应通过具体试验测量得到，但目前的试验资料还不足以完整地确定后继屈服面的变化规律，这就需要对后继屈服面的运动和变化规律作一些假设。

通常的做法是，先根据试验数据决定初始屈服面，后继屈服面则按照材料的某种力学性质假定的简单规律由初始屈服面变化得到，这种变化带有人为假定的因素。

多年来，人们对许多材料进行了试验研究。

图2 硬化规律示意图弹塑性材料在初始屈服后的响应不相同，这时就得选用不同的硬化规律，一般采用三种硬化规律，即等向硬化(又称为等向强化)、随动硬化(又称为随动强化)和混合硬化(又称为混合强化)规律，如图2所示。

（1）等向硬化规律【8】等向硬化规律假定屈服面的位置中心不变，形状不变，其大小随硬化参数而变化。

对硬化材料而言，屈服面不断扩大，即屈服面在应力空间中均匀膨胀；对软化材料，屈服面不断缩小。

等向硬化规律相当于做了塑性变形各项同性的假定，因此不能反映材料的Bausching 效应的影响，如图2所示。

其一般表达形式为：(,)0()()i j i j f f k σξσξ==-= （17）式中：(,)0ij f σξ=——初始屈服函数；()k ξ——反映塑性变形历史的硬化函数。

用于确定屈服面的大小。

等向硬化规律一般是静载荷作用下的弹塑性模型。

（2）随动硬化规律【8】随动硬化规律认为在塑性变形过程中，屈服面的大小和形状都不改变，仅发生位置的变化，即只是屈服面在应力空问中作刚体平移，当某个方向的屈服应力升高时，其相反方向的屈服应力应该降低。

因此，在一定程度上反映了材料的Bausching 效应，如图2所示。

其一般表示形式为(,)0(())i j i j i j f f k σξσαξ==--= （18）式中：()0ij f k σ-=——初始屈服函数；k ——常数；()ij αξ——后继屈服面中心的坐标，它反映了材料硬化程度，是硬化程度的参数，依赖于塑性变形，其增量形式可以表示为屈服点在应力空间中的位移。

确定ij α的增量变化规律通常有两种方法，即Prager 方法和Ziegler 方法。

随动硬化规律适用于周期荷载或反复荷载条件下的动力塑性模型以及静力模型。

（3）混合硬化规律【8】混合硬化规律是由Hodge 于1957年将随动硬化规律和等向硬化规律结合起来导出来的。